CC BY
13
УДК 517.718.7
А. А. Вороненко1
НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СТЕЦЕНКО
В настоящей работе излагается короткое доказательство теоремы В. А. Стеценко о слабоповторных булевых функциях, основанное на технике представления бесповторных функций в виде деревьев.
Ключевые слова: бесповторная функция, дерево, забивающая (незабивающая) константа.
Нам понадобятся некоторые базовые понятия. Булева функция f(x\,..., хп), представимая (не представимая) бесповторной формулой в некотором базисе, называется бесповторной (повторной) в этом базисе. Преобразованиями обобщенной однотипности называются замена переменной или самой функции на ее отрицание и перестановка переменных. Функции, получаемые друг из друга конечным числом преобразований обобщенной однотипности, называются обобщенно-однотипными.
Повторная функция в базисе В называется слабоповторной, если любая ее подфункция бесповторна в этом базисе. В. А. Стеценко [1] доказал следующее утверждение.
Теорема 1. С точностью до преобразований обобщенной однотипности существует всего пять семейств слабоповторных функций в элементарном базисе BQ = {&, V,^}:
/J = xi(x2 V13... xs) V x2x3 ...xs, ff = xix2 ...xs\/ xix2 ...xs, /4 = xi(x2 v ... V xs) V x2 ■ ■ -xs, /4 = xi(x2 V x3) V Ж3Ж4, /5 = xi(x3x4 V x5) V x2(x3 V Ж4Ж5).
Далее эти функции будем назвать функциями Стеценко. Константа а называется забивающей для переменной x,i функции f(xi,...,xn), если подстановка x,i = о делает фиктивной некую переменную подфункции /(ж 1, ... , Xi — 1, <Т, , • • • , Хп ), существенную для f(xi,...,xn). В противном случае константа называется незабивающей. Переменная x,i функции f(x\,..., хп) называется незабивающей, если обе константы являются для нее незабивающими. Теперь мы можем сформулировать теорему Б. А. Субботовской [2] в удобном для нас виде.
Теорема 2. Любая слабоповторная функция имеет незабива,юш,ую переменную.
При помощи элементарных преобразований формул легко доказывается следующее утверждение.
Теорема 3. Любая бесповторная функция представима в виде дерева с внутренними вершинами, помеченными конъюнкциями и дизъюнкциями чередующимся образом, листьями, взаимно однозначно помеченными переменными и их отрицаниями, и без промежуточных вершин.
Замечание. Мы считаем, что корень дерева расположен внизу.
Следствие. Остаточные функции одной бесповторной функции, существенно зависящие от одних и тех же переменных, равны.
Запретной четверкой назовем множество из четырех наборов, на котором реализуются остаточные функции Xi и Xi. Запретной шестеркой назовем множество из шести наборов, частичные нелинейные остаточные функции на тройках которого могут иметь лишь вид x^Szx^3 и V х°3 соответственно.
Из следствия вытекает
Теорема 4. Любая бесповторная функция не имеет ни запретных четверок, ни запретных шестерок.
Из теоремы Стеценко непосредственной проверкой всех слабоповторных функций получается, что отсутствие запретных четверок и запретных шестерок является критерием бесповторности. Мы вслед за работой [3] покажем, что наличие запретной четверки или шестерки означает наличие слабоповторной функции Стеценко.
1 Факультет ВМК МГУ, МФТИ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: dm6Qcs.msu.ru
О з,
О 2,
О з,
Пусть функция д является слабоповторной. Рассмотрим деревья ее подфункций, полученных константными подстановками на место незабивающей переменной т. Возможны два случая.
1. Одно из этих деревьев содержит лист Xi, а другое — лист щ.
2. Для двух литералов-листьев и и V одного дерева первая общая вершина на пути в корень помечена конъюнкцией, а другого — дизъюнкцией.
Нетрудно проверить, что если ни один из случаев не выполнен, то деревья совпадут. Дальнейшие рассуждения проводятся методом неподвижной точки: показывается, что если д не является функцией Стеценко, то из нее константной подстановкой можно получить функцию с запретной четверкой или шестеркой и меньшим количеством существенных переменных.
Итак, пусть имеет место первый случай (наличие переменной и отрицания). Заменой переменных на отрицания всегда можно добиться, чтобы отрицания встречались лишь в дереве функции до = д| 0- Обозначим переменные, встречающиеся при этом с отрицаниями, буквами х, а остальные — буквами у.
Лемма 1. Любая переменная уг в одном из двух деревьев смежна с вершиной, помеченной конъюнкцией, а в другом — дизъюнкцией.
Доказательство. В противном случае для переменной у^ найдется незабивающая константа, общая для обеих подфункций, а функция д не будет слабоповторной в силу повторности ее подфункции.
Рассмотрим произвольный литерал, соответствующий переменной х$ в одном из деревьев. Рассмотрим все внутренние вершины дерева на пути из соответствующей ему вершины в корень. Назовем множество всех смежных с ними вершин главной дорогой.
Лемма 2. Любая переменная в любом из двух деревьев принадлежит всем главным дорогам.
Доказательство. Подставим на место произвольной переменной г, лежащей вне главной дороги, определяемой литералом, соответствующим Хг, константу о, незабивающую в другом дереве. У получаемой подфункции переменная хц останется существенной. При этом подставленная константа в силу предыдущей леммы не будет забивающей для второй подфункции. Таким образом, функция д\х=а повторна, а д не слабоповторна.
Лемма 3. Никакие две переменные у^ и у:1 не могут быть смежны с одной внутренней вершиной в каком-либо из деревьев.
Доказательство. Предположим, что эти переменные в дереве О-компоненты смежны с конъюнкцией. Тогда в дереве 1-компоненты по лемме 1 каждая из них смежна с дизъюнкцией. Если некоторая переменная х^ не смежна ни с одной из вышеупомянутых вершин, то константная подстановка на место х^ оставляет переменные у^ и у^ существенными, а соответствующую подстановке подфункцию — имеющей запретную шестерку. Если переменная хсмежна с упомянутыми выше вершинами, то в силу противоположности забивающих констант для конъюнкции и дизъюнкции найдется подстановка хь = о, сохраняющая существенность у^ и у^ и соответствующую запретную шестерку.
Таким образом, деревья компонент функции д обязаны иметь форму зонтика. Перенумеруем в обоих поддеревьях переменные у от вершины зонтика к корню. При этом в деревьях не должно быть пары переменных типа у, идущих в одинаковом порядке, так как иначе по аналогии с леммой 3 можно получить запретную шестерку. Если же порядки противоположны и число переменных типа у не меньше трех, то запретную шестерку можно вновь получить по первой и третьей переменным у.
С учетом обобщенной однотипности мы можем положить функции в верхней вершине равными конъюнкции, а количество внутренних вершин дерева О-компоненты не меньшим, чем 1-компоненты. При этом получается семь вариантов (по три для двух и одной переменной типа у и один для нуля). Три варианта противоречат лемме 1. Оставшиеся четыре:
д 1 = Ш(у2(у1 V Щк ... кх^)) V У}(у1(у2 V ххк ... кхп)),
92 = ^(уг V угкЩк ... кх„) V ги(уг V у2кхгк ... кхп),
93 = ЩУ1 V Щк ... кхп) V ткухкххк ... кхп,
5>4 = Ийкхгк ... кхп V ткххк ... кхп.
Функция (¡>4 обобщенно-однотипна функции семейства /™+1, функция д3 — семейства /¿+2, а функция д 1 — семейства При п = 1 функция д2 обобщенно-однотипна функции а при п ^ 2 подфункция |х1=1 имеет запретную четверку по переменной ад.
Таким образом, рассмотрение первого случая полностью завершено, и мы переходим ко второму в предположении отсутствия запретных четверок у функции д. В случае отсутствия отрицаний у нас
имеется запретная шестерка по некоторой паре переменных у^ и у^. Поскольку функция д поляризуема, мы можем преобразованиями обобщенной однотипности сделать ее монотонной. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 4. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. В любом из деревьев компонент любая внутренняя вершина лежит либо на пути из корня в вершину у^, либо на пути из корня в вершину уу
Доказательство. Если некая внутренняя вершина и не лежит ни на одном из этих путей, то в поддереве с корнем и есть некая переменная г. Тогда незабивающая для дерева другой компоненты подстановка г = а сохраняет запретную шестерку по переменным у^ и у^.
Лемма 5. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. Пусть вершина и, отличная от у^ и у.], смежна с корнем в одном из деревьев. Тогда найдется вершина V (необязательно отличная от уг и у.]), такая, что имеется запретная шестерка по переменным и и V.
Доказательство. В самом деле, пусть корень, с которым смежна и, помечен конъюнкцией. Тогда если и связана с конъюнкцией и в другом дереве, то подстановка и = 1 сохраняет запретную шестерку по переменным у^ и у^. Иначе имеется запретная шестерка по переменной и и произвольной переменной V, лежащей в поддереве с корнем — дизъюнкцией, смежной с и.
Назовем дерево прямым, если не более одного сына каждой внутренней вершины является внутренней вершиной. Из лемм 4 и 5 следует
Лемма 6. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. Либо оба дерева компонент прямые, либо корни обоих деревьев имеют степень два и оба их поддерева — прямые.
Лемма 7. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. Если корни обоих деревьев связаны с внутренними вершинами и имеют степень два, то функция д обобщенно-однотипна с /5.
Доказательство. Рассмотрим дерево с корнем, помеченным конъюнкцией. В одном из поддеревьев помимо переменной у^ будет находиться переменная и, смежная с вершиной, смежной с корнем и помеченной дизъюнкцией, а в другом помимо переменной у^ — переменная V, смежная с вершиной, также смежной с корнем и помеченной дизъюнкцией.
Во втором дереве корень помечен дизъюнкцией, вершины и и V смежны с вершинами, помеченными конъюнкцией, и находятся (во избежание наличия константной подстановки на место у^ {у:1), сохраняющей запретную шестерку по переменным ии^ (си^)) в одном поддереве с у^ и у^ соответственно. При этом имеется запретная шестерка по переменным и и V, которая сохраняется подстановкой константы на место одной из переменных у^ или у^ при наличии в деревьях еще хотя бы одной (четвертой) внутренней вершины.
Легко убедиться, что при отсутствии шестой переменной (кроме и, V, у^, у:1 и го) мы имеем функцию, обобщенно-однотипную с /5. При наличии еще хотя бы одной (четвертой) внутренней вершины существует константная подстановка на место переменной у^ или у^, сохраняющая запретную шестерку по переменным и и V. Пусть внутренних вершин три и шестая переменная I и переменные и и у^ смежны в первом дереве с одной вершиной. Тогда если переменная £ во втором дереве смежна с общей вершиной с переменными V и у^, то подстановка Уг = 0 сохраняет запретную шестерку по переменным ¿и у,], а если с переменными и и го подстановка V = 0 — по и и 1
Если корни в обоих деревьях являются единственными внутренними вершинами, то функция д обобщенно-однотипна соответствующей функции семейства /то. Пусть хотя бы в одном дереве имеются две (или более) внутренние вершины. Тогда по леммам 4 и 5 имеется запретная шестерка по переменным у г и у,], причем в одном дереве у^ смежна с корнем, а у:1 — с верхней вершиной, а в другом наоборот.
Лемма 8. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. Пусть оба дерева ее компонент — прямые. Тогда если внутренняя вершина не является верхней, то с ней смежна ровно одна переменная.
Доказательство. В силу лемм 4 и 5 для любой переменной из пары переменных и, V, смежных с одной вершиной, будет иметься запретная шестерка по паре переменных, ее не содержащая. Поэтому переменные и и V во втором дереве связаны с внутренней вершиной, помеченной другим символом. Тогда имеется запретная шестерка по переменым и, V, которая сохраняется при незабивающей для второго дерева подстановке на место переменной, связанной с верхней вершиной в первом дереве.
Лемма 9. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. Пусть оба дерева ее компонент — прямые. Тогда ни одно из деревьев компонент не может иметь более трех внутренних вершин.
Доказательство. От противного. Пусть 0-компонента имеет вид
У1НУ2 V Уз&(У4 V 1г(у5,..., уп))).
Тогда в дереве 1-компоненты переменная у\ связана с верхней вершиной, а переменная у3 — с дизъюнкцией. Поэтому незабивающая для 1-компоненты подстановка константы на место переменной у5 сохраняет запретную шестерку по переменным у\ и у3.
Теорема 1 теперь будет вытекать из следующего утверждения.
Лемма 10. Пусть функция д слабоповторна и монотонна. Пусть оба дерева ее компонент — прямые и число внутренних вершин каждого из них не превосходит трех. Пусть с внутренними вершинами, отличными от верхней, смежна ровно одна переменная. Тогда д принадлежит семейству функций Стеценко.
Доказательство. Если разность числа внутренних вершин деревьев компонент равна единице, то верхние вершины этих деревьев помечены одним символом и существует подстановка, сохраняющая запретную шестерку. Сохраняющая запретную шестерку подстановка также легко находится при соотношении внутренних вершин 3:1. Рассмотрим два оставшихся случая:
922 = У1НУ2 V ... V уп) V -ш(у2 V У1&УЗ& • • • &Уп), п > 3, 5зз = У1НУ2 V • • • V ад(у3 V у2к{уг V у4 V ... V уп)), п ^ 4. При п = 3 функция д22 обобщенно-однотипна функции /4. При п ^ 4
922\Уп=о = У\НУ2 V ... V уп-1) V и;ку2.
Последняя подфункция имеет запретную шестерку по переменным у\, у2- Функция при п = 4 обобщенно-однотипна функции /5. При п ^ 5
дзз||,п=о = У1&У2 V и){у3 V у2к{уг V у4 V ... V уп-1).
Подстановка у\ = 0, уз = 0, у4 = 1 делает последнюю подфункцию равной тку2, а подстановка ?/1 = 1, уз = 1 — равной т V у2. Таким образом, у подфункции дзз\Уп=а имеется запретная шестерка по переменным ад, у2.
Доказательство леммы 10 полностью исчерпывает рассмотрение всех вариантов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стеценко В. А. О предплохих базисах в Р? // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Физ-матлит, 1992. С. 139-177.
2. СубботовскаяБ.А. О сравнении базисов при реализации функций алгебры логики формулами // ДАН СССР. 1963. 149. № 4. С. 784-787.
3. Вороненко А. А., Фёдорова В. С., Чистиков Д. В. Повторность булевых функций в элементарном базисе // Известия вузов. Математика. 2011. № 11. С. 72-77.
Поступила в редакцию 03.12.13
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2014. № 2
NEW PROOF OF STETSENCO THEOREM Voronenko A. A.
In this paper we present a short proof of Stecenco theorem about weak read-many functions. The proof is based on presenting read-once functions by trees.
Keywords: read-once function, tree, blocking (non-blocking) constant.
