Новые модификации метода АКОР для случая нелинейного вхождения управлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-5G

Н.В. МЕЗЕНЦЕВ, НТУ "ХПИ"

НОВЫЕ МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА АКОР ДЛЯ СЛУЧАЯ

НЕЛИНЕЙНОГО ВХОЖДЕНИЯ УПРАВЛЕНИЙ

Пропонуються нові модифікації методу аналітичного конструювання регуляторів за критерієм узагальненої роботи для випадку нелінійного входження трьох управлінь у систему диференціальних рівнянь, що описують об'єкт.

New modifications of a method analytical construction of regulators by criterion of generalized work for a case of nonlinear occurrence of three controls in system of differential equations describing object are offered.

Постановка проблемы. Одним из методов, позволяющих синтезировать регуляторы для объектов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка с линейно входящими управлениями, является метод аналитического конструирования регуляторов по критерию обобщенной работы (АКОР). Основное достоинство метода -получение структуры регулятора с учетом минимизации функционала, который включает в себя несколько составляющих, позволяющих учитывать различные особенности протекания процессов в различных режимах функционирования сложных технических объектов [1, 2]. Однако

непосредственное применение данного метода для случая, когда объект описывается дифференциальными уравнениями, в правые части которых входят произведения трех управлений невозможно. Поэтому является актуальной задача разработки методов синтеза регуляторов по критерию обобщенной работы и для данного типа объектов.

Анализ литературы. В натоящее время существует ряд публикаций, в которых приводится методика синтеза регуляторов для нескольких частных видов математических моделей с нелинейно входящими управлениями [3 - 8]. Практически все эти модели связаны с тяговым асинхронным электроприводом, управление которым осуществляется за счет изменения амплитуды и частоты питающего напряжения, закон изменения которого в общем случае может быть записан в виде:

U = щ sin(u2t + ф) , (1)

где u1 - амплитуда, и2 - частота питающего напряжения, ф - константа,

задающая фазу синусоидального напряжения.

Если питание тягового асинхронного двигателя (ТАД) осуществляется через преобразователь частоты (ПЧ) с автономным инвертором напряжения (АИН) с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), то в общем случае напряжение на ТАД, усредненное за период несущей частоты (частоты

модуляции) будет иметь вид [5]: и = ивц8ш(юх/ + ф), где и - напряжение, поступающее от выпрямителя; ц - коэффициент глубины модуляции; -круговая частота модуляции.

Таким образом, меняя значения параметров ив, ц и , можно осуществлять независимое управление ТАД.

Целью статьи является расширение области применения метода аналитического конструирования регуляторов по критерию обобщенной работы для случая нелинейного вхождения трех управлений в систему дифференциальных уравнений, описывающих объект.

Основной раздел. Одна из общих формулировок основной теоремы АКОР следующая [1, 2]:

Теорема 1. Пусть объект описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

(X т

(х1г..., хп, г) = Xф*(х1г..., хп, г)и*, (2)

аг *=1

тогда оптимальным в смысле минимума функционала

г2

I = Уз[х^),Хп(г2), г2] +1б(Х1, ..., Хп, г)аг +

г1

1

т г2 (и ^ 1 т г2 ( п ду

=1 г!

являются управления

и

V к1 1

V * 1

+-П -г а+1Xф

*=1 гх V г=1 дх г 1

аг,

и} = ~к!

( п д¥^Р 1

X Фг*

V г=1 ЗХ, 1

где V - решение линейного уравнения в частных производных

дХ П ЗV ,

д/ Хдх/' = ®, (3)

при граничном условии

у[х1(г2),..., хп(г2), г2]= у[х^), •••, хп(г2), г2]. (4)

Здесь X, (г = 1, п) - фазовые координаты объекта управления;

/,, ф,* (г = 1, п, * = 1, т) - непрерывные заданные функции;

Уз [х^), ..., Хп (г 2), г2 ] - положительно определенная непрерывная функция, задающая точность приведения объекта управления в момент времени /2 в

заданную точку фазового пространства; Q(Xx,Xn,t) - положительно определенная непрерывная функция, задающая требования к качеству переходных процессов объекта по фазовым координатам в интервале времени управления [t\, t2]; p, q - положительные числа, удовлетворяющие условиям:

\/p + \/q = 1 и Xp,Xq - четные функции Х; kj (j = 1, m) - заданные постоянные коэффициенты; u ■ (j = 1, m) - управления.

Из вида уравнений (2) теоремы 1 следует, что метод АКОР можно

использовать для объектов, описываемых с помощью систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые управления Uj входят линейно. Для расширения области применения метода АКОР предлагается новая модификация метода АКОР для случая p = q = 2 и нелинейно входящих трех управлениях, когда используются не сами управления, а некоторые функции от них. Эта модификация основывается на следующей теореме.

Теорема 2. Пусть объект описывается системой уравнений

dX Ш

-X- + f (X\, X„, f) = 3£ 9j (X\, X„, t)V\j (u\j- )V2j (u2 ij )¥3j (u3j )> (5)

dt j=\

тогда оптимальными в смысле минимума функционала I = Уз[Xi(t2), .

t2 m n t2

Xn(t2), t2] +JQdt + XZj

t1 j=1 i=111

2 2 2 U1ij U2ij U3ij

k2 k2 k2

V 1ij 2ij J

dt,

являются управления

,2 9V

Uii = "зГ фjv\jv2jV3j/u\j;

4ij

x\ij

/2 9V

u2ij = k2ij ^ фуW\JjV2ijV3j'/u2ij

u

,2 9V ,

3ij = k3ij дх фу¥\j-Vvj¥3j-/u3j-,

(6)

(7)

(8) (9)

где V - решение уравнения (3) при граничном условии (4).

Доказательство. Полная производная функции V в силу уравнений объекта (5) и уравнения (3) равна

т ^

= (10)

dV 9V ^ 9V dX, 9V ^ 9V

"dT_"9Т+^ 99x~dir~~9t +^~9X~ ^фу'v\y'V2yV3y~f'

,=\

i=\

j=\

п ^V т

=-в+3Е^т С фу у ^ ^.

/=1 дХ *=1

Интегрируя выражение (10) в интервале времени [/1, /2], получим

Ь

у[х1(г2),..., хп(Г2), г2]-у[х1(г1),..., хп(1Х\ гх] = -]+

п т *2

+3ЕЕ|^т фу ^1* ^2ч у у*.

1=1 ]=1 1 г

Функционал (6) с учетом соотношения (11) преобразуется к виду

п т *2

I = У[х1(?1), ..., хп (?1), ?1 ]+ 3ЕЕ|^Т Ф] У1] Уз +

■1-1 дХ, 1=1 ]=1 / г

т п 12

+С С

]=1 1=1 4

Поскольку имеем

т п

С С

у=11=1

2 2 2

М1г/ u2- Т3 у

к2 к2 к2

1] 2 у 3]

дV

Ж.

аы

+ к1 у ФуУ1]У2уУ3у/т1 у

= СС

]=1 1=1

-‘1]

дV

1]

2 + 2^Т Фу У1 у У2у У3у + ,2

к11>'

1у

дV

(12)

= 2ССтг+2ХЕ^т ф у У1 у¥2 у у3 у;

у=1 1=1 к1у у=1 1=1 дХ 1

у=1 1=1

м2у , дV

^Т~ + к2 у^Т Ф у У у У 2 у У3 у 2 у

= СС

у=11=1

2у д г 21у

— + ^ Фу У1у У 2уУзу + —

дУ

2у

х2у

т п' Ы2у дУ

ТТ + 2ЕЕт^ФуУ1уУ2уУзу ;

у =1 г=1 к2у у

у=11=1

3у 7 д V

+ к3у ФуУ1 уУ2уУ3у 3у

дV

=СС

у=1 1=1

«31 у

7^- + 2^- Ф1, У11, У 21, У 31, +-Г-

дV

3 у

к

3 у

у 1 у 2 у 3 у 2

3 у

т п и 2 т п ът/

=2С тг+2С С ^ ф у ^1 у у 2 у ^3 у,

у=1 1=1 к3у у=1 1=1 дХ1

то функционал (12) можно записать в виде

2

2

2

2

т п

т п

2

2

2

2

2

2

1 *2 т п

I = V[ад), ..., Хп(/1),/1]+-{££

' у =1 1=1

Чу

+ кь

дV Фу У-У 2у У3у

1 у

& +

1 *2 т п

2{ сс сс

2 *1 у=1 1=1

12у

дV

к ^ + к2у дх Ф у У1у У 2у У 3 у/т2 у

& +

1 *2 т п

1 ]■ СС СС

2 *1 .7=11=1

^3 у

дV

к ^ + к3у дх ФуУ1уУ2уУ3-/U3-

Если управления / = 1, 3,1 = 1, п, у = 1, т определяются

соотношениями (7) - (9), то подинтегральные выражения в функционале (13) обращаются в нуль и он принимает минимальное значение. Следовательно, теорема доказана.

Из теоремы 2 могут быть получены частные случаи, например, когда в правые части системы дифференциальных уравнений, описывающей объект, входят произведения трех управлений, то получим следующую теорему. Теорема 3. Пусть объект описывается системой уравнений

—+ /(хъ ..., хп, Г) = зСФ,ух ., хп, г)Ы1

сг

(14)

у=1

тогда оптимальными в смысле минимума функционала

12 13 т 12

I = Уз[х^), хп(/2), /2] +1хп, г)сг + -££{

2 7-1 ,-1 ^

1 ж1} I « дУ

+I С Дку х * ^Ы3 у ,

I=1 у=1 г1

V ку у

С/ +

1 т/2 К п дУ

Сг + 2СДк2у С Ф'у

Л2

Сг +

Л2

ёг,

являются управления

^ дV С Ф у дХ

^опт = -к1у

1=1

; и 2.7опт = к2у

дV

1=1

^3;

и3уопт = к3у

С Ф1

V 1=1

дV

дХ,

'U1-U2-

у = 1, т .

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.

2

+

2

т

2

у

Частным случаем теоремы 2 (при у1у- = м15 у2у = 5Іп(и21 + ф0), у3у = 1)

так же является теорема [3], где управления имеют вид (1):

Пусть объект описывается системой уравнений

dX,

dt

L + fi(Xi. .... Xn. t) = Iф-(X1. .... Xn. t)uiSin(u2t + Фо).

j=1

тогда оптимальными в смысле минимума функционала

I = V3 [ X i(t2). .... Xn (t2),t2] + J Qdt +J

22 uL k2 k2 К 1 2 у

dt .

являются управления

n m -V

u

, 2^v- -V , ,2'n'm -V

1 =-k1 Ф j Sin(u2t + Фо); u2 =-k2 Фiju1 sin(u2t + Фо)/

і ay- J

1=1 J=1dXi

1=1 J=1QXTJ

где V - решение уравнения (3) при граничном условии (4).

2

Выводы. Таким образом, доказательство теорем 2 и 3 расширило область возможного применения метода АКОР на объекты, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений вида (З) и (14), т.е. на объекты, в которых управления входят в виде произведений трех управлений или в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного управления. В дальнейшем предполагается обобщение полученных результатов и разработка численных методов для синтеза конкретных систем управления.

Список литературы: 1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. - М.: Наука, 1973. - 560 с. 2. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Красовского А.А. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

3. Носков В.И., Дмитриенко В.Д., Заполовский Н.И., Леонов С.Ю. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов. - Харьков: ХФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с.

4. Эволюционные методы компьютерного моделирования / Верлань А.Ф., Дмитриенко В.Д., КорсуновН.И., ШорохВ.А.. - К.: Наук. думка, 1992. - 256 с. 5. Тиристорные преобразователи частоты в электроприводе / Бернштейн А.Я., Гусяцкий ЮМ, Кудрявцев А.В., Сарбатов Р.С. / Под ред. Сарбатова Р.С. - М.: Энергия, 1980. - 328 с. б. Даниленко А.Ф., Дмитриенко В.Д., Заполовский Н.И. Математические модели оптимальных систем управления тяговым асинхронным приводом тепловозов // Электронное моделирование. - 1991. - Т. 13. - № 2. - С. 40 - 44. 7. Дмитриенко В.Д., Носков В.И., Мезенцев Н.В. Решение задачи оптимизации критерия обобщенной работы при нелинейно входящих управлениях. Збірник наукових праць "Системи обробки інформації". -Харків: ХВУ, 2004. - Вип. 12. - С. 37 - 45. 8. Дмитриенко В.Д., Носков В.И., Мезенцев Н.В. Оптимизация функционала обобщенной работы при пелипейпо входящих управлениях. Праці Луганського відділення Міжнародної Академії Автоматизації. - Луганськ: Луганське відділення Міжнародної Академії Автоматизації. - 2005. - N° 1. - С. 17 - 22.

Поступила в редакцию 12.10.2007