CC BY
49
УДК 519.6+004.94 ББК 22.193
НЕЯВНЫЕ СИЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕШЕНИЙ СДУ С МАРКОВСКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ
Черных Н. В.1
(Арзамасский политехнический институт (филиал) Нижегородского государственного технического университета им Р.Е. Алексеева)
Рассматриваются неявные сильные схемы численного решения стохастических дифференциальных уравнений с марковскими переключениями диффузионной составляющей. Теоретические исследования подтверждаются примерами численного моделирования в среде Scilab.
Ключевые слова: стохастические системы, марковские переключения, модель с переключениями, зависящими от фазового состояния, неявные сильные численные схемы, сходимость.
Введение
G. George Yin, Chao Zhu в своей книге «Stochastic modeling and applied probability. Hybrid switching diffusions. Properties and applications» [15] подробно рассматривают сложные переключаемые диффузионные процессы (hybrid switching diffusion processes) и их применения. Слово «hybrid» означает сосуществование непрерывной динамики и дискретных событий. Изучение таких процессов необходимо, так как они применяются в радиосвязи, при обработке сигнала, в организации сетей, процессах производственного планирования, моделировании био-
1 Надежда Валентиновна Черных, аспирантка (nadezdacher@mail. ru).
логических систем, экосистем, в финансовом проектировании, а также для моделирования, анализа, управления и оптимизации больших систем под воздействием влияний окружающей среды.
Один из важных классов гибридных систем - стохастические дифференциальные уравнения с марковскими переключениями (SDEwMSs). Методы численного решения стохастической дифференциальных уравнений с марковскими переключениями и пуассоновскими скачками интенсивно изучались в последние годы. Многие исследователи теоретически и экспериментально рассматривают метод Эйлера (Euler-Maruyama Method), в их числе [4, 6, 11, 13, 14-15]. В [3] для решения SDEwMSs применяются методы, основанные на стохастическом разложении Тейлора (Платена). Среди последних работ в этой сфере можно также отметить [7-10, 12].
В численном моделировании стремление конструировать большое количество методов, как явных, так и неявных, вызвано тем, что различные методы обладают разными возможностями в отношении точности, устойчивости, трудоемкости и т.д.
Неявные строгие схемы обычно имеют широкий диапазон размеров шага, подходящий для приближения стохастических динамических систем, в особенности тех, которые вовлекают весьма различные временные шкалы, без чрезмерного накопления неизбежных ошибок округления. Таким образом, неявные схемы хорошо подходят, чтобы моделировать решения жестких стохастических дифференциальных уравнений. [2]
Неявные схемы для решения SDEwMSs и SDE с пуассонов-скими скачками рассматривались, например, в [4, 11, 13]. В [13] авторы изучают полунеявные методы (Semi-Implicit Euler-Maruyama Methods) и отмечают, что явные численные схемы являются намного менее точными в приближении, чем их неявные или полунеявные аналоги.
1. Предварительные сведения
Пусть (Q, F, P) - вероятностное пространство;
Ft, t0 < t < t0 + T - неубывающее семейство о-подалгебр F;
шг( ) - винеровский процесс. Пусть М = {1, ..., т} - конечное множество.
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение с марковскими переключениями в форме
(1) оХ(0 = а(Р^), Х(^)Л + Х(0)<аИ0,
где /3(?) - однородный марковский процесс со счетным множеством состояний М, в(0) = и0, Х(0) = х0.
(2) Р(РЦ+И) = I | ¿(0 = и, х(у), №), s < ^ = qul(x(t))h + о^), и ф I, где x(t) е^п, а(у): ^п хМ ^ ^п и ст(у): ^п хМ ^ ^пхп.
х) = (qul (x(t))) е^ тхт - матрица интенсивности перехо-
т
дов, где для каждого t qul(x) > 0 при и Ф I, quu = ^и, X qul (х) = 0
I=1
для каждого и е М.
Предполагается, что функции а(в(0,х(0) и о"(в(0, x(t)) определены при t е [t0, t0 + Т], х е ^ п и удовлетворяют следующим условиям:
- условию Липшица при всех при всех t е t0 + Т], х е ^ п ,
у е^ п , и е М :
(3) |а(и,х) - а(и,у)| + |а(и,х) - о(и,у)1 < К|х - у|, а также
(4) |а(и,х)| + |а(и,х)| < К(1 + |х|),
(5) функция а(в(0, x(t)) и все ее производные непрерывны;
- первые производные по х равномерно ограничены (чтобы выполнялось условие Липшица), а(в(0, х(^) имеет ограниченные третьи производные по х (таким образом La удовлетворяет равномерному условию Липшица), а остальные производные растут по х при |х| ^ да не быстрее линейной функции от |х|;
- функция о(в(0, х(0) непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема;
Здесь и далее используем следующие обозначения: |х| означает евклидову норму вектора х, ху - скалярное произведение векторов х и у; К - положительная константа.
ад) или просто Х(?) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным Хих(0) = х. Разобьем промежуток ^ + Т] точками деления 4 на N равных частей, так что
tk+i - tk = h, k = 0, 1, ..., N - 1, t0 + T = tN, h = T/N. Приближение к X(tk) будем обозначать X (tk), где X0 = X (t0). Далее пусть X -Fti -измеримая случайная величина и E\X\2 < да; Xtt x (t) означает решение уравнения (1) для tk < t < t0 + T, удовлетворяющее начальным данным при t = tk.
Будем использовать разложение Платена, подробно рассмотренное в [2, 3], для конструирования неявных методов численного решения уравнения (1). При построении численной схемы будем использовать функцию fß(t), x(t)) с переключаемой компонентой.
Пусть Xux(s) = X(s) - решение уравнения (1); fß, x), где ß = ß(t), X = X(t), - достаточно гладкая функция (скалярная или векторная). Согласно формуле Ито имеем для t0 < t< 3 < t0 + T
(6) f(ß(3),X(3)) = f(ß, x) +
3 3
+ jAf ß(3i),X(3i ))dv{3i) + jLf ß(3i),X3 , t t где операторы A и L определены следующим образом:
(7) A = (-1
( д\ i » » . . д2
(8) L = |a,—| + ^¿¿^ст- .
^ dx) 2 i=i j=i dx!dxj
Применим формулу (6) к функциям Af и Lf, а затем полученные выражения для Afiß(3), X(3)) и Lf(ß(3), X(3)) подставим в (6). Поступая так дальше можно получить разложения для f(ß(t + h), X(t + h)), где роль степеней выполняют повторные интегралы Ито (см. [3]). Путем ряда непосредственных подстановок далее получаем следующую формулу:
(9) f (ß(t + h),X(t + h)) = f + Af j drn(3) + Lf jd3
t+h t+h
+ Lf j d3 +
tt t+ h 3 t+h 3 3
+ A2 f j da(3)j da(3i) +A3 f j da(3)jda(3i) jda(32) +
t t t t t
6i
t+h 3 t+h 3 t+ и 3
+ Щ |d3Jda(31) + L^f | dю(3){с13х +1} / {d3Jс13х + R1,
t t t t t t где/=/ДО, ДО).
t+h 3 3 32
(10) ^ = {({({( {Л4/(03),ВД^^з^^х
t t t t X da(31)^а(3) +
t+h 3 3
+ К К {LЛ2/(Р(32),ВД)^>И3))И3) +
t t t t+h 3 3
+ К К {Л2Lf {Р3),X3)^3)>3)dffl(3) +
t t t t+h 3 3
+ { ( К {Л2Lf {Р3),XЗ^З)^(3)^3 +
t t t t+h 3 3 32
+ {({({ {LЛ3/(X(33),X(3^3^3^(3^0(3) +
t t t t t+h 3 3
+ { ( {( {L2Л/(Р3),X^ )d®(3) +
t t t t+h 3 3
+ { ( {( {L2Л/(0(32),X(32))d32^(3)^3 +
t t t t+h 3 3
{({( {Л!2/(0(32),X3)^3)>3 )3 +
t t t t+и (3(31
+ { { {!3/(0(32),X(32))d32)d3l)d3.
t ^ t у t
В [2] рассмотрены общие принципы построения неявных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. Г.Н. Мильштейном показано, что введение неявности за счет выражений, входящих в стохастические интегралы, может привести к заведомо неприемлемому методу. Напротив, путем введения неявности лишь за счет выражений, входящих в нестохастические интегралы, пытаются добиться
устойчивости методов, для чего, собственно, и конструируются неявные методы [2].
Далее построим конструктивный неявный метод, подходящий для практических моделирований решений уравнений вида (1). За основу берем неявную строгую схему порядка 1,5, используемую в [5, схема (3.9), стр. 162]. Для доказательства сходимости конструируемой численной схемы к решению уравнения (1) будем использовать метод Г.Н. Мильштейна, который автор применял для доказательства сходимости другой численной схемы к решению СДУ с аддитивными шумами ([2], стр. 59). Также будем опираться на теорему о порядке точности метода, основанного на одношаговой аппроксимации Г.Н. Мильштейна (см. [2], стр. 17 или [3], стр. 5). Приведем здесь теорему без пояснений для удобства ссылок.
Теорема 1. Пусть одношаговая аппроксимация Х(х ^ + И)
имеет порядок точности п\ для математического ожидания отклонения и порядок точности ц2 для среднеквадратичного отклонения, т.е., при любых t0 < t < t0 + Т- И, х е^" выполняются неравенства
Е (х,х ^ + И)-X ,х ^ + И))< К (1 + |х| 2)1/2 И"1,
- _ 211/2 2 Е\Х, х ^ + И)- Х(, х (t + И) < К (1 + |х| )1/2 И"2,
и пусть
"2 ^ 1/2, "1 ~ "2 +12. Тогда при любых N и k = 0, 1, ..., N выполняется неравенство
o(tk ) - Хо,Хo(tk )
12 <К(1 + ЕХ0|2УИ"2-2,
т.е. порядок точности метода, построенного с использованием одношаговой аппроксимации Х(х ^ + И), равен п = ц2 - 1/2.
2
2. Постановка задачи
Рассмотрим следующую формулу, которая получается из (9) заменой/в, х) на вектор х. В этом случае Л/ = о, Lf = а (см. [3], стр. 12):
t +h
(11) Хих(г + И) = х + а |da(Э) + ак +
t
t+И
+ Ла (5) - ))/«(5) +
t
t+k t+к + Lа | (5- ¿)/®(5) + Ла {(«(5) - ю(0+
t t '2а \
V
t +к (5 к 2
+ Л2а { {(«(5) -«(0^(5))/®(5) + La — +
В формуле (11) все коэффициенты о, а, Ло, Lо, Ла, Л2о, Lа вычисляются в точке (в, х), а остаток R2 равен
t+к 5 5 52
(12) R2 ={({({( |Л3а(^(5з),X(5з))/®(5З)У®(52))х (12) t t t t
х /®(51))/®(5) +
t+к 5 5!
+ {( {( {LЛа(P(S2),X(52))/52)/«(51)/«(5) +
t t t t+к 5 5
+ {( {( {Ла^),Х(52))/®(52))/5,)/®(5) +
t t t t+к 5 51
+ {( {( {Л2а(Р($2),X(52))/®(52)/®(5)>5 +
t t t t+к 5 51 52
+ {( {( {( {LЛ2а(P(S3),X(53))/53)/®(52))/ю(51))/ю(5) +
t t t t t+к 5 51
+ {( {( {1?а(Р(&2),X(&2))/$2>5 )/®(5) +
t t t
t+h » »1
+ К К JLAa(P(»2),X(»2))d»2)da(»)) +
t t t t+h » »i
+ J( J( jALa(^(»2),X(»2))d©(»2))d»i)» +
t t t t+h » »i
+ J ( J( JLa(fi(»2),X(»2))d»2)d»i)d».
t t t
Слагаемое a представим в виде суммы fia + (1 - f)a. В первом слагаемом этой суммы функцию a заменим выражением
t+h
(13) a(P,x) = a(P(t + h),X(t + h)) - JAa(P(»),X(»))da(») -
t
t +h
- JLa(P(3), X(»)) =
t
t +h
= a(P(t + h), X(t + h)) - Aa J da(») - Lah + R
4
где
t+h »
, — _ . . . Л2
4
tt t+h »
(14) R4 =-J (JA2 a(P(»i), X (»i))da(»i))da(») -
tt t+h »
- Lah - J (JLAa(P(»1 ),X(»))d»)da(») -
tt
t+h »
- J (JALa(P(»),X(»))da(»))d»-
tt t+ h »
- J (JL2a(P(»),X(»))d»)d».
tt
Подставим (13) в (11):
t+h
(15) Xux(t + h) = x + a Jda(») + ua(P(t + h),X(t + h))h -
t+h h 2 - uhAa J da(») + (1 - 2u)La— + (1 - ju)ah + t 2
г+И
+ Лст {(а(3) - а(г)^а(3) +
г
г+И г+И
+ Lст | (3- г^а(3) + Ла {(а(3) - а(г)^3 +
г г
г+И ( 3
+ Л2ст | I {(«(3!) - со^УаЗ)}1ю(3) + + Я3 .
г V г
В слагаемом (1 - 2^)£аИ2/2 снова представим La в виде суммы yLa + (1 - у^а и в первом слагаемом функцию La заменим выражением
(16) Ьа(р, х) = Ьа(р(г + И), X (г + И)) + Д5,
где
(17) Д5 = -{ L2а(3(3),X(3)^3- ¡Л1а(р(3),X(З)^а(З).
г г
Собирая все выкладки вместе, получим
г+И
(18) X(г + И) = х + ст {dа(3) +^а(((г + И),X(г + И))И +
г
г+И г+И
+ (1 - ц)аН - ^ИЛа { dа(3) +Лст {(а(3) - а (г))dа(3) +
г г
г+И г+И
+ Lст { (3- t)dа(3) + Ла {(а(3) - а(г)^3
г г
г+ И ( 3
+ Л2ст { I {«(3) - а (г))«(31 ))с (3)
'2ст { I { (а(31) - ю(г)рю(31)ра(3) +
г V г
И2 И2
+ (1 - у)(1 - 2^) 1л— + х(1 - 2^) La(p(t + И), X (г + И))— + Я3 +
И2
+ И + (3(1 - 2^) Д5у.
На основании лемм 1 и 2, доказанных Г.Н. Мильштейном (см. [2], стр. 37-40 или [3], стр. 11) и при соответствующих условиях (3), (4), (5), наложенных на функции а(в(г), х(г)) и СТ (3(г), х(г)),
И2
Ф = R3 + цЛ4 h + у(1 - 2ц) у удовлетворяет условиям
II I |2 1 Э Т 1 I |2 1 т
(19) |£Ф|<К(1 + |х| )2h3, (£Ф2)2 <К(1 + |х| )2h2.
Если в формуле (19) отбросить Ф, то получим неявную од-ношаговую аппроксимацию:
(20) X($ + И) = х + а(р, х)(со^ + h) - С)) +
+ + И), X(t + И))И + (1 - ц)а(Р, х)И -
t + И
- укЛа(Р, x)(ю(t + И) - с (t)) + Ло(Р, х) |(ю(9) - ю(t))С(9) +
t
t+h t+h + х) | (5-1^ю(З) + Ла(р,х) Дю(9) - С+
t t
t+ И ( 9
+ Л2а | I {(ю(9)-ю(t))dю(91))dю(9)
И2 - И2
+ (1 - у)(1 - 2ц)La(p, х) — + у(1 - 2 ц)La(p(t + И), X(t + И)) — .
Одношаговой аппроксимации (20) отвечает двухпараметри-ческий неявный метод (обозначим далее Х^ = Yk, = Рк, И = А к):
(21) Гк+! = Гк +Ца(&+1, Г^) + (1 - И)а(Рк, Гк )}Ак + + (2 - ц){уа(08к+,, Гк+!) + (1 - у)La(Pk, Гк )}А2к + + (а(Рк, Хк) Ас + La(Pk, Хк) I (оЛ) + + Лафк,Хк){/(1,0) - ЦА®Ак })+Л^(£к,Хк)^(1,1) + + ^ (1,1,1),
где 7(0д), 1(1,0), 1(1,1), 1(1,1,1) - повторные интегралы Ито (см. [3], стр. 9).
Рассмотрим, как осуществляется с помощью данной численной схемы состояние - зависимая модель переключений. Будем считать, что - стохастически непрерывный процесс,
для которого + И) ^при И ^ 0. Временной интервал
разбивается на подынтервалы [0, ¿О, [¿ь ^ + ¿2), ..., на которых в(0 постоянно, 4 - случайные моменты переключения марковской цепи. Далее будем рассматривать последовательность в(4) как дискретно-временной стохастический процесс, аппроксимирующий в(0 в соответствующем значении.
Будем рассматривать пару процессов в(0 и х(^ совместно как марковскую цепь следующим образом. Значения Yk+1 генерируются рекурсивно согласно (21), используя предыдущие значение Yk, и одновременно генерируются значения вш, также используя значение Yk (х = Yk в матрице переходных вероятностей Р = I + ДQ(x)) [3].
Сформулируем и докажем теорему сходимости метода (21) с среднеквадратичным порядком точности 3/2 к решению уравнений вида (1).
Теорема 2. Пусть коэффициенты а(в, х) и о(в, х) уравнения (1) удовлетворяют условиям (3), (4), (5). Тогда порядок точности метода (21), построенного с использованием одно-шаговой аппроксимации (20), равен 3/2.
Доказательство. Подсчитаем разность
(22) X (Г + И) - X(Г + И) =
= ¡и(а(р(Г + И),X(Г + И)) - аф + И),X(Г + И)))к +
+ (1 - 2и)у^аф^ + И), X(Г + И)) - La(p(t + И), X(* + И)))И- + Ф .
Так как функции а и La удовлетворяют условиям Липшица, то
(23) X^ + И) - X^ + И) < \\ • ИГ • (X(t + И) - X^ + и) +
, 111 И2 , - I , ,
+11 - 2\\ • И • ^ — • X^ + И) - X^ + И) + |Ф| . Тогда при достаточно малых И
(24) X^ + И) - X^ + к) < 2Ф . Поэтому, используя (19),
(25) Е\Х(, + И) - X(, + И) < К
1 + х'
И 4.
+
Из(24)следует
(26) \Е(х(, + И) - X(, + И)) < • ИК • Е|х(, + И) - X(, + И)|
, 111 И2 I - , , ,
+11 - • \у\ • К — • Е|х(, + И) - X(, + И) + |ЕФ| . Отсюда, благодаря (25),
(27) Е^(, + И) - X(, + И) < К(1 + |Х2 )2 И2, и далее
(28) |Е(X(, + И) - X(, + И)) < К(1 + |х|2 И3.
Неравенства (25), (28) и теорема 1 доказывают, что метод (21) имеет порядок точности 3/2 и может обеспечивать приближение решения уравнений вида (1). Теорема доказана.
Аналогично можно рассмотреть более простые методы (частные случаи рассмотренной схемы (21)), основанные на явных сильных схемах Эйлера (Еи1ег-Магиуата) и Миль-штейна, подобным образом доказывая их сходимость к решению уравнения (1).
3. Пример
Рассмотрим следующее линейное стохастическое уравнение
(29) dXt = ЕК^ + GXtdat,
на временном интервале [0, Т], X0=1. Определим матрицы
Е =
(- f (Р, х) f (Р, х)' f (Р, х) - f (Р, х)
(
G = я (Р, х)1 =
Я (Р, х) 0
Л
ч о я (Р, х), где I - единичная матрица, в = в(,), х = x(t);
(
(30) X, = X0 ехр
Е -1G2 , + Ga
\
- решение уравнения для t е [0, Т] и данного винеровского процесса ю={юь t > 0}; М = {1, 2, ..., т} - число состояний марковской цепи.
Зададим начальные значения 70 = Х0, во = и0 и будем рекурсивно генерировать 100 значений Ук с равным значением шага А согласно (21), где Дк - есть длина временного интервала дискретизации »0 = т0 < т1 < ... < тк < ... < т^ = Т на временном интервале Т].
Для сравнения будем использовать (30), чтобы определить соответствующие значения точного решения, используя ту же примерную траекторию винеровского процесса на подынтервалах тп < t < Тп+1.
Рассмотрим результаты численного решения уравнения (29), выбирая различные варианты задания матрицы переходов Р, шага дискретизации А, значений функций _Дв, х), g(вt, х)
Пустьх) принимает два значения - {щ, а2}, соответствующие первому и второму состоянию марковской цепи. g(вt, х) принимает два значения - {Я1, Я2}.
= 0,5, ^2 = 0,5, у1 = 1, 72 = 1.
1. в =
^ - 5cos2 х 5cos2 х ^
10cosх -10cosху а! = 8т х + С08 х; а2 = 2 - 8т 2х; Я: = 0,2; ¿2 = 0,005;
; Р = I + в А;
Рис. 1. Аппроксимация yt (зеленая кривая) и первая компонента точного решения X (синяя кривая) А = 0,5 (Т = 5)
File Tools Edit
Рис. 2. Аппроксимация yt (лиловая линия) и вторая компонента решения X (черная)
БсМаЬСгарИМО) [ЫШП^^ЙГ
оЙоМЫ
Рис. 3. Марковская цепь
Рис. 4. Л = 0,1 (Т = 1)
Рис. 5. А = 0,05 (Т = 0,1)
п
Рис. 6. А = 0,002 (Т = 0,02)
Рис. 7. А = 0,0008 (Т = 0,004)
2. Q =
; Р = I + Q А;
cos X cos X
3sin х 3 sin х
V У
а1 = 2 + sin х; а2 = 1 + sin х cos х; Я = 0,2; Я 2 = 0,8;
Рис. 8. А = 0,6 (Т = 3)
Рис. 9. А = 0,006 (Т = 0,3)
3.
Q =
5cos2 х
5сс^2 х Л
ч 10cos2 х -10ху
; Р = I + Я А;
а\ = sin х + cos х; а2 = 1 + cos х; = 0,02; ^2 = 0,3;
Рис. 10. А = 0,5 (Т = 1); марковская цепь
Рис. 11. А = 5 (Т = 10); марковская цепь
ДэНЧИ
1(1 1 п I I г г
и и 111_II_I
Рис. 12. А = 0,01 (Т = 0,05); марковская цепь
Рис. 13. А = 0,001 (Т = 0,01); марковская цепь
Далее приведем пример использования неявной схемы Эй-
лера:
Ук+1 = Ук + {ца (Рк+1, Гк+1) + (1 - М)а (Рк, Гк )}А к + I ^ (Рк, Хк )Ас
г=1
Q =
5cos2 х 5cos2 х
^ 10cos2 х - 10cos2 ху
; р = I + й А;
а\ = 2 + sin х; а2 = 1 + sin х cos х; Я = 0,2; ¿2 = 0,01;
Рис. 14. А = 0,5 (Т = 5); марковская цепь
Рис. 16. А = 0,008 (т = 0,04); марковская цепь Пример применения неявной схемы Мильштейна:
Ук+1 = Гк + Ырк+1, Ук+1) + (1 - и)а(рк, Ук )}дк + + Е ^ (Рк, хк) дю г + Е Е л ^ (рк, хк )1 (1,1),
Г=1 Г =1 1=1
где 1(0,1), 1(1,0), 1(1,1), 1(1,1,1) - повторные интегралы Ито (см. [3], стр. 9).
Рис. 17. А = 0,6 (Т = 3); марковская цепь
Информационные технологии в управлении Литература
1. КУЗНЕЦОВ Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. - Спб.: Изд-во Политехнического университета, 2007. - 800 с.
2. МИЛЬШТЕИН Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. - Свердловск: Изд-во Уральского университета, 1988. - 224 с.
3. ЧЕРНЫХ Н.В., ПАКШИН П.В. Алгоритмы численного решения стохастических дифференциальных систем с переключаемой диффузией // Управление большими системами. - 2012. - - №36. - 315 с.
4. HIGHAM D.J. Convergence and stability of implicit methods for jump-diffusion systems // Int. J. Numer. Anal. Mod. - 2006 -№3. - P. 125-140.
5. KLOEDEN P. E., PLATEN E., SCHURZ H. Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 294 p.
6. LI H., XIAO L., YE J. Strong predictor-corrector Euler-Maruyama methods for stochastic differential equations with Markovian switching // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2013 - Vol. 237, Issue 1. - P. 5-17.
7. LI R., PANG W. K., LEUNG P. K. Convergence ofnumeri-cal solutions to stochastic age-structured population equations with diffusions and Markovian switching // Applied Mathematics and Computation. - 2010 - Vol. 216, Issue 3. - P. 744-752.
8. MAO X., YUAN C., YIN G. Approximations of Euler-Maruyama type for stochastic differential equations with Mark-ovian switching, under non-Lipschitz conditions // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 205, Issue 2. - P. 936-948.
9. MILOSEVIC M., JOVANOVIC M. A Taylor polynomial approach in approximations of solution to pantograph stochastic differential equations with Markovian switching // Mathematical and Computer Modelling. - 2011 - Vol. 53, Issues 1-2. -P.280-293.
10. RATHINASAMY A. Split-step 9-methods for stochastic age-dependent population equations with Markovian switching // Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2012 - Vol. 13, Issue 3. - P.1334-1345.
11. RATHINASAMY A., YIN B., YASODHA B. Numerical analysis for stochastic age-dependent population equations with Poisson jump and phase semi-Markovian switching // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. -2011 - Vol. 16, Issue 1. - P. 350-362.
12. WU S.J. AND ZHOU B. Existence and uniqueness of stochastic differential equations with random impulses and Markovian switching under non-lipschitz conditions // Acta Mathematica Sinica. - 2011. - Vol. 27, Issue 3. - P. 519-536.
13. YIN B., MA Z.. Convergence of the semi-implicit Euler method for neutral stochastic delay differential equations with phase semi-Markovian switching // Applied Mathematical Modelling. -2011 - Vol. 35, Issue 5. - P. 2094-2109.
14. YIN G., MAO X., YUAN C. AND CAO D. Approximation methods for hybrid diffusion systems with state-dependent switching processes: numerical algorithms and existence and uniqueness of solutions // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 2010 - Vol. 41, №6. - P. 2335-2352.
15. YIN G., ZHU C. Hybrid switching diffusions. Properties and applications. - Stochastic modeling and applied probability, Springer Science + Business Media, LLC, 2010.
16. YUAN C., MAO X. Convergence of the Euler-Maruyama method for stochastic differential equations with Markovian switching // Mathematics and Computers in Simulation. -2004. - Vol. 64, Issue 2. - P. 223-235.
IMPLICIT STRONG METHODS FOR THE NUMERICAL SOLUTION MODELLING FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MARKOVIAN SWITCHING
Nadezda Chernykh, post-graduate student ([email protected]).
Abstract: We study implicit strong approximate methods for stochastic differential equations with Markovian switching (SDEwMSs). Theoretical results are verified with numerical examples in Scilab framework.
Keywords: stochastic systems, Markovian switching, state-dependent switching, implicit strong numerical scheme, convergence.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А.П. Курдюковым
Поступила в редакцию 17.08.2012.
Опубликована 31.07.2014.
