CC BY
83
ной компетентности, являющейся основой для успешного профессионального самоопределения личности.
Таким образом, довузовская подготовка школьников, включающая знания о современном рынке труда, способствует успешной подготовке высококвалифицированных специалистов, обладающих высокой профессиональной компетентностью и конкурентоспособностью, способных быстро приспосабливаться к новым социально-экономическим условиям.
УДК 37.03
С. А. Владимирцева
НОВАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ТЕОРИИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЕ
Научные понятия, к которым относятся математические понятия, интересны, прежде всего, как структуры, соотносимые с системами знаний и познавательными процессами в деятельности интеллекта человека. Без знаний об «устройстве» понятий, законах их функционирования в мышлении невозможно дальнейшее совершенствование процесса изучения понятий в школе. Изложение теоретических основ формирования математических понятий в настоящее время основывается на тех концепциях о природе, структуре и развитии научных понятий, которые разработаны в таких научных областях как логика, теория познания, психология.
Для того, чтобы правильно организовать изучение математических понятий в школе, учитель должен владеть теоретическими основами данного процесса, в частности он должен иметь представление о структуре формируемого понятия, учитывать его роль в изучаемой теме, знать особенности формирования конкретных понятий, располагать ориентировочной основой своей деятельности в процессе их изучения.
Анализ различных подходов (трактовок, точек зрения) к выяснению сущности категории понятия, характеристике его структурных элементов в различных научных областях показал, что только в логике существует около тридцати попыток определить понятие. Так как методика обучения математике более века использует в качестве методологической основы логическую трактовку понятия, то мы попытались классифицировать различные точки зрения по вопросу сущности и структуры понятия в логике. При этом в качестве основания классификации нами был выбран ответ на вопрос: что, по мнению авторов той или иной точки зрения на категорию понятия, отражается в понятии? Проведённый анализ известных трактовок позволил вы-
делить две модели научного понятия, отражающие его сущность. Одну из них мы назвали объектной, а вторую - логико-информативной моделью.
В рамки объектной модели укладываются такие точки зрения, в которых понятие трактуется как форма мышления, мысль, в которой отражаются существенные «признаки» (правильнее сказать — «существенные черты, характеристические свойства) объектов, обобщаемых в понятии. С объектной точки зрения термин «понятие» применяется для обозначения мысленного класса объектов реальной действительности и нашего сознания; каждое понятие объединяет в себе класс объектов - объём данного понятия, и характеристические свойства, присущие всем объектам данного класса и только им. Они, как правило, указываются в определении понятия. В табл. 1 кратко представлены основные характеристики объектной трактовки категории понятия.
Таблица 1
Основные характеристики объектной трактовки категории понятия
Сущность понятия Понятие отражает существенные четы объектов, обобщаемых в понятии
Содержание понятия Совокупность «существенных черт» объектов из объема понятия
Объём понятия Совокупность объектов, обобщаемых в понятии.
Образование понятия В результате сравнения, абстрагирования, обобщения существенных свойств объектов из объёма понятия
К логико-информативной модели мы отнесли такие трактовки, в которых понятие рассматривается как результат изучения некоторого идеализированного объекта. При этом понятие связывается не с отдельными чертами данного объекта, а представляется «носителем» всей информации о нём, которая доступна человеку в каждый исторический момент времени. Логико-информативная трактовка категории понятия характеризуется следующими положениями:
• термин «понятие»применяется для обозначения логически упорядоченной системы взаимосвязанных суждений, которая является результатом изучения некоторого идеализированного объекта, причём этот объект не тождествен понятию;
• содержание понятия составляет вся информация, которая известна о нём на данный момент;
• содержание понятия объективно;
• содержание понятия потенциально бесконечно;
* объём понятия состоит из понятий;
• образование понятия протекает в процессе изучения идеализированного объекта: открываются всё новые факты, на базе которых складывается определённая информация об изучаемом объекте, строится теория понятия, под влиянием которой в сознании человека образуется психическая структура, осуществляющая функции понятия в мыслительной деятельности.
Основные характеристики логико-информативной трактовки понятия кратко представлены в табл. 2.
Таблица 2
Основные характеристики логико-информативной трактовки понятия
Сущность понятия Носитель всей системы суждений о некотором математическом объекте
Содержание понятия Вся информация, которая известна о понятии в данный исторический момент времени
Объём понятия Совокупность понятий, которые уже данного понятия
Образование понятия В результате изучения соответствующего объекта, логического упорядочения и систематизации полученной информации, и усвоения способов деятельности с нею.
Логико-информативная трактовка понятия в логике в явном виде не выделена, но в работах отдельных авторов можно наблюдать идеи о сущности и структуре понятия, высказанные выше. Вряд ли рассмотренную классификацию моделей понятия можно считать полной и строгой, но как всякая классификация, она даёт некоторые представления о двух различных подходах к пониманию «устройства» понятий.
Выяснение вопроса о сущности и структуре математического понятия привело автора данной статьи к построению логической модели математического понятия, которая описана в статье [1]. Интерпретация данной модели позволила сделать вывод о том, что по своей структуре математическое понятие не соответствует объектным представлениям о категории понятия. Математическое понятие является носителем системы взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений о соответствующем математическом объекте. Например, в эту систему о треугольнике с равными сторонами входят следующие суждения: в треугольнике имеются равные углы; в треугольнике имеются равные стороны; одна из медиан треугольника является
его биссектрисой и высотой; треугольник имеет ось симметрии; центры окружностей, вписанной и описанной около треугольника, расположены на одной из медиан треугольника; биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна его стороне и др. Здесь перечислены только те суждения, которые известны учащимся 9-летней школы. Логическое упорядочение данной системы начинается с выбора определения рассматриваемого объекта и приводит к построению теории понятия.
Математическое понятие по своей сущности и структуре соответствует логико-информативной модели.
Объектная трактовка категории понятия не раз подвергалась критике со стороны психологов. Л. С. Выготский ещё в двадцатых годах прошлого века отмечал, что логическая теория понятия неверно отражает его сущность. По мнению учёного « ...структура понятий ... раскрывается в системе суждений, в комплексе актов мышления, представляющих собой единое целое образование, обладающее собственными закономерностями» [2, с. 77]. Л. С. Выготский считал, что представления о логическом понятии как одновременной совокупности «признаков» сводит понятие к общему представлению. А представление о процессе образования понятия как «простой потере предметом ряда признаков» приводит психологические исследования к поиску эквивалента этой абстракции в сфере интеллектуальных операций. И этим эквивалентом является учение об общих представлениях, а не о понятии [там же, с. 74—75].
Представители теории познания В. С. Швырёв, В. А. Лекторский и др. отмечали, что по «объектному» типу (на основе рассмотрения объектов реальной действительности) образуются, например, естественнонаучные понятия. Образование математических понятий, как понятий теоретических, не имеющих аналогов в реальной действительности, происходит на основе исследования некоторого идеализированного объекта. В процессе его изучения возникает совокупность суждений, которая с течением времени систематизируется и логически упорядочивается. Так, например, треугольник, у которого имеется две равные стороны, служит основой образования понятия «равнобедренный треугольник».
Из объектной трактовки понятия следует, что содержание понятия состоит из конечного множества существенных черт объектов, которые составляют определяющий признак, т. е. содержание понятия зависит от его определения и носит субъективный характер. Данное противоречие было отмечено логиком И. Я. Чупахиным. По мнению учёного, которое мы полностью поддерживаем, следование объектным представлениям о содержании понятия приводит к тому, что, например, понятие «равнобедренный треугольник», имеет два отличных друг от друга содержания: 1) иметь равные стороны; 2) иметь равные углы [8], что противоречит статусу содержания, как основной характеристики понятия.
Таким образом, объектные представления о сущности и структуре понятия в традиционной логике приводят к ряду противоречий с имеющимися научными данными о категории понятия в таких научных областях, как психология и теория познания.
Развитие научных теорий происходит в рамках определённой парадигмы, то есть «методологического каркаса», задающего определённый тип предметного их содержания. Анализ научной и учебной литературы, по методике обучения математике показал, что методическая концепция формирования математических понятий в школе многие десятилетия функционирует в рамках объектной парадигмы.
Кроме указанных выше методологических противоречий, объектные представления о сущности понятия приводят к ряду проблем в организации процесса изучения математических понятий в школе.
Под влиянием объектной парадигмы процесс формирования математических понятий сводится к анализу объектов из объёма нового понятия с целью выявления их существенных свойств, которые и составляют содержание понятия. В конечном счёте, образование понятия с точки зрения объектной парадигмы связывается с усвоением определения понятия, которое помогает распознать новый объект, отличить его от других. Таким образом, происходит отождествление математического объекта и соответствующего понятия. Всё это приводит к тому, что при таком подходе к изучению понятия в стороне остаются важнейшие компоненты понятия, которые помогают применять его в учебно-познавательной деятельности, на основе которых осуществляется мышление в понятиях. Деятельность, способствующая применению понятия в проведении рассуждений, в процессе решения задач, не ограничивается лишь применением одного определения. Для успешного применения понятия требуется знание всей информации о понятии, а также знание основных способов деятельности с данным понятием. Большинство учёных-психологов склонно считать, что роль определения в формировании понятия не главная. Уровень развития понятия в сознании ребёнка тем выше, чем богаче система суждений, которые он может высказать о нём. Значительную роль в усвоении понятия играет наглядный образ и умение устанавливать логические связи как между суждениями, высказанными о понятии, так и между суждениями и понятием. Известный психолог М. А. Холодная, исследования которой посвящены изучению психологического эквивалента понятия, пишет: «Понятие по своему психологическому смыслу не может быть сведено к процедуре фиксации немногого числа лишь общих признаков (и тем более одного общего признака) объекта. Знание на понятийном уровне — это всегда знание свойств, качеств объекта, закономерностей его существования, отношений и связей с другими объектами» [7, с. 28].
Вслед за традиционной логикой определение в методике обучения математике рассматривается как некая «операция» — действие, которому нужно
обучать. Исходя из такого понимания определения, много усилий в практике обучения предпринимается для того, чтобы подвести детей к открытию определения понятия. В качестве примера приведём одну из схем формирования математического понятия, приведённую в учебном пособии для педвузов [4]:
- «Выбирается (учителем) некоторое множество объектов, обладающих некими общими свойствами;
- учащиеся с помощью наблюдения, сравнения, обобщения выделяют признаки, присущие всем объектам данного множества;
- далее под руководством учителя они «открывают» определение этого понятия;
- затем проводится работа по усвоению определения.
На этом процесс формирования понятия считается законченным, его объём и содержание - раскрытыми» [4, с. 174—175].
Но определения математических понятий играют двоякую роль: с одной стороны они помогают распознать новый объект среди других, с другой -определения служат начальным звеном в построении теории данного понятия. Определения не открываются. Они вводятся в науку теми учёными, которые изучают соответствующий математический объект.
Приведённые в данной статье факты лишь небольшая частица тех противоречий и проблем, причиной которых служат объектные представления о категории понятия. Анализируя методы конструирования понятий в логике, Г. И. Саранцев, один из видных учёных-методистов, пишет о том, что формирование математических понятий в школе не вписывается ни в одну из описанных логических концепций образования понятия. «Такое положение можно объяснить тем, что логические концепции сами по себе не исчерпывают всех составляющих процесса формирования понятия. Они не могут объяснить учителю, каковы этапы формирования понятия, какие умственные действия адекватны каждому этапу» [6, с. 97]. Точка зрения учёного служит лучшим подтверждением несостоятельности объектной парадигмы в плане обоснования явлений, которые наблюдаются в практике формирования понятий в школе.
Из вышесказанного следует, что теория формирования математических понятий в школе как составная часть методики обучения математике нуждается в серьёзной перестройке, начиная с замены устаревшей парадигмы.
Математик и логик А. В, Гладкий справедливо заметил, что ошибки в процессе познания неизбежны, и моменты обнаружения и исправления ошибок являются в этом процессе ключевыми. «Не будет слишком большим преувеличением сказать, что всё наше знание возникает, в конечном счете, из ошибок и их исправления» [3, с. 160].
В теории познания используются термины «функционирование» и «развитие» науки. Одной из побуждающих сил функционирования науки является анализ противоречий, проблем и различных затруднений, возникающих
в научном мышлении и деятельности. Развитие науки побуждается логикой научного познания - его требованиями, идеалами, ценностями. Кроме того, на развитие науки оказывают значительное влияние проблемы функционирования науки, а именно накопление большого числа противоречий, неувязок, рассогласований, невозможность их разрешить [5, с. 24]. Развитие теории предполагает переход от старой теории к новой, более полно и адекватно отображающей некоторую область изучаемых объектов, выделяющей более глубокую их сущность.
Как показали наши исследования, использование логико-информативной трактовки понятия в качестве методологической основы процесса формирования математических понятий в школе позволяет построить теорию, свободную от тех противоречий и проблем, которые вызваны объектной трактовкой понятия.
В структуру научной теории входят три слоя: методологический, теоретический и эмпирический. В данной статье мы предлагаем те методологические положения, на основе которых выстраивается методическая концепция формирования математических понятий. Методологический слой теории содержит, прежде всего, положения, которые формируются под влиянием внешней среды. Они не входят непосредственно в состав теории, но не могут не учитываться при её построении. К таким положениям относятся современная образовательная концепция, дидактические принципы обучения, принципы отбора содержания обучения и др. Методологические знания, касающиеся непосредственно структуры, законов функционирования основных объектов теории сами становятся компонентами данной теории. Такие методологические знания составляют научную парадигму. Научная парадигма задаёт «методологические координаты» развития объектов, изучаемых данной наукой или теорией.
Научную парадигму теории формирования математических понятий, основой которой служит логико-информативная модель математического понятия, мы назвали логико-информативной парадигмой. Она определяется тремя группами положений, которые определяют закономерности образования и функционирования математического объекта и понятия.
Первую группу составляют положения, описывающие логическую структуру понятия, способы его образования с точки зрения логико-информативной модели понятия.
- Понятие - это сложная, логически упорядоченная система знаний о некотором идеализированном объекте, представленная в сознании учащихся в свёрнутом виде. Понятие - это и слово, и знак, и смысл, и деятельность, связанная с его применением.
- Образование понятия происходит в процессе изучения некоторого идеализированного объекта. Математический объект и понятие не отождествляются.
- Понятие представляет для учащихся некоторую объективную реальность, которая находится вне познающего субъекта.
- Понятие как объективная реальность есть некоторая информация, представленная либо в виде теории, либо в виде системы фактов (суждений), например, в учебных пособиях.
- Содержание понятия не отождествляется с теорией понятия. Теория понятия это одна из возможных форм упорядочения информации, полученной в процессе изучения математического объекта.
- Особое значение для преобразования отдельных изученных фактов в собственно научное понятие, которое само может служить средством обобщения, является отношение логического следования, которое помогает установить как отношения между понятиями, так и отношения между понятиями и суждениями.
Во вторую группу входят положения о сущности, образовании понятия, его роли в развитии интеллекта, разработанные в психологии.
- Понятие как психическая структура представляет собою сложное интегративное образование, в котором важную роль играют чувственно-сенсорный, словесно-речевой, операционально-логический компоненты; понятие - сложная система взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений, которая функционирует в мышлении в свёрнутом виде.
-- В образовании научного понятия можно выделить три основных уровня: спонтанное понятие (образ-представление), предпонятие (общее представление), собственно научное понятие. Образование понятий - длительный процесс, он может протекать всю жизнь.
- Образование научного понятия у детей протекает в ходе активной познавательной деятельности под руководством учителя.
- Деятельность учащихся, способствующая образованию понятий, должна включать среди прочих следующие компоненты: кодировка информации, связанной с изучением понятия (образное, словесно-речевое, символьное представление информации); усвоение содержания понятия на том уровне, который задан программой учебною предмета; применение понятия в конкретных ситуациях.
- 1Мышление человека развивается, его интеллектуальные способности совершенствуются. Мышление производно от культуры, не существует вне общества, вне языка, вне накопленных человечеством знаний и выработанных им способов мыслительной деятельности. Отдельный человек становится субъектом мышления, лишь овладев языком, понятиями, логикой.
- Образование научных понятий обогащает ментальный опыт учащихся, способствует развитию их интеллекта. (Ментальный опыт - это система индивидуальных интеллектуальных ресурсов, обусловливающая особенности познавательного отношения субъекта к миру и характер воспроизведения действительности в индивидуальном сознании (М. А. Холодная)).
Третью группу представляют положения, в которых отражены особенности структуры математических понятий.
- Содержание математического понятия потенциально бесконечно. Оно может быть усвоено только на некотором определённом уровне.
- Математические понятия образуются в ходе изучения соответствующих математических объектов.
- Математическое понятие формируется в процессе усвоения учащимися соответствующих фактов (информации) об изучаемом объекте, которые представлены в школьной математике в аксиомах, определениях, теоремах, в содержании задач. Образованию математического понятия способствует усвоение способов деятельности с ним,
- Структура математического понятия не может быть полностью раскрыта без выяснения значения терминов «логическое следование», «признак понятия», «свойство понятия».
- Роль и функции понятий в построении теоретического знания в школьной математике различны. Для функционирования одного понятия достаточен уровень образа-представления, другие же понятия вводятся посредством их определения, но дальнейшего развития не получают, третьи формируются на протяжении всех лет обучения математике, но теория понятия не имеет логического завершения (например, понятие числа), четвёртые представлены как относительно законченные математические теории (например, теории некоторых геометрических фигур).
- В силу той роли, которую играет математический объект в образовании математического понятия, особое значение в формировании математического понятия приобретает этап введения математического объекта.
- Математическое понятие не имеет прообраза в реальной действительности, потому создание его правильного «наглядного» образа - одна из важнейших задач формирования понятия.
- Определение математического понятия понимается не как логическая операция, а как некоторое математическое предложение определённой структуры, в котором вводится термин для обозначения нового понятия (и только его) и раскрывается значение данного термина;
- Определения в математике играют двоякую роль: 1) они помогают распознать объект, отличить его от другого; 2) они служат начальным звеном в построении теории соответствующего понятия.
Ядро теории формирования математических понятий в школе составляет методическая концепция. Согласие этой концет^ии формирование математических понятий рассматривается как процесс совместной деятельности учителя и учащихся, направленный на усвоение содержание понятия и способов деятельности с ним.
Основным этапом формирования понятия в ряду других является этап изучения содержания понятия, именно содержания, а не только теории понятия. Организация процесса изучения математических понятий в рамках
логико—информативной методологии позволяет формировать правильные представления учащихся о методе научного познания, создаёт базу для развития понятийного мышления и интеллекта в целом. Использование идей логико-информативной теории в обучении не требует дополнительного времени на изучение понятий. Более того, использование исследовательского подхода к изучению понятий может даже сократить время, отведённое на их изучение, способствует организации дифференцированного изучения математики. Однако, многие вопросы, связанные с переходом к новой парадигме формирования математических понятий, требуют дальнейшей разработки. Например, требуют теоретического обоснования вопросы, связанные с поисками эффективных форм деятельности учителя и учащихся, направленной на усвоение понятий; вопросы понимания изучаемой информации. Возможно, подлежит пересмотру содержание отдельных тем в школьных учебниках, так как учащиеся должны усваивать не теории понятий, а их содержание. Для этого требуется не только детальные методические рекомендаций, которые учитель может использовать в процессе изучения конкретных понятий, но и включение теории и практики формирования математических понятий на логико-информативной основе в содержание профессиональной подготовки будущего учителя математики. Одной из главных причин того, что значительное число школьных нововведений «не приживается» в школе, является неподготовленность к ним школьного учителя. Прежде чем что-то новое внедрять в процесс обучения, необходимо организовать соответствующее обучение учителей, включающее и их психологическую подготовку к принятию реформ. Это касается и логико-информативной теории формирования математических понятий.
Библиографический список
1. Владимирцева, С. А. Логико-информативная модель математического понятия как методологическая основа его формирования в школе / Наука и школа, № 6, 2007.
2. Выготский, JI. С. Детская психология // Собр. Соч. —т. 4.
3. Гладкий, А. В, Введение в современную логику: (Учеб. пособие). - М.; МЦНМО, 2001.
4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В, А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г, Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. - М.: Просвещение, 1980.
5. Розин, В. М. Типы и дискурсы научного мышления. - 2-е изд. - М.: Эудито-риал УРСС, 2004.
6. Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математике. - Саранск: Красный Октябрь, 2001.
7. Холодная, М. А, Психология интеллекта. Парадоксы исследования. Второе дополненное и переработанное издание. — СПб. «Питер», 2002.
8. Чупахин, И. Я. Методологические проблемы теории понятия. — Л,: Изд-во ЛГУ, 1973.
