CC BY
24
Доклады БГУИР
2013 № 5 (75)
УДК 621.391.14
НОРМЕННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОШИБОК НЕГАРАНТИРОВАННОЙ КРАТНОСТИ
Н.З. ХОАНГ, АН. МУХА, В.К. КОНОПЕЛЬКО
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 20 марта 2013
Исследуется корректирующая способность ошибок негарантированной кратности БЧХ-кодами на основе норменного декодирования. Предлагается алгоритм поиска образующих векторов ошибок, имеющих кратность больше, чем гарантированная кратность корректируемых ошибок.
Ключевые слова: минимальное кодовое расстояние й, гарантированная кратность корректируемых ошибок ^, негарантированная кратность корректируемых ошибок , норма синдромов N.
Введение
В последние годы многие исследователи пытались повысить корректирующую способность используемых кодов вероятностными, алгебраическими методами с использованием стираний и двумерного кодирования [1, 2].
Проведенные в [3, 4] исследования на достаточное число норм для исправления ошибок кратности £ = 3 + 7 БЧХ-кодами с п = 31; 127 показали, что для коррекции ошибок гарантированной кратности £г число норм избыточно. В табл. 1 приведено число избыточных (не используемых) норм в зависимости от кратности корректируемых ошибок £ = 3 + 7 и длины кода п = 31;127 (с учетом использования достаточного числа норм [3]).
Таблица 1. Зависимость числа избыточных норм (в процентах) от кратности ошибок £ и длины кодов п
^^^^^^^^^ Кратность £г Длина кода п 2 3 4 5 6 7
31 15 800 28615 23134 893113 808288
(48 %) (83 %) (96 %) (77 %) (96,7 %) (87,5 %)
127 63 13440 1964319 =258x10" =218х106 =32х109
(49 %) (83 %) (95 %) (99 %) (83 %) (96 %)
Анализ данных табл. 1 показывает, что число избыточных (не используемых) норм велико. Следовательно, их можно использовать для коррекции ошибок негарантированной кратности £н > £г.
В [1, 2] показано, что БЧХ-код с минимальной длиной п = 7 и гарантированным исправлением ошибок кратности £г = 2 может корректировать не только двукратные, но и все ошибки кратности £н = 3 . Однако, у БЧХ-кода с £г = 2 и п > 7 имеется возможность исправить только определенные классы ошибок £н = 3 совместно с двойными ошибками £г = 2. Также показано, что БЧХ-код с £г = 2 может корректировать наряду с двойными ошибками любой пакет ошибок длины четыре при использовании определенных порождающих полиномов поля Галуа. Однако не проводились исследования для других БЧХ-кодов. Ниже исследуются БЧХ-
коды длиной п = 31; 127 по контролю случайных и зависимых (модульных и пакетных) ошибок на основе основных, зависимых и дополняющих норм.
Норменный метод поиска образующих векторов ошибок негарантированной кратности
Для нахождения образующих векторов ошибок негарантированной кратности £н > £г используется норменный метод, сущность которого состоит в поиске норм, которые не пересекаются с нормами для образующих векторов ошибок гарантированной кратности £г . Для этого проведен вычислительный эксперимент, который включает следующие этапы: группирование норм всех образующих векторов ошибок кратности £н и £г в множества (данные нормы для всех образующих векторов ошибок приведены в работах [3, 4]), поиск повторяющихся норм, удаление тех повторяющихся норм и соответствующих им образующих векторов ошибок.
Рис.1. Алгоритм нахождения образующих векторов ошибок негарантированной кратности tH
При реализации алгоритма поиска образующих векторов ошибок не гарантированной кратности использовались языки программирования С++, программируемый пакет Mathematica, а программа выполнялась в операционной системе Window 7 для 2-ядерного процессора Intel. Время проведения вычислительных экспериментов для БЧХ-кодов n = 31;127 составило 6 и 48 часов соответственно.
Анализ основных и зависимых норм синдромов по идентификации образующих векторов
ошибок негарантированной кратности
На основе вышеприведенного алгоритма проведен вычислительный эксперимент для БЧХ-кодов с длинами п = 31;127 и кратностей ошибок £ = 3 + 7 для неприводимого полинома
/(х) = 1 + х2 + х5, /(х) = 1 + х + х7. В результате эксперимента установлено следующее.
1. При применении БЧХ-кодов с параметрами п = 31, ^ = 2; 3 могут идентифицироваться только образующие вектора ошибок кратности = 1;2;3 соответственно. Следует отметить, что множество норм для = 2 не пересекается с множеством норм для
= 4 (N1,N2,N1=2 * (^,N2,N3)= (рис. 2, а).
2. Для БЧХ-кода с п = 31, = 4 установлено, что данный код может идентифицировать все вектора ошибок гарантированной кратности = 1;2;3;4 и все 5481 (100 %) образующих векторов ошибок кратности = 5. При этом проверочная матрица Н для коррекции ошибок кратности = 5 имеет ту же структуру, что и проверочная матрица для коррекции ошибок
[ . Зг 5 г
а',а ',а ',а ' . Кроме того, данный код может идентифицировать 12910 (54 %),
668 (0,7 %) образующих векторов ошибок кратности = 6;7 соответственно. Следует отметить, что множества норм для ошибок кратности = 2; 3; 4 и = 6 не пересекаются, а множества норм = 5;6 пересекаются (рис. 2, б). Это можно использовать в двумерном декодировании для идентификации кратности образов ошибок больших кратностей = [5]. Например, БЧХ-код (п; к) = (31; 11; 4) может идентифицировать ошибки кратности = = 7 . При этом часть множества норм образующих векторов ошибок кратности = = 5; 6; 7 пересекается. Они отличаются друг от друга, однако отличаются от ошибок меньшей кратности.
а б
Рис. 2 Разделения множеств норм образующих векторов ошибок кратности и БЧХ-кода (31; 16) с % = 3 и = = 4; 5 (а); БЧХ-кода (31; 11) с 4 = 4 и = = 5; 6 (б)
Результаты эксперимента также показывают, что БЧХ-код, задаваемый проверочной матрицей Н5 = а' ,а3',а5',а7',а9' J с гарантированным исправлением ошибок кратности = 5 , может идентифицировать такие же образующие вектора ошибок, что и БЧХ-код с Н4 а' ,а3' ,а5' ,а7' J . Поэтому имеется возможность исключить подматрицу а9' при идентификации ошибок кратности = 5 и говорить о гарантированном исправлении ошибок кратности = 5 с помощью матрицы Н4, что приводит к «хорошему» коду [6].
БЧХ-код с п = 31; ^ = 6, задаваемый проверочной матрицей Н = а',а3',а5',а7',аш J ,
может идентифицировать 23751 (100 %) образующих векторов ошибок кратности = 7 . При этом для коррекции ошибок кратности = 7 достаточно использовать БЧХ-коды, задаваемые проверочной матрицей для коррекции ошибок кратности = 6, что также приводит к «хорошему» коду (п; к; ^) = (31; 6; 15) .
Проведенные исследования для БЧХ-кода с п = 127 также показывают, что имеется возможность идентифицировать образующие вектора ошибок не гарантированной кратности . Однако при идентификации ошибок кратностей 3 < < 6 БЧХ-кодами с п = 127 исключить
какую-либо подматрицу с а(2т+1)1 в проверочной матрице Н БЧХ-кода нельзя (как это имеет место в кодах с п = 31). Поэтому параметры БЧХ-кодов, задаваемых проверочной матрицей
Н = [а|,а32",а5,а?,...,а^]Г, равны (127;106), (127;99), (127;92), (127;85) для Цг = 3;4;5;6
соответственно. Как отмечено в [6], эти коды представляют собой «хорошие коды» с малой избыточностью. Результаты исследований приведены в таблице.
Таблица 2. Зависимость числа (в процентах) идентифицируемых образующих векторов ошибок негарантированной кратности £н от параметров БЧХ-кодов
^~^\^Кратность ошибок Ц
4 5 6 7
БЧХ-коды (п; к; )
(31;16;7;3) 0 % 0 % 0 % 0 %
31 (31;11;9;4) - 5481(100 %) 12910 (54 %) 668 (0,8 %)
(31;6;13;6) - - - 84825(100 %)
(127;106;7;3) 425 (0,5 %) 0 % 0% 0 %
(127;99;9;4) - 900157(45 %) 867555(2,3%) 0 %
127 (127;92;11;5) - - 22 х 106 (55 %) 5,5 х 106 (0,72 %)
(127;85;13;6) - - - 320 х 106 (52 %)
Анализ данных табл. 2 показывает, что негарантированный контроль ошибок приводит к «хорошим» кодам с малой избыточностью; кроме того, с увеличением гарантированного исправления ошибок кратности £ число образующих векторов ошибок негарантированной кратности быстро растет (например, БЧХ-код с п = 127, £г = 3 может идентифицировать только 0,5% образующих векторов ошибок кратности £н = 4, а БЧХ-код с п = 127, Ц. = 4 - уже 45% образующих векторов ошибок кратности £ = 5 ).
Анализ основных и дополняющих норм синдромов по идентификации образующих векторов ошибок негарантированной кратности
Как показано в [3, 4], число основных и дополняющих норм меньше числа основных и зависимых норм. Поэтому число избыточных норм уменьшается. Следовательно и число образующих векторов ошибок негарантированной кратности £ для идентификации БЧХ-кодами с гарантированным исправлением ошибок также уменьшается. Результаты проведенных аналогичных исследований по применению основных и дополняющих норм для нахождения идентификации образующих векторов ошибок негарантированной кратности £ приведены в табл. 3. Анализ данных таблицы показывает, что число образующих векторов ошибок негарантированной кратности £ быстро возрастает при увеличении кратности £ . Кроме того, из данных табл. 1 и 2 следует, что число идентифицированных образующих векторов кратности £ примерно одинаково при использовании основных дополняющих норм и основных зависимых норм.
Таблица 3. Зависимость числа (в процентах) идентифицируемых образующих векторов ошибок негарантированной кратности £ от параметров БЧХ-кодов
Кратность ошибок £
4 5 6 7
БЧХ-коды (п; к; )
(31;16;7;3) 0 % 0 % 0 % 0 %
31 (31;11;9;4) - 5481(100 %) 11330 (47 %) 588 (0,6 %)
(31;6;13;6) - - - 84825(100 %)
(127;106;7;3) 365 (0,45 %) 0 % 0 % 0 %
127 (127;99;9;4) - 840157(42 %) 827555(2,1 %) 0 %
(127;92;11;5) - - 20 х 106 (50 %) 5 х 106 (0,7 %)
(127;85;13;6) - - - 310 х 106 (50 %)
Анализ норм синдромов для образующих векторов зависимых ошибок негарантированной кратности
В [7] показано, что БЧХ-коды с длиной п = 31, задаваемые проверочными матрицами
Н = ^а' ,а3' J и Н = ^а' ,а3' ,а5' J с порождающим полиномом /(х) = 1 + х2 + х3 + х4 + х5,
корректирующие случайные ошибки кратности ^ = 2;3, могут идентифицировать все
образующие вектора зависимых ошибок кратности 1Р = 4; 6 соответственно. В этом разделе проводятся исследования на множестве норм зависимых образующих векторов ошибок больших кратности = 5; 6; 7 с использованием порождающего полинома /(х) = 1 + х2 + х5. Результаты исследований показали следующее.
БЧХ-код с гарантированным исправлением ¿г = 2 идентифицирует все пакетные
образующие векторы ошибок кратности tp = 3, 6 (75 %), 6 (50 %) и 9 (30 %) образующих векторов зависимых ошибок кратности ^ = 4; 5; 6 соответственно. БЧХ-код с гарантированным исправлением случайных образующих векторов ошибок кратности ^ = 3 идентифицирует 5 (100 %), 15 (100 %), 27 (90 %) 56 (90 %) образующих векторов пакетных и модульных ошибок кратности ^ = 4; 5; 6; 7 соответственно. Результаты проведенных исследований представлены в таблице.
Таблица 4. Зависимость числа (в процентах) идентифицируемых образующих векторов ошибок негарантированной кратности tр от параметров БЧХ-кодов при использовании неприводимого
полинома / (х) = 1 + х2 + х5
~ ——^^^Кратность ошибок ^ БЧХ-коды (п; к; ——^^^^ 3 4 5 6 7
(31;21;5;2) 4 (100 %) 6 (75 %) 10 (66 %) 10 (30 %) 0 %
(31;16;7;3) - 5 (100 %) 15 (100 %) 27 (90 %) 56 (90 %)
Следует отметить, что разные неприводимые порождающие полиномы обеспечивают соответствующие корректирующие способности БЧХ-кодов при коррекции зависимых ошибок негарантированной кратности. Например, использование полинома /(х) = 1 + х2 + х3 + х4 + х5
позволяет повысить корректирующую способность по сравнению с /(х) = 1 + х2 + х5 (табл. 5).
Таблица 5. Зависимость числа (в процентах) идентифицируемых образующих векторов ошибок негарантированной кратности tр от параметров БЧХ-кодов с использованием неприводимого
2 3 4 5
полинома / (х) = 1 + х + х + х + х
■—-—^^Кратность ошибок ^ БЧХ-коды (п;к;' —-— 3 4 5 6 7
(31;21;5;2) 4 (100 %) 8 (100 %) 10 (66 %) 13 (43 %) 0%
(31;16;7;3) - 5 (100 %) 15 (100 %) 30 (100 %) 57 (93 %)
Анализ данных табл. 5 показывает, что БЧХ-код с меньшим гарантированным исправлением кратности ^ = 2;3 не может идентифицировать случайные образующие вектора ошибок большей кратности, однако может идентифицировать образующие векторов зависимых ошибок негарантированной кратности.
В табл. 6 приведена зависимость числа идентифицируемых образующих ошибок (случайных и зависимых) БЧХ-кодом с длиной п от кратности ошибок ^ . В скобках приведен процент образующих векторов ошибок негарантированной кратности от всего множества возможных идентифицируемых образующих векторов ошибок.
Таблица 6. Зависимость числа идентифицируемых образующих векторов случайных и зависимых ошибок
БЧХ-кодами от гарантированной кратности ^
' ■—-—^Кратность ошибок tr 2 3 4 5 6
Длина n ' —-—______
n = 31 25 (40 %) 213 (24,4 %) 43986 (30,8 %) 115232 (73 %)
n = 127 73 3165 1851775 27 х 106 352 х 106
(14 %) (15 %) (95 %) (93 %) (88 %)
Анализ данных табл. 6 показывает, что с увеличением длины БЧХ-кодов, процент образующих векторов ошибок негарантированной кратности tH, идентифицируемых БЧХ-кодом, экспоненциально возрастает. Например, БЧХ-код с n = 31, tr = 5 идентифицирует 30,8 % из всего множества образующих векторов ошибок кратности tr и tH, а БЧХ-код с n = 31, tr = 5 - 93 %.
Заключение
Результаты проведенных исследований показывают, что имеется возможность расширить идентифицирующую способность БЧХ-кодов за счет использования для идентификации части образующих векторов ошибок негарантированной кратности tH > tr при норменном декодировании. Установлено, что БЧХ-коды с tr = 2;3 идентифицируют более 30 % образующих векторов зависимых (пакетных и модульных) ошибок кратности tp = 4; 5; 6. БЧХ-коды с tr > 4 могут идентифицировать часть образующих векторов случайных ошибок негарантированной кратности tH = tr +1(2), что приводит к «хорошим» кодам с малой избыточностью [6].
NORMING IDENTIFICATION OF ERRORS UNGUARANTEED MULTIPLICITY
D.N. HOANG, A.N. MUKHA, V.K. KONOPELKO Abstract
Error correction capability of unguaranteed errors multiplicity by codes BCH based on the norming decoding is investigated. A searching algorithm of forming vectors of error with multiplicity greater than the guaranteed by code is proposed.
Список литературы
1. Конопелько В.К., Липницкий В.А. Теория норм синдромов и перестановочное декодирование помехоустойчивых кодов. Минск, 2004.
2. Липницкий В.А., Конопелько В.К. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения. Минск, 2007.
3. Конопелько В. К., Хоанг Н. З. // Докл. БГУИР. 2012. № 8 (70). С. 69-74.
4. Хоанг З.Н., Конопелько В.К., Макейчик Е.Г. // Матер. Междунар. научн.-техн. семинара «Телекоммуникации: сети и технологии, алгебраическое кодирование и безопасность данных». Минск, январь - декабрь 2012 г. С. 27-31.
5. ФамХакХоан, О.Г. Смолякова // Докл. БГУИР. 2008. № 1 (31). С. 70-75.
6. Мак-Вильяме, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М., 1979.
7. Конопелько В.К.,Смолякова О.Г, Шкиленок А.В. //. Докл. БГУИР. 2007. № 5. С. 17-22.
