CC BY
78
Новые методы анализа нестационарных быстропеременных процессов в машинах и аппаратах
А.И. Прыгунов, А.В. Белолипецкий
Судомеханический факультет МГТУ, кафедра технической механики
Аннотация. В статье исследуется проблема анализа быстропеременных процессов в машинах на примере вибрации и пульсаций давления в узлах и системах двигателей внутреннего сгорания (ДВС). Особое внимание уделяется применению последних достижений в технике обработки нестационарных сигналов, таких, как преобразование Фурье на коротких реализациях и разложение исходных сигналов на элементарные волны. Для оценки структурной устойчивости систем в процессе нестационарных колебаний предложен метод анализа, основанный на количественной оценке фазовых отображений типа карт задержки, полученных с использованием метода элементарных волн.
Abstract. The problem of analysis of the high-speed variable machinery processes, for example vibration and pressure pulsations in the units and systems of internal combustion engines, has been investigated in the paper. Particular attention has been given to applying of the latest advances in non-stationary signal processing such as Fast Fourier Transform (FFT) and Wavelet Decompose (WD). The method aimed to estimation of the system structure stability in the process of the non-stationary vibration has been offered in the paper. It is based on quantitative estimation of phase maps obtained via wavelets.
1. Введение
Развитие методов компьютерного моделирования динамических систем и методов цифрового анализа данных привело к получению новых знаний о поведении динамических систем, включая нелинейные механические системы. Обычными стали такие понятия, как странный аттрактор, бифуркация, хаос в применении к объектам механики, и не только модельным, но и реальным, включая конкретные типы машин.
В то же время переход от теоретических исследований нестационарных процессов в понятиях и терминах нелинейной динамики систем к экспериментальным исследованиям показал, что применение в практике эксперимента основных теоретических понятий науки о хаосе весьма затруднено. Проблема усугубляется тем, что круг теоретических методов исследования нестационарных процессов сам по себе неширок и малоэффективен, поэтому для решения экспериментальных задач приходится использовать практически все новейшие достижения в области обработки сигналов. В этой связи символично, что один из ведущих технических журналов в данной области - "Mechanical Systems and Signal Processing", самим своим названием ("Механические системы и обработка сигналов") отражает суть рассматриваемой проблемы.
Наиболее эффективными методами исследования нестационарных процессов в эксперименте оказались методы перехода от представления сигнала - аналога процесса во временной области к представлению его во время-частотной области. Разработано много методов такого представления, базирующихся на быстром Фурье-преобразовании коротких участков временной реализации. Различие методов заключается в выборе различных усредняющих и сглаживающих окон, используемых для повышения достоверности спектральных энергетических оценок процессов на коротких реализациях при сохранении достаточной разрешающей способности анализа по частоте. Проблема окон возникает из проблемы высокой чувствительности результатов Фурье-анализа к условиям на концах отрезка реализации, подлежащего анализу. Широкое применение на практике получили методы анализа с использованием разбиения реализации на короткие отрезки с последующим последовательным их спектральным анализом (Short Fourier Transform) и методы, основанные на использовании скользящих окон: от гауссовского сглаживающего окна (Gabor, 1946) до комбинации особым образом подобранных сглаживающего и усредняющего окон (Wigner-Wille Distribution) (Stashevsky et al, 1997). Недостаточная статистическая достоверность энергетической оценки вклада высокочастотных компонент на коротких реализациях привела к необходимости использования нелинейного, в смысле зависимости геометрии от частоты анализа, окна элементарной волны (Wavelet) (Grossmann, Morlet, 1984).
Особое место занимают методы экспериментального исследования нестационарной динамики машин, основанные на теории орбит, суть которой заключается в представлении динамики системы как эволюции некоторой траектории в обобщенном фазовом пространстве. Следует отметить, что эти методы восходят к классическим работам А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре. Идея геометризации динамики успешно развивается в
трудах В.И. Арнольда и его школы. Для оценивания характера фазовой траектории используют оценки типа плоских или трехмерных карт "координата-скорость" и карт задержки, так как фазовая траектория - объект математический (фазовый поток), и недоступна для прямого наблюдения в эксперименте. Дадим сравнительную оценку эффективности применения в практике эксперимента различных методов оценивания характера фазовых траекторий.
2. Оценивание динамики системы по методу карт задержки
Как показано в наших работах (Prygunov, Belolipetsky, 1997; Prygunov et al, 1997), оценивание по типу карт задержки наиболее полно отражает свойства фазовых траекторий, в частности, позволяет применить к анализу получаемых оценок основные выводы теории отображения кривых общего положения на плоскость. Построение карты задержки, являющейся отображением сигнала x(t) на фазовую плоскость оценивания (q, p): x(t) ^ q; x(t-T) ^ p, где т- интервал задержки, позволяет оценить периодичность и степень стационарности фазовой траектории, наличие на траектории особенностей типа локальной неустойчивости (точки возврата) и локальной фазовой задержки (петли возврата). Периодичности траектории соответствует периодический возврат траектории на карте задержки в исходную точку. Такое поведение оценочной траектории не следует считать самопересечением фазовой траектории, которое невозможно, а лишь следствием вырождения отображения периодических фазовых траекторий на плоскость. Степень стационарности фазовой траектории определяется компактностью расположения семейства фазовых траекторий за несколько периодов на плоскости оценивания. Количественными мерами оценки нестационарности траектории могут быть фрактальная размерность v{r), где r - масштабный параметр, при незначительной нестационарности траектории, или показатели Ляпунова Л, если отмечаются существенные изменения координатных интервалов Aqi, Api за итерацию при дискретном построении траектории. Недостатком фрактальной размерности является ее низкая чувствительность к изменениям траекторий, так как на плоскости она может изменяться от 1 до 2, а для локально плоских фигур в пространстве, какими являются трехмерные карты задержки - от 2 до 3. Вычисление показателей Ляпунова не встречает проблем только в теории (Берже и др., 1991). Например, если фазовая траектория строится дискретно по некоторому итерационному алгоритму, для определения Л достаточно рассчитать произведение матриц Якоби за некоторое число итераций, при этом показатель Ляпунова определяется из соотношения
Л = limN^„ { ln [ Tr ( Jn+ Jn) ] / 2N }, где под знаком логарифма след произведения эрмитово-сопряженного и обычного якобианов после N итераций. Считается, что в случае асимптотической устойчивости систем с трением Л< 0, для консервативных систем Л = 0, для неустойчивых систем с трением и хаотических режимов колебаний Л>0. Однако, при исследовании карт задержки, полученных из эксперимента, применение данной процедуры затруднено тем, что предварительно необходимо получить подходящее аналитическое выражение для экспериментального отображения, распространив на него априори свойства известных теоретических отображений (например, отображения Энона или Лоренца) и производя подбор параметров подходящего теоретического отображения по методу наименьших квадратов. Кроме того, положительные показатели Ляпунова в реальных механических системах (машинах) могут наблюдаться лишь на ограниченных интервалах времени, в силу финитности движений в таких системах. Поэтому практический смысл может иметь лишь оценка эволюции во времени в пределах цикла машины показателя Ляпунова, так как в установившихся режимах работы машин среднее значение показателя Ляпунова за цикл должно быть равно нулю.
В то же время практически отсутствуют показатели эволюции формы фазовой траектории, которая имеет существенное значение в связи с явлением структурной устойчивости колебаний. Действительно, показатели Ляпунова характеризуют устойчивость колебательных процессов по Ляпунову, то есть устойчивость к изменению начальных условий. Структурная же устойчивость, в отличие от устойчивости по Ляпунову, является устойчивостью формы фазовых траекторий к изменению управляющего параметра. При этом зоны структурной устойчивости разделены зонами перестроек фазовых траекторий (зоны бифуркаций, зоны катастроф), происходящих по типу фазового перехода второго рода при малом изменении управляющего параметра. Единственным показателем формы траектории можно считать индекс Пуанкаре, пригодный для периодических режимов колебаний и показывающий число полных оборотов единичного, касательного к фазовой траектории сопутствующего вектора за один период развития фазовой траектории. Близка по сути к этому параметру и кратность траектории на диаграммах Пуанкаре. Мы предлагаем новый показатель формы, пригодный для определения зон структурной устойчивости колебаний по данным эксперимента вне зависимости от характера устойчивости по Ляпунову. Данный метод может быть полезен также при экспериментальном исследовании фрактальной структуры колебаний.
3. Новый метод исследования структурной устойчивости колебаний
Из теории преобразования Фурье известно, что высшие гармоники основного периода колебаний возрастают тем больше и тем в большем числе, чем больше отличие формы колебаний от чистой синусоиды. Этот принцип положен в основу расчета коэффициента нелинейных искажений колебаний в электротехнике. Очевидно, что изменение формы колебаний приводит к изменению формы фазовой траектории и траекторий оценивания в пределах основного периода колебаний. Следует отметить, что траектории оценивания (карты "координата-скорость", карты задержки) для неискаженной синусоиды представляют собой окружность на плоскости оценивания. Любые искажения колебания приводят к искажению формы траектории, а главное, - к уменьшению площади, охватываемой траекторией за период. Именно этот принцип положен в основу разработанного нами метода оценки структурной устойчивости колебаний.
Оценка структурной устойчивости должна быть текущей, то есть значение параметра оценки должно быть известно в любой момент времени. Из всех методов текущих оценок частотного состава колебаний нами выбрана оценка по методу элементарных волн, так как глубина анализа в определенный момент времени может доходить до предельной частоты Найквиста, а в области высокочастотных искажений наиболее достоверные оценки дает именно метод разложения сигнала на элементарные волны. Нами показано (Prygunov, Бе1оНре(&,ку, 1997), что разложение сигнала на элементарные волны с точки зрения анализа сигналов можно рассматривать как разновидность Фурье-анализа на коротких реализациях со скользящим окном, геометрия которого зависит от частоты анализа и может быть найдена из соотношения
gJ, Г) = Л■> 7 ехр[ -2J /м г2(Г-Ь)2 / 2 ], где t, Ь - номер текущего отсчета реализации и номер позиции окна, соответственно; т - интервал отсчета при занесении реализации, с; N - число полос анализа на октаву; j - параметр, определяемый частотой анализа/ Если N = 3, для параметра j имеем
Jo = Ы^2 (2//0)) - 3; jl = Jo + 3; ^ = Jo + 6; Jз = Jo + 8; ^ = Jo + 9, где /0 = 1 / t0 - разрешающая способность Фурье-анализа; t0 - время наблюдения сигнала. Таким образом, мы видим, что декомпозиция проведена по пяти элементарным волнам: субгармоника 1/2, основная гармоника и три ближайшие супергармоники. При этом принято, что изменение геометрии окна в пределах третьоктавной полосы незначительно, поэтому для всех частот в пределах третьоктавной полосы принимается одна геометрия окна, что существенно сокращает вычислительные затраты. Кроме того, при дальнейшем анализе расчеты спектра ведутся на коротких участках реализации в области максимума окна, мощность которых 2 определяется минимальной требуемой разрешающей способностью анализа, определяемой шириной третьоктавной полосы, соответствующей субгармонике 1/2 основного колебания, и может быть найдена из соотношения 2 > 1 / (0.115 / г). Это также приводит к снижению вычислительных затрат. В каждой из пяти третьоктавных полос рассчитываем средние квадратичные значения спектра, которые и принимаем за третьоктавный спектр сигнала по результатам разложения на элементарные волны. Исходя из полученных пяти спектральных значений, путем обратного преобразования Фурье получаем синтезированный сигнал, по четырем периодам основной частоты которого строим карту задержки с параметром задержки, равным четверти основного периода синтезированного сигнала. Площадь, охватываемая картой задержки за четыре периода, оказалась весьма чувствительной к соотношению частоты анализа и частоты сигнала (табл. 1). В таблице приведены формы карт задержки синтетического сигнала и соответствующие отношения охватываемой ими площади к площади круга, соответствующего чистой гармонике (в дальнейшем параметр формы р/) при разных значениях отношения частоты анализа к реальной частоте сигнала. Особенно высока чувствительность к влиянию высших гармоник, что и требуется, как отмечалось выше, для оценки формы фазовой траектории. Диапазон изменений параметра формы даже при незначительных изменениях частоты сигнала (±30 %) доходит до 40 дБ.
4. Результаты экспериментальных исследований на примере судовых ДВС
Одними из наиболее ярких примеров нестационарных быстропеременных процессов в машинах являются быстропеременные процессы в системах и узлах ДВС, что связано с особенностью цикла этого типа машин, заключающейся в относительно малой продолжительности вспышки в цилиндре и рабочего хода поршня по сравнению с общей продолжительностью цикла. В качестве примеров таких процессов рассмотрим вибрацию втулки, пульсации давления в охлаждающей воде рубашки охлаждения и продольный субгармонический нелинейный резонанс в зубчатом механизме привода топливных насосов высокого давления (далее механизм ПТНВД).
Таблица 1.
Карты задержки синтезированного сигнала в зависимости от отношения частоты анализа к частоте анализируемого сигнала и соответствующие значения параметра формы фазовой траектории
Па рис. 1 приведена виброграмма (виброускорение в долях g), в окрестностях верхней мертвой точки (ВМТ) рабочего хода поршня (момент вспышки), полученная на втулке судового дизеля 6ЧРН 52,5/72, в ходе его швартовных испытаний. Очевиден нестационарный характер процесса, проявляющийся в резком изменении амплитуд на участке реализации. Из виброграммы нетрудно видеть, что характеру уменьшения амплитуд вибрации на импульсах соответствует вариант асимптотической устойчивости по Ляпунову. Соответствующая оценка параметра формы для частоты собственных колебаний цилиндровой втулки (320 Гц) приводится ниже виброграммы. Из нее следует, что на некоторых временных интервалах наблюдается стабилизация параметра формы (показано стрелками). Исходя из анализа цикла дизеля, этим временным интервалам соответствует увеличение потока импульса, передаваемого от втулки к блоку вследствие повышения внутрицилиндрового давления (сжатие, вспышка) и динамических процессов взаимодействия поршня с цилиндровой втулкой (перекладка). При этом вспышка фактически не влияет на характер формы колебания, хотя и сопровождается резким увеличением амплитуды колебаний. Таким образом, мы имеем впечатляющий пример структурной устойчивости колебаний надутой цилиндровой втулки в широком диапазоне изменений управляющего параметра (интенсивности вынуждающего воздействия на втулку), не описанный ранее в литературе. По-видимому, именно с этим обстоятельством связана возможность использования при расчетах процессов в дизеле медленно изменяющихся усредненных параметров.
вмт
Рис. 1
Другим примером структурной устойчивости колебательного процесса в ДВС может быть процесс пульсации давления в водяной рубашке охлаждения того же дизеля. На рис. 2 приведена гидросонограмма в окрестностях верхней мертвой точки рабочего хода поршня, полученная с размещенного в рубашечном пространстве гидрофона. В работах (Папуша, Прыгунов, 1996; Рарш'Иа а( а1., 1997) обращалось внимание на резонансный характер этого процесса, отмечалась принципиальная возможность формирования диссипативной структуры нового типа в рубашке охлаждения, способствующей повышению эффективности переноса импульса от цилиндровой втулки к блоку в моменты резкого увеличения потока импульса (вспышка, рабочий ход). Исследования структурной устойчивости этих колебаний, ставшие возможными после разработки предложенного метода анализа, подтверждают такую точку зрения на процесс.
Как видно из рис. 2, параметр формы начинает нарастать еще до момента вспышки (указан стрелкой) на стадии сжатия и остается стабильным на большей части рабочего хода поршня. Отметим, что динамическое (ударное) воздействие со стороны поршня на втулку в области 80° не приводит к стабилизации процесса и не влияет на его общий спад, что свидетельствует о его достаточной инертности, которая характерна для диссипативных структур. Поэтому можно считать, что получено еще одно важное подтверждение возможной самоорганизации гидродинамических структур в рубашке
охлаждения дизеля под действием управляющего параметра - потока импульса от цилиндровой втулки к блоку.
и
0.
и(]и(]и(]и(]и 1 2 3 4 1 2 3 4
Рис. 3. Сверху вниз: виброграмма радиального ускорения цилиндровой втулки; эволюция параметра формы во времени для ускорения; фазы работы клапанов (впускного и выпускного); гидросонограмма пульсаций давления в рубашке охлаждения; эволюция параметра формы во времени для пульсаций давления; фазы клапанов; позиция поршня (и - верх, ё - низ); номер такта (1 - рабочий ход, 2,3 -насосный ход, 4 - сжатие)
На рис. 3 представлены результаты анализа формы сигнала для дизеля 6 ЧРН 52,5/72 за два последовательных цикла процесса, как для вибрации, так и для шума в воде рубашки охлаждения. Из рис. 3 следует, что характер изменений параметра формы во времени в целом соответствует границам основных фазовых периодов процесса: рабочий ход, работа впускных и выпускных клапанов, сжатие. При этом наибольшие значения параметра формы наблюдаются на насосных тактах рабочего процесса, что открывает возможность разработки принципиально новых методов косвенной индикации процессов низкого давления в цилиндрах. Очевидно, что возможность такой индикации открывает перспективы разработки новых методов диагностики качества процессов продувки цилиндров (образование нагара, прожигание клапанов и т.д.). Важно, что данная информация может быть получена по результатам анализа пульсаций давления в системе охлаждения, контроль которых может быть осуществлен с помощью надежных низкотемпературных датчиков - пьезоэлектрических гидрофонов. Кроме того, рис. 3 наиболее наглядно демонстрирует принципиальное отличие предлагаемого метода анализа от обычных спектрально-корреляционных оценок. Так впечатляющее увеличение параметра вблизи ВМТ насосного хода, связанное с моментом перекладки поршня (момент отсутствия бокового давления со стороны поршня на втулку) происходит в момент уменьшения амплитуды сигналов. Таким образом, для анализа существенна не амплитуда, а форма сигналов: несмотря на малую амплитуду, близким по форме к чистой гармонике сигналам (участкам сигнала) соответствуют большие значения параметра формы.
Еще одним примером использования метода может быть пример его применения к анализу резонансных режимов колебаний в зубчатых передачах механизма ПТНВД дизеля 6ЧРН 53,5/72. Данная задача имеет важное прикладное значение, так как чрезмерные вибрационные нагрузки на элементы механизма ПТНВД (цапфы, зубчатые колеса, подшипники) данного типа судовых дизелей часто являются причиной их преждевременного (аварийного) выхода из строя. Ранее установлено (Прыгунов, Папуша, 1990), что отличительной особенностью вибрационной нагрузки на узлы механизма ПТНВД является существенная анизотропия этой нагрузки по направлениям контроля вибрации. В частности, вибрационная нагрузка в продольном направлении (нос - корма) существенно превосходит вибрационную нагрузку в радиальных (вертикальном и поперечном) направлениях. Это объясняет недостаточную эффективность такой конструктивной меры упрочения механизма, как постановка дополнительной опоры к консольной цапфе промежуточной шестерни. Кроме того, оказалось, что наиболее опасная вибрация происходит на частоте, в два раза меньшей основной частоты вынуждающей силы, которой является зубцовая частота привода ^«200 Гц. Таким образом, опасную вибрацию предложено нормировать по уровню виброускорения в третьоктавной полосе 100 Гц, а сам процесс, с
учетом его характерных особенностей, предложено рассматривать, как нелинейный субгармонический резонанс.
Рис. 4а
Рис. 46
На рис. 4а и 46 приведены результаты анализа вибрационного процесса в механизме ПТНВД с использованием оценки параметра формы. На рис. 4а приведены результаты анализа вертикальной вибрации, на рис. 46 - результаты анализа продольной вибрации для частоты анализа 100 Гц. Как видно из рисунка 46, для продольной вибрации характерно наличие обширных зон структурной устойчивости колебаний, тогда как для вертикальной вибрации такие зоны выражены слабо. Кроме того, среднее значение параметра формы для продольной вибрации (« 0.06) больше значения параметра для вертикальной вибрации (« 0.03) примерно в два раза (на 6 дБ). Последний результат особенно важен, так как достаточно хорошо соответствует результатам абсолютной виброметрии. Разность уровней виброускорения в третьоктавной полосе 100 Гц для продольного и вертикального направлений в данном случае составляет 7 дБ. Таким образом, может быть полезно использование параметра формы в качестве приближенной сравнительной энергетической оценки.
Особое значение имеет высокая чувствительность параметра формы, проявившаяся на рис. 4а. Из рис. 4а видно, что параметр формы оказался чувствительным к проявлению колебания на частоте 100 Гц на временном интервале, сравнимом с единичным периодом анализируемого колебания (острый пик на рисунке). Это означает, что анализ по форме превосходит по своей чувствительности известные
энергетические методы время-частотного анализа. Поэтому особо рассмотрим применение метода к выявлению гармонического сигнала на фоне широкополосной (шумовой) помехи. 5. Анализ зашумленных и мерцающих сигналов
Эффективность применения метода к анализу зашумленных сигналов покажем на примере анализа сигнала виброускорения, полученного с кормового подшипника скольжения главного гребного электродвигателя (ГГЭД) левого борта атомного ледокола "Ямал" при наличии заедания кольца уплотнения подшипника. Как видно из рис. 5а, сигнал представляет из себя совокупность следующих друг за другом с частотой вращения гребного вала широкополосных пакетов от заедания кольца. Спектральный анализ (рис. 56) подтверждает широкополосный характер вибрации, близкий к белому шуму. В то же время анализ сигнала во время-частотной области показал наличие проявляющейся на сравнительно коротких интервалах времени дискретной составляющей на частоте 60 Гц. Следует отметить, что для данного ГГЭД проявление этой частоты имеет принципиальный характер, так как его питание осуществляется через статические преобразователи, переменное напряжение на которые поступает с главных турбогенераторов, вращающихся с частотой 3600 об/мин и генерирующих переменный ток с частотой 60 Гц. Таким образом, проявление частоты 60 Гц в сигнале вибрации ГГЭД может иметь как электромагнитную (качество питания), так и механическую (вынужденная вибрация корпуса) природу. Результат применения метода к анализу частотного состава одного из широкополосных пакетов приведен на рис. 6. Виброграмма показывает, что сигнал сильно зашумлен, и колебание с частотой 60 Гц в явном виде на участке виброграммы не наблюдается. Однако при расчете текущего фактора формы для частоты 60 Гц отчетливо наблюдается локальная область проявления этой частоты на второй половине пакета.
Рис. 6
Обращает на себя внимание тот факт, что длительность области проявления частоты не превышает двух соответствующих периодов. Такая чувствительность не достижима ни в одном из существующих энергетических методов анализа сигналов. Поэтому перед предлагаемым методом открываются широкие перспективы использования при анализе сильно зашумленных сигналов и гармонических пакетов короткой продолжительности (мерцающих сигналов).
5. Фрактальный анализ сигналов с использованием параметра формы
Одним из важнейших результатов современной теории динамических систем является представление о фрактальных структурах, под которыми понимаются структуры с повторением одной и той же структурной формы при разных масштабах (на разных уровнях) рассмотрения структуры. Оказалось, что большинство природных структур имеют в основе своего построения итерационные алгоритмы, а потому являются фрактальными структурами. В качестве простого, ставшего классическим примера такой структуры может рассматриваться структура береговой линии, которая имеет сходный внешний вид (форму) как в крупном (десятки, сотни километров на сантиметр), так и в мелком (десятки, сотни метров на сантиметр) масштабе карт. При этом неразрешимой становится проблема точного определения длины береговой линии, которая возрастает при уменьшении масштаба. В таком случае говорят, что береговая линия представляет собой фрактальную структуру, а ее размерность (фрактальная размерность) уже больше размерности прямой (у = 1), но меньше размерности плоскости (у= 2). Чем более извилиста береговая линия, тем больше ее фрактальная размерность. Другим примером фрактальной структуры является структура ветвления, характерная для крон кустарников и деревьев. Действительно, сходная с кроной дерева структура может быть получена путем последовательного раздвоения каждой из ветвей с одновременным кратным уменьшением их размера (масштаба). Замечено, что фрактальные структуры в акустике воспринимаются человеком как благозвучные. Это важно учитывать при формализации субъективных оценок операторов, поэтому интерес к фрактальным структурам и фрактальной размерности сигналов, как интегральному параметру их оценки (Ьуат^'Иву, 1996), вполне объясним.
Таблица 2.
Результаты фрактального анализа сигналов по параметру формы
Эволюция параметра формы для частоты вращения ротора [г
Эволюция параметра формы для частоты 2 .[г
Р,= 0.057
р(= 0.037
Эволюция параметра формы для частоты 3 /г
Р(= 0.053
Р<= 0.05
Эволюция параметра формы для частоты 4 /,.
р(= 0.05
Среднее значение параметра фрактальной размерности сигнала у (Ы)
1.775
1.343
Из сказанного выше следует, что фрактальность - это в первую очередь свойство сохранения формы при различном масштабе рассмотрения структур, поэтому традиционная фрактальная размерность, отражающая усложнение структуры при уменьшении масштаба и не несущая информации о структурной форме, не может в полной мере рассматриваться как объективная количественная мера фрактальности. Скорее, это мера нарастания сложности (извилистости, шероховатости) кривой или поверхности.
Более объективное отражение фрактальности (фрактальности формы) можно получить на основе оценок параметра формы. Для сигналов с явно выраженной основной частотой (например, собственная частота, частота вращения и т.д.) средняя фрактальная размерность на реализации может быть найдена из соотношения v(N) = 1+ (2 H) / N, где Hi = (Pf),- / (Pf )0 < 1; (Pf )0 - средний по реализации параметр формы для основной частоты; (Pf),- - средний по реализации параметр формы для /-той супергармоники; N - число используемых при анализе супергармоник (глубина анализа).
В табл. 2 приведены результаты фрактального анализа сигналов в соответствии с предложенным алгоритмом. В качестве анализируемых сигналов использовались сигналы виброскорости, полученные с подшипников скольжения главных генераторов атомного ледокола "Ямал" (левая виброграмма -генератор № 4, правая виброграмма - генератор № 1). Уже начальный просмотр показывает, что левая виброграмма имеет вид соответствующий суперпозиции гармоник. Вид правой виброграммы свидетельствует о значительных отклонениях формы сигнала от гармонической. При этом отмечаются даже короткие единичные импульсы типа ударов. Ниже виброграмм приведены кривые эволюции фактора формы и средние значения параметра на реализации для частоты вращения и четырех ее высших гармоник. Следует отметить, что при анализе используется до шестнадцати гармоник частоты вращения, так как при расчете фактора формы используется четыре гармоники частоты анализа. Таким образом, имеет место достаточно глубокий по частоте анализ формы сигнала.
Как видно из таблицы, фрактальная размерность левой виброграммы выше, чем у правой. Если изменения параметра формы левой виброграммы носят регулярный (почти периодический) характер, то изменения параметров формы правой виброграммы, особенно для третьей гармоники, носят нерегулярный (ударно-импульсный) характер, что свидетельствует о существенно большей нестационарности этого процесса. Нестационарность типа толчков отмечается уже на кривой параметра формы для частоты вращения. Результаты анализа достаточно хорошо согласуются с субъективной оценкой вибрации. Так, механики ледокола считают, что имеет место недостаточное качество центровки генератора № 1. Несомненно, что ударный характер вибрации может приводить к снижению ресурса подшипника и зубчатой муфты. Таким образом, фрактальный анализ сигналов на основе расчета параметра формы может быть важным методом их исследования, особенно в связи с решением задач формализации экспертных оценок.
Литература
Gabor D. Theory of communication. J. Inst. Elect. Eng, v.93, № 3, p.429-457, 1946.
Grossmann A. and Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant
shape. SIAM J. Math. Anal., v.15, p.723-736, 1984. Lyamshev L.M. On fractal acoustics. Proceedings the Fourth International Congress on Sound and Vibration,
St-Petersburg, Russia, June 24-27 1996, p.1651-1653, 1996. Papusha A.N., Prygunov A.I. and Karel'skaja T.K. A new kind of dissipative structures. Proceedings of the First International Conference "Control of Oscillations and Chaos", St-Petersburg, Russia, August 27-29 1997, p.340-341, 1997.
Prygunov A.I. and Belolipetsky A.V. The new method of an impulsive signal's analysis. Proceedings of the Second International Arctic Seminar, Physics and Mathematics (IAS'97), Murmansk, Russia, Juny 17-20 1997, p.101-102, 1997.
Prygunov A.I., Ledenev S.A. and Belolipetsky A.V. Delay maps as an efficiency tool for a machinery vibration analysis. Proceedings of the First International Conference "Control of Oscillations and Chaos", St-Petersburg, Russia, August 27-29 1997, p.340-341, 1997. Stashevsky WJ., Worden K. and Tomlinson G.R. Time-frequency analysis in gearbox fault detection using Wigner-Ville
Distribution and pattern recognition. Mech. Sys. and Signal Proc, v.11, № 5, p.673-692, 1997. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М., Мир, 366 е., 1991.
Папуша А.Н., Прыгунов А.И. Нелинейные акустические колебания в водяной рубашке охлаждения судового дизеля 6L525. Двигателестроение, № 1, с.51-54, 1996.
Прыгунов А.И., Папуша А.Н. Нелинейные резонансы механических систем как диагностические признаки. Сб. материалов 9-ой Межвузовской школы-семинара "Методы и средства технической диагностики". Ивано-Франковск, Облполиграфиздат, кн. 2, с.43-49, 1990.
