CC BY
10
УДК 538.1; 539.213
Носители тока в узкозонной периодической модели Андерсона - Хаббарда в спин-волновой области температур
В.Е. Шилов, Е.В. Шилова
Марийский государственный университет, Йошкар-Ола
Электросопротивление, электронные корреляции, эффективная масса, спиновая волна, время релаксации.
В работе методом двухвременных температурных функций Грина определена электропроводность в узкозонной модели Андерсона - Хаббарда. Найдена зависимость электропроводности от температуры и волнового вектора. Проведено сравнение с результатами других работ.
The paper determines the electrical conduction in Anderson-Hubbard narrow band model on Green two-time temperature function, it shows the dependence of electrical conduction on temperature and wave vector and compares the results with studies in this sphere.
При описании электронной подсистемы кристалла обычно пользуются двумя приближениями: обобщенной моделью Гайтлера - Лондона - Гейзен-берга [1] или моделью коллективизированных электронов (зонная теория). Первая из них удобна для описания диэлектриков, например, для объяснения магнитного упорядочения в них. Вторая удобна для кристаллов, проводящих электрический ток посредством электронов проводимости.
Шубин и Вонсовский [2] предложили многоэлектронную полярную модель, в которой учитывается существование в одновалентном кристалле, кроме простых узлов кристалла с одним валентным электроном и с одной из двух проекций (+ или - ) спина, также возможность отрицательно ионизированных узлов, в которых, по принципу Паули, находятся два валентных электрона с разными проекциями спина (двойки) и положительно ионизированных узлов с отсутствием валентных электронов (дырки). Наличием в основном состоянии двоек и дырок, при условии их свободного распространения по решетке, можно объяснить электропроводность кристалла.
Модель узких зон, или модель Хаббарда [3], в определенном смысле является промежуточной моделью и первоначально была предложена для описания спектра возбуждений однозонной модели ^-металлов.
Поскольку скорость перескока ^-электронов с атома на атом значительно меньше скорости электронов проводимости, последние могут эффективно коррелировать с ^-электронами и экранировать их поля. Наличие ^-электронов обусловливает не только воз -можность магнитного упорядочения, но и вырождение узких ё-зон по орбитальному квантовому числу, которое снимается кристаллическим полем только частично.
В том случае, когда число электронов N не равно числу узлов решетки металла N и при достаточно большом кулоновском расталкивании электронов на одном узле можно ожидать, что свойства многоэлектронной системы качественно отличаются от свойств нормальной ферми-жидкости. О таких системах говорят как о сильнокоррелированных. К числу таких систем относят моттовские изоляторы N10, МпО, БеО, СоО, твердые растворы со структурой пирита Бе1-хСох82, металлический ферромагнетик Сг02, «базовые» соединения для высокотемпертурной сверхпроводимости Ьа2Си04, УБаСи306 [7, 9].
Многочисленные эксперименты показали ряд особенностей в кинетике электронов в узких ё-зонах, которые целиком обусловлены вырождением. В этом случае состояния с одинаково направленными спинами, согласно правилу Хунда, энергетически более выгодны, чем состояния с противоположно направленными спинами. Это, в свою очередь, приводит к особенностям в кинетике электрон-электронного рассеяния при наличии магнитного упорядочения.
Наличие вырождения приводит и к неэквивалентному заполнению орбиталей по ближайшим центрам кристаллической решетки, получившее название ор-битально упорядоченного состояния, которое влияет на зонный спектр и электросопротивление. В данной работе приведен расчет тензора электропроводности, содержащий указанные особенности зонной структуры.
Модельный гамильтониан.
Электронный энергетический спектр
В случае трехкратного вырождения гамильтониан периодической модели Андерсона - Хаббарда [4] запишем в виде:
В.Е. Шилов, Е.В. Шилова
169
Н = Н1 + Н2 + Н3 + Н4 + Н5 + Н,
^ „^ где Н1 = 2 п& п% , Н2 = и 2 пЖ.
I& ,т=а,Ь,с 2 2 /,ст,ст'
т,п = а ,Ь
(1)
Н з = 32 sasЬ, Н4 =2 Етё&тй &т, (2)
(т = а ,Ь ,с )
Н 5 = — 2 [(а & + Ь +Д & + э.с],
5 1Л & Ю / Ю р
2 (,&
Н6 = 2 ^ё+^&т + 2 tf (а+Ь& + э.с.).
I, I,&
т = а,Ь,с
Здесь 1т - кулоновское расталкивание электронов на орбиталях т=а, Ь, с; и - межорбитальное кулоновское взаимодействие электронов а и Ь;J - обменное (хундовское) взаимодействие а- и Ь-электронов; Ет - одночастичные энергии а, Ь, с-электронов, отсчитанные от уровня химического потенциала; У0 -энергия андерсоновской гибридизации; Ц - энергия
туннелир°вания; пт = {п;а , nl}, где п& = а+&а.
= Ь& Ь & - число частиц на орбитах типа «а» и «Ь»; ё1(Тт = {а & , Ь & , с &} - операторы уничтожения электронов на орбиталях а, Ь, с соответственно. Далее считаем 1а = 1Ь = 11,1с = 12,12 < 11, 11 >и> J> У0. В качестве базиса для приведения одноузельной части гамильтониана к диагональному виду используем операторы Хаббарда, переход к которым имеет вид [8, 10]:
= 2< р\а а\к)Х
р , ^
(хр ) = хр .
В случае переходов с четырехэлектронных на трех-электронные и с трехэлектронных на двухэлектрон-
ные состояния р, к =
2аГ
2аТ&
&&&, Т 1, I у, 1&а I по орбиталям типа «а» и «Ь»,
было получено следующее представление одноэлек-тронных операторов через хаббардовские [10]:
1 т&
2аТ&с л/3" 2аТ&с
+-;= хт° „ +.1-хт
2
х
3 2аТ&
+ 8
хааа хТ& V 3хТ"
Л
Ь + = аа
Та л/3'
х^ + хТ° „ +,/ -хТ
2
х
3 2аТ^г
+ 8
Ь" , 1 VI? , I2 VЬ"
хааа +73хТ& + \ 3хТ
л
(3)
Остальные операторы получаются путем циклической перестановки орбиталей и их сопряжением.
Основные уравнения и метод расчета тензора электропроводности
В соответствии с принципом электронейтральности и в отсутствии магнитного поля, основное состояние электронов описывается волновыми функциями и соответствующим им энергетическим спектром:
2 аТ'
) = (а + а+Ь + с + 10) + а + Ь+ Ь+с + 10))+ + (а+Ь + с + с 0)),
Е(2аТь-с )= Е(2аТ ™ )= + ^е22 + 2К02
= а (а + а +(ь + с + + Ь+с+
у \ (т а \ (г а и и
2 аТс °
+ Ь + Ь + (а + с++ а+с + + Ь (с+ с + (а а Ь++ а + Ь ;) 0)),
) 0>
) ^ )-
ааа> = а
) = а+Ь+с +1 ^ , Е(ааа) = Е(т & )= £3
\Т&) = (а+Ь+с+ + а+ Ь+с+ + а+Ь + с+)
/ ГГ \ (Т (т (7 ааа а а а /| / -
) = г(а++ Ь 0) )+4 + с ^ + Ь+ 0) ). Е (I )= Е {1™'}= £4 + У е\ + 2¥02
\Ь"~ ) = ^((а++ Ь++ а+Ь+) 0) +
+ 3((а + с + + а+с + ) 0) + (Ь + с + + Ь+с + ) 0)),
где £1 = -
I! + /2 + 3и + 5Еа + 3Ес - 3/,
е2 = I, -12 + Еа - Ес + у2 ,
£3 = и - У2 + 2Еа + Ес
и - + 3Еа + Ес
£5 = и - уг + Еа - Ес
Ь - а
7 =
л/2(Ь - а)2 + V,,2 Ус
- с)2 + ¥02
Ь =
,■■■8 =
V,
л/2(Ь - а)2 + V2 ё - с
- с)2 + У2
(4)
2
+
+
а & = ао
е, =
4
2
а =
+
Ь - а = АТё+ЦЧ^-е2'
й - с=-хт^2-—. 2* 5 0 2
В случае узких зон структура энергетического спектра определяется формированием хаббардов-ских подзон, качественно отличающихся от структуры спектра нормальной ферми-жидкости. Основное отличие состоит в том, что одному значению квазиимпульса соответствует одно значение энергии затравочных частиц и два значения энергии квазичастиц, отличающихся на хаббардовскую щель. В случае Ne < N транспортные и релаксационные свойства определяются «дырочными» состояниями в нижней хаббардовской подзоне, в случае N > N эти свойства определяются носителями в верхней хаббардовской подзоне.
При наличии кристаллического поля и вырождения положение значительно усложняется, соответственно усложняются методы описания кинетических свойств таких веществ.
Расчет тензора электропроводности удобно проводить методом двухвременных функций Грина, составляя цепочки уравнений для них. Общее уравнение для произвольных операторов А и В в энергетическом
представлении запишем в виде [5]:
= <А 5} + (([А,Н ]В»Е , (5)
где Н - полный оператор энергии (1).
В соответствии с принципом электронейтральности Полинга можно ограничиться рассмотрением трех тремов Еп±1, Еп, соответствующим электронным конфигурациям й"±1, йп. В пределе сильных корреляций, по терминологии Хаббарда, указанным состояниям соответствуют два резонанса. Рассмотрим транспортные свойства, сформированные на орбитах типа «а», порожденные переходами с «четверок» на «тройки» и переходами с «троек» на на «двойки»:
12а:: \2аТ::) 12а:: 1
^ , , 1 '
Т Т
Т:) Т
и i , 1 , 1
и \ь::) \ь:)
Учитывая связь электронных операторов с хаб-бардовскими, запишем туннелирующую часть гамить-тониана (2) для рассматриваемых переходов в виде:
Нт, = а2 Е,„т • [X+++^ • Х^Г: +1 ХТ~ • X2аТ-с +
1П1 ¿- пт I п2аТЬс ш+++ 1 п2аТЬс тГ
п,т Ьс 3 Ьс
2
(6)
+- хг + • X 2аГ;с + X — • хШаГс +
3 п2аТ-с + шТ+ п2аТЬС ш---
+1 ХТ\-Х2Т + 2ХТ~ • Х2аГ+с ]
3 п2а Т+с шТ+ 3 п2аТ+с шТ- А
Условие полноты для указанных переходов имеет вид:
х :)+2 (х ц:)+е (Х +т(ХТ:)=1 (7)
или в электронных концентрациях:
Е п::: + Е пГа + Е пГ: +2 «„ = 1 .
: : : :
При наличии сильных электронных корреляций вероятность заполнения четырехчастичных состояний значительно меньше, чем у трехчастичных. Предполагая равновероятность последних, окончательно запишем условие (7) в виде:
2 п++++ 2 п —= 1. (8)
Расчет тензора электропроводности. Уравнения самосогласования
Запишем уравнение (5) в развернутом виде:
^ (,)
Х 1аТЬс V +
+++,
X4
х;;+ь: , н,
X +
] ¡ат+с
(9)
С учетом коммутационных соотношений для операторов Хаббарда:
[хрд , X 7 ] = Хрд • ± • хрд = = 80 (ХГ8,Л ± Х?8р, ) .
(10)
запишем уравнение (5) в импульсно-энергетическом представлении:
¡а —— , (к )
Х 1аТьс
(, )
X4
Ниже рассматривается случай с максимальной мультиплетностью, что соответствует стабилизации феррофазы при переходе в металлическое состояние.
+ а2 2 ,(к - д )«( 3 хт;+++• X »1«.
¡аТ+с к - д ,Т +
Хд:---- Х11т;с++ )(,)
х+++ +
к, 2 аТЬс
(11)
Уравнение (11) представляет собой первое приближение по интегралу перескока.
+
+
Ьс
к ,2 аТ
Ьс
а
В.Е. Шилов, Е.В. Шилова
171
Ограничивая вычисления линейным приближением по числу спиновых волн, вторым порядком по перескоку ^ и малой концентрацией с = = (Хе - N)/N ((1, запишем уравнение движения следующего шага приближения.
Введем функцию Грина:
ь(д\крЕ ) =
-«х.
- х;::_ х
2 аТЬс
к + р - д,+ + +
)
х
- к,2аТЬ+с
(13)
Е Г (д )
I(к + р - д\крЕ) =
х-р,---х-+р-д,+--х д,+++) +
(14)
+ а 2
— t(д - г)-t(к + р - г) I(г\крЕ). 6
Последнее уравнение можно привести к более компактному виду:
Е <д)
(д\крЕ )=
а
2 8 р
Е t (р )
2
Е 1 (д )
(15)
+ а2 2
г
если ввести функцию:
11(к + р - д - г)- t(г) ф(г\крЕ), 6
(д\крЕ )=
Е t(р)
• Ь(к + р - д\крЕ), (16)
О (к, Е ) =
Е t(к)- 2а2 , Е)
Наличие дельта-функции в (18) обеспечивает равенство ^к) = ^д). Принимая во внимание, что в фер-рофазе при малых импульсах справедлив квадратичный закон дисперсии для спектра спиновых волн сор = В • р2, где В - спиновая жесткость решетки, можно вычислить 7к вблизи центра зоны Бриллюэна. В случае, когда импульс к << рТ, где рТ = (Т/в)12 -тепловой импульс магнона, зависимость от импульса к и температуры имеет вид:
для которой в импульсно-энергетическом представлении имеет место уравнение:
7 = 1 15-М 2 0 ^гг"
18 256 р52 -т * I В
(19)
где £10 - объем элементарной ячейки; Х(х) - дзета-функция Римана; т* - эффективная масса электрона при к = 0.
В случае, когда к>>рТ, основной вклад равен:
7 к =
15 м!
•к5
18 64 •ж5/2 •т * I В
3/2
(20)
Полученные в данной работе импульсные и температурные зависимости обратных времен релаксации (19), (20) являются основными результатами данной работы.
Обсуждение и выводы
Сравнивая проводимость, записанную в стандартном виде Друде - Лоренца:
ст = -
2 2 пе т пе
где N - функция Бозе - Эйнштейна.
Уравнение (15) представляет собой интегральное уравнение второго этапа приближения.
Самосогласованное решение уравнений (12) и (15) позволяет записать общее выражение для функции Грина в виде:
(17)
где Е(к, Е) - выражение для собственно энергетической части, мнимая часть которой определяет обратное время релаксации:
7к =Р02Np [{д-p)-3t(q/]\{р-д)-б^^к)- ^д)). (18)
т * т *7к
в случае вырождения (здесь т - время релаксации), при к << рТ (20) с аналогичным выражением [6] в отсутствии вырождения и считая спиновую жесткость неизменной, получим:
Oвыр(k,T) = 18-стнее(к,Т).
Такое отличие (20) от полученного в [6], возможно, обусловлено более эффективным переносом заряда по вырожденным зонам.
В том случае, когда к >> рТ, результат (20) отличается от полученного в работе [6]:
п* • ХI] ,3 Г Т ^5/2
7к =
32 • ж 5/2 •т *
к 3|В
(21)
Видно, что это отличие не только в численном множителе, а, что особенно существенно, в импульсной и температурной зависимостях: к и Т5'2 в (21),
+—
+++
р
Е
р,д
к5 и Т32 в (20). Это различие связано с обменным взаимодействием и гибридизацией Андерсона при наличии вырождения зон.
Таким образом, можно считать, что полученные нами значения кинетических коэффициентов с учетом вырождения й-электронов имеют существенное отличие и находятся в лучшем согласии с экспериментом в системах с сильными электронными ко-релляциями.
В этой связи представляется важным исследовать оптические свойства, когда эффективная масса носителей заряда ш* может существенно зависеть от частоты внешнего электрического поля. В дальнейшем авторы предполагают обсудить этот вопрос более подробно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hisenberg, W. Zs. Phys., 1928. Bd. 49. S. 619.
2. Shubin, S.P., Vonsovsky, S.V. / Proc.Roy.Soc. 1934/ A. 145/ P. 159.
3. Hubbard, Y. Proc.Roy.Soc. A. 1963. V. 276. P. 238.
4. Шилов, В.Е., Шилова, Е.В. // Вестник МарГУ. - 2007. -№ 1 (2). - С. 130-134.
5. Зубарев, Д.Н. УФН. - 1960. - Т. 71. - С. 71.
6. Ирхин, В.Ю., Кацнельсон, Н.И. ФТТ. - 1983. - Т. 25. -
B. 11. - С. 3383-3388.
7. Мотт, Н.Ф. Переходы металл-изолятор. / Н.Ф. Мотт. - М.: Наука, 1978. - С. 344.
8. Зайцев, Р.О. Моттовский переход в многомерной модели Хаббарда / Р.О. Зайцев // ЖЭТФ. - Т. 75. - В. 6, 12. - С. 2362-2374.
9. Вонсовский, С.В. Локализованное и делокализованное поведение электронов в металлах / С.В. Вонсовский, М.И. Кацнельсон, А.В. Трефилов // ФММ. - Т. 76. - В. 4. 1993. - С. 3-94.
10. Ведяев, А.В. Об одной возможности использования операторов Окубо для учета корреляций в модели Хаббарда с вырождением / А.В. Ведяев, В.Е. Шилов // ТМФ. - Т. 28. - В. 1. 1976. -
C. 104-114.
