Нейросетевое имитационное моделирование скачкообразных процессов на примере устойчивых и умеренно устойчивых процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.8 + 06 DOI 10.18522/0321-3005-2015-3-15-18

НЕЙРОСЕТЕВОЕ ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПРИМЕРЕ УСТОЙЧИВЫХ И УМЕРЕННО УСТОЙЧИВЫХ ПРОЦЕССОВ*

© 2015 г. Г.И. Белявский, Т.Н. Кондратьева, В.В. Мисюра

Белявский Григорий Исаакович - доктор технических наук, профессор, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: beliavsky@hotmail. com

Кондратьева Татьяна Николаевна - кандидат технических наук, доцент, кафедра прикладной математики и вычислительной техники, Институт информационных систем и технологий Ростовского государственного строительного университета, ул. Социалистическая, 162, г. Ростов-на-Дону, 344022, e-mail: ktn618@yandex.ru

Мисюра Валентина Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики и вычислительной техники, Институт информационных систем и технологий Ростовского государственного строительного университета, ул. Социалистическая, 162, г. Ростов-на-Дону, 344022, e-mail: vvmisyura2011@gmail.com

Belyavskii Grigorii Isaakovich - Doctor of Technical Science, Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematic, Mechanic and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: beliavsky@hotmail.com

Kondrat eva Tat'yana Nikolaevna - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Engineering, Institute of Information System and Technology of the Rostov State University of Civil Engineering, Sotsialisticheskaya St., 162, Rostov-on-Don, 344022, Russia, e-mail: ktn618@yandex.ru Misyura Valentina Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Engineering, Institute of Information System and Technology of the Rostov State University of Civil Engineering, Sotsialisticheskaya St., 162, Rostov-on-Don, 344022, Russia, e-mail: vvmisyura2011@gmail.com

Рассматривается задача моделирования случайных процессов с симметричной мерой Леви при помощи нейронной сети с обратной связью. Для представления безгранично делимой случайной величины используются дискретные симметричные случайные величины, получающиеся в результате вычитания пуассоновских случайных величин. Вычисление характеристической функции случайной величины производится при помощи обучения нейросети. Предложена эффективная архитектура нейронной сети, в которой состояниями входных нейронов являются независимые и одинаково распределенные случайные величины.

Ключевые слова: процессы Леви, мера Леви, характеристическая функция, нейронная сеть, нейрон, имитационное моделирование.

The article considers the problem of modeling random processes with symmetric Levy measure using a neural network with feedback. Discrete symmetric random variables obtained by subtracting the Poisson random variables are used for infinitely divisible random variable representation. Calculating characteristic function is carried out using neural network learning. An efficient architecture of the neural network, in which the states of input neurons are independent and identically distributed random variables, is proposed.

Keywords: Levy processes, Levy measure, characteristic function, neural network, neuron, simulation.

Процессы Леви можно рассматривать как непрерывный аналог случайного блуждания с траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева. Разрывы траекторий происходят в случайные моменты времени, число которых конечно на любом конечном временном интервале и не более чем счетное на бесконечном интервале. Важное место в теории процессов Леви занимают устойчивые и умеренно устойчивые процессы. Несмотря на то что основные результаты теории были получены в 30-е гг. ХХ в., интерес к процессам Леви не осла-

*Статья поддержана грантом РФФИ № 14-01-00579а.

бевает в связи с их многочисленными приложениями, например, в таких различных областях, как стохастическая финансовая математика и квантовая теория поля. Следует также отметить, что исследователи постоянно получают новые теоретические и прикладные результаты в области моделирования с использованием процессов Леви. Наиболее полное изложение теории процессов Леви представлено в относительно недавних работах [1—3]. Аналитические свойства изложены в работе [4], разнообразные приложения - в [5].

При применении метода Монте-Карло возникает необходимость в имитационных моделях процессов Леви. Им посвящен раздел в монографии Я. Соп^ Р. Тапкоу [6].

В статье рассматривается задача моделирования случайных процессов с симметричной мерой Леви при помощи нейросети с обратной связью. При этом используются дискретные симметричные случайные величины, получающиеся в результате вычитания пуассоновских случайных величин [7]. В [8] вычисляется характеристическая функция случайной величины при помощи обучения нейросети.

Модель процесса Леви с ограниченной вариацией на решетке

Рассмотрим полный стохастический базис (р., )>0, F, Р^, относительно которого процесс Х1 является процессом Леви. Будем рассматривать процессы Леви с траекториями ограниченной вариации. Характеристическая экспонента таких процессов имеет вид

ф(у) = W + У(expOyr)- l)v(dx).

(1)

вию

В (1) мера Леви (- v(dx)) j(X лl)v(dx)<у .

удовлетворяет усло-

2 а

рем наибольшее А и наименьшее В, удовлетворяющие неравенству

А х

|У(йх) + \у(ёх)< 2е .

-х В

Определим разбиение ((■ ^ интервала [А, а] следующим образом: (0 = А, (определяются ре-

ß

j-i

биение (уj интервала [b, ß]. Рассмотрим при-

ближение для интеграла

да b

J (exp(iyx) — 1)v(dx) и iy J xv(dx) +

—да a

+ J Z (exp(yßj—i —1))+ Z (exp(yyj—1 —1))|.

Ü=1 j=1 )

Погрешность

•У2 L2

такого

приближения

А < У-1 х\{ск) +1у|((ут - р„ ) - (Ь - а))Х + 2е. Таким

2 а

образом, приближенное представление случайной величины 4■ имеет вид

п т ■ ■

4■ »ть + ЕРк-£к + 2ук-Л' Чс,<к - семейство

к=1 к=1

независимых и одинаково распределенных пуас-соновских случайных величин с общей интенсивностью ХЬ. Это следует из того, что выражение ХЬ(ехр((уРк_1 -1)) является характеристической

функцией для случайной величины 3к-1ЧС '

- Г Ь ^

ц = Ь

к '

ц+|ху(оХ) - константа в этом прибли-

v а у

жении.

Рассмотрим случай симметричной меры Леви, т.е. у(а) = у(-А) . Для симметричного случая очевидны равенства

Рассмотрим значения процесса Леви в узлах решетки на Я + : Уг = Xь. Последовательность Уг удовлетворяет очевидному рекуррентному уравнению Уг = Уг-1 +4 , в котором начальное значение У0 = 0 , случайные величины 4 г - независимые, одинаково распределенные и безгранично делимые с общей характеристической функцией Ф^у) = ехр(Ьф(у)). Определим интервал [а,Ь]с[-1Д],

а < 0 < Ь . Оценим абсолютную величину разности Ь Ь \ у 2 Ь

|(ехр(гух)- 1)у(оХ)- гу|ху(^х) < | х у(^х) . Выбе-

а = -b, A = -ß, ßk = -Jk,да = n .

(2)

Из (2) следует приближенное представление случайной величины 4 j :

k=i

4j «Ц+ Z yk-i(qk -Ck)=Ц+ S ßk-i^k . Симмет-

k=l

ричный закон распределения разности ц ■ = <■ - Ч■ представляется быстросходящимся рядом

р(цк = ^)= МП ехр(- 2ХЬ) 2 ^М! . (3)

*=0 (П + ^

Оценка погрешности приближенного представления характеристической экспоненты

А<у2ьх2у(йх)+ 2(х(уп -Ь)у| + в).

куррентным уравнением j v(dx) = X, причем

ßj

n = max {да : ßm < а}. Аналогично определяется раз-

Структура сети, вычисляющей процесс, представлена на рис. 1.

Начальное состояние выходного нейрона равно нулю, случайные величины <■ независимые и

одинаково распределенные по симметричному закону (3). Обратная связь имеет один такт задержки.

-У

-У

n

n

0

( * )

Рис. 1. Нейросетевая модель процесса Леви

Устойчивый симметричный процесс Леви

Устойчивые процессы Леви широко распространены как средство моделирования, например финансовых индексов и трафика. Мера Леви устойчивого симметричного процесса имеет вид

s(dx )= ■

N

il+a

dx.

(4)

В (4) С - положительная константа, индекс устойчивости а < 1. Последнее неравенство означает, что вариация ограничена почти всюду. Расчетные формулы для параметров нейросетевой модели

а = 1 C

1/a

> У j =

C

аУа-1

■-X

Очевидно, что

C

аУj-1

--X

> 0 для всех j. От-

,2-a A2-a

у2 + 2х((у„-b)У + е)> у2 +

2-а

2 -а

+ 2

( а

- b

ке

_ ае

V V

Л Л |у| + е

у

у

Умеренно устойчивый симметричный процесс Леви

Мера Леви для данного процесса выглядит следующим образом:

v(dx) =

C

i1+a

exp1

(-8| x| )dx.

При а < 1 процесс Леви - процесс ограниченной вариации.

Скачки умеренно устойчивого процесса в окрестности нуля ведут себя как скачки устойчивого процесса. Большие скачки за счет множителя ехр(-8| X) ведут себя умеренно. Умеренно устойчивые процессы особенно популярны при моделировании поведения финансовых индексов [9]. Формулы для вычисления параметров для нейросети будут иметь следующий вид: *=

5 5е

(1 + Sß j-1 )(1 -a)+aSß j

сюда следует, что Х<е . Положим Х = ке,к < 1, и рассмотрим неравенство для оценки погрешности

x(1 -a)ß

= (1 + 8ß j - )(1 -a) + a8^j-1 ^ exp(gß j-1)

a(1 - a)ßOa_1

Положив X = ке и b = е , получим оценку по-

грешности А < у

2 Ъ-+ 2ikei1ln — -b ||у +е

2 - a I 18 8е

ко-

Таким образом, оценка погрешности при а < 1 стремится к бесконечности при е ^ 0, что делает нейросеть рассматриваемой архитектуры неприемлемой для моделирования устойчивого процесса Леви с индексом устойчивости меньше единицы.

торая стремится к нулю при е ^ 0. Это означает, что предлагаемая архитектура нейросети вполне приемлема для моделирования данного процесса Леви. Одна из траекторий такого процесса представлена на рис. 2.

x

x

а

ае

у

у

Рис. 2. Траектория умеренно стабильного процесса с параметрами: C = 1; а = 0,5; 8 = 1

Заключение

Эффективность предложенной архитектуры нейронной сети заключается в том, что состояния входных нейронов - независимые и одинаково распределенные случайные величины. Этот результат получается в результате неравномерного разбиения фазовой шкалы. Однако не для всех процессов такая техника применима. В статье приводится пример такого процесса.

Литература

1. Bertoin J. Levy processes. Cambridge, 1996. 265 p.

2. Sato K. Levy processes and infinitely divisible distributions.

Cambridge, 1999. 486 p.

3. Samorodnitsky G., Taqqu M. S. Stable non-Gaussian random

processes. Stochastic models with infinite variance. N.Y., 1994. 632 p.

4. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov process-

es. Berlin, 1996. 475 р.

5. Barndorff-Nielsen O. E., Mikosch T. Levy Processes - Theo-

ry and Applications. Boston, 2001. 401 р.

6. Cont R., Tankov P. Financial modelling and jump processes.

N.Y., 2004. 533 p.

7. Белявский Г., Никоненко Н. Алгоритм расчета безарбит-

ражной цены финансового обязательства на основе дискретизации процессов Леви // Науч.-техн. ведомости Санкт-Петербургского гос. политехн. ун-та. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2012. Т. 3, № 150. С. 56-59.

8. Dente A. Characteristic functions and process identification

by neural networks // Neural Networks. 1997. Vol. 10, № 8. P. 1465-1471.

9. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой мате-

матики. Т. 1. М., 2004. 512 с.

References

1. Bertoin J. Levy processes. Cambridge, 1996, 265 p.

2. Sato K. Levy processes and infinitely divisible distributions.

Cambridge, 1999, 486 p.

3. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable non-Gaussian ran-

dom processes. Stochastic models with infinite variance. N.Y., 1994, 632 p.

4. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov pro-

cesses. Berlin, 1996, 475 р.

5. Barndorff-Nielsen O. E., Mikosch T. Levy Processes - The-

ory and Applications. Boston, 2001, 401 р.

6. Cont R., Tankov P. Financial modelling and jump process-

es. N.Y., 2004, 533 p.

7. Belyavskii G., Nikonenko N. Algoritm rascheta bezarbitra-

zhnoi tseny finansovogo obyazatel'stva na osnove diskreti-zatsii protsessov Levi [The algoritm for calculating arbitrage-free price of financial liabilities based on the Levy processes sampling]. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhni-cheskogo universiteta. Informatika. Telekommunikatsii. Upravlenie, 2012, vol. 3, no 150, pp. 56-59.

8. Dente A. Characteristic functions and process identification

by neural networks. Neural Networks. 1997, vol. 10, no 8, pp. 1465-1471.

9. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi ma-

tematiki [Essentials of stochastic financial mathematics]. Vol. 1. Moscow, 2004, 512 p.

Поступила в редакцию

18 мая 2015 г.