Нейроподобная сеть для решения задачи оптимизации антенной решетки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Таким образом, мы получили соотношение между E[Nt] и t/E[A].

Порядок вычисления для дискретных процессов регенерации аналогичен вычислению постоянных промежутков. Если рассматривать начало интервала непосредственно перед возможной точкой наступления события, то можно получить ре*

куррентное соотношение для времени ak :

г k \

1

E[A]

(1 - A(k)) =

1

E[A]

1 -X a,

i=0 J

Рекурсивно это соотношение может быть представлено как:

1 - а0

0 к = 0,

к > 0.

E[A]

(k-1) '

E[A]

Распределение для времени наступления i-го события поступления данных:

fk°=ak * ak*-* ak

(i-1)Terme

где знак * обозначает здесь дискретную операцию свертывания:

dk = bk * ck = X ak-ibi .

Порядок вычисления пДк) для любых дискретных по времени процессов восстановления имеет следующую форму:

к-1

ni(k) = P{F(i) < k}- P{F(i+1) < k} = Xf

(i+1)

1=0

После применения Z-преобразования:

* t \ 1 1 - aZT(z) r™ I ^T1

aZT (z) = —-— и ZT iX ai

E[A] 1 - z-1

i=0

= aZT(z)

z

-1

ZT(~' -i

1-z

Преобразованное распределение:

nZT,i(z) =

1 - z-

1-

E[A](1 - z-1)

(1 - aZT(z))

[ E[A](1 - z-1)2

(1 - aZT(z))2[aZT(z)]i-1,

i = 0,

> 1.

После обратного преобразования получаем постоянное распределение отношений для всех интервалов, больших 0:

1 - А* (к -1), 1 = о, [А](а*к-1) * а(к-1)),1 =1 п1-1(к) * а(к-1), 1 - 2

Z-преобразование средней величины Е^к] аналогично для непрерывного (не дискретного) слу-

ni(k) =

-1

чая: ZT{E[Nk]} =

E[A](1 - z-1)2 '

Результат обратного преобразования:

E[Nk] =

k

E[A]

С целью оптимизации вычислений можно использовать быстрое преобразование Фурье.

Поток данных с переменной скоростью в сети АТМ обычно имеет характерные особенности корреляции. Эти особенности могут зависеть от различных факторов, которые могут оказывать значительное влияние на загрузку ресурсов сети. Примером такого фактора является функция авто-ковариации C (t) моментальной скорости передачи данных t), которая часто применяется и может быть легко измерена: C (t) = E[A,(T)A,(T + 1)] - mt2 .

Применение стохастической модели для авто-ковариации является проблематичным.

Список литературы

1. Erwin P. Rathgeb. 51. Bericht ueber verkehrstheoretische Arbeiten, 'Verkehrsfluesse in ATM-Netzen - Modellierung und Analyse von Verkehrsquellen und Quellflusskontrollverfahren'. -Institut fuer Nachrichtenbermittlung und Datenverarbeitung der Universitaet Stuttgart, Stuttgart 1991.

2. Herausgeber Joachim Claus und Gerd Siegmund. Das ATM-Handbuch. - Huethig Verlag Heidelberg, Heidelberg 2002.

1

1

z

1

1

z

a

k

НЕИРОПОДОБНАЯ СЕТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ

П.Н. Башлы

В статье рассмотрена возможность применения нейронных сетей для решения задачи оптими-

зации антенных решеток; предложен эффективный алгоритм максимизации энергетических па-

раметров антенных решеток; выполнены численные исследования и сравнение нейронного алгоритма оптимизации с известными алгоритмами.

В настоящее время для повышения быстродействия управления современными радиотехническими системами разрабатываются новые методы решения инженерных задач, ориентированные на вычислительные системы с параллельной архитектурой, например нейрокомпьютеры [1-3].

Разработка и исследование нейрокомпьютеров является одним из перспективных направлений создания сверхвысокопроизводительной вычислительной техники нового поколения.

Применение нейрокомпьютеров вполне обоснованно для решения оптимизационных задач [3,4], в том числе и в традиционной постановке, в тех случаях, когда требуется высокая скорость определения оптимального решения.

В работе получен эффективный алгоритм решения оптимизационных задач, основанных на максимизации обобщенного отношения Релея, широко используемого в теории антенн для решения оптимизационных задач.

Важнейшим достоинством предложенного алгоритма является его универсальность, так как он может быть использован для оптимизации антенных решеток по различным критериям, например, отношение сигнал/помеха+шум, коэффициент направленного действия, коэффициент концентрации [5,6].

Используемые для решения задачи оптимизации интегральные параметры антенных решеток чаще всего приводят к отношению эрмитовых форм [5-8], представляющие собой известное в теории матриц обобщенное отношение Релея [9]:

п=^, (1)

(Вх, х)

где А и В - квадратные эрмитовы матрицы; х -вектор неизвестных токов.

Сформулируем задачу оптимизации: найти ^мерный (по числу элементов антенной решетки) вектор неизвестных токов х, максимизирующий функционал (1).

Известное решение такой задачи [10] основано на экстремальных свойствах регулярного пучка форм, вытекающего из (1):

(Ах, х) -п (Вх, х). (2)

Известно, что максимум (1) равен максимальному собственному числу пучка форм (2) и достигается соответствующим этому собственному числу собственным вектором пучка (2) [10]. Таким образом, решение задачи оптимизации в наиболее общем случае сводится к определению собственного вектора пучка форм (2), соответствующего его максимальному собственному значению.

Ряд частных решений задачи оптимизации антенных решеток в такой постановке связан с обращением матрицы В [5-8], порядок которой зави-

сит от числа элементов антенной решетки и может быть значительным.

Большие временные затраты, связанные с определением оптимального решения, обусловливают проблему реализуемости оптимальных законов управления антенными решетками в реальном масштабе времени.

Одним из направлений разрешения этой проблемы может быть разработка новых алгоритмов решения широкого класса оптимизационных задач, ориентированных на параллельные вычисления применительно к нейроподобным сетям.

Синтез нейронной сети для решения задачи оптимизации

Для построения нейронного алгоритма и синтеза на его основе нейронной сети, реализующей решение задачи оптимизации, воспользуемся тем свойством обобщенного отношения Релея, что

" (Ах,х)" (Вх,х)

ется в нуль на собственных векторах регулярного пучка форм (2), причем значение отношения Релея в этих точках равно соответствующему собственному значению пучка (2).

Градиент отношения Релея определяется выражением [9]:

градиент этого отношения grad

обраща-

grad

" (Ах,х)" 2

(Вх, х) (Вх, х)

Ах

(Ах,х)

Вх

: Ах . (3)

(Вх, х)

Рассматривая в качестве входного сигнала нейронной сети вектор х, а в качестве выходного градиент обобщенного отношения Релея Ах, получим следующий итерационный алгоритм определения неизвестного вектора х :

1) х(0) = х - выбор начального приближения вектора х к оптимальному значению х ;

2) Ах(к) = grad

'(Ах(к),х(к))4

- определение

(Вх(к),х(к)))

градиента обобщенного отношения Релея Ах на к-м шаге;

3) Ах(к) < £ - проверка условия, где £ - допустимая погрешность;

4) х(к +1) = х(к) - Н ■ Ах(к) - изменение вектора х, Н - параметр, определяющий скорость обучения сети;

5) х = х(к)|при Ах(к +1) - условие завершения итерационного алгоритма и определение оптимального вектора х .

Учитывая представленный алгоритм, построим нейронную сеть для его реализации (рис. 1).

Входным сигналом сети является вектор х.

Первый слой сети содержит 2N нейронов, разбитых на две группы по N нейронов в каждой.

Весами нейронов первой и второй группы являются развернутые по строкам элементы матриц

А и В соответственно, то есть выходными сигналами первого слоя сети являются два ^мерных вектора а1 = Ах, и Ь1 = Вх.

Второй слой сети включает в себя только два нейрона, весовыми коэффициентами в которых является прошедший через задержку (на один такт) входной вектор х.

Выходными сигналами второго слоя сети являются значения форм (Ах,х) и (Вх,х) соответственно.

Третий слой сети включает N нейронов с N входами каждый. На входы нейронов

третьего слоя поступают значения развернутой по столбцам диагональной матрицы diag(al). Веса нейронов третьего слоя задаются развернутой по строкам единичной матрицей I, а в качестве вектора смещения нейронов используется взвешенный на величину (Ах,х)/(Вх,х) вектор Ь1.

Выходной сигнал сети Ах, то есть градиент обобщенного отношения Релея на к-м шаге, определяется после нормировки выходного сигнала третьего слоя на величину 2/(Вх, х).

В схеме нейронной сети блоки «Т» реализуют задержку сигналов на один такт [1].

Отличием данного подхода к решению оптимизационных задач является выбор структуры сети с учетом квадратичного критерия оптимизации, а точнее - его градиента (3). В отличие от известных градиентных алгоритмов настройки нейронных сетей [1,2] для реализации предложенного алгоритма не требуется дополнительный блок настройки весов, в данном случае нейронная сеть выполняет эту функцию.

Пример решения задачи оптимизации

Рассмотрим эффективность предложенного нейронного алгоритма на примере решения задачи максимизации отношения сигнал/помеха+шум 11-элементной линейной антенной решетки с ненаправленными элементами.

Отношение сигнал/помеха+шум линейной антенной решетки определяется выражением:

I |2

Дво)2

Ч

Л д©) 0

• Т(0) • d0

(8)

где Т(0) - функция распределения шумов и помех в пространстве.

В рассматриваемом примере два помеховых

сигнала с относительным уровнем 105 действуют

с направлений 0 = -15° и 0 = 38° . Главный максимум диаграммы направленности ориентирован в направлении прихода полезного сигнала

0о =10°.

Значение отношения сигнал/помеха+шум антенной решетки, оптимизированной известным (точным) способом, 15.08 дБ.

При численном моделировании установлено, что сходимость решения задачи оптимизации (то есть определение оптимального вектора токов) с помощью нейронной сети существенно зависит от параметра Н, определяющего скорость настройки сети.

Рис. 2. Зависимость числа итераций Р от параметра Н

2

Так, при Н=1 число итераций, требуемых для получения решения, близкого к оптимальному, составляет 16910, а при Н=10 на порядок меньше. Рисунок 2 отражает характер зависимости числа итераций Р, необходимых для получения оптимального решения, от параметра Н.

В таблице приведены некоторые численные значения, отражающие данную зависимость, а также значения отношения сигнал/помеха+шум, соответствующие каждому решению.

Зависимость числа итераций (Р) и отношен от обучающего парамет Таблица ия сигнал/помеха+шум (q) ра (Н)

H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100

P 16910 8480 5662 4241 3386 2978 2497 2122 1918 1694 346 172

q, дБ 15.02 15.06 15.05 15.02 15.01 15.06 15.07 15.02 15.03 15.02 14.99 14.97

Важно отметить, что диаграммы направленности оптимизированных антенных решеток при разных значениях Н отличаются незначительно.

На рисунке 3 приведены диаграммы направленности неоптимизированной (равномерное амплитудное и линейное фазовое распределение) антенной решетки (пунктирная линия), оптимизированной известным алгоритмом (штрихованная линия) и оптимизированная в соответствии с нейронным алгоритмом при Н=10 (Р=1694).

Как следует из рисунка 3, оптимизированные диаграммы направленности, полученные разными способами, отличаются незначительно, что подтверждает эффективность и работоспособность предложенного метода решения оптимизационных задач.

Результаты исследований позволяют сделать вывод, что в работе получен эффективный алгоритм решения оптимизационных задач, основанных на максимизации обобщенного отношения Релея.

Важным достоинством предложенного алгоритма является его универсальность, так как он

может быть использован для решения широкого круга задач оптимизации антенных решеток, таких как максимизация коэффициента концентрации, отношения сигнал/помеха+шум и коэффициента направленного действия.

Другой особенностью полученного нейронного алгоритма, по сравнению с традиционным решением, является возможность выбора в качестве решения задачи оптимизации такого решения, которое с заданной точностью приближает выбранный параметр к оптимальному, но при этом не приводит к заметному ухудшению других параметров.

В результате численных исследований установлена зависимость числа итераций, требуемых для определения оптимального решения от обучающего параметра. Решения задачи оптимизации, получаемые для различных значений параметра Н, отличаются незначительно, а число итераций при Н>10 существенно меньше.

Применение данного подхода к решению оптимизационных задач тем более будет оправдано, чем больше размеры оптимизируемых антенных решеток, поскольку реализация алгоритма оптимизации сочетается с высокой распараллелен-ностью выполнения матричных операций нейронными сетями, что, в свою очередь, будет способствовать возможности реализации этих алгоритмов в реальном масштабе времени.

Список литературы

1. Галушкин А.И., Судариков В.А., Шабанов Е.В. Ней-роматематика: Методы решения задач на нейрокомпьютерах// Математическое моделирование. - 1991. -№8. - С. 93-111.

2. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. - М.: ИПРЖР, 2000.

3. Ефименко В.С., Харисов В.И., Стребков Е.Г. Применение нейронных сетей в задачах оптимальной фильтрации// Радиотехника. - 2000. -№7. - С.56-61.

4. Башлы П.Н., Богданов В.М. Нейросетевой метод решения задачи оптимизации энергетических параметров антенных решеток. //Нейрокомпьютеры: разработка и применение. -2002. - № 11. - С. 41-47.

5. Проблемы антенной техники/ Под ред. Л.Д. Бахраха, Д.И. Воскресенского -М.: Радио и связь, 1989.

6. Мануилов Б.Д., Башлы П.Н. Максимизация коэффициента концентрации моноимпульсной антенной решетки с ограничениями на форму диаграммы направленности. //Вопросы радиоэлектроники. - 2000. - Вып. 19. - С. 27-39 /Общ. вопр. радиоэлектроники/.

7. Антенные решетки с укрытиями (анализ, синтез, оптимизация)/ Под ред. Б.Д. Мануилова. - Ростов: РВВКИУ РВ, 1993.

8. Cheng D.K. Optimization techniques for antenna arrays// IEEE Proc. 1971.V.59.№12.P. 1664-1674.

9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука. - Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука. - Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -552 с.