CC BY
23УДК 629.113
В.Н. Кравец
НОРМАЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ НА КОЛЁСА ДВУХОСНОГО АВТОМОБИЛЯ ПО СЦЕПЛЕНИЮ С ОПОРНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Рассмотрена методика расчёта нормальных реакций, действующих на передние и задние колёса двухосного автомобиля-тягача, когда тяговая сила на его ведущих колёсах ограничивается сцеплением с опорной поверхностью.
Ключевые слова: двухосный автомобиль-тягач, ведущие колёса, ведомые колёса, нормальные реакции на колёса, сцепление колёс с опорной поверхностью, сопротивление качению колёс.
Методика расчёта нормальных динамических реакций, действующих на колёса двухосного и трёхосного автомобилей, а также на колёса автомобиля-тягача и прицепа, входящих в состав автопоезда, когда тяговая сила на ведущих колёсах названных автотранспортных средств ограничена их сцеплением с опорной поверхностью, впервые предложена Е.А. Чудаковым [1]. Несколько иную методику определения нормальных реакций на колёса двухосного автомобиля по условию сцепления ведущих колёс с дорогой изложил В.А. Иларионов в работе [2]. Расчётные формулы, предложенные названными авторами, получены при некоторых упрощающих допущениях Точное решение данной задачи выполнено автором настоящей публикации в работах [3, 4].
Расчёт нормальных динамических реакций, действующих на колёса передней и задней осей двухосного автомобиля, произведён для трёх компоновочных схем: 1) задние колёса ведущие, передние - ведомые; 2) передние колёса ведущие, задние - ведомые; 3) все колёса ведущие.
Неполноприводный автомобиль 4 х2 с задними ведущими колёсами
Схема сил и моментов, действующих на автомобиль-тягач с задними ведущими и передними ведомыми колёсами, показана на рис. 1. В центре масс автомобиля - точке С приложены сила тяжести Оа и её составляющие Gн и а также сила сопротивления поступательному разгону Гах. Положение центра масс задано координатами а, Ь и кё. В точке С„ - центре парусности, или метацентре действуют сила сопротивления воздуха подъёмная аэродинамическая сила Силы и создают относительно поперечной оси Су опрокидывающий аэродинамический момент Т„у. Положение точки С„ задано координатами аК, и Ив и расстоянием 1м до центра масс С. В точке Сс приложена сила в сцепном устройстве и её составляющие ^сх и Гсг. Положение точки Сс задано расстояниями Ьс и Ис до задней оси и опорной поверхности соответственно. ^Т^, -
суммарные моменты сопротивления качению передних и задних колёс соответственно. Под действием внешних сил и моментов на передние и задние колёса автомобиля действуют суммарные продольные реакции , и суммарные нормальные реакции и
опорной поверхности.
Суммарные продольные реакции: • на передние колёса
X Ях1 = / X + ^^ = / X ял + ; (1)
г г г
'д 'д'к
© Кравец В.Н., 2013
• на задние колеса
X Кх2 =Ф X X К2 , (2)
где /- коэффициент сопротивления качению передних ведомых колес; X 3к1 - суммарный момент инерции передних колес; вк - угловое ускорение передних колес; гд - динамический радиус передних колес; аа - ускорение автомобиля; гк - радиус качения передних колес; фх - коэффициент продольного сцепления задних ведущих колес с опорной поверхностью.
V
ая
Х
Fв
ЕТ,
Ох
ЕЯ
ЕЯ
х1
аи
а
С
СМ
Ъм
Он
ь
С
ТМ>у Fi
Fа
Я
-г 2
Сс
Fc
7
ЕЯХ 2
Оа 021ЪТГ2
Fí
сг / Fc
а
О
Рис. 1. Силы и моменты, действующие на автомобиль-тягач в общем случае движения
Составляют два уравнения с двумя неизвестными x Кх1 и x Кх2 :
• сумму проекций всех сил на ось С2
x 2 = 0; x ^ 1 + x к 2 + ^ - - Рсг - 0,
откуда
x Кг 2 - Он - РМ>2 + РСг - x кг1 ;
• сумму моментов всех сил относительно центра масс (точки С)
x тс - 0;
x К1« -x Ка +x Т г 1 -x К 2Ь + x *х2 К +x Т / 2 +
+ Рв - К ) + Р^м + т - РСх - кс )+ РСг (ъ + ьс ) - 0.
(3)
(4)
(5)
После подстановки в уравнение (5) приведенных ранее выражений для x Кх1 , x Кх2 и XК2 по формуле (4) получают:
xКг1« - /x КлК -
x 3к1аа ^
а' ^
+
Гд Гк
x т/1 -(он - + рсг )ъ
' +
+ x Кг1Ъ + ф х (Он - Кг + Рсг -Ф х x Кг1Ия +x Т/2 +
12
+ Рв (^в - ^
ё - )+ ГСг (ъ + Ъс ) - 0.
Ъ
Ъ
I
В уравнении (6):
sf +ЪТ/ 2 = (s Rz1 + s Rz2 ) = f&-Fwz + Fcz '. (7)
С учётом (7) уравнение (6) приобретает вид:
s Rz1a + s Rz1b-fS Rz1hg -Ф х s Rz1hg -(G -Fwz + Fcz У> +
_ s Jк1аа h
'и Fwz 1 F cz )гд 1 Фх (Он Fwz Н ""
+ f (G - Fwz + Fcz )гд +Ф х (О - Fwz + Fcz '--+ (8)
^ Y Y
'д 'к
+ FB '-hg
+ FwzlM + Twy Fcx (h g-hc )+ Fcz (b + bc ) -
Имея в виду, что S Rz1 (a + b) — S RzxL, получают:
s Rz1 [l - (Ф x + f )hg ] — (Он - Fwz + Fcz )(b - Ф xhg - л )
x + f )hg ] -(G -Fwz + Fcz )(b-Ф xhg f ) +
^hg-F (h -h )-F l -T + (9)
F в у'в 'gf FwzlM Twy + (9)
Fcx
(hg-hc )-Fcz (b + bc ),
откуда
(Он - Fwz + Fcz )(b - Фxhg - Л )+ S К1 а g -
Гд rK
- i ' \n - n I- I1 # - I -I- I1 \n - /"? I-
= - fb (hB -hg )- FwzlM - Twy + Fcx (hg - hc )- Fcz (b + bc ) (10)
z1 L- (Ф x + f )hg
После подстановки выражения S Rz1 по формуле (10) в уравнение (4) получают:
G -Fwz + Fcz)[a- f (hg -'д)]-^/к^ +
Гд Гк
_+ Fh ('в-hg )+ FwzlM + Twy Fcx (h
g hc )+ Fcz (b + bc )
z 2 L -(Ф x + f )hg
Частные случаи
1. Одиночный автомобиль движется на подъёме. При этом Fc = Fcx = Fcz = 0:
(Он- Fwz ib-Ф xhg -Л -
'д гк
(л -Л )-F I -Т
X =--—Т--; (12)
1 - (Ф х + / "
(Он- )[а-/ ("ъ-гд )]-+
Гд Гк
+' (" )-' I + Т
П + 'в \"в / ' wz^м + . Л
X Rz 2 =-"-Т--. (13)
^ - (Ф х + / "
2. Одиночный автомобиль движется на подъёме с малой скоростью. В этом случае Fc
Fcx Fcz 0 и Fв FWZ Twy ~ 0:
( \ s / к1аа hg
Он (b - Фxhg-frz )+-
■фxhg-./rд)+ "" а g ГпГт
s Rz1 —-Т-\-^^—; (14)
L - (Ф x + f )hg
он к/
-r )|__а g
g Гд)] гд гк
z R-z 2 =-7-Ч-—-• (15)
L - (Ф х + f )hg
3. Одиночный автомобиль движется на подъёме с постоянной малой скоростью. В данной случае Fc = Fcx = Fcz = 0; FB = Fwz = Twy - 0 и аа = 0, так как F = const:
z = G„ (b-Ф a/). (16)
L- (Ф x + f h
G„ \a - /(hg - гд )| zRz2 - н[ /Vg • (17)
L - (Ф х + f )hg
4. Одиночный автомобиль движется на подъёме с постоянной малой скоростью по дороге с твёрдой опорной поверхностью в хорошем состоянии. В этом случае Fc = Fcx = Fcz = 0;
Fs = FWz = TWy - 0; aa = 0 и/- 0, так как f << фх:
Он (b- ф xhg )
z Rzi = н Фх g ; (18)
L - Ф xhg
z Rz2 . (19)
L - Ф xhg
5. Одиночный автомобиль движется на горизонтальной дороге с постоянной малой скоростью, причём опорная поверхность твёрдая и в хорошем состоянии. При этом Fc = Fcx =
=Fcz = 0; а = 0 и Он = Ga cosa = Ga; Fs = Fwz = Twy - 0; aa = 0 и/- 0:
Ga (b - Фxhg)
z Rzi = a Фх ; (20)
L - Ф xhg
z Rz2 (21)
L - Ф xhg
Неполноприводный автомобиль 4 x2 с передними ведущими колёсами
Суммарные продольные реакции:
• на передние колёса
z Rxi =Ф x z Rzi; (22)
• на задние колёса
z Rx2 = / z Rz2 +^^, (23)
Гд Гк
где Фх - коэффициент продольного сцепления передних ведущих колёс с опорной поверхностью; / - коэффициент сопротивления качению задних ведомых колёс; z J к 2 -суммарный момент инерции задних колёс; гд - динамический радиус задних колёс; гк -радиус качения задних колёс.
Сумму проекций всех сил на ось Cz записывают в виде уравнений (3) и (4). Сумма моментов всех сил относительно центра масс (точки С):
z Тс - 0;
z Rzia + z Rxihg +z Т/1 -z Rz 2b- z Rx2 hg +z т/ 2 +
+ FB (hs-hg)+ Fwzl м ^ Twy Fcx
(h g -hc )+ Fcz (b + bc ) - 0.
Подставив в уравнение (24) приведённые ранее выражения для X Ях1 и X Ях2 , а также X Я2 по формуле (4) получают:
xя^а + фх xrz\hg + x ту1 - (он - + яс2 > + xя2\ъ-
-/ (G -Fwz + Fcz )hg + f x Rzihg -
X J к2 аа hg
+
wz 1 F cz)hg 1 f XRzihg +XТ/2 +
'д 'к
FB(hB -hg)+ FWzl
м ^ Twy Fcx (h g - hc )+ Fcz (b + bc ) -
'д 'к
(25)
£/ № м сх\ §
После замены в уравнении (25) XТ у 1 +XТ у 2 по формуле (7) и с учётом того, что а + Ь = Ь, получают:
x ь + ф x x +/ x + у он
- (GH - Fwz + Fcz )b - f (GH - Fwz + Fcz )hg -
x jк2 аа hg
+
Г г 'д 'к
+ Fb (Кв-hg FwzlM ^ Twy Fcx (h g-hc )+ Fcz (b + bc ) -
После некоторых преобразований уравнение (26) приобретает вид: x Rzi L + (ф x + / )hg ] - (G - Fwz + Fcz )[b + / (hg- 'д )] +
+-к2 а g - FB (hB -hg )- FwzlM - Twy + Fcx (hg -hc )- Fcz (b + bc
'д 'к
откуда
(GH-Fwz + Fcz)[b + f(hg-Гд)] +ZJк2hg -FB(hB-hg)-
Гд rK
^ __- FwzlM - + Fcx (hg - hc )- Fcz (b + bc )_
z1 £ + (ф X + f )hg '
Подставив выражение (28) в формулу (2), получают:
(GH - Fwz + Fcz Xя + фXhg + f д )- ^ к2 а g + F (¿в -hg ) +
'д 'к
+ FwzlM + Twy - Fcx (hg - hc )+ Fcz (b + bc )
X ^ 2 ^ + (ф х + У '
Частные случаи
1. Одиночный автомобиль движется на подъёме. При этом Fc = Fcx = Fcz = 0:
x rzi -
(Он- Fwz )b ♦ / (hg - 'д )] + JA
-F (h -h )-F l -T
± B ^'в g> wzl м ±\
'д к
L + (ф x + / )hg
t \i \ x Jк 2 аа hg
(Он -Fwz )(« + ф xhg + Л У
+
x Rz2 - ■
+ F (h -h )+ F l + T ^ Ä в V в gf wzl м ^ ±wy
'д к
L + (ф x + / )hg
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
2. Одиночный автомобиль движется на подъёме с малой скоростью. В этом случае Fc
Fcx Fcz 0 и Fb Fwz Twy ~ 0 •
он b - А-*)] +^^
IRzi = " , , V ■ (35)
-н b + f (Лг-Гд )] +-yf g
1= L + (ф x + f% ДК ; (32)
/ \ iJK2 aa hg
Gh (a + Фxhg + Л )--
i Rz2 =-T-ч-—-■. (33)
L + (Ф x + f )hg
3. Одиночный автомобиль движется на подъёме с постоянной малой скоростью. В данном случае Fc = Fcx = Fcz = 0; FB = Fwz = Twy - 0 и аа = 0 при V = const:
Gh [b + f (hg -гд )] iRzl = hL fVg дП ; (34)
L + (Ф x + f )hg
Gh (a + Ф xhg + Л ) L + (ф x + f )hg
4. Одиночный автомобиль движется на подъёме с постоянной малой скоростью по дороге с твёрдой опорной поверхностью в хорошем состоянии. В этом случае Fc = Fcx = Fcz = 0;
FB = Fwz = Twy - 0; аа = 0 и f- 0, так какf << фх:
i Rzi =tghV ; (36)
L + Ф xhg Gh (a + Ф xhg )
i Rzi = 1 ■ (37)
L + Ф xhg
5. Одиночный автомобиль движется на горизонтальной дороге с постоянной малой скоростью, причём опорная поверхность твёрдая и в хорошем состоянии. При этом Fc = Fcx =
=Fcz = 0; а = 0 и Gh = Оа cosa = Оа; FB = Fwz = Twy - 0; аа = 0 и f - 0:
i Rzi ; (38)
L + Ф xhg Ga (a + Фxhg )
i Rzi = a Ф;gf ■ (39)
L + Ф xhg
Двухосный полноприводный автомобиль 4 x4
Суммарные продольные реакции:
• на передние колёса
i Rxi =Ф x i Rzi; (40)
• на задние колёса
i Rxi =Ф x i Rz2 . (41)
Сумма проекций всех сил на ось Сz выражена уравнениями (3) и (4). Сумма моментов всех сил относительно точки С:
i тс = 0;
IRzia + IRxihg +IТfi -IRzib + IRxihg +IТfi +
+ F (hE -hg )- FwA + Twy - FCx (hg - hc )- FCz (b + bc )= 0
После подстановки в уравнение (42) выражений для IRxi ; IRxi и I Rzi по формуле (4) получают следующее уравнение:
(42)
s Rz1a + Ф x s Rz1hg + s Т f 1 - (Он - Fwz + Fcz )b + s Rz1b +
+ Фх (Он - Fwz + Fcz )hg - Фх sRz1hg + sТf 2 + FB (hB -hg )+ (43)
+ Fwz^ + Twy - Fcx (h g-hc )+ Fcz (b + bc ) — 0
С учётом того, что а + b = L и sff 1 + sff 2 — f (Он -Fwz + Fcx )гд по формуле (7), уравнение (43) приобретает вид:
s Rz1 L + f (Он Fwz + Fcz )гд -(Он-Fwz + Fcz )b +
+ Фх (Он - Fwz + Fcz )hg + FB (hB -hg )+ FwzL + Twy - (44)
-Fcx (hg-hc )+ Fcz (b + bc )— 0.
Тогда
i RziL = (GH - Fwz + Fcz Xb - Фxhg - frg )- FE (hE - hg )-- FwzL - Twy + Fcx (hg - hc )- Fcz (b + bc
(45)
откуда
(Он - ^ + ^ )(ь - Фх"ъ - Л )- 'в ("в - "ъ )-^ в - '^м - Т^у + 'сх " - "с )- (Ь + Ьс )
x =-2-. ( )
После подстановки выражения X по формуле (46) в уравнение (4) получают:
(он -+ ^ Ха + Ф х"ё + /Гд )+ 'в ("в -"ё ) +
м + Тм>у 'сх (" ё - "с )+ ^ (Ь + Ьс ) . ч
x ^ 2 =---• (47)
Частные случаи
1. Одиночный автомобиль движется на подъёме. При этом Fc = Fcx = Fcz = 0:
^ п (он - ^)(ь - Фх"ъ -/Гд)- 'в ("в )- ^1м - Тщ,
x =---; ()
_°н )(а + Ф х"ъ + /Гд )+ 'в ("в
"ъ )+ Fwzlм + ТМ>у /-/1ПЧ
x ^ 2 =-2-. ( )
2. Одиночный автомобиль движется на подъёме с малой скоростью. В этом случае Fc =
Fcx Fcz 0 и Fb Fwz Twy — 0:
GH (b-Ф xhg f ),
s Rz1 — v Lg д/; (50)
Он (a + Фxhg + -Уд )
s Rz 2 —-2-. (51)
3. Одиночный автомобиль движется на подъёме с малой скоростью по дороге с твёрдой
опорной поверхностью в хорошем состоянии. В этом случае Fc = Fcx = Fcz = 0; FB =
=Fwz = Twy - 0; f- 0 при f << Фх:
Он (b - Ф xhg )
sRz1 — kV /x gf; (52)
GH (a + Ф xhg )
I Rz i = HV Lx . (53)
4. Одиночный автомобиль движется на горизонтальной дороге с малой скоростью, причём опорная поверхностью твёрдая и в хорошем состоянии. При этом Fc = Fcx = Fcz = 0;
a = 0 и Gh = Ga cosa = Ga; FB = Fwz = Twy - 0 и f - 0:
(54)
(55)
Библиографический список
1. Чудаков, Е.А. Избранные труды. Т. 1. Теория автомобиля / Е.А. Чудаков. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - 464 с.
2. Иларионов, В.А. Эксплуатационные свойства автомобиля: теоретический анализ / В.А. Илари-онов. - М.: Машиностроение, 1966. - 280 с.
3. Кравец, В.Н. Теория автомобиля / В.Н. Кравец, В.В. Селифонов. - М.: ООО «Гринлайт+», 2011.
4. Кравец, В.Н. Теория автомобиля / В.Н. Кравец; НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2-е изд., переработ. - Н.Новгород, 2013. - 413 с.
Дата поступления в редакцию 17.10.2013
NORMAL REACTIONS OF WHEELS OF TWO-AXLE VEHICLE IN ACCORDANCE
WITH SUPPORT SURFACE ADHESION
Purpose: Development of methodology for calculating normal reactions acting on the front and rear wheel-axles of the towing vehicle when the towing force of the drive wheels is limited by the strength of their adhesion with the supporting surface.
Design / methodology / approach: Theoretical studies were carried out on the basis of fundamentals of the classical theoretical mechanics.
Findings: There are analytical expressions for the calculation of the normal dynamic reaction forces at the front and rear wheel-axles of towing vehicle with three different layout drawings for the general and special cases of traffic. Scope of use: the study of indicators of operational properties of general transport vehicles and, above all, off-road and all-terrain vehicles.
Research limitations / implications: Not examined the spatial model. The two-dimensional model was analyzed. Originality / value: During the developing the methodology for calculating the normal dynamic reaction forces at the front and rear wheels of the vehicle, it was taken into account not only the external forces applied to vehicles body, but also the longitudinal reactions in contact zones between the driving and driven wheels and supporting surface. Conclusion: The analytical expression of the dynamic responses of normal reactions allows estimate their impact on the value of design parameters of the vehicle, as well as the characteristics of the support surface of the road.
Key words: to-axle vehicle-truck, drive wheels, running
- 884 с.
V.N. Kravets
Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev
