Нормализации, ассоциированные с гиперполосой h m () Текст научной статьи по специальности «Математика»

л

К Л ( х ), Ь ( х )) dx = /2 Л ( x ) Dv ( x ) + f ( x ) v ( x )

□ □ V г =1 У

и подставим его в правую часть тождества (9). Другими словами, введем интегральное тождество

Ка0 (х, 1и(х)),IV(х))йх +1ап+2 (х,иг (х))^ (хГ = |(Л0 (х),IV(х))йх. (10) □ го

В результате интегральное тождество стало более симметричным. Чтобы скомпенсировать еще интеграл по

границе Г , введем произвольную функцию 2 (х) для х еГ и рассмотрим интегральное тождество

йх

|(а0 (х, 1и),IV(х))йх + |ап+2 (х,иг (х))^ (х)йГ ■

□ г

= \ ( /о0 х ), V ( х ))йх + \ /п+2 ( х К ( х ) й г. (11)

о г

Определение 1. Равенство (11) назовем полным интегральным тождеством для дифференциального уравнения (1) с краевым условием Ньютона (3).

Напомним, что решение интегрального тождества, построенного по данной краевой задаче, называют слабым решением краевой задачи. Это дает возможность утверждать следующее.

Теорема 2. Слабое решение краевой задачи (1), (3) удовлетворяет интегральному тождеству (11), в котором

следует положить Л (х) = 0 для 1 = 1,...,п и /п+2 (х) = 0.

Слабые решения краевых задач изучались во многих работах, например [1-2]. Изложенные там методы можно приложить к интегральному тождеству (11).

Список литературы:

1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972.-588с.

2. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.:Наука,1990.-448с.

НОРМАЛИЗАЦИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ГИПЕРПОЛОСОЙ Нт (А)

Попов Юрий Иванович,

канд. ф-м. наук, профессор Балтийского федерального университета имени И. Канта,г. Калининград

В статье рассмотрен новый класс регулярных гиперполос Нт (А). Построены нормализации основных структурных подрасслоений гиперполосы Нт (А) .[4] Схема использования индексов:

1,3,К,Ь = 1,п;р,д,г = 1,г ; а,Ь,с,... = г +1,т; а,/3,у,... = т + 1,п -1; г = {а,р}.

Символ " = " означает сравнение по модулю базисных форм оО.

§1. Задание регулярной гиперполосы H т, оснащённой полем А - плоскостей.

Рассмотрим гиперполосу Н т С Р п [6], оснащенную полем А - плоскостей - таких, что в каждой точке Ае V т (Vт - базисная поверхность гиперполосы), выполняются соотношения:

Л(А)Пт„, (А)=ЛДА). А(А)Г\Хп_т_1=Аг с!1тД(А)=г+1. где Хп-т-1 - характеристика гиперполосы. Такие гиперполосы будем обозначать Нт (А) . В каждой точке А базисной поверхности V т плоскости Л (А) соответствует сопряженная ей плоскость Ls ($=т-г), относительно конуса ассимпто-

тических направлений, лежащего в касательной плоскости Тт (А) С V. Следовательно, поле Л - плоскостей порождает на базисной поверхности

V т С Н т сопряженное ей поле L - плоскостей Ь = . В каждой точке А е V т выполняются следующие соотношения инцидентности:

Г Л X] = Т , ЛсА ; Х ,п А =А; Х ,П Т =А; Ь П Л =А.

> -I т > > п-т-1 11 > п-т-1 11 т >11

Выберем репер первого порядка Я1 следующим образом:

А=А о , {А р } С Л г (АО), {А а } С Ь1 (А о), {А а } С Х п-т-1 , А п е А(Ао) . В репере R1 гиперполоса Нт(А) задается следующими дифференциальными уравнениями:

©п<

^п ТП Ь ©а = Я aЬ©0•

..-.а 1 а ,-Ь ©а = ЯaЬ©0•

©Р =я\ ©q, со; =я; ©0,

©р=я>0, ©а=яа©0, ©а=яа*©0, ©п = к©0, ©п = я*©0,

(1)

УЯ" +Я"©0 =Я" ©+я

■¡п

0

,п

А

■>п

рд +ярд©0 =ярд©0 +ЯрдЬ©0 • УЯаЬ +ЯаЬ©0 =ЯаЬс©0 +ЯаЬд©0

УЯпь Я© =яаЪЬ©, Я +ярд©0 =яад©, УЯа-+яа-©0 —8а©0 =Я? ©,

аЪ аЪ 0 аЪ ' рд рд 0 рд1 ' рг рг 0 г р ргу У Яр. +Яр.©0—8р©° +ЯпЬ8Ъ©р =яр..©у, У Яр . +Яр©-©0 8р =яр, (2)

а га г 0 г а аЪ г п а у ' аг аг 0 а г ау 'w

^ла . ¡.а 0 ^0 ха За / 0 О ^а V -¡а /

У Я ■+[■©—=Я-© , уя -+я -©а-8 ©„ — Я-© =я •• © •

, 1П и „с,

у я 7 +я 7 © =я„,© +я

,п „0

■¡п

д

аг

аг0

а г

ау

пг

'1пг ш0 иг шп

рг п пгу

УЯа +Яа©° —8а©° —Яа 8д©р .

пг пг 0 г п рд г п пу

Основной фундаментальный тензор {Я™ } 1-го порядка гиперполосы Нт (А) [1] имеет следующее строение:

га =

ЛРЧ

1П

лаЬ

Тензоры {ЯЯ}, {Япрд} и {Яаь} невырожденые, то есть

Л 0 =

Я!

ф 0, Я = det

ЯП

pq

ф 0,

10 = det

Я

аЬ

ф 0,

удовлетворяют уравнениям:

УЯп. +Яп.©0 =Я\©к, УЯп +Яп ©0 =Яп © • УЯпЬ +ЯпЬ© =ЯпЬ©.

у у 0 ук ' рд рд 0 рдг ' аЪ аЪ 0 аЪг Величины Л 0, Я0, 10 удовлетворяют соответственно уравнениям

а 1п Л0 =2©г—т(©00+© ^ЯЦЯ©, а 1п Я0 =2© —г(©°+©Ц )+Я©

а 1п /0=2©аа —<©0+©)+©

V/ С-V V/ IV V

где

Н. =ЯпкЯук, Л.=Яп Я(др, ь. =Я\ЯЬа. г г]к 'г рдг п ' г аЪг п

Для основных фундаментальных невырожденных тензоров {Яп }, {Я[рд } • {Я^Ь } введем соответственно обратные им фундаментальные тензоры {Яп'}, {Ярд}, {Я^}, удовлетворяющие условиям:

8 уЯ—4©=я!©=яf©Я• ЯрдЯп 8 я—яр©=ярд©кяд©

п

'¡аЪ '¡п м^^аЬ ^аЬО «аЪс *аЪсп Яп Яас =8с ,УЯп —Яп ©0 =Япс © =Яп ©с •

где

Т,п А _пс П п 7п пс _7г П п ЯрАЯ[аЪ]~Яр[аЯсЪ], ЯасЯрд\~Яа[рЯ1д\ (*)

Я

л с _лк л а л а _л с л а

Ярд] а[рЯкд], ЯptЯ[aЬ]=Яp[aЯcЬ].

а -¡с ас

Таким образом, имеет место

Теорема 1. В репере R1 1-го порядка гиперполоса Нт (А) задается уравнениями (1),(2) и соотношениями (*). Геометрические объекты Г1 ={ЯЯрд ,ЯЯпЪ } ,Г2 = {Г1- Яа&- ЛРа1. КсО Кь' Кь]

Г3 ={Г2, Ярдг' ^Ы ,Я1Ъг ^дг Я\ру Яру Яргу Яау [у Япу } являются фундаментальными объектами [2] соответственно 1-го, 2-го, 3-го порядка гиперполосы Нт (А) .

§2. Теорема существования гиперполосы Н т (А).

0

0

Теорема 2. Гиперполоса Н т (А) проективного пространства Р п, заданная системой уравнений (1) в репере R1, существует с произволом 2гз + т(п - т -1) + (п - г -1) функций от т аргументов. Доказательство: Систему (2) представим в виде:

АЛп л оО = 0, АЛп, л оЬ = 0, АЛа лоЬ = 0, рд аЬ аЬ

АЛррд лод =0, АЛ р ло1 =0Мр ло1=0, (3)

£/и £/ V Сг 1

АЛр л о1 = 0, АЛа. л о1 = 0, АЛа л о1 = 0, АЛа л о1 = 0. аг а1 а1 т

Найдем характеры системы (3) [3]:

81 = г(п-т) + в(п-т) + А, 82 = (г-1)(п-т) + (в-1)(п-т) + А, 83 = (г - 2)(п - т) + (в-2)(п-т) + А,..., 8г = [г - (г-1)](п-т) + [б - (в-1)](п-т) + А, 8г+1 = (в -г)(п-т) + А, 8г+2 = [в - (г - 1)](п-т) + А,...,&„ = А, где А=2гв+т(п-т-1)+(п-г-1) . Подсчитаем число Картана [7] системы (3):

„ _ __ _ , чг(г + 1)(г + 2) + 1)(в + 2) т(т +1)

0 = 8 + 28 + 38 +... + т8 = (п - т)—-—-- + (п - т)—-—-- + —-- А Раз-

6 6 2

ложим уравнения (3) по лемме Картана [3], [2] и подсчитаем число N вновь полученных функций в этих разложениях: N=0.

Следовательно, система уравнений находится в инволюции [7]. Таким образом Н т (Д) С Р существует с произволом 2^ + т(п - т -1) + (п - г -1) функций от т аргументов. Что и требовалось доказать.

§3. Пучки нормализации Нордена Л -,Ь-подрасслоений и гиперполосы Нт (А).

1. Поля квазитензоров {у°р }, {"V °}, определяемые уравнениями

V" Р + оР = V р, О1 , V" 0 + о0 = V»«', V"? + о0 = "0 о1,

задают поля нормалей 2-го рода соотетственно Л -, Ь-подрасслоений и гиперполосы Нт(А). Охваты квазитензоров ¡,{"0! '••0'

{ур } , {V 0 }, {V 0 } можно осуществить следующим образом:

V0 = Л0 =-1 Ла , V0 = Л0 =-1ЛР , V0 = Л0 = {Л0,Л0},

р р ра ' а а ар' 1 1 I р ' а-

в в

2. Используя функции Л] и Л, составим величины {^ }, удовлетворяющие условиям:

г. =_^лп л]к, VI, =-0 +Лп..о1 -о0 . I т+2 1]к п ' I I 0 1] п I 1]

Аналогично введём функции 1 = Л-^ -, удовлетворяющие уравнениям У = Оп ~ЛП О] +Оп О] .

Следовательно, в дифференциальной окрестности 2-ого порядка построили квазитензоры

(4)

которые назовём основными квазитензорами [2] гиперполосы Нт (А) С Рп .

Используя основные квазитензоры (4), устанавливаем биекцию между нормалями 1 -ого и 2-ого рода гиперполосы Нт С Рп, которые в силу работ [5], 29] назовём соответствием Бомпьяни-Пантази:

"0 =]п + ^ (а) Vп =] -4 (Ь). (5)

Квазитензорам {Лр } {Ла} {Л0} в биекции (Ь) соответствуют квазитензоры {Лр ], {Лп } {Лп }.

Лр ЛЛ -гр, Л =ЛаЬЛ0 -га, ^ Л]-г1.

п п р ' п п Ь ' п п ]

Итак, справелива

Теорема 3. Пары полей квазитензоров (лр ,Лр ), (Л° ,ЛЛа ), (Лп , Л0 ) задают в дифференциальной окрестности 2-го порядка нормализации в смысле Нордена соответственно Л -, Ь - подрасслоений, ассоциированных с гиперполосой Нт (А) С Рп и гиперполосы Нт С Рп.

3. Дифференцируя определитель Л || с учетом (1), получим

0 рд

Продолжая (6), в силу формул (1),(2) имеем:

Придавая индексу 1 значения р,а находим:

VЛ° - (г + 2)Х£чо£ + (г + 2= о, УА^ +Гб)^= 0 . (7)

Ведем в рассмотрение функции

которые в силу (7) удовлетворяют уравнениям

Ч +J <f,K°v + J =л; «,'.

Поля квазитензоров Л°а, Лр, Л; = {Лр,Ла} задают поля нормалей 2-го рода L-, Л-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка. 4. Аналогично, дифференцируя определитель

/°=àemnab\i

получим

dXnl^lco^-sico^+co^+Î^. (8) Продолжая (8), с учетом (1), и полагая i = p ,а имеем

vLp+s^°p-Àpq4>°- VLa+(S+2)a%=Q. (9)

Введем в рассмотрение функции L =—(L + Л Л ) = 0 и , которые в силу (1), (2), (9) удовлетво-

p s p pq n a s+2 a

ряют уравнениям

VL° +J =Lo J, VL° +J =Lo J . p p pi a a ai

Следовательно, поля квазитензоров {L° },{La},{L° } задают соответственно поля нормалей 2-го рода Л -, L-подрас-слоений и гиперполосы Hm (А). Полям квазитензоров }, ^a }, {ЛП }, {lLp }, {LLa }, {L° } 2-го порядка в биекции

LJ vt- i LJ C-i V

(5) соответствуют поля квазитензоров {Л^},{ЛП},{ЛП},^П},{^П},{^п} 2-го порядка, которые задают поля нормалей 1 -го рода Л -, L-подрасслоений и поле нормалей 1 -го рода гиперполосы Hm (А). Величины {Л°},{La },{Л°} функционально независимы. Следовательно, получаем три однопараметрических пучка нормалей 2-го рода гиперполосы Hm (А)

Ю=л°+^(Л° -л°),

H m (А): Зг (е)=Л° +е(У°-Л°), (1°)

Ъ (^)=Л° -Л°).

При i= p,i = a получаем пучки нормалей 2-го рода для Л -, L-подрасслоений:

Хр ({)=[ [), Ха (£)=Яа —'^

Л: 5р (*)=[ +^р° —Я[р), Ь: ^ (е)=ЯИ—ЯЦ), ^

^ (^)=Лр—Лр )• ка ^а—Ла).

По соответствию Бомпьяни-Пантази пучкам (10)-(11) соответствует пучки нормалей 1-го рода Л -, Ь-подрасслоений и гиперполосы Нт (А) :

хко = ^п + - лрп),ха(о = яп + ж - ю.х1п(о = *п + - 4).

э*(е) = яп + е(1п - яп).^па(е) = К + ^ - ¿п).ВД = 4 + £04 - 4).(12)

крп(л) = лп + п(1рп - лрп). ка&ч) = лап + У1( цп - лап). 4(1) = Л, + 1(14 - лп).

В результате доказана

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка построены внутренним образом присоединенные к гиперполосе Нт (А), три однопараметрических пучка нормализаций (10)-(12) в смысле Нордена для Л -, Ь-подрасслоений,

ассоциированных с гиперполосой Нт (А) и однопараметрическая нормализация в смысле Нордена гиперполосы

Нт (А).

Список литературы

1. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос.- Тр. Семин. По векторн. И тензорн. Анализу, 1950, вып. 8, с. 197-272.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретика - групповой метод дифференциальных геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об - ва.- 1953.- т.2.- с. 275-382.

3. Малаховский В.С. Введение в теорию внешних форм., Учеб пособие.- Калининград, 1978.- Ч. 2.- 84 с.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

5. Остиану Н.М., В.В., Швейкин П.И. Очерки научный исследований Германа Федоровича Лаптева. Геометрич. семинары. ВИНИТИ АН СССР, 1973, т. 4, - с. 7-70.

6. Попов Ю.И. Общая теория гиперполос., Учеб. пособие.- Калининград, изд. Калинигр. ун-та, 1983.- с. 83.

7. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана.- М.-Л., 1948.- 432 с.

ПЕРВОПРИНЦИПНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУР МОЛЕКУЛ ТЫТД, БЕРЕТЫ, С2^02Нз и Сз^04Нз

Празян Тигран Леонидович

Магистрант, ведущий инженер кафедры общей физики, КемГУ, г. Кемерово

Энергетические материалы широко используются для различных военных целей и промышленных приложений. Синтез и разработка новых энергетических материалов с более высокой производительностью и низкой чувствительностью к теплу, удару, трению и электростатическому разряду привлекают в последнее время значительный интерес [1-3].

Для проведения компьютерных расчетов использовался пакет CRYSTAL09 [4], который в равной мере реализует возможности метода Хартри-Фока и теории функционала плотности. Использовался гибридный функционал ВЗЬУР и базисные наборы [5]:

С_6 — 21СК, Н_3-1рЮ. ]М_6 — 31с11С, 0_6 -31(11

На рисунке 1 приведено строение молекул

51С4М4012Нд ф-рето), С3М606 (тыта).

С2М-02Нт. С3 М504Н3 с характерными длинами связей R (А) и углами а (°).

БьРЕТЫ и ТЫТА являются новыми перспективными взрывчатыми веществами, которые в настоящее время не удалось синтезировать, однако, также хотелось отметить,

что для последнего существует достаточное малое количество работ других авторов [6], производивших компьютерное моделирование данного соединения и, сравнивая полученные результаты с результатами других авторов, мы наблюдаем пренебрежимо малое отклонение в значениях длин связей и углов, так и для молекулы С2М502Н3 и Сз^О^з отклонения с данными других авторов [2] крайне мало.

На рисунке 2 (слева) приведена карта распределения деформационной плотности Др молекулы ТЫТА, полученная вычитанием из молекулярной плотности от невзаимодействующих атомов. Положительным значениям Др отвечают сплошные линии, отрицательным -пунктирные, нулевой контур выделен жирным. Области натекания заряда для ТЫТА приходятся на линии связи

N - О и С - Н. На рисунке 2 (справа) представлена карта распределения электростатического потенциала для одной из нитрогрупп молекулы С3М504Н3. Видно, что группа -N02 "перетягивает" на себя заряд, на это указывают пунктирные линии. Области отрицательного потенциала обозначены пунктирными линиями, положительного потенциала - сплошными линиями, поверхности нулевого потенциала - штрих-пунктирными линиями.