CC BY
39
НЕЙРОСЕТЕВОЕ и алгебраическое моделирование ПАРАЛЛЕЛЬНОГО 2Б ПРОЕЦИРОВАНИЯ В ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ЧИСЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ СКАНИРОВАНИЯ
Юрий Николаевич Кульчин1 (директор ИАПУДВО РАН, [email protected]),
Елена Владимировна Закасовская2 (доцент ИФИТДВГУ, [email protected])
1 Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН,
2Дальневосточный государственный университет
Аннотация
В работе рассмотрена задача восстановления функций распределения физических полей с использованием распределенных волоконно-оптических измерительных систем [1] для случаев неполных схем укладки измерительных линий. Представлен подход, позволяющий использовать нейронные сети радиально-базисного типа [2] для предобработки проекционных данных с целью дальнейшего применения к ним методов аппроксимации для нерегулярных схем укладки измерительных линий более простого вида.
Ключевые слова: распределенные волоконно-оптические измерительные системы, схемы укладки измерительных линий, параллельно-лучевая томография, нейронные КБР-сети.
Введение
Для исследования, контроля и восстановления параметров физических полей (ФП), распределенных на протяженных поверхностях, все большее применение получают распределенные волоконнооптические измерительные сети (ВОИС). Такие сети представляют собой набор волоконно-оптических измерительных линий, уложенных в соответствии с определенной схемой на исследуемой поверхности. Задача восстановления параметров распределенных физических полей по характеристикам оптического излучения, проходящего по ВОИС, является томографической [3]. При решении томографической задачи одним из определяющих факторов является выбор схемы укладки измерительных линий.
Ранее для восстановления функций распределения ФП с помощью ВОИС измерительные линии (ИЛ) укладывались по четырем направлениям - горизонтальному, вертикальному и двум диагональным (рис. 1а).
X
а) ,
Ж
ж
ш
/V
Ж
ж
Р1
Ч74
Ж
ж
ж
ж
ж
ЕЖ
/ч
ж
ж
б)
в)
с Ґ г Ґ
V. ) к ) ) \ ✓
ґ { (
к ) к } к } \
ґ Ґ
к. ) к } к } к )
{ Ґ л Ґ Ґ
ч ) к ) к ) к
г).
-к1- --к*-
-кї- --V- --кЭ-
и*
\ ' / ч/ N X ^ /
.X X X X,
'X X X х:
:х X X х:
'X X X X' *ч ч
Рис. 1. Параллельные схемы укладки измерительных линий в ВОИС
Однако применение подобной схемы укладки линий при практическом изготовлении ВОИС
большой размерности приводит к усложнению конструкции и методов обработки всей информационно-измерительной системы. Поэтому весьма актуальной является задача разработки эффективных конструкций ВОИС, позволяющих уменьшить число используемых ИЛ.
Целью настоящей работы является исследование конструкции распределенной ВОИС повышенной размерности, имеющей схему укладки ИЛ в трех направлениях (рис. 16).
Задачу восстановления функций физических полей с использованием ВОИС можно разбить на несколько этапов: дискретизацию, получение и обработку проекционных данных, обратное проецирование (рис. 2).
Исследуемая функция ФП
Преобразование
Радона
Проекционные данные 1
Нейросетевое
моделирование
Проекционные данные 1
$
Алгебраическая
аппроксимация
Проекционные данные 1
Обратное
проецирование
Восстановленная функция ФП
Рис. 2. Схема восстановления функции ФП Основное внимание в этой работе уделено процессу обработки проекционных данных, который,
в свою очередь, заключается в последовательном выполнении двух процессов:
1. нейросетевой предобработки с помощью нейронной сети радиально-базисного типа,
2. аппроксимации на множестве дискретизации специального вида, а именно: на объединении двух классов смежности.
1. Основные определения и обозначения
Пусть через Z, R, C обозначены множества целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Далее будем предполагать, что f е С0° (R2),
то есть функция f бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель, L2(R2) - пространство функций, интегрируемых с квадратом над R2, S(R2) -пространство Шварца быстро убывающих функций.
Пусть /(х1, х2) - функция двух переменных, описывающая исследуемый объект.
Двумерное (2Б) преобразование Радона отображает функцию А во множество ее линейных интегралов.
Пусть индекс i определяет направление сканирования фг-, индекс . определяет отсчет в выбранном i - м направлении. В этом случае паре индексов (/', .) соответствует прямая линия Lij, вдоль которой сканируется область. Тогда значение проекции вдоль прямой Lij можно записать как
/ = | / (^ х2) й1, (1)
где ^ - преобразование Радона функции /, а й! -приращение вдоль прямой Ь..
Пары чисел (ф;, sjj), определяющие параллельную схему сканирования на плоскости, могут быть рассмотрены как элементы группы С = Т х R, где интервал Т = |^0, 2р) - циклическая группа относительно сложения по модулю 2п, а R - аддитивная группа поля вещественных чисел [4].
2. Дискретная модель задачи восстановления функции распределения ФП ВОИС могут быть использованы для исследования различных свойств объектов окружающего пространства. Этой цели в наибольшей степени удовлетворяют сети матричного типа. Каждая ячейка матрицы представляет собой датчик (силы, деформации, момента) и дает конкретную информацию, а все ячейки вместе позволяют сформировать целостное представление о свойствах исследуемого объекта (рис. 1).
Разобьем исследуемую область S с R2 на малые элементарные ячейки (элементы изображения) так,
чтобы £ = и 0 Бк
к=1 .
Считаем функцию / постоянной в каждой ячейке Бк и равной /к. Для любого к(1<к<^) сформируем
Тогда функцию / можно представить в виде
/(х) = 1^/к ек (х).
к =1
Величина a к = Ж. (ек (х)) = | ек (х) й!
геомет-
рически представляет собой длину пересечения измерительной линии Ь. с к-м элементом изображения £к. Пусть р - число направлений сканирования, М -общее число измерительных линий и Ял, 2 , ... , £,Г(,) значения всех у(/') проекций для
i - го направления сканирования. В этом случае оче-
Р
видно, что М = Е ^ ).
г=1
Интегральные уравнения (1) преобразуются в
N
систему М линейных уравнений Е =я. с N
.=1
неизвестными /\, ..., fN, которая в матричной форме имеет вид:
АЕ= О, (2)
где А = (ak) - матрица размера М х N,
\ У Л</<М,1£.<N
Е = (/1, ..., /)т - столбец неизвестных высоты N
О (<?11, <?12 ,•••, <?1у(1); ... ;<?/1, 2 ,•••, §/у(/); ... ;
gp\, § р2 , •• ^ §ру(р) )
столбец проекционных данных высоты М.
набор функций вида вк (х) =
0, х ї Б,
3. Алгебраическая аппроксимация функции проекции Спецификой задач волоконно-оптической томографии является наличие ультрамалоракурсной схемы сбора данных. Как правило, в таких ВОИС число измерительных линий меньше числа элементов контролируемых областей. Имеет место недоопреде-ленность системы линейных алгебраических уравнений (2). Таким образом, возникает проблема решения некорректной задачи [3], связанной с поиском решения по интегральным данным, получаемым по ВОИЛ, уложенным определенным образом на сканируемом поле. На практике часто встречаются схемы укладки измерительных линий, которым, с алгебраической точки зрения, не соответствуют решетки. К ним неприменимы обычные условия корректности. Примерами таких схем являются схемы, представленные на рис. 1а, 6.
Рассмотрим, например, схему укладки измерительных линий в четырех направлениях, при которой имеет место равномерное распределение углов р
к—, к = o,...,р-1 (рис. 1а). Особенностью этой Р
укладки является неравномерность отсчетов вдоль прямых: в вертикальном и горизонтальном направлениях шаг сканирования - к\, а в диагональных направлениях другой - к1 = '^/2 И1.
і
Эту схему можно рассматривать как объединение двух стандартных подсхем с двумя направлениями
сканирования (рис. 1в, г), т.е. Дф = ^ . При этом в
плоскости Офs каждой из подсхем соответствует своё множество дискретизации. Первой соответствует множество дискретизации М1, а второй - М2 . С алгебраической точки зрения, эти множества дискретизации имеют различные структуры. Так, множество М1 является решеткой, М1 = Н1, где Н1 - подгруппа, порож-
Уг 0
V 0 Ь Ь
Н1 = Ш х22. Множество М2 решеткой не является, но его можно представить как смежный класс дискретной группы С по подгруппе
2 (у2 0
Н2 = Ш272, Ш2 = I 2
V о ь 2/
Таким образом, множество вида
денная над Z2 матрицей W 1 =
т.е.
м = м1 и м2 = Hj U i H2 +
/4
0
(3)
представляет собой множество дискретизации для всей исследуемой схемы сканирования (рис. 1а) в четырех направлениях.
Очевидно, что множество дискретизации M не удовлетворяет обычным условиям дискретизации, поэтому невозможно непосредственно использовать стандартные алгоритмы без опасности получить серьезные артефакты.
Если R1 и R2 - фундаментальные области решеток Н и Н2 соответственно, то имеет место очевидное включение R1 с R2.
Это говорит о том, что решетка Н2 является более плотной и множество дискретизации М2 целесообразно взять в качестве основного для восстановления функции проекции по формуле
g ( ^ + ,2 g ( - ) + (j - ^(Z - X2,V% X
yeH,
g ( У )-SH2 + ,2 g ( У )
v)
(4)
1 - е2”( у-
для любого z е Си С. = (2р) 1 1^1 , i=\,2.
В формуле (4) ^ - обратное преобразование Фурье характеристической функции фундаментальной области Ri ([ 5-7]).
Первое слагаемое в (4) представляет собой аппроксимацию на множестве М2 и вычисляется по формуле
^ +х2 § ( 2 ) = С2 Е § ( Х2 + У )^2 ( 2 - х2 - У).
уеН2
В случае трех направлений (рис. 1г) в разных направлениях - разные отсчеты, неравномерное распределение углов и эту схему нельзя представить в
виде объединения двух однотипных двумерных решеток (3) и затем применить формулу (4).
Для того, чтобы это стало возможным, не хватает значений четвертого направления сканирования и их предполагается получить, применив КБРМЫ".
На рис. 2 представлена схема восстановления функций физических полей с помощью распределенной ВОИС. В соответствии с этой схемой неполные проекционные данные 1 преобразуются нейро-сетевым методом в более полный набор проекционных данных 2.
4. Использование нейронных сетей ЯБЕММ
Ранее в работе [8] авторами была исследована возможность применения КБЕМЫ для схемы укладки в трех направлениях (рис. 16).
Формируемый сетью информационный массив, представленный вектором О, являлся набором томографических данных, по которым нейронная сеть должна реконструировать вектор Е. Таким образом, нейросеть должна выполнить преобразование вида
Е = А (О), предварительно пройдя обучение на
множестве обучающих пар {(О, Е)}.
Для создания обучающей страницы использовался способ выбора обучающих пар «с подкреплением», при котором рассматривались пары вида (о/ , Е), где АЕ/ = о/.
При создании обучающих пар КБЕМЫ в [8] использовались функции гауссовского типа
\ - ((х- с)2 +(У-ь,)2) ,
7 (х, у ) = е ' ', причем параметры , с1,
являющиеся центрами данных КБРМЫ", подбирались как узлы решетки соответствующей схемы сканирования.
Были использованы эталонные распределения: одиночные Г ауссианы и пары Г ауссиан.
Для поля 5^5 была составлена обучающая страница, состоящая из 3325 обучающих пар, на которой была обучена сеть Экспериментально было
показано, что построенная сеть позволяет осуществлять восстановление функций пространственного распределения исследуемой физической величины с погрешностью в отдельной точке не более 2%, обладает хорошими прогнозирующими возможностями. Однако было отмечено, что при этом способе восстановления в задачах с применением ВОИС повышенных размерностей возникают серьезные трудности при обучении сети ввиду слишком большого объема обучающих страниц. Поэтому возникла необходимость поиска оптимальных путей при применении нейронных сетей.
5. Использование нейронных сетей ЯБЕММ для предобработки проекционных данных
Опишем теперь более подробно нейросетевой метод предобработки проекционных данных. Обозначим через Ж, набор томографических данных по /-му направлению сканирования:
)}
Предположим, что практически возможно получить значения данных только для р-1 направления
сканирования %І , %2
%
p—І =
а для корректного
восстановления функции f (xj, x2) классическими
или специальными методами (например, ART, FBP [9], UQC 1 или UQC 2 [6, 7]) необходимо иметь значения проекционных данных в p направлениях *1 ,*2,... ,*p-j, *p .
Следовательно, в первую очередь, необходимо получить значения проекционных данных с недостающего p - го направления сканирования.
Для решения этой задачи предлагается использовать нейронную сеть радиально-базисного типа, которая должна выполнить преобразование вида
*1 ,*2,..., *p-1 p .
Выбор эталонных функций должен находиться в зависимости от ширины спектра b исследуемой функции f (x,y). Функции гауссовского типа
7/ \ — a ((x— c)2 +( у—ь,)2 )
Z (x, у ) = e ' 1
(З)
могут быть использованы в качестве таковых, так как они принимают ненулевые значения только в зоне вокруг определённого центра.
Для проведения анализа нейросетевого метода решения задачи с помощью ИВРМЫ в этой работе была рассмотрена томографическая задача восстановления информации с информационно-измерительного поля размерности 10*10 и выше. Предполагалось, что эталонное воздействие на поле имеет вид гладкой функции с ограниченной эффективной шириной спектра Ь, равной условной спектральной единице р. Можно также считать, что все значения функции неотрицательны и нормированы на единицу.
В данной работе использованы те же три типа эталонных распределений физической величины, что и в [8]. Первый и второй типы относятся к регулярному способу, а третий - к случайному. Опишем их подробнее.
Тип I. Эталонные распределения поля в этом случае представляют собой одиночные Гауссианы вида (5), центры которых расположены в узлах измерительной сети.
Параметр ai отвечает за ширину носителя функции 1(х,У). Если исследуемая функция / имеет ширину спектра Ь = р, то по теореме Найквиста правильное восстановление функции возможно, если шаг сканирования к < 1. Тогда ширина носителя функции 7(х,у) должна быть порядка 2 к . Следовательно, и ширина носителя функции должна быть того же порядка. Было установлено, что оптимальными для обучения являются параметры ai, принимающие значения 0 < ai < 5 .
Для обучения рассматривались одиночные Гаус-сианы:
а) Узкие одиночные Гауссианы ai = 1, 2 ,... , 5.
б) Широкие одиночные Гауссианы ai = 0,1;
0,2;...; 0,9.
Тип II. Аналитически эти функции могут быть представлены в виде
-п1 V(х-с1 )2 +(УА )2 ) -П2 V(х-с2 )2 +(У-Ь2 )2 )
1 (х, у) = е ' 1 + е ' 1 (6)
при условии, что носители находятся на расстоянии не менее 2 я / Ь , т.е.
2^/ 24Ta
1 „ p
> 2-. b
Это пары Гауссиан с непересекающимися носителями.
Тип III. Эталонные распределения этого типа были получены с помощью процесса рандомизации с нормированием. Каждому целочисленному случайному набору а\, а2, Ъ\, с\, Ъ2, с2 = 1, N ставилась в соответствие функция вида (6). Каждый вектор перед включением в обучающую страницу был нормирован.
6. Создание обучающей страницы
Качество обучения ИВЕМЫ зависит от правильного подбора обучающих пар, которые составляют обучающую страницу.
Для каждой эталонной функции 2(ху) находим проекции по всем р направлениям сканирования и строим вектор-столбец
& (<?11, <?12 ,• • •, <?1т(1); ... ;<?/1, 8/2 ,• ••, ^іу(і); ... ;
Яр^ Яр,2 ,^, Яр,1(р))Т = (^ ... Я,... ^р)Т .
Повторяем эту процедуру для всех эталонных функций.
Пусть М - количество функций в обучающей странице, а Q - матрица, состоящая из столбцов проекционных данных для всех М функций обу-
чающей страницы:
Г %(І) %(2) • - %(M)
Q= %(І) %(2) • .. %(m)
%(І) p—І • -
%(1) V p %(p2) - %M)
Матрицу, состоящую
Л
а
}Qi
из первых у (1) +--+ у( р -1) строк матрицы Q , обозначим че-
рез Q1, а из последних у( р) - через Q2.
Таким образом, созданы два массива для обучения нейронной сети: Q1 - массив входных данных из М
З2І
векторов длины у (1) +-+ у(р -1), а Q2 - массив со-
ответствующих выходов изМ векторов длины у( р).
7. Восстановление функции проекции на объединении двух множеств дискретизации После того, как проекционные данные были обработаны с помощью нейросетевых методов, они приобрели корректный вид для применения к ним алгебраических методов, кратко изложенных в п. 2.
Далее восстановим функцию проекций § = Ж / алгебраическим методом, подробно изложенным авторами в работах [6, 7], основанным на применении формулы (4).
Алгоритм:
1. Создание массивов проекционных данных.
2. Создание массива измерительных данных по наиболее плотному множеству дискретизации. Массив формируется из проекционных данных по наиболее плотному множеству дискретизации М 2 = Н 2 + х2.
3. Аппроксимация и коррекция проекционных данных по менее плотному множеству дискретизации М1 .
4. Комбинация измерительных и проекционных данных.
Следующие два шага при необходимости можно применить с целью дальнейшего увеличения числа проекционных данных.
5. Создание массива дополнительных данных, используя сдвиги данных из п. 2 и п. 3 на половинные углы.
6. Комбинация данных из п. 4 и п. 5.
Далее выполняется стандартная процедура обратного проецирования в соответствии со схемой, представленной на рис. 2.
8. Численное моделирование
Для проведения анализа нейросетевого метода решения задачи с помощью радиально-базисной нейронной сети было рассмотрено информационноизмерительное поле 10x10 (и=10).
Эталонные распределения (п. 3.3) для поля10х10 имеют следующий вид:
1) узкие и широкие одиночные Гауссианы представлены в 500 и 900 вариантах соответственно;
2) пары Гауссиан с непересекающимися носителями были найдены в среде МайаЬ в количестве
2688 функций (а, =3, 5; Ь,, в, = 2,9);
3) эталонные распределения, полученные рандомизацией с нормированием, выбирались в количестве Ь функций по случайному набору параметров а1, а2 = 1,5, Ь1, в1, Ь2, в2 = 1,10.
По этим наборам эталонных распределений составлялись матрицы проекционных данных, из которых далее формировались вход и выход нейронной сети. Сеть обучали несколько раз для различных значений рандомизированных распределений Ь :0 < Ь < 1100.
На рис. 3 представлены зависимости нормированной среднеквадратичной ошибки (шБе) от Ь для восстановления недостающей четвертой проекции для четырех типов распределений, не принадлежащих обучающей странице.
0<L<1100
Рис.3. Зависимости нормированных среднеквадратичных ошибок для восстановления функций проекций от числа рандомизированных функций в обучающих страницах
На рис. 4 изображены зависимости mse восстановления функции распределения физического поля от объема обучающей страницы. Пунктирная и сплошная тонкая линии соответствуют функциям из обучающей страницы, а остальные - двойным, тройным и четверным комбинациям Г ауссиан.
Plots of reconstruction errors for testing functions
S'S'0,040 I
£50,030
is
0,02 5 0,020
§ 0,015
0,010
0,005 0
Рис.4. Зависимости нормированных среднеквадратичных ошибок для восстановления функции распределения физического поля от объема обучающих страниц
На основании проведенных численных экспериментов был сделан вывод о том, что оптимальным является параметр L = 500.
На рис. 5 для L = 500 изображен контур проекционных данных, использованных для обучения.
Для сети, обученной на 4588 обучающих парах, величина mse по обучающей странице не превысила величины 6,7 х 10-16.
На рис. 6 приводится исследование для эталон-
-0.l((x-4)2 +(у-6)2 )
ной функции вида: Z (х, y) = e ' ’
Как следствие, мала и ошибка восстановления
-0.l((x-4)2 +(y-6)2 )
исследуемой функции Z (х, у) = e ' .
-1 —□— ТЗ -2 peaks Т1,Т2 -1 peak ...ф... J4 -2 peaks Т4 - 3 peaks —А— Т4 -4 peaks
Д д Д -
« 1—•
О 200 400 600 800 1000
0<L<l1100
Рис.5. Контур множества проекционных данных для создания обучающей страницы
Рис. 6. Эталон (а), восстановление с помощью классического метода фильтрации обратных проекций (FBP) (б), оригинал проекции № 4 (под углом 135°) (г), восстановление проекции № 4 с помощью нейронной сети
RBFNN (д), ошибка (mse) восстановления функции проекции четвертого направления (е)
Проекционные данные этой функции используются при создании обучающей страницы.
Для функции в левом столбце рис. 6 приведены результаты восстановления с помощью последовательного применения нейросетевого и алгебраического методов с последующим обратным проецированием.
В правом столбце на рис. 6 представлены результаты нейросетевой предобработки функции проекции: показаны результаты восстановления значений с недостающего направления сканирования.
При КБР-восстановлении 4-го направления сканирования ошибка близка к нулю и равна 3,7484х10-24.
Аналогичная ситуация для других функций из обучающей страницы.
Для функций, не принадлежащих обучающей странице, значения шєе при восстановлении функции проекции уже не нулевые (рис. 7е).
Так, для функции
-5 ((x-2)2 +(.у-2)2) -5 ((х-4)2 +(у-7)2 ) -5 ((х-8)2 + (у-4)2 )
г(х,у)=е ' ' + e ' '+ е ' ',
которая соответствует воздействию на исследуемое поле в трех различных местах, при КБР-восста-новлении 4-го направления сканирования ШБе равна
0,0568, а итоговая ошибка восстановления самой функции - 0,0145.
- г) 1,5'
Рис. 7. Восстановление функции, не принадлежащей обучающей странице (обозначения а-е соответствуют обозначениям, использованным на рис. 6)
Однако, следует заметить, что функция проекции, построенная с помощью нейронной сети (рис. 7д), похожа на исходную проекцию (рис. 7г), но имеет более сглаженный вид. Это вполне соответствует общей концепции обучаемости нейронной сети.
Заключение
В статье представлены основные принципы решения нелинейных задач реконструктивной томографии для восстановления информации, поступающей с волоконно-оптических измерительных линий распределенной ВОИС. Предложен новый комбинированный алгоритм обработки проекционных данных для реконструкции функций распределения физических полей.
Этот алгоритм заключается в последовательном выполнении двух процессов: нейросетевой предобработки измерительной информации с помощью КБРММ и дальнейшей аппроксимации полученных данных на множестве дискретизации специального вида.
При реализации КВРМЫ предложен новый способ создания функций для обучения нейронной сети, которые строятся на основе тех функций, которые моделируют конкретный физический процесс. Построенная сеть обладает хорошими прогнозирующими возможностями и может с успехом использоваться для распределенных вычислений в задачах с применением ВОЛС больших размерностей. В результате применения нейронной сети происходит восстановление проекционных данных с недостающих направлений сканирования, что предоставляет возможность примене-
ния методов аппроксимации данных на нерегулярной сетке специального вида.
Применение комбинированного алгоритма позволяет восстанавливать информацию с полей вдвое более высоких размерностей по сравнению с ранее использованными методами [8].
Литература
1. Кульчин, Ю.Н. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы / Ю. Н. Кульчин - М.: Физматлит, 2001. - 272 стр.
2. Haykin, S. Neural Networks: a Comprehensive Foundation / S. Haykin - New Jersey, Prentice Hall, 1999. - 842 p.
3. Тихонов, А Н. Методы решения некорректных задач / А. НТихонов, В. Я. Арсенин - M.: Наука, 1988. - 288 стр.
4. Faridani, A. A Generalized Sampling Theorem for Locally Compact Abelian Groups / A. Faridani // Math. of Comp. - 1994. - Vol. 63. - P. 307-327.
5. Behmard, H. Sampling of Bandlimited Functions on Unions of Shifted Lattices / H. Behmard, A.Faridani // J. Fourier Anal. Appl. - 2002. - V. 8. - P. 43-58.
6. Кульчин, Ю.Н Неравномерные схемы укладки измерительных линий в распределенных волокнно-оптических системах / Ю.Н Кульчин, Е.В. Закасовская // Информатика и системы управления - 2009. - № 3(21). - С. 61-71.
- ISSN 1814-2400.
7. Kulchin, Yu.N. Artifacts suppression in limited data problem for parallel fiber optical measuring systems / Yu.N. Kulchin, E.V. Zakasovskaya // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2009. - V.18, N
3, P. 171-180. - ISSN 1060-992Х.
8. Kulchin, Yu.N. Artifacts suppression in limited data problem for parallel fiber optical measuring systems / Yu.N. Kulchin, E.V. Zakasovskaya // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2008, vol. 17, №
4, P. 317-327. - ISSN 1060-992Х.
9. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер; пер. с англ. - М.: Мир. 199Q. - 28Q с (F. Natterer. Mathematics of Computerized Tomography / John Wiley & Sons Ltd., N. Y., 198б.).
References
1. Kul’chin, Yu.N. Distributed Optical Fiber Measuring Systems / Yu.N. Kul’chin - Moscow: Fizmatlit, 2QQ1. -272 p. - (in Russian).
2. Haykin, S. Neural Networks: a Comprehensive Foundation /
S. Haykin - New Jersey, Prentice Hall, 1999. - 842 p.
3. Tikhonov, AN. Methods of solving ill-posed problems / A.N. Tikhonov and V.Ya Arsenin - Moscow: “Nauka”, 1988. - 288 p. - (in Russian).
4. Faridani, A. A Generalized Sampling Theorem for Locally Compact Abelian Groups / A. Faridani // Math. of Comp. - 1994. - Vol. бЗ. - P. 3Q7-327.
5. Behmard, H. Sampling of Bandlimited Functions on Unions of Shifted Lattices / H. Behmard, A.Faridani // J. Fourier Anal. Appl. - 2QQ2. - V. 8. - P. 43-S8.
6. Kulchin, Yu. N. Nonuniform schemes of measuring lines stacking in distributed fibre-optic systems/ Yu. N. Kulchin, E.V. Zakasovskaya // Informatics and control systems - 2QQ9. -№ 3(21). - P. б1-71. - ISSN 1814-24QQ - (in Russian).
7. Kulchin, Yu.N. Artifacts suppression in limited data problem for parallel fiber optical measuring systems / Yu.N. Kulchin, E.V. Zakasovskaya // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2QQ9. - V.l8, N
3, P.171-18Q. - ISSN 1Q6Q-992X.
8. Kulchin, Yu.N. Artifacts suppression in limited data problem for parallel fiber optical measuring systems / Yu.N. Kulchin, E.V. Zakasovskaya // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2QQ8, vol. 17, №
4, P. 317-327. - ISSN 1Q6Q-992X.
9. Natterer, F. Mathematics of Computerized Tomography/ Natterer F.- John Wiley & Sons Ltd., N. Y., 198б. -288 p.
NEURAL-LIKE AND ALGEBRAIC MODELING OF PROJECTION DATA IN PARALLEL FIBER OPTICAL TOMOGRAPHY IN LIMITED-ANGLE CONDITIONS
Yury Nikolaevich Kulchina (director IACP FEB RAS, [email protected]),
Elena Vladimirovna Zakasovskayab(ass. professor, [email protected])
“Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, bFar Eastern National University
Abstract
The paper discusses tomography reconstruction of distributed physical fields by means of distributed fiber optical measuring systems (FOMN) for incomplete parallel schemes of measuring lines (ML) stacking. The approach is presented, allowing to use Radial Basis Function Neural Net-work(RBFNN) for preprocessing of projection data for the purpose of further application to them of methods of approximating for the nonregular schemes of stacking of ML of more simple form.
Key words: distributed fibre-optic measuring system, schemes of scanning, parallel beam tomography, radial basis function neural network (RBFNN).
Поступила в редакцию 27.08.2009 г.
