Новые микроскопические модели автомобильного трафика Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

В.В. Курц, И.Е. Ануфриев

НОВЫЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАФИКА

Моделирование автомобильного трафика имеет много приложений. Модели трафика используются при проектировании новых транспортных развязок, модернизации уже существующей дорожной сети. Также хорошая модель трафика является неотъемлемой составляющей процесса разработки интеллектуальных систем управления транспортными потоками, которые используются для борьбы с пробками. Еще одно приложение — тренажеры для обучения вождению. Помимо выработки основных моторных навыков, такие тренажеры должны достаточно точно воспроизводить внешнюю обстановку, в частности автомобильный трафик в целом и особенности поведения отдельных водителей.

В 50-е годы прошлого века появились первые макроскопические (гидродинамические) модели, в которых поток транспортных средств уподобляется потоку сжимаемой жидкости с «мотивацией», и первые микроскопические модели (следования за лидером), в которых для каждого автомобиля явно выписывается уравнение движения. Данная работа посвящена моделированию автомобильного трафика на микроуровне.

Наиболее популярной микроскопической моделью трафика в последнее десятилетие является модель «разумного водителя», предложенная М. Трайбером в 1999 году. В настоящей работе выявлены ее некоторые недостатки: модель дает нереалистичную дистанцию в равновесном потоке и в явном виде не учитывает время реакции водителя. Цель данной работы — получить микроскопическую параметрическую модель трафика, которая, во-первых, устойчива с математической точки зрения, во-вторых, способна воспроизводить динамику конкретного транспортного средства с учетом его технических характеристик. Кроме того, модель должна давать наперед заданную дистанцию в установившемся по-

токе и в явном виде учитывать время реакции водителя.

Описание модели «разумного водителя»

В этой модели [1, 2] предполагается, что транспортные средства движутся друг за другом по одной полосе. Ближайший впереди идущий автомобиль является лидером.

Ускорение п-го автомобиля является непрерывной функцией его скорости уп, дистанции до лидера скорости относительно лидера Дуп = уп+1 - у п и определяется следующим образом:

(

Уп (*) = ап

( У

1 -

V V0 ,

V п

4(Уп' Ауп )

\2 Л

(1)

Первое слагаемое ап[1 -(у п / V0)5] в правой

части этого уравнения описывает динамику

ускорения автомобиля на свободной дороге, в

то время как второе слагаемое

* 2 /п,п-1 =~ап К (уп > ^п )/ 5 п]

описывает торможение, связанное с взаимодействием с лидером. Слагаемое торможения

*

зависит от отношения «желаемой» (к*) к фактической (кп) дистанции, причем желаемая дается выражением:

Уп > Ауп )= Кп+ТпУп -

(2)

2л1аА

Параметры модели имеют содержательную интерпретацию: Уп° — желаемая (или максимально возможная) скорость; Тп — время, характеризующее реакцию водителя; ап — максимальное ускорение; Ьп — аналог ускорения при торможении; 5 — показатель «чувствительности» при ускорении; Кп — «заторная» дистанция (минимальное расстояние между автомобилем и его лидером).

и

К

п

Недостатки модели Трайбера

Модель Трайбера имеет несколько недостатков. Во-первых, она не допускает столкновений, которые являются неотъемлемой составляющей уличного трафика. Например, если перед автомобилем внезапно появляется препятствие, то в соответствии с моделью «разумного водителя», автомобиль остановится на некотором расстоянии перед препятствием вне зависимости от скорости и дистанции. Это произойдет даже в случае, когда в реальной ситуации имело бы место столкновение. Данный эффект достигается за счет возникновения больших ускорений при торможении. Еще одним недостатком модели Трайбера следует считать то обстоятельство, что модель не учитывает время реакции водителя в явном виде.

Рассмотрим простой пример. Автомобили стоят перед регулируемым перекрестком, горит красный сигнал светофора. Как только загорается зеленый, все автомобили начинают движение одновременно, т. е. их скорости становится одновременно отличными от нуля. Однако в реальной ситуации, в силу некоторой заторможенности реакции водителя, это не так. В применении к транспортным тренажерам оба описанных недостатка являются существенными.

Дистанция в установившемся потоке по модели Трайбера дается следующим выражением:

^ ' + ту

¿ЮМ (V) =

(3)

v

времени реакции водителя и качества дорожного покрытия [5]:

/ (V ) = й + Ту + СУ2 ,

(4)

где й — средняя длина автомобиля; Т — время, характеризующее реакцию водителя; с — коэффициент, который зависит от качества дорожного покрытия.

За счет весовой функции р разделяются разгон на свободной дороге и взаимодействие с лидером:

V = ра

О-р>

( / * ^ 1 -

, h ,

V у

, (5)

1де р определяется как функция фактическойдис-танции к, желаемой дистанции й и параметра Б :

р = р( Ь,й *, Б ) =

е(-<ю,й*);

-2

h - й

Б

+ 1, h е

-1

У

- 3

Б

-1

(6)

й ,й + Б

1, h е(й* + Б, +<»)

а также

и зависит от «желаемой» скорости параметра 5 , который отвечает за разгон на свободной дороге. Разумнее предположить, что дистанция определяется качеством дорожного покрытия, погодными условиями и опытностью водителя.

Модификация модели Трайбера

Поставим задачу модифицировать модель Трайбера так, чтобы обеспечить наперед заданную дистанцию в равновесном потоке. Предлагается модель, которая в установившемся потоке дает дистанцию до лидера, определенным образом зависящую от скорости автомобиля,

Параметр Б определяет ширину переходного процесса, т. е. фазы движения, когда в выражение для ускорения (5) вносят вклад оба слагаемых.

Функция (6) является непрерывной и имеет непрерывную первую производную. Ее смысл заключается в следующем. Когда автомобиль находится далеко от своего лидера, весовая функция равна единице, и значит, работает только «разгонное» слагаемое. Когда дистанция до лидера меньше желаемой (она определяется формулой (4)), работает только «тормозное» слагаемое. Между этими двумя состояниями существует некоторое переходное состояние, в которое дают вклад оба слагаемых.

Можно аналитически показать, что в установившемся потоке дистанция до лидера совпадает с дистанцией (4).

На рис. 1 приведены результаты моделирования по модели Трайбера и модифицированной модели (5).

3

2

Рис. 1. Сравнение основных динамических характеристик модели Трайбера (1) и ее модификации (2): а — скорости; б — ускорения; в — весовая функция, модифицирующая

модель Трайбера

Скорости на протяжении первых 15 с по обеим моделям примерно совпадают. Далее скорость по модели Трайбера становится меньше, чем по модифицированной модели. Это связано с тем, что в модели «разумного водителя» результирующее ускорение меньше за счет слагаемого, определяющего взаимодействие с лидером. В модифицированной модели данное слагаемое вклад в ускорение не вносит, так как дистанция до лидера еще велика, а начинает вносить при t % 28 с. В этот момент скорость по модифицированной модели растет в течение короткого промежутка времени (примерно 2 с), что имитирует желание водителя догнать впереди идущий автомобиль. Далее происходит торможение. Согласно модифицированной модели, водитель тормозит менее плавно, чем по модели Трайбера, однако ускорение при торможении укладывается в реальные возможности автомобиля.

При некоторых значениях параметров модифицированной модели «разумного водителя» автомобиль, подъезжая к неподвижному лидеру, начинает совершать колебательные движения, что не соответствует действительности. Методом Ляпунова исследована устойчивость в окрестности стационарного состояния. Ограничение на параметры модели, гарантирующие отсутствие колебательных движений, имеет вид:

гт2

* 0. (7)

а

Новая модель е запаздыванием по времени

Рассмотрим другой подход к моделированию движения автомобиля, основанный на том, что в реальных условиях водитель ре-

агирует на сложившуюся ситуацию с некоторой задержкой, определяемой временем его реакции. Данный подход, приводящий к параметризованным дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом, является развитием модели Трайбера и модели оптимальной скорости [3, 4]. Последняя не всегда дает реалистичное значение дистанции до неподвижного лидера. Далее нами предлагается новая модель, которая обеспечивает требуемую дистанцию.

Описание модели. Рассмотрим автомобили, которые движутся друг за другом вдоль одной полосы. Ускорение п-го автомобиля определяется его скор остью и дистанцией кп до (и+1)-го автомобиля (его лидера) и выражается дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом по времени т:

(

vn (t) = Pa

1 -

Уп (t -T) ^

(8)

+ (1 -P)b[V(K (t-T))-Vn (t)],

К (t) = Vn+1 (t)- Vn (t)•

(9)

сти V0. Отличие от модели Трайбера заключается в том, что скорость в правой части уравнения (8) берется в момент времени X -т, что определяет некоторую инертность реакции водителя.

Второе слагаемое в уравнении (8) отвечает за взаимодействие с лидером, в частности за снижение скорости, если дистанция до лидера становится небезопасной. Оно представляет собой модель оптимальной скорости [3, 4]. Однако предлагаемая нами функция оптимальной скорости V (к) имеет другой вид:

[0,0 < к < ;

V (h ) =

( h - h ^ h hstop

1+

h - h

-,h > h

(10)

stop

stop

ФГ

где т соответствует времени реакции водителя.

Добавим к уравнению (8) уравнение для дистанции до лидера:

Тогда система уравнений (8) и (9) полностью описывает поведение и-го автомобиля.

Параметры а,у0,5 имеют тот же смысл, что и в модели Трайбера. Первое слагаемое отвечает за разгон на свободной дороге и выражает желание водителя достичь желаемой скоро-

Параметр V0 соответствует желаемой скорости, дистанция к^ор — это минимальная дистанция до лидера. Параметр 5 имеет размерность расстояния.

Отличие функции (10) от функции оптимальной скорости в работах [3, 4] заключается в том, что величина 5 некоторым образом зависит от дистанции до лидера к.

Расстояние, на котором останавливается транспортное средство перед своим лидером, согласно модели оптимальной скорости, зависит от его начальной скорости и оказывается разным при одинаковых начальных дистанциях до лидера. В некоторых ситуациях оно может оказаться неправдоподобно большим

s, м

100

Рис. 2. Предлагаемая зависимость — кубический эрмитов сплайн

3

0

V

3

и

V

или, напротив, меньшим минимальнои дистанции ^(ор . Предлагается устранить этот недостаток за счет введения функциональной зависимости величины 5 от дистанции до лидера к, которая может быть определена как кубический эрмитов сплайн, узлы и коэффициенты которого выбираются с целью получить требуемую дистанцию в установившемся потоке. Зависимость 5(к) приведена на рис. 2.

Устойчивость модели. Рассмотрим ситуацию, когда лидер отсутствует. В этом случае второе слагаемое в уравнении (8) отсутствует. Проведем исследование устойчивости этого уравнения, используя линеаризацию в окрестности V = V0. Сделаем замену переменных таким образом, чтобы стационарное состояние было нулевым:

V ^ ) = V0 (к ^ ) + 1)

V 5

(11)

Уравнение (11) в новых переменных принимает вид

к

^ ) = - ^ к ^-х)(к ^ ) +1)1"15,

(12)

Линеаризованное в окрестности к = 0 уравнение (12) имеет вид

м>

V ^ )=-а0 к ^-т).

(13)

Тогда характеристическое уравнение примет вид

^ + ^ е = 0.

(14)

Для исследования устойчивости модели применим теорему из книги [6], которая приводит к следующему условию: решение уравнения (13) будет асимптотически устойчиво в случае т < т0 и неустойчиво, если т > т0 , где

ТП =-

2а5

(15)

Далее нами было численно установлено, что для значений параметров V0 = 25 м/с, а = 4,07м/с, 5 = 1,01 при т = 0,1т0 решение уравнения выходит на асимптоту V = V0 без колебаний. Если т = 0,5т0, то имеют место затухающие колебания с выходом на асимптоту

V = V0. В случае т = 1,1т0 зависимость скорости от времени представляет собой колебательную функцию с возрастающей амплитудой.

При моделировании движения транспортного средства необходимо, чтобы скорость выходила на асимптоту V = V0 и колебания отсутствовали. Условие (15) является достаточным для выполнения первой части утверждения, однако не гарантирует отсутствия колебаний. Значение параметра т, при котором колебания отсутствуют, определено численно и равно т = 1,6 с. Можно брать и меньшие значения т, так как для них также не будет колебательного режима. Величина т разумно согласуется со временем реакции водителя.

Настройка параметров модели. Определенный выбор значений параметров позволяет моделировать поведение разных водителей с учетом технических характеристик транспортных средств и дорожной обстановки. Нами предложен метод настройки параметрических моделей трафика, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (1), (5) или уравнениями с запаздыванием по времени (8), с целью достижения реалистичной динамики и гарантирования устойчивости решения математической модели. Мы используем подход, на основе которого производится оценка параметров модели; он описан в статье [7]. Ввиду отсутствия аналитического решения вышеперечисленных уравнений формулируется задача оптимизации целевой квадратичной функции ошибки (16а) с ограничениями, порождаемыми схемой численного интегрирования (166) и полученными условиями устойчивости (16в). В качестве схемы интегрирования используем метод Эйлера. При настройке учитываются технические характеристики автомобиля, погодные условия и качество дорожного покрытия.

Пусть имеется набор экспериментальных

данных: скорость 1. и координата |кг-}.ч в

моменты времени . Задача подбора параметров модели выглядит следующим образом:

тт т I к

(¿1, ..., %..., vN,Э); (16а)

V

(*, ^е) = 0 4 (V, V+1, е) = 0,

« = 1,..., N -1;

= v1 = VI;

-■2

аТ2

я'

> 2,

(166)

(16в)

где

т(^ SN,V1, VN,0) =

N Т

= ®1 Х|> - * , 0)] |> - * , 0)] + «=1

+ Ш2 £[V- - V {Ц, 0)]Т [V- - V {Ц, 0)]; «=1

сг (*«•, ъ+l, е) = ъ+1 - ^ ~АР (*, V, е); ¿1 , V+l, 0) = V+1 - V (я«, V, 0);

Р (я^, 0) = V , 0 — правая часть уравнения (5); 9 — вектор подлежащих определению параметров.

За счет выбора весов ©1, Ю2 можно расставлять приоритеты, а именно, что является более предпочтительным, — близость скорости или координаты к экспериментальным данным. В таком случае задача сформулирована для уравнений без запаздывающего аргумента. Однако описанный метод применим и для уравнения (8).

Задача подбора параметров модели разбивается на две подзадачи. Сначала настраивается разгон на свободной дороге, затем торможение при подъезде к неподвижному лидеру. Результаты решения задачи оптимизации для модифицированной модели без запаздывающего аргумента приведены на рис. 3.

При помощи данного метода настроены предложенные в работе параметрические модели для различных типов автомобилей и различных дорожных покрытий. Полученные значения для параметров модели гарантируют реалистичную динамику (соответствующую

Рис. 3. Результаты решения задачи оптимизации для модифицированной модели без запаздывающего аргумента. Представлены динамические характеристики скорости при подобранных значениях параметров:

а = 3,44 м/с2; б = 1,01 (а) и Т = 0,87 с; с = 0,053 с2/м (5)

рассматриваемому конкретному автомобилю) и отсутствие колебаний в окрестности стационарного состояния.

В результате исследования модели «разумного водителя» выявлены некоторые ее недостатки в применении к транспортным тренажерам и предложена модификация модели. Модифицированная модель дает наперед заданную дистанцию в установившемся потоке, которая зависит от качества дорожного покрытия, погодных условий и времени реакции водителя. Проведено исследование устойчивости стационарного состояния методом Ляпунова и получены достаточные условия отсутствия колебательных движений.

В данной работе предложена новая микромодель автомобильного трафика, основанная на дифференциальных уравнениях с запаздыванием по времени. Эта модель позволяет в

явном виде учесть время реакции водителя. В отличие от модели Трайбера, в новой модели не возникают неправдоподобно большие ускорения, и она позволяет моделировать столкновения. Предложен метод для настройки модели, а именно — метод определения функции оптимальной скорости, который позволит моделировать поведение различных водителей: осторожных, опытных, склонных к риску и т. п. Получены условия локальной устойчивости. Численно определены значения параметров модели, при которых колебания отсутствуют.

Предлагаемые модели могут быть с успехом использованы в автотранспортных тренажерах спецслужб, в системах разработки интеллектуальных транспортных систем и в системах автоматизированного проектирования дорожной сети.

Работа поддержана грантом РФФИ 11-01-00667-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Treiber, M. Explanation of observed features of self-organization in traffic flow [Text] / M. Treiber, D. Helbing // Preprint cond-mat/9901239. - 1999.

2. Treiber, M. Congested traffic states in empirical observations and microscopic simulations [Text] / M. Treiber, A. Hennecke, D. Helbing // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 62. - P. 1805-1824.

3. Orozs, G. Global bifurcation investigation of an optimal velocity traffic model with driver reaction time [Text] / G. Orosz, R.E. Wilson, B. Krauskopf // Phys. Rev. E. - 2004. - Vol. 70. - P. 026207.

4. Orozs, G. Bifurcations and multiple traffic jams in a car-following model with reaction-time delay [Text] /

G. Orosz, B. Krauskopf, R.E. Wilson // Physica D. — 2005. - Vol. 211. - P. 277-293.

5. Гасников, A.B. Введение в математическое моделирование транспортных потоков [Текст] / А.В. Гасников. - М.: МФТИ, 2010. - 362 с.

6. Yang Kuang. Delay differential equations with applications in population dynamics [Text] / Yang Kuang. -San Diego: Academic Press, 1993. - Mathematics in Science and Engineering. - Vol. 191. - 398 p.

7. Li, Z.F. Parameter estimation of ordinary differential equations [Text] / Z.F. Li, M.R. Osborne, T. Prvan // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2005. - Vol. 25. -P. 264-285.