CC BY
80
Том X Ь
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2009
№ 5
УДК 629.735.33.015.3.024
НОСОВЫЕ ЧАСТИ МИНИМАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПЕРЕДНИМ ТОРЦОМ И СТЕПЕННОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ
Д. С. ИВАНЮШКИН, С. А. ТАКОВИЦКИЙ
Рассмотрена задача поиска осесимметричных носовых частей минимального волнового сопротивления. Оптимизация проводилась в классе тел с передним торцом и степенной образующей. Параметрами оптимизации служили радиус торца и показатель степени. За исходные были приняты носовые части, найденные при аналитическом решении данной задачи. Оптимизация осуществлялась методом циклического покоординатного спуска. Носовые части минимального волнового сопротивления получены для удлинений X = 1 ^ 8 при числе Маха М = 2, а также в диапазоне М = 1.5 ^ 4 при фиксированном удлинении X = 2. Найденные носовые части сопоставлены с известными оптимальными телами по значениям волнового сопротивления и геометрическим параметрам.
Ключевые слова: носовые части, волновое сопротивление, оптимизация, степенная образующая.
Поиск аэродинамических форм, имеющих минимальное волновое сопротивление, является классической задачей аэродинамики. Одним из важнейших элементов летательного аппарата является носовая часть фюзеляжа. Известно, что в диапазоне сверхзвуковых скоростей полета данный элемент вносит значительный вклад в суммарное волновое сопротивление. Особый интерес представляют осесимметричные носовые части.
Первые результаты по поиску осесимметричных носовых частей минимального волнового сопротивления были получены в рамках упрощенных моделей течения. На основе линейной теории тонкого тела определено оживало Кармана. К особенностям данного тела можно отнести затупленный носок и равенство нулю производной образующей у основания. Исследования с использованием более точных моделей (система уравнения Эйлера) показали, что форма данного тела далека от оптимальной. В значительной мере это обусловлено образованием сильных возмущений при обтекании носка, что нарушает основные допущения линейной теории.
Другой упрощенной моделью, использованной при решении данной задачи, является модель Ньютона, основанная на допущении, что коэффициент давления зависит от угла между вектором набегающего потока и нормалью к элементу поверхности. В рамках модели Ньютона были установлены важные особенности оптимальных носовых частей, которые нашли подтверждение в дальнейших исследованиях. Установлено, что при заданных габаритах носовые части минимального волнового сопротивления имеют передний торец. С ростом удлинения тела диаметр торца по отношению к диаметру основания бесконечно уменьшается. Предельным решением задачи являются степенные тела с показателем степени, равным 3/4.
В настоящее время разработаны методы оптимизации, которые позволяют определять оптимальные формы носовых частей в рамках модели Эйлера [1, 2]. В частности, получено аналитическое решение, представляющее тела, значительно превосходящие ньютоновские носовые части. Показано, что близкие к минимальным значения волнового сопротивления достигаются в классе тел, имеющих передний торец и степенную образующую с показателем степени, равным 2/3.
Представленная работа продолжает поиск близких к оптимальным аэродинамических форм, заданных в аналитическом виде. Представлены результаты численной оптимизации затупленных
степенных тел по двум параметрам: диаметру торца и показателю степени. Получены носовые части для удлинений X = 1 8 при числе М = 2, а также в диапазоне М = 1.5 4 при фиксирован-
ном удлинении X = 2. Проведено сопоставление найденных носовых частей с оптимальными носовыми частями, полученными в точной постановке задачи, и носовыми частями со степенной образующей.
Постановка задачи. Целевой функцией являлся коэффициент волнового сопротивления сх(г', n) = min. Параметрами оптимизации служили показатель степени n и относительный размер торца r' = гт/R . Образующая тела была представлена степенной зависимостью:
где Ь — длина тела; Я — радиус основания; гт — радиус торца; п — показатель степени. Удлинение тела фиксировалось и рассчитывалось по формуле:
Характерным размером при расчете сопротивления являлась площадь основания. В качестве начальной формы были приняты носовые части, полученные в аналитическом решении [2].
Метод оптимизации. Оптимизация проводилась методом циклического покоординатного спуска. Этот метод заключается в последовательной минимизации целевой функции /(х) сначала по направлению первого базисного вектора, затем второго и т. д. После окончания минимизации по направлению последнего базисного вектора цикл повторяется.
Минимизация по каждому параметру осуществлялась методом парабол [3]. На каждой итерации этого метода строится квадратичный трехчлен д(х), график которого (парабола) проходит через три выбранные точки Х1, Х2, хэ графика функции /(х), удовлетворяющие условию:
-ш—ж- *
Х1 < Х2 < Х3 и /(Х1) >/(х2) >/(Х3). После чего находится точка минимума х квадратного трехчлена
*
^(х). Число х служит приближением метода парабол. Далее описанная процедура повторяется для новых точек х1, х2, х3, удовлетворяющих указанным выше неравенствам.
В случае оптимизации по двум параметрам (радиусу торца г' и показателю степени п) спуск производился следующим образом. Находились три значения целевой функции. При этом параметр п фиксировался, а параметр г' изменялся в некотором диапазоне Дг': /(Г, п), /(г + Дг', п),
*
/(г - Дг', п). Затем методом парабол находилось значение Г , которое соответствует минимуму целевой функции. После этого аналогично проводится спуск по параметру п. Затем процедура повторяется до тех пор, пока не выполнится условие сходимости. Условием окончания поиска служила близость к нулю разности значений г' и п , найденных на данной и предыдущей итерациях.
На заключительном этапе для повышения надежности метода оптимизации проводилось исследование с построением линий уровня. Для этого вокруг найденной точки минимума осуществлялось прямое построение равномерной сетки, и проводилось уточнение результатов.
Течение около носовых частей рассчитывалось в рамках модели Эйлера. Выделялись две расчетные области. Общая граница областей лежала в поперечном сечении, удаленном от вершины на расстояние, равное диаметру переднего торца. В окрестности торца расчет течения проводился методом установления по времени [1]. За единицу длины принимался размер торца, что позволило упростить расчет в первой области. В сверхзвуковой области течения расчет проводился маршевым методом по продольной координате [4]. В первом сечении параметры течения определялись из решения для первой расчетной области.
Тестирование метода оптимизации. Проведено тестирование представленного метода оптимизации. Рассмотрены носовые части с удлинением X = 2, обтекаемые при М = 2. Выделено два случая: в первом — за исходное тело взят усеченный конус, радиус переднего торца гт составлял 1% от максимального радиуса Я, а показатель степени п соответственно равен единице; во втором — за исходное было принято тело, полученное при аналитическом решении задачи. Сопоставление значений г', п и сх, полученных в результате оптимизации для первого и второго случая, показало, что они совпадают друг с другом.
1.6
1.4
1.2
0.6
0.4
0.2 --
1
1 ! і
і
У
1 1 \ і і
—— і
Рис. 1. Изменение показателя радиуса торца, показателя степени и сопротивления по итерациям (М = 2; X = 2):
—♦------показатель радиуса торца; —■— — показатель степени;
—▲— — коэффициент волнового сопротивления
Рис. 2. Конус и образующие тел для трех итераций (М = 2; X = 2)
Также проведено исследование скорости сходимости используемого метода оптимизации. Для представленных выше параметров задачи при использовании в качестве начального тела конуса после трех итераций достигнуто уменьшение сопротивления на 23%. На рис. 1 показано, как изменяются параметры г', п и сх по ходу оптимизаций. Видно, что уже после первой итерации параметры принимают значения, близкие к оптимальным. Так, диаметр торца после первой итерации составил 12% от максимального диаметра, а на второй и третьей итерациях его значение изменилось незначительно и составило 10% от диаметра основания. Показатель степени уже на первой итерации принимает значение, близкое к теоретическому значению 2/3, а на второй и третьей итерациях существенно не изменяется. Коэффициент волнового сопротивления после первой итерации уменьшается на 22.5%, затем еще на 0.5% после второй итерации и остается постоянным в дальнейшем. Характер представленных кривых свидетельствует о сходимости оптимизационного процесса. На рис. 2 показаны конус и образующие тела для трех итераций. Видно, что образующая тела, полученного после первой итерации, уже имеет форму, близкую к оптимальной, а тела, полученные на второй и третьей итерациях, совпадают друг с другом.
Еще более быстрая сходимость достигнута, когда за исходное тело принималась носовая часть, полученная при аналитическом решении. В этом случае процесс сходится после двух итераций. По результатам тестирования в дальнейшем за исходные принимались носовые части, полученные аналитически.
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 г'
Рис. 3. Линии уровня и направление спуска по каждому параметру (М = 2; X = 2)
Особенности целевой функции могут быть исследованы на основе анализа линий уровня. Для данных параметров задачи линии уровня и траектория спуска представлены на рис. 3. Видно, что на первой итерации после спуска по радиусу торца сопротивление тела уменьшилось на 9.5%, а после спуска по степени — еще на 14%, и приняло значение, близкое к оптимальному. После второй и третьей итераций сопротивление уменьшилось приблизительно на 0.5%.
Анализ линий уровня показал, что минимум является единственным, линии уровня в окрестности точки минимума имеют эллиптическую форму. Таким образом, целевая функция хорошо аппроксимируется квадратичной зависимостью. Отмеченные особенности целевой функции являются причиной хорошей сходимости используемого метода оптимизации.
Результаты оптимизации. Оптимизация проведена для удлинений X = 1 8 при М = 2,
а также М = 1.5 4 при заданном удлинении X = 2. Носовые части, полученные в данном иссле-
довании, в дальнейшем будем называть степенными носовыми частями, затупленными по торцу, или двухпараметрическими телами.
Выполнено сопоставление найденных носовых частей с известными оптимальными телами по значениям волнового сопротивления и геометрических параметров. Для сравнения взяты тела с показателем степени, который найден прямой оптимизацией в рамках модели Эйлера [5]. В дальнейшем будем называть их степенными телами. Второй пример представляют носовые части, форма которых найдена в точной постановке задачи [1]. Данные тела будем называть оптимальными.
Сопоставление носовых частей по значению волнового сопротивления при М = 2 для удлинений X = 1 8 показало, что наихудшими являются степенные носовые части. По значениям
волнового сопротивления найденным носовым частям они уступают более 5.5%. С ростом удлинения разница в сопротивлении между найденными и степенными носовыми частями уменьшается до 1.5%. Сопоставление двухпараметрических тел и носовых частей, полученных в точной постановке, показало, что двухпараметрические тела уступают оптимальным не более 2% (рис. 4). Наибольшие отличия по сопротивлению при сопоставлении найденных и оптимальных тел наблюдаются при малых и больших удлинениях. Это связано с тем, что при аналитическом решении задачи были сделаны допущения о малости относительной толщины тела, а также пре-небрегалось интерференцией между отдельными элементами тела. Первое условие недостаточно точно выполняется при малых удлинениях, а второе — при больших.
1 2 3 4 5 6 7 8^
Рис. 4. Зависимость радиуса торца, показателя степени и коэффициента волнового сопротивления от удлинения (М = 2):
—♦— , —■—, —▲— — оптимальные носовые части с передним торцом и степенной образующей;
О, А — оптимальные носовые части, найденные в точной постановке [1];
□, О — носовые части со степенной образующей без переднего торца [5]
Сопоставление тел по геометрическим параметрам показало, что максимальное отличие затупленных степенных носовых частей и носовых частей, полученных в точной постановке, по значениям диаметра торца составляет 20% при X = 6 (рис. 4). Довольно большое отличие в диаметре торца объясняется тем, что при больших удлинениях размер торца во много раз меньше максимального диаметра тела и поэтому не оказывает существенного влияния на сопротивление тела. Анализ линий уровня показал, что вблизи оптимума, даже при небольших удлинениях, размер торца незначительно влияет на сопротивление. Так, при М = 2 для тела удлинения X = 2 отклонение диаметра торца от оптимального на 10% приводит к изменению сопротивления менее, чем на 0.01%.
Сравнение двухпараметрических и степенных носовых частей по значениям степени показало, что максимальная разница наблюдается при малых удлинениях. Так, для двухпараметрических тел значение показателя степени при X = 1.5 составляет п = 0.609, а для степенных тел п = 0.587. С ростом удлинения разница в значениях показателя степени уменьшается. При X = 8 для найденных носовых частей п = 0.641, а для степенных п = 0.645 (рис. 4). Отметим, что показатель степени вблизи минимума оказывает гораздо большее влияние на сопротивление, чем торец. Для найденной носовой части, удлинения X = 2 при М = 2, отклонение показателя степени на 5% от оптимального приводит к увеличению сопротивления на 0.5%.
Перейдем к рассмотрению результатов, полученных при различных числах Маха. Сопоставление тел при М = 1.5 — 4 для заданного удлинения X = 2 по размеру торца показало, что двухпараметрические тела имеют диаметр торца на 8.5 — 10% меньше по сравнению с оптимальными телами (рис. 5).
Зависимость показателя степени от числа Маха представлена на рис. 5. Видно, что для двухпараметрических и степенных носовых частей показатель степени увеличивается с ростом числа М и стремится к теоретическому значению 2/3.
Сопоставление носовых частей по значению волнового сопротивления в диапазоне М = 1.5 4 при X = 2 показывает, что наибольшим сопротивлением во всем диапазоне обладают
степенные носовые части. Они уступают найденным носовым частям более 3% при М = 1.5. Однако с ростом числа Маха разница в сопротивлении уменьшается до 2% (рис. 5). Сопоставление затупленных степенных носовых частей и носовых частей, полученных в точной постановке задачи, показало, что найденные носовые части по значению волнового сопротивления уступают оптимальным не более 1.5% при М = 1.5. При этом с ростом числа Маха разница в сопротивлении существенно уменьшается и уже при числе М = 2 составляет менее 0.5%.
п
1 ?
2 Х2с,
0.8 -
0.4
0.2
0
1.5
2
2.5
3
3.5
4 М
Рис. 5. Зависимость радиуса торца, показателя степени и коэффициента волнового сопротивления от числа Маха, X = 2 (обозначения, как на рис. 4)
Представленный подход к построению носовых частей минимального сопротивления позволяет проводить исследование и при наличии угла атаки. Влияние угла атаки на оптимальную форму тела рассмотрено в [6] в рамках модели Ньютона.
Заключение. Выполнена оптимизация аэродинамической формы осесимметричных носовых частей. Целевой функцией являлся коэффициент волнового сопротивления. Параметрами оптимизации служили показатель степени и относительный размер торца.
Оптимизация проведена методом циклического покоординатного спуска. На каждом этапе минимизация по одному параметру осуществлялась методом парабол. На стадии проверки полученных результатов в окрестности экстремальной точки строились линии уровня целевой функции. Показано, что минимум является единственным, линии уровня имеют близкую к эллиптической форму, а целевая функция с высокой точностью аппроксимируется квадратичной формой.
Найдены носовые части минимального волнового сопротивления в широком диапазоне изменения определяющих параметров. Показано, что для найденных оптимальных тел с ростом числа Маха и удлинения диаметр торца монотонно убывает, а значения показателя степени (для средних и больших удлинений X > 2 — 3) находятся вблизи теоретического значения 2/3. Проведено сопоставление найденных носовых частей с известными оптимальными телами, полученными при точной постановке задачи, и степенными телами, прооптимизированными по значению показателя степени.
1. Крайко А. Н., Пудовиков Д. Е., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. Осесимметричные головные части заданного удлинения, оптимальные или близкие к оптимальным по волновому сопротивлению // ПММ. 2003.Т. 67, вып. 5.
2. Таковицкий С. А. Аналитическое решение в задаче построения осесимметричных носовых частей минимального волнового сопротивления // МЖГ. 2006. № 2.
3. Лесин В. В., Лисовец Ю. П. Основы методов оптимизации. — М: Изд. МАИ,
1998.
4. Таковицкий С. А. Метод расчета сверхзвукового обтекания летательных аппаратов с использованием многозонных расчетных сеток // Труды ЦАГИ. 1997, вып. № 2590.
5. Гродзовский Г. Л. Аэромеханика сверхзвукового обтекания тел вращения степенной формы. — М.: Машиностроение, 1975.
6. Голубкин В. Н., Сысоев В. В. Оптимальные по сопротивлению формы осесимметричных носовых частей профилей и тел вращения в гиперзвуковом потоке под углом атаки // Ученые записки ЦАГИ. 2008. Т. XXXIX, № 3.
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 10/IX 2008 г.
