CC BY
19
Серия «Математика»
2012. Т. 5, № 4. С. 16-20
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 512.64 + 512.55
Новые полиномиальные тождества для детерминантов над коммутативными кольцами *
Г. П. Егорычев
Сибирский федеральный университет
Аннотация. Пусть К есть коммутативное кольцо с делением на целые числа. В этой работе с помощью известной теоремы поляризации найдено новое семейство полиномиальных тождеств (вычислительных формул) для детерминанта над кольцом К. Это позволило, в частности, дать новый критерий линейной независимости п векторов в С".
Ключевые слова: детерминанты; коммутативные кольца; полиномиальные тождества.
Пусть А = (а^) - п х п матрица с элементами из кольца К, Бп - множество всех перестановок а = (а (1) ,...,а(п)) множества {1,...,п},
т(а) - число инверсий в а, а Б^' и Б^, соответственно, подмножества чётных и нечётных перестановок из Бп. Последовательность элементов а1а(1),...,апа(п) назовём диагональю I (а) матрицы А, а последовательность элементов а^а(^1),...,а^к), 1 < г1 < . .. < < п, -
поддиагональю I длины к матрицы А. Через ^Ь^°^ мы обозна-
чим, множество всех поддиагоналей длины к для множества, чётных (нечётных) диагоналей бП'1 ^бП°^ , к = 1,...,п. Функция вп (I) для поддиагонали (диагонали) I = (Ыад^ц^^),...^!^а(гк)) есть сумма её элементов, то есть вп (I) := ^к8=1 а^за(3).
Определение 1. (детерминанта над коммутативным кольцом [8])
(М (А) := ^ (-1)т(а) аМ1) ...апа(п). (0.1)
аеЯ"
В следующей теореме с помощью хорошо известной теоремы поляризации получено новое семейство полиномиальных тождеств для детерминанта (0.1), содержащих до п! свободных переменных.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 09-01-00717.
Теорема 1. Если А = (а^) — п х п матрица с элементами из кольца К, то справедливы следующие формулы:
Л п к
М'(А> = «—^■<" + Т.((—1)П-к £ (^ + £а,.,>Л1.
к=1 1^31<---,3к^п 5=1
(0.2)
где Істєй'п _ множество из п! свободных переменных Є К.
Если в (0.2) положить = 7, либо = 0, при всех а Є Бп. то справедливы следующие формулы, соответственно:
(—1)п-1
(Ш (А)=[—П-Г-{ £ (^ + вп (1))п — £ (^ + вп (1))п+
! 1^-1
+ £ (7 + вп (1))п — £ (^ + вп (1))п1. (0.3)
ієь(° 1вь(е
( 1) п- 1
йеЬ (А) = — {£ впп (І) — £ впп (І) + £ впп (І) — £ впп (1)1.
leL^)_1 leL— leL(no) leL(ne)
(0.4)
В частности, при п = 2 и п = 3 согласно (0.3) - (0.4) справедливы, соответственно, следующие формулы:
ац а12 \ 1 „ ч2 , , „ ч2
deH a a )=о {(Y + all + a22)2 — (y + an)2 —
V a2l a22 ) 2
— (Y + a22)2 — (Y + al2 + a2l)2 + (y + al2 )2 + (y + a2l)2}.
где y - свободная переменная из K;
all al2 al
det 1 a2l a22 a23 I =зз!{[(an + a22)3 + (an + азз)3 + (a22 + азз)3 +
Оз l a32 Озз !
3 3 3 3 3
+ (al2 + a2 3) + (al2 + a31) + (a2 3 + a 31) + (al3 + a2l) + (al 3 + a32) +
3 3 3 3 3
+ (a2l + a32) — (al3 + a22) — (al3 + a3l) — (a22 + a3l) — (al2 + a2l) —
3 3 3 3 3
— (al2 + азз) — (a2l + 033) — (an + 023) — (an + 032) — (023 + 032)] +
+ [(an + 022 + азз)3 + (al2 + 023 + озі)3 + (оіз + a2l + 032 )3 —
— (al3 + a22 + a3l)3 — (al2 + a2l + a33)3 — (all + a23 + a32)3]}.
Доказательство. В силу известной теоремы поляризации о восстановлении полиаддитивной симметрической функции по её значениям на
диагонали (см., например, [3, 4]) для каждого диагонального произведения а1ст(1) ... апа(п), а € Бп, мы имеем
л п к
а1а(1) ...апа(п) = п {(-1)п Ш + ^2(-1)п-к ^2 (^ + £ а!э ))п)},
к=1 1<31<--,3к<п «=1
(0.5)
где та - свободная переменная из К. Заменяя под знаком суммы в (0.1) каждое произведение а1ст(1) .. .апа(п) по формуле (0.5) получаем (0.2).
Если положить в (0.1) и (0.2) = 7 для каждой перестановки а €
Бп, то мы получаем
det (А) =
к
1 ____
^£(-1)™ {(-1)" 7" + В(-1)“-к £ (У +£ ,>)”»
оЕБп к=1 1<31 <---,3к <” в=1
1(-1)" £ (-1ГО 7”+
п!
+ пг£(-1^^£(-1)™ £ (1+£•(..))">
к=1 оЕБп 1<]1<...,]к<п я = 1
= ^г-1)” { £ ч" - £ ■>">+
-Ае) аСБ(°)
п!
аЕБп
к
+ птХ!(-1)”к {12 12 +12а..а(..)Т-
к=1 О-ЕБ^ 1 <31 <---:3к <” 8 = 1
- £ £ <Т + £ .а.))”}. (0.6)
аЕБ^) 1 <31 <---,3к <" 8 = 1
оЕБП’ оЕБП
к
Нетрудно видеть, что первое слагаемое в пр авой част и (0.6) равно нулю,
Аналогично,
Б (е)
Бп
Б (о) Бп
поскольку при любом п > 2, очевидно, если зафиксировать любое к, к = 1,...,п - 2, и произвольный набор элементов а (), а (),..., а ( ) матрицы А, то, очевидно, этот
Л а(31 ) Па (п ) Зк а(3к )
набор элементов содержит ровно (п - к)!/2 чётных и (п - к)!/2 нечётных перестановок из множества Бп. Таким образом, при указанных предположениях произвольный член суммы вида (7 + ^2к=1 а а(. ))п в правой части (0.6) входит одинаковое число раз с различными знаками, и тем самым равен нулю, а оставшиеся члены при к = п - 1 и к = п совпадают с выражением в правой части равенства (0.3) для det(А). □
Следствие 1. Если А = (а^) - п х п матрица над С, то для Ь = 1, 2,...,п - 1 справедливы следующие тождества:
£ вП (I) - £ вП (I) + £ вП (I) - £ вП (I) = о. (0.7)
1еь"ё)_1 геь{°) 1еь"ё)
Доказательство. С одной стороны, коэффициенты полинома при каждой степени 7к, к = 1,...,п, в правой части (0.3) равны нулю, как коэффициенты полиномиального тождества (0.3) относительно свободной переменной ^. Теперь для установления справедливости (0.7) достаточно подсчитать те же коэффициенты путём дифференцирования по 7. □
Следствие 2 (новый критерий линейной независимости векторов-строк (столбцов) матрицы А). Если А = (а^) - п х п матрица с элементами из кольца К, то (еЬ (А) = 0 тогда и только тогда, когда выполняется равенство
£ впп (I) - £ впп (I) = £ впп (I) - £ впп (I) .
1еь"ё) 1еь{°) 1еь{:)_1
Замечание 1. а) Формулы (0.2) - (0.4) были получены с использованием всех характеристических свойств детерминанта [8].
b) Формула (0.2) для п! свободных переменных {^а}аеяп порождает 2п! различных полиномиальных тождеств для (еЬ (А), полагая каждое
= 0, либо = 0. Любая из этих формул может быть взята за определение функции (еЬ (А), требует при вычислении (еЬ (А) различное число арифметических операций, и подобно следствию 1 порождает новое множество тождеств для элементов матрицы А.
c) В формуле (0.2) и её специальных случаях используются, исключая деление на п!, только операции сложения, вычитания и возведения в степень п, и не используется свойство коммутативности по умножению для элементов кольца К. Это обстоятельство позволило автору в [5, 6] с помощью формул типа (0.2) - (0.4) дать определение детерминанта над некоммутативными и неассоциативными кольцами, отличное от известных ранее определений для некоммутативных детерминантов (см., например, [2, 7, 1]), и изучить их свойства.
Аналогичные результаты для перманентов и некоторые их приложения были ранее получены мною в [4]. Представляет интерес получение аналогичных результатов для функций Шура, смешанных дискриминантов и других функций от плоской и пространственных матриц, родственных детерминанту.
Автор признателем своим коллегам М. Н. Давлетшину, В. М. Копы-тову, Я. Н. Нужину, А. В. Тимофеенко, И. П. Шестакову, Е. В. Зима за
полезное обсуждение результатов этой заметки.
Список литературы
1. Arvind V. On the hardness of noncommutative determinant / V. Arvind, S. Srinivasan / / Electronic Colloquium on Computational Complexity. Report N 103. - 2009. - P. 1-18.
2. Barvinok A. New permanent estimators via non-commutative determinants / A. Barvinok / / Arxiv preprint math/0007153. - 2000. - arXiv:math/0007153. - P. 1-13.
3. Cartan H. Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables / H. Cartan // Dover Publ. - N. Y., 1995.
4. Егорычев Г. П. Дискретная математика. Перманенты / Г. П. Егорычев ; Сиб. федер. ун-т. - Красноярск, 2007 (transl. in English: Springer, 2012).
5. Egorychev G. P. Explicit formula for determinants its corollaries / G. P. Egorychev // Тез. Междунар. конф. по алгебре и геометрии, посвящ. 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова / ИММ СО РАН. - Новосибирск, 2011. - С. 28-29.
6. Egorychev G. P. The new polynomial identities for determinants and their corollaries / G. P. Egorychev // Алгебра и геометрия : тр. VII Междунар. конф. по алгебре и геометрии, посвящ. 80-летию со дня рожд. А. И. Старостина / ИММ УРО РАН. - Екатеринбург, 2011. - C. 173-175.
7. Гельфанд И. М. Детерминанты матриц над некоммутативными кольцами / И. М. Гельфанд, В. С. Ретах // Функциональный анализ и его приложения.
- 1991. - Т. 25, № 2. - С. 13-25.
8. Muir T. A. Treatise on the theory of determinants / T. A. Muir. - N. Y. Dover, 1960.
G.P. Egorychev New polynomial identities for determinants over commutative rings
Abstract. Let K be a commutative ring with division by integers. Here we give a new family of polynomial identities (calculation formulas) for determinants over the ring K using the well- known polarization theorem, which allows us a new criterian for linear independence of n vectors in Cn.
Keywords: determinants; commutative rings; polynomial identities.
Егорычев Георгий Петрович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, 664074, Красноярск, ул. Киренского, 26, каф. «МОДУС», тел.: (391)2461609 ([email protected], [email protected])
Egorychev Georgy, Siberian Federal University, 26, Kirenskogo St., Krasnoyarsk, 660074, professor, Phone: (391)2461609 ([email protected], [email protected])
