CC BY
74
УДК 629.113.001
И.И. Любимов, А.Ф. Михайлов, А.М. Сычёв НИЗКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЁСНЫХ МАШИН С НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПОДВЕСКИ
Рассматриваются установившиеся периодические колебания подрессоренной массы транспортных колёсных машин, в подвесках которых используются упругие элементы с различной нелинейностью рабочей характеристики. Приводятся расчётные амплитудные частотные характеристики вертикальных перемещений подрессоренной массы при симметричной и несимметричной характеристиках упругого элемента и различном сопротивлении амортизаторов подвески.
I.I. Ljubimov, A.F. Mihajlov, A.M. Sychev LOW-FREQUENCY FLUCTUATIONS ON WHEEL MACHINES WITH THE NONLINEAR CHARACTERISTIC OF A SUSPENSION
The established harmonious fluctuations sprung mass of transport wheel machines in which suspension elastic elements with various nonlinearity of performance data are used are considered here. Settlement peak frequency characteristics of vertical moving sprung mass are resulted at symmetric and asymmetrical characteristics of an elastic element, and also at various resistances of shock-absorbers of a suspension.
Известно, что применение в системах подрессоривания упругих элементов с нелинейными характеристиками существенно улучшает плавность хода колесных машин. Решение нелинейных задач динамики, как правило, связано с большими трудностями, а полученные решения нелинейного уравнения общего вида в аналитической форме вообще неизвестны [1]. В технической литературе мало публикуется работ по расчету нелинейных подвесок. Сложности, связанные с нахождением аналитического решения, привели к тому, что нелинейные колебательные системы подрессоривания колесных машин обычно сознательно упрощают, путем приведения к более простым линейным схемам, теория колебаний которых хорошо разработана. Однако такая «линейная трактовка часто приводит к существенным ошибкам не только количественного, но и качественного характера» [1].
Предлагается основанный на асимптотическом методе теории нелинейных колебаний [1,2] расчет низкочастотных гармонических колебаний колесной машины, в подвеске которой используются нелинейные упругие элементы. В качестве упругого элемента рассматривается пневмобаллон, восстанавливающая сила которого
аппроксимировалась нелинейными «жесткими» характеристиками: симметричной
F^Z) = a1 • Z + -a3 ■ Z3 (1)
и несимметричной
F2(Z) = b1 • Z + b2 • Z2 + b3 • Z3
(2)
Здесь Z - деформация упругих элементов подвески; a, bt - коэффициенты аппроксимирующих функций.
При расчете низкочастотных колебаний подрессоренной массы влиянием массы неподрессоренных частей можно пренебречь, поэтому уравнение движения системы имеет вид
M ■ Z + K ■ Z + F(Z) = B ■ cosQt . (3)
Здесь M - подрессоренная масса колесной машины; K - коэффициент сопротивления амортизаторов подвески (коэффициент вязкого трения); F(Z) - упругая восстанавливающая сила; B-cos Qt - возмущающая сила, обусловленная воздействием неровностей дороги.
При несимметричной упругой характеристике F2(Z) уравнение движения принимает
вид:
M ■ Z + K ■ Z + bj ■ Z + b2 ■ Z2 + Ьз ■ Z3 = B ■ cos Qt . (4)
В этом случае приближенное решение уравнения (4) следует искать в форме
Z = Zo + A1 ■ sinQt + B1 ■ cosQt + A2 ■ sin2Qt + B2 ■ cos2Qt . (5)
Для уменьшения трудностей алгебраического характера и упрощения записей преобразуем несимметричную упругую характеристику F2(Z) в симметричную относительно новой переменной Zj = Z + b2 / 3b3 [2]:
F3(Zi) = ci ■ Zi + сз ■ Zi3 . (6)
В результате дифференциальное уравнение (4) запишется:
M ■ Z1 + K ■ Z1 + c1 ■ Z1 + c3 ■ Zj3 = B ■ cos Qt + Bo , (7)
где c1 = 3b3 /(b2 /3b3)2 ; c3 = b3; Bo = b3(b2 /3b3)3 - b2(b2 /3b3)2 + b1(b2 /3b3) .
Динамическая система, движение которой описывается уравнением (7), является несимметричной из-за несимметричности внешней силы, содержащей постоянную составляющую Bo. При упругой характеристике F3(Zi) четные коэффициенты разложения (5) в ряд Фурье перемещения Z будут равны нулю, поэтому решение (7) ищем в виде
Z1 = Zo + A1 ■ sin Qt + B1 ■ cosq t . (8)
Для установившихся колебаний решение дифференциального уравнения (7) находим, используя метод гармонического баланса [1,2]. Подставляя (8) в (7) и приравнивая к нулю члены, содержащие функции синуса и косинуса, после преобразований получаем
(Q2 -q2 + K2 ■q2) ■ Za = B2 , (9)
где Za и qx - амплитуда и собственная частота колебаний подрессоренной массы. В отличие от линейных, в нелинейных колебательных системах собственная частота не является только параметром системы, а зависит и от амплитуды колебаний. Зависимость Qx = f (Za)
называется «скелетной» кривой и является важной характеристикой, аналитическое выражение которой для нелинейной системы (7) имеет вид:
Qx = л/c1 + 3c3 ■ Z1 - 0,75c3 ■ Za . (10)
Здесь Zo - смещение центра колебаний системы, величина которого зависит как от параметров характеристики F3(Z1), так и от амплитуды колебаний Za:
C1 ■ Zo + 1,5C1 ■ Zo ■ Zl + C3 ■ Zl = Bo . (11)
Уравнение (9) дает зависимость возможных амплитуд Za колебаний подрессоренной массы для каждого значения частоты Q возмущающего воздействия на систему:
©2 ^©2 -°,5К2 ±л/(©2 -°,5К2)2+(в/7)2 +Е •
(12)
Здесь Е - функция, связывающая параметры упругой характеристики, амплитуду 2а перемещения подрессоренной массы и величину смещения 2о центра её колебаний:
Е = -с12 - 6с1 • С3 • 21 - 1,5с1 • С3 • 21 + 9сз • 2о + 4,5с2 • 202 • 22а + (9/16)с2 • 1Аа • (13)
При симметричной упругой характеристике Гг(2) = а1 • Z + а3 • Z3 центр колебания
системы совпадает с положением статического равновесия, поэтому Zo=0, что упрощает расчеты. В этом случае уравнения «скелетной» и амплитудной кривых принимают вид:
©х = а1 + (3/4) а3 • 2а ; (14)
ш = д/©2 -°,5К2 ±^ (©2 -°,5К2)2 + (В/2а)2 + В , (15)
где В = -а12 + 1,5а1 • а3 • 22а + (9/16)а32 • 7^4 •
На рисунке приведены расчетные графики «скелетных» кривых и амплитудночастотных характеристик вертикальных перемещений массы М, подрессоренной на упругих элементах с симметричной и несимметричной характеристиками ^1(2)=19,962+1914623 и ^2(2)=70,122+457,122+8342,823, которыми аппроксимировалась экспериментальная упругая характеристика пневмоэлементов рукавного типа при давлении воздуха в положении статического равновесия, равном 0,592 МПа (при М=831° кг).
Из представленных графиков видно, что по мере увеличения частоты возмущающего воздействия происходит характерное для «жестких» упругих систем увеличение амплитуды колебаний, причем при несимметричной упругой характеристике наблюдается более резкий рост амплитуды колебаний, и смещение зоны резонанса в сторону меньших частот возмущающего воздействия. С увеличением сопротивления амортизатора резонансная частота и амплитуда колебаний подрессоренной массы уменьшаются.
Следует отметить, что в отличие от линейных подвесок, в нелинейных системах колебания подрессоренной массы в определенном диапазоне частот могут совершаться с различными амплитудами.
Амплитудно-частотные характеристики перемещений подрессоренной массы автобуса с различной нелинейностью рабочей характеристики упругих элементов подвески:
---------- симметричная характеристика Р1(7) при малом К=8 кНс/м
и ■■■■ - при повышенном демпфировании К=16 кНс/м;-------несимметричная
характеристика Р2(Т) при К=8 кН с/м;-----«скелетные» кривые
При медленном увеличении частоты ш возмущающего воздействия в интервале частот ш1<ш<ш2 в системе с несимметричной упругой характеристикой ¥2{7) амплитуды колебаний подрессоренной массы будут изменяться по линии тт\. В точке т1 произойдет перескок (переход из точки т1 в точку т3) с верхней ветви амплитудной кривой на нижнюю и при дальнейшем увеличении частоты ш амплитуды колебаний уменьшаются по линии т3п. Стационарные колебания с амплитудами, соответствующими ветви т1т2, являются неустойчивыми и в практике не наблюдаются [3]. При движении по неровным дорогам подрессоренная масса колесных машин испытывает непрерывные толчки, сопровождающиеся изменением скорости движения и частоты колебаний, поэтому резонансные режимы колебаний нелинейно подрессоренной массы практически не устанавливаются. Эта особенность динамики нелинейных систем позволяет, используя в подвеске колесных машин упругие элементы с нелинейной рабочей характеристикой, существенно улучшить плавность хода при движении по дорогам невысокого качества.
Рассмотренная методика позволяет проводить аналитические исследования низкочастотных колебаний колесных машин с нелинейной подвеской с целью оптимизации ее упругой характеристики из условия обеспечения требуемой плавности хода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боголюбов Н.И. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.И. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. 503 с.
2. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. М.: Мир, 1968.
432 с.
3. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. М.: Высшая школа, 1972. 416 с.
Любимов Иван Иванович -
кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Автомобили и двигатели»
Саратовского государственного технического университета
Михайлов Александр Фёдорович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автомобили и двигатели»
Саратовского государственного технического университета
Сычёв Александр Михайлович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автомобили и двигатели»
Саратовского государственного технического университета
