НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОС НЕДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ ЗАРЯДОВЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В ПОТОКАХ СЛАБОИОНИЗОВАННЫХ ГАЗОВЫХ ПЛАЗМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.453/.457.015.2

НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОС НЕДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ ЗАРЯДОВЫХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В ПОТОКАХ СЛАБОИОНИЗОВАННЫХ ГАЗОВЫХ ПЛАЗМ

Перевозников Евгений Николаевич

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербургул.Ждановская 13.

INSTABILITIES AND CHAOS OF NON-DISSIPATIVE SYSTEMS ON THE EXAMPLE OF CHARGE INSTABILITIES IN FLOWS OF WEAKLY IONIZED GAS PLASMAS

Perevoznikov Evgeny Nikolaevich

Military space Academy. A. F. Mozhaysky, 197198, St. Petersburg, Zhdanovskaya str. 13.

АННОТАЦИЯ

На примере потока слабоионизованной газовой плазмы рассматриваются условия формирования неустойчивостей в системах без диссипации. Получен спектр возбуждения высокочастотных зарядовых неустойчивостей в приближении высоких скоростей компонент и градиентов возмущений. Показано, что неустойчивости систем без диссипации имеют характер хаотических колебаний.

ABSTARCT

Using the example of a weakly ionized gas plasma flow we consider the conditions for the formation of instabilities in systems without dissipation. The excitation spectrum of high frequency charge instabilities in the approximation of high component velocities and perturbation gradients is obtained. It is shown that instabilities of systems without dissipation are in the nature of chaotic oscillations.

Ключевые слова: неустойчивости недиссипативных систем, поток слабоионизованной газовой плазмы, высокочастотные зарядовые неустойчивости.

Keywords: instabilities of non-dissipative systems, weakly ionized gas plasma flow, high-frequency charge instabilities, high velocities and perturbation gradients

1. Введение.

В работе продолжаются исследования, посвященные условиям возникновения неустойчивости и хаоса в различных системах. В данной работе рассматриваются системы без диссипации, для которых характерна высокая степень неравновесности. В качестве такой системы используется поток слабоионизованной газовой плазмы в приближении больших скоростей и градиентов, сопровождающийся различными неустойчивостями. Потоки слабоионизованной плазмы формируются при истечении продуктов сгорания в камерах реактивных двигателей и рассматривались с помощью различных моделей в ряде работ [1-3].

В работах [4,6] для описания течения слабоионизованной газовой плазмы, состоящей взаимодействующих электронной, ионной и нейтральной компонент в используется модель трехжидкостной гидродинамики, на основе которой построена система уравнений движения для скоростей компонент, массовой и зарядовой плотности.

В работах [4,5] приведены результаты численного исследования потока, в [6] аналитически рассматривается устойчивость

потока, получены общие условия возбуждения под влиянием неоднородностей, ионизации, индуцированных и внешних полей различных неустойчивостей. В настоящей работе рассматривается устойчивость потока

относительно высокочастотных,

высокоградиентных возмущений, при этом поток приобретает свойства "гамильтоновских" систем -систем без диссипации.

2. Спектральный метод анализа устойчивости.

являются спектральные методы, состоящие в анализе спектров динамики малых возмущений. При этом задача формулируется следующим образом.

Пусть состояние системы задается совокупностью макроскопических характеристик {аа} удовлетворяющих уравнениям движения

dtaa = Fa(r,t,{aa})

а = 1... п. .(1)

Линеаризацией этих уравнений получается система уравнений, описывающих динамику малых возмущений {5аа} исходного состояния(аа]

SFa

dtSaa = 'Zej--L-ôa0 = Е,

apSap

a,p = l.

.(2)

n

EaP = (^¡r)s=EaP(r,t,V,íxtx,{aa})

где Еав - элементы эволюционного матричного оператора, зависящие в общем случае от параметров исходного состояния, координат - г , времени - t , градиентов -V, интегральных операторов типа свертки по пространству и времени - /ж(.х .

Условие разрешимости системы (2), являющееся её спектральным уравнением - (СУ)

D — det[SapA — Еар] — 0

(3)

определяет спектр собственных значений -{Ла} эволюционного оператора и устойчивость исходного состояния - {аа}.

В преобразовании Фурье - Лапласа по возмущениям в случае стационарных исходных состояний, а также в случаях, когда исходные зависимости слабы на фоне высокоскоростных и высокоградиентных возмущений (метод локального дисперсионного уравнения - ЛДУ), спектральное уравнение приобретает

полиномиальный вид

0(г,к,а5) = гп + ^Ат(г,к,а5) ■ гп-т = 0,(4)

где г , к - параметры преобразования Фурье -Лапласа, Ат =( а т + I Ь т) - комплексные коэффициенты СУ.

В классической постановке задача анализа устойчивости сводится к исследованию корней спектрального уравнения.

Признаком неустойчивости является наличие корней СУ с положительной вещественной частью Re >0 . Если все корни СУ имеют отрицательные

^ = Яе z + iш, А z

вещественные части, то исходное состояние задаваемое {а5} - устойчиво. Хаос, как разновидность неустойчивости, связан с наличием колебаний и взаимодействием растущей и затухающей мод, т.е. наличием в спектре особой точки седло-фокуса.

Так как точное решение уравнения (4) с комплексными коэффициентами для п>2 невозможно, то для анализа используются критерии знакоопределенности вещественной части корней - критерий Рауса - Гурвица, метод D-разбиений, частотные критерии. Однако, их эффективность в силу громоздкости и сложности вычислений, особенно при анализе значительно неравновесных систем, невысока. На практике чаще всего используют численные методы или ищут специальные критерии, применимые для некоторых типов задач.

В работах [7-10] предложено ряд методов практического анализа устойчивости систем описываемых уравнениями (1)

продемонстрированные на задачах с различным типом динамики в том числе и хаотической. Непосредственно в работе [6] для исследования устойчивости потока использовались критериями нейтральности. Суть этих методов состоит в определении по коэффициентам динамических уравнений (2) или по коэффициентам спектрального уравнения (4) нейтральной поверхности - границы, разделяющей в пространстве параметров области устойчивости и неустойчивости.

а) Метод НРИ (нейтральность, разделение, исключение) основан на спектральном уравнении (4) и реализуется следующей схемой

— z — z cr, Л a s — a s — a s,cr)

f D(z,r,as) = 0 1 (Di(a,k,as) — 01 (S(k,as) — 0 ' } {D2(M,k,as) — 0 J \шсг — ш(к,а5).

{

^ Re(Az) —

daD

dzD

Aa„

>ну 0 <У 0

(5.1) , (5.2) , (5.3) . (5.4)

cr

(5.1) - нейтральность - условие равенства нулю вещественной части корней СУ;

(5.2) - разделение спектрального уравнения на два при условии нейтральности;

(5.3) - исключение из этих уравнений частоты или одного из параметров и получение нейтральной поверхности - S(k,as) и критической частоты -

&cr(k,as);

(5.4)- указание областей устойчивости -неустойчивости относительно нейтральной поверхности.

Схема НРИ полностью реализуется для полиномиальных СУ, общие условия нейтральности (5.3) в этом случае имеют вид

S(k,as) — R[D1(w,k,as),D2(w,k,as)] — 0 ш — шсг — NOD[D1(<ti,k,as),D2(<ti,k,as)] — 0 ,(6)

где R - результант, а NOD - наибольший общий делитель полиномов D1 и D2 .

Особым является случай, когда одно из уравнений (5,2) удовлетворяется тождественно или является следствием другого. Тогда приходиться привлекать дополнительные условия - условие кратности мнимых корней или асг =0 и др. Например, для "гамильтоновских" систем (систем без диссипации), спектральное уравнение которых имеет вид:

Б (г) = гп + 1Ъ1гп-1 + а2гп-2 + 1Ъ3гп-3+...= 0 , (7)

а корни чисто мнимые, либо попарно симметричны относительно мнимой оси.

В этом случае устойчивым состояниям соответствуют чисто мнимые корни СУ, а точкой смены устойчивости является слияние пар мнимых корней и появление корней с симметричными вещественными частями т.е. появление седло-фокуса (см. рис. 1).

При этом схема НРИ имеет вид (5) с той лишь D2(ю)=ЗюDl(ю)=0 . (8)

разницей, что уравнения (5.2) заменяются

уравнениями Т.о. схема (5), в которой уравнения для Dl и D2

имеют вид (8), является модификацией метода НРИ 01(со)=(-1)" 0(1т,кП)=0 ддя гамильтоновских систем.

I

zi

R

Рис. 1 Нейтральность "гамильтоновских" систем.

3. Исходные уравнения. Итак, согласно [6], поток трехкомпонентной

слабоионизованной газовой плазмы описывается уравнениями вида

mene(dt + UeV)Ue + Vpe + menevea(Ue - Ua) + eneE = 0 mini(dt + UiV)Ui + Vpj + minivia(Ui - Ua) - ещЕ = 0 dtp + V(pU) = 0

dtq + Vj = 0 . (9)

Где пе ^а , ие ^а - соответственно концентрации и скорости электронной, ионной и нейтральной компонент; температура - Т; массовая скорость - U , массовая - р и зарядовой - q плотностью. у = е(а^ — гие)п~^^- плотность электрического тока

Е = Е5+ Е1па , VEind = ц/е0 -

напряженность стационарного и индуцированного

нарушением электронейтральности поля, -средняя частота столкновений между частицами компонент.

Параметры потока связаны между собой, степенью ионизации -а и относительной электронной концентрацией ] = а — ц/впп^0 соотношениями:

п< = an

(0)

q = e(a-r))n{°)

(0)

па = (1- a)

(0)

P = ZPß = (1 +V)n(a)kT;

p = [meTj + mta + (1 - a)ma]n(°) = [me(a -ij)+ ma]P/( 1 + ij)kT;

Ua = [me^Ue + miaUi +ma( 1 - a)Ua]n^/p

(10)

В уравнениях (9) ввиду слабой ионизации магнитное взаимодействие компонент не учитывается и рассматривается одномерная задача.

Также для упрощения анализа, уравнение движения нейтральной компоненты, влияние на которую заряженных компонент из-за слабой ионизации несущественно, исключается из общего анализа и рассматривается отдельно для

аг] = с оп5С^з~ехр( —

определения стационарных характеристик. Влияние температуры учитывается косвенно через уравнения связи (10), а также уравнения политропического процесса и ионизационного равновесия Саха (п- показатель политропы, V-потенциал ионизации частиц нейтральной компоненты).

р = Vo(T/To)n/n-

и

и

При переходе в (9) к безразмерным переменным

IJß — U/v dt — (Äo/vT°d)dt; F •= riß — nß/n0;

T — kT/ma(v p — р/тащ; q — q/ещ; J — j/ещу ^

p — p/noma(v D2; E — eEÄo/ma(v (r0a))2; VEind — Qq : =

.(11)

,(12)

п Т Я пробега частиц нейтральной компоненты,

где 0 0 0 - равновесные значения появляются два безразмерных комплекса

концентрации, температуры и длины свободного

[т~ Я о

Xß

I mß Я

ß Л ß

в _ е2ПоЯо2 _ 1 (ЯА2

£0ma(vTa0)2 a\vi) \h' '

гдее0 - диэлектрическая постоянная, Хр - Для описания возмущений в качестве

коэффициент газодинамического рассеяния на независимых переменных в [4] используются нейтральной компоненте, 9 - характеризует величины относительную энергию кулоновского

взаимодействия в объеме Л0, а также пропорционален квадрату отношения плазменной частоты колебаний к средней частоте столкновений частиц нейтральной компоненты.

{xi} = t^U^UtJ.a}

i ima e ma i J

.(13)

При этом заряд и плотность будут являться функциями температуры и степени ионизации

Sq — dTq • ST + daq •Sa , Sp = dTp • ST + dap • Sa

[z • Syß + eYß]SXß — SXyo . (14)

После линеаризации уравнений (9) относительно величин (13) и перехода к преобразованию Фурье-Лапласа по возмущениям (д( ^ г , 7 ^ следует система уравнений для возмущений (здесь и далее г,к -параметры преобразования Фурье-Лапласа)

ерр =Хр+Щ;

е12 = е21 = 0; Р = 1,2(е,0;

у = 3,4 (Т,а);

Элементы эволюционной матрицы Ё = {еар} соответственно имеют вид:

eßv — ik

(-l)ßkk2SY3^/dYriß

T

riß

+

VnR

riß

JY 3

(-l)r+1 г ~ и

eyß =---[drq • dßU • p+ - ikdßjdyp]

~~dYnß niß

e3v = 1 [d«q (dyp • U + + dyU • p+) - ikdap • dyjj

& Дм — .

( dyp • U + + dyU • p+) — ikdTp • dyjj

(15)

и введены условные обозначения

A+ = VAS + ikAs; А = (p, q) = (dTp • daq — dap • dTq); d( •= [3t + (pT^ + dpTjdT]P)dri + dEp • dp] • da •= (da + daVdr) •

1

Производные в коэффициентах (15) малости величин ше/ш; ; а. ], в безразмерном виде вычисляются с помощью уравнений (9) и, с учетом соответственно равны:

— 6 (10-4 + 10 -5) << 1; — = 1; а, ] 6 (10-10 + 10-6) << 1

т,

т,

deu = v diU = a; daU = (ut-ua)+ — ■(ue + ua)(ue + ua) da71 = (ui-uay,

m,

dTU = — m,

me (Ue + Ua)

5 eV

vr, r = 2 + kT;

tj TJ TJ д

д„-п =--; дТл = r ■-, d„n = -— ;

ai a' Tl ' T p p e,,a du,

Л P 1 ( V\ (a \p

ap = aP; dT~p = ïV-\; daq = (1+a)p; dTq = (^-Y-^roj^;

e,i,a

a

f~4~\ ma

da} = (Ui + - ■ Ve) p; dj = ap; deJ = - — ■ rçp; daщ = p;

dTÎ = a ■ f

("¡—■"в)-7 ■r ■

У a > n -1 a

Г ■ Ue

drn„

= -7 + r) ; dane =---p;

T \n-1 J a 6 a

и ~ p 1 A P

dTn: = — ■ a--- ; A = —,--

T ' T n-1 T(n-1)

Л Л

(1 + ß); ro = r -1; Яо = (1^) .

Спектральное уравнение системы (9), алгебраическому уравнению четвертой степени с определяющее устойчивость потока в комплексными коэффициентами преобразовании Фурье-Лапласа, сводится к

D(z,k) = det[zSaß - eaß] = Z4=oAiZ4-i = 0

.(16)

Для анализа устойчивости потока отношению к высокочастотным, коротковолновым использовались cформулированные в работе [7] возмущениям, которым соответствует ш ,к >> 1.

метод НРИ и - L критерий. В работе [6] исследовалась устойчивость потока относительно

4. Анализ устойчивости.

В случае коротковолновых, высокочастотных

умеренных неоднородностей и скоростей возмущений, оставляя в коэффициентах возмущений. В настоящей работе методом НРИ спектрального уравнения только старшие по рассмотрим особый режим устойчивости по градиентам -к члены, уравнение (16) и его

коэффициенты примут вид (см.(15) а также [4])

D(z,k) = z4 + ik\A1\z3 + (ik)2\A2\z2 + (ik)3\A3\z + (tk)4 |A4| = 0 |Ai! = 1.5( Ue + Uj + Ds ;

,(17)

\A2\ =

UeUi + 0.5(Ue + Ui)(Ue + Ut + 3Us) - 0.5- — T

a m„

\A3\ = 0.5 UiUe(Ue + Ut + 2Us) + 0.5(Ue + U,)2Us - 0.5T [ue + Us + ^(<Je + Ц)

\A4\ = Us[0.5UiUe(Ue + Ui) + 0.5 T(ue +~Ui)] .

(18)

u

d

Т.е. спектральное уравнение (17) приобретает вид (7) с чисто мнимыми или комплексно сопряженными корнями. Система становится " гамильтоновской" - системой без диссипации, а ее фазовые траектории в устойчивом состоянии приобретают характер предельного цикла, при этом корни соответствуют точкам, лежащим на мнимой

оси комплексной плоскости корней (см. рис.1). Точка слияния корней на мнимой оси отражает нейтральность - границу устойчивости системы, появление комплексно-сопряженных корней -неустойчивость. Таким образом, неустойчивости "гамильтоновских " (недиссипативных систем) имеют характер хаотических колебаний.

Вводя новую переменную у = 2/1к05, уравнение (17) преобразуется к виду

Б (у) = у4 + Л1у3 + Л 2у2 + А3у + Л4 = 0 ,

где коэффициенты А^ = 1А1/05соответственно равны

А1 = 2.5 + 1.5 0е ; Л2 = 2 + 30е + 0.50е2 — 0.5^

(19)

А3 = 1.50е + 0е2 - 0.50е$ ; Л4 = 0.5(0е2 + О ,

(20)

введены обозначения относительной электронной скорости - 0е и относительной температуры

и = и /и,

± тТ~

а т О2,

та « 1, скорость частиц ионной компоненты мало отличается от скорости частиц нейтральной компоненты и соответственно массовой, т.е. и I / и

Значения величины г = т./к05 = ¿у, выраженные через корни уравнения (19) в зависимости от 0е и относительной температуры ^, приведены в таблицах 1,2.

а также учтено, что те/та<<1, и что в отсутствии внешних полей и близости масс ть/

Зависимость корней спектрального уравнения от электронной скорости

Таблица 1

0е/<Т ^3 ¿4

0.1/1 0.639-11.49 -0.639-11.49 0.429+10.165 -0.429+10.165

0.5/1 0.641-11.61 -0.525-11.6 0.538-10.014 -0.538-10.014

1/1 0.612-11.79 -0.612-11.79 0.612-10.21 -0.612-10.21

2/1 0.390-12.21 -0.390-12.21 0.636-10.538 -0.636-10.538

2.4/1 0.076-12.41 -0.076-12.41 0.613-10.643 -0.613-10.643

2.45/1 0-12.55 0-12.34 0.610-10.655 -0.610-10.655

5/1 0-12.90 0-15.20 0.351-10.952 -0.351-10.952

10/1 0-15.40 0-110.1 0.158-10.996 -0.158-10.996

3500/1 0-11750 0-13500 0.00042-11 -0.00042-11

4000/1 0-12000 0-14000 0-11 0-11

Таблица.2

Зависимость корней спектрального уравнения от относительной температуры_

0е/<Т ¿1 ¿4

1/0.5 0.593-11.65 -0.593-11.65 0.593-10.355 -0.593-10.355

1/1 0.613-11.79 -0.613-11.79 0.612-10.209 -0.612-10.209

1/5 0.702-12.32 -0.527+11.78 0.702+10.32 -0.702+10.32

1/10 0.575-12.68 -0.575-12.68 0.575+10.683 -0.575+10.683

1//15 0.248-12.75 -0.248-12.75 0.248+10,952 -0.248+10,952

1/15.9 0.079-12.99 -0.079-12.99 0.079+10.995 -0.079+10.995

1/16 0-13 0-13 0+11 0+11

1/30 0-12.542 0-14.533 0+10.542 0+12.533

Из таблиц 1,2 следует, что в потоке слабоионизованной трехкомпонентной плазмы существуют высокоградиентные,

высокочастотные, хаотические колебания, зависящие как от относительной электронной скорости, так и от температуры.

При умеренных температурах и скоростях существует два типа хаотических колебаний, отличающихся частотами. С ростом температуры и электронной скорости хаос исчезает, переходя в незатухающие колебания близких частот в соответствии с рис.1.

Также из табл.1,2 видно, что температура одинаково влияет на оба вида хаотических

колебаний, в частности критическая температура для них %сг Е (15.9 —16). Напротив, рост электронной скорости по разному воздействует на колебания - одни исчезают при 0е Е (2.40 — 2.45), вторые при очень высоких 0е Е (3500 — 4000). Хаотическая неустойчивость также проявляется в перемене знака частоты (т.е. в смене направления волны возмущения по отношению к направлению потока).

Отметим также, что расчет критических частот по условию нейтральности (6) с учетом (8) для "гамильтоновских" систем дает значения близкие к расчетным по спектру. А именно формула для

расчета критической частоты по условию нейтральности (6) принимает вид

шгг —

G2- \G2-4G1G3

(21)

где

3Аз, Оз — -А1А3

G1—-AI

2A2 , G2 1A2

4A4

Для нейтрального режима 0е/ £ =(2.4/1 -2.45/1) см. табл.1 шсг = -0.523.

Для второго нейтрального режима 0е/^ =(1/15.9 -1/16) см. табл.2 <^сг = -2.97.

5. Заключение

В работе, на примере устойчивости потока слабоионизованной газовой плазмы относительно коротковолновых высокочастотных возмущений, рассматриваются условия устойчивости "гамильтоновских" систем - систем без диссипации.

Показано, что спектральное уравнение, характеризующее динамику возмущений потока в предельном случае высоких градиентов и частот, приобретает "гамильтоновский" вид т.е., устойчивому состоянию соответствуют чисто мнимые корни, а фазовые траектории имеют вид предельного цикла; неустойчивости в этом случае соответствует слияние мнимых корней, образование в фазовом пространстве точек седло -фокуса. А неустойчивости реализуются в виде хаотических колебаний.

Приведен расчет спектра возмущений плазмы, получены граничные значения относительной электронной скорости и температуры для возбуждения хаотических зарядовых колебаний.

Значения критических частот рассчитанные по условию нейтральности (6) для "гамильтоновских" систем дает значения близкие к расчетным по спектру.

Приведенная система уравнений потока слабоионизованной газовой плазмы относительно коротковолновых высокочастотных возмущений и спектральное уравнение позволяют исследовать влияние на динамику потока и других параметров плазмы.

А полученные в работе результаты могут быть полезны для оптимизации работы устройств с потоками слабоионизованной плазмы.

Литература

1. Сб. Неустойчивость горения в ЖРД, //Под ред. Харрье Д.Т., Ридона Ф.Г.// М.Мир, 1975 ,869с

2. Ватажин А. Б.. Грабовский В. И., Лихтер В. А., Шульман В. И., Электрогазодинамические течения, Наука,М ., 1983.

3. Натанзон М.С., Неустойчивость горения, М. Машиностроение, 1986, 292с.

4. Пинчук В.А., Низкотемпературная плазма в условиях внешних акустических воздействий, ИФЖ, 1994, т.67, № 1-2,с. (112-118).

5. Пинчук В.А., Двигательная электризация как явление, отображающее развитие зарядовой неустойчивости в среде продуктов сгорания при истечении, ЖТФ, 1997, т.62,вып.8, С.(21-26).

6. Перевозников Е.Н. , Пинчук В.А., Швейко Ю.В., Динамика возмущений слабоионизованной плазмы в условиях камер тепловых энергопреобразователей, ИФЖ, 2002, т.75, № 6, с.(14-18).

7. Перевозников Е.Н. Методы анализа устойчивости неравновесных систем, Изв.Вузов, физика, 2006, № 10,с.(34-39).

8. Перевозников Е.Н., Критерий устойчивости нелинейных систем, Изв.Вузов ,физика, №56, 2013, (151-154)с.

9. Скворцов Г.Е., Перевозников Е.Н., Теория неустойчивости и критерии хаоса, Международный научно-исследовательский журнал, физико-математические науки, 2016,№7, ч.4,(98-101)с.

10.Perevoznikov E.N., Skvortsov H.E., Criteria for instability and Chaos in nonlinear system, Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018,v 6, №2,p(322-328).

Literatura

1. Sb. Neustojchivost' goreniya v ZHRD, //Pod red. Harr'e D.T., Ridona F.G.// M.Mir, 1975 ,869s

2. Vatazhin A. B.. Grabovskij V. I., Lihter V. A., SHul'man V. I., Elektrogazodinamicheskie techeniya, Nauka,M ., 1983.

3. Natanzon M.S., Neustojchivost' goreniya, M. Mashinostroenie, 1986, 292s.

4. Pinchuk V.A., Nizkotemperaturnaya plazma v usloviyah vneshnih akusticheskih vozdejstvij, IFZH, 1994, t.67, № 1-2,s. (112-118).

5. Pinchuk V.A., Dvigatel'naya elektrizaciya kak yavlenie, otobrazhayushchee razvitie zaryadovoj neustojchivosti v srede produktov sgoraniya pri istechenii, ZHTF, 1997, t.62,vyp.8, S.(21-26).

6. Perevoznikov E.N. , Pinchuk V.A., SHvejko YU.V., Dinamika vozmushchenij slaboionizovannoj plazmy v usloviyah kamer teplovyh energopreobrazovatelej, IFZH, 2002, t.75, № 6, s.(14-18).

7. Perevoznikov E.N. Metody analiza ustojchivosti neravnovesnyh sistem, Izv.Vuzov, fizika, 2006, № 10,s.(34-39).

8. Perevoznikov E.N., Kriterij ustojchivosti nelinejnyh sistem, Izv.Vuzov ,fizika, №56, 2013, (151-154)s.

9. Skvorcov G.E., Perevoznikov E.N., Teoriya neustojchivosti i kriterii haosa, Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal, fiziko-matematicheskie nauki, 2016,№7, ch.4,(98-101)s.

10.Perevoznikov E.N., Skvortsov H.E., Criteria for instability and Chaos in nonlinear system, Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018,v 6, №2,p(322-328).

1

Файл иллюстрации

fciz %

R«z

Fijj.^N

О

The dependence of the roots of the spectral equation on the electron velocity

U.I 4 z2

0.1/1 0.639-il .49 -0.639-il.49 0.429+Ю.165 -0.429+i0.165

0.5/1 0.641-il.61 -0.525-il .6 0.538-Ю.014 -0.538-Ю.014

1/1 0.612-il .79 -0.612-il.79 0.612-Ю.21 -0.612-i0.21

2/1 0.390-i2.21 -0.390-i2.21 0.636-Ю.538 -0.636-i0.538

2.4/1 0.076-i2.41 -0.076-i2.41 0.613-Ю.643 -0.613-Ю.643

2.45/1 0-i2.55 0-i2.34 0.610-Ю.655 -0.610-i0.655

5/1 0-i2.90 0-i5.20 0.351-Ю.952 -0.35 1-iO.952

10/1 0-i5.40 0-il0.1 0.158-Ю.996 -0.158-Ю.996

УДК: 533.22 ГРНТИ 30.17.33

АНАЛИЗ ФОРМИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА _ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ_

DOI: 10.31618/ESU.2413-9335.2020.5.74.757

Секриеру Г.В.

Институт Математики и Информатики, Молдова, г. Кишинев

ANALYSIS OF FORMATION OF VISCOUS HEAT CONDUCTING GAS FLOWS FOR SMALL PERTURBATIONS OF PARAMETERS

Secrieru G. V.

Institute of Mathematics and Computer Science,

Chisinau, Moldova

АННОТАЦИЯ

Рассматривается формирование одномерных течений возникающих в результате взаимодействия вязкого теплопроводного газа и теплопроводной стенки в процессе отражения нормально падающей слабой ударной волны. Формирование поле течения при малых возмущениях параметров исследуется на основе уравнений Навье-Стокса, линеаризованных около значений параметров в начальном состоянии, а распределение температуры стенке моделируется линейным уравнением теплопроводности. Получены аналитические решения линеаризованной системы уравнений, позволяющие анализировать влияние вязкости, теплопроводности и других факторов на формирование непрерывной структуры поле течения с образованием диссипативных и идеальных невязких и нетеплопроводных зон.

ABSTRACT

Formation of one-dimensional flows arising as a result of interaction of a viscous heat-conducting gas and a heat-conducting wall in the process of reflection of a normally incident weak shock wave is considered. Formation of the flow field with small perturbations of parameters is studied on the basis of the Navier - Stokes equations linearized around the values of the parameters in the initial state, and the wall temperature distribution is modeled by linear heat equation. Analytical solutions of the linearized system of equations are obtained that allow one to