Неустойчивость и хаос в электроэнергетических системах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

232

УДК 621.317 в. К. ФЕДОРОВ

П. В. РЫСЕВ С. В. БИРЮКОВ Р. К. РОМАНОВСКИЙ

Омский государственный технический университет

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И ХАОС В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ___________________________________________

Обоснована возможность возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах. Исследованы режимы энергосистем, при которых происходит потеря устойчивости вследствие бифуркаций. Рассмотрены пути перехода энергосистем к хаотическим режимам.

Ключевые слова: хаос, модель энергосистемы, бифуркация, неустойчивость.

В электрических системах и цепях хаос возможен как в сложных системах, так и в достаточно простых цепях, подробно рассмотренных в [1, 2]. Одним из главных условий возникновения хаотических колебаний является наличие нелинейностей. В самых простых схемах достаточно одного нелинейного элемента для возникновения хаотических колебаний.

При наличии нелинейности существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение цепи или системы в установившемся состоянии оказывается хотя и ограниченным, но непериодическим. Колебания приобретают случайный характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Кроме того, поведение системы оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным. Реальные энергосистемы являются сложными нелинейными диссипативными системами. В них имеется большое количество нелинейностей различной природы.

1. Модели энергосистемы

Рассмотрим энергосистему, показанную на рис. 1. Ее можно описать следующими моделями:

7 — мерная модель энергосистемы

8 =

2 Н

Е ~К + (X, - К У, + Е,

Е'

- к- (X - Х'„ )1д

т'

ч 0

Е, + Кл (¥ге/ - V,)

8 (6 - О, - 60 - - (Чз - А V)

(1а)

(1Ь)

(1с)

(1й)

(1е)

(Ю

VI = — Р 2

Р -Р, - Ро - А(б - 6

- 6 - *2^ - - Р3^

Ч1

6-мерная модель энергосистемы 8 =

2Н

ч Т'

о

Е, =

-Е, + КА (V,-V,) Тл

Р - Р, - Ро - Р1(6 - 6и -

- 6 - ^ - Р3^

Ч1

(1д)

(2а)

(2Ь)

(2с)

(2а)

(2е)

(20

4-мерная модель энергосистемы

8 = тВ (3а)

® = 16.667^8 -8 + 0.087)VL -3.333^® +1.881 (3Ь)

8 = 496.872^ - 166.667^8 - 8 - 0.087)^

-93333Vl - 666.667оо8(8^ - 0.209)^ + 333336, + 43.333

V = -78.764^2 + 26.217оо8(81 - 8 - 0.012)^

+14.523^ + 104.869оо8(81 - 0.135)^ - 5.22961, - 7.033

(3с)

(за)

Все три модели могут быть сведены к однородной в соответствии с (4):

х = / (х, Я), х е Я", Ае Кр ,

(4)

=

Т

л

Значения параметров энергосистемы

Уг Ф1 ф2 Фз Еь

4.9752 1.6584 0.0 -1.4711 -1.4711 -1.4711 1.0

Ет А', К К Т'м т' 1с,0

1.0 1.79 1.71 0.169 0.23 4.3 0.85

н сов (1 Ро а Р\ Ч\ вс

2.894 377 0.05 0.4 0.8 0.24 -0.02 0.2

Рг <?2 Рз 9з Ри, КА ТА

1.70 -1.866 0.2 1.6 0 0 200 0.05

где х — вектор параметров состояния, и X — вектор параметров. Параметры состояния вышеупомянутых моделей

1) 7-мерная модель: х = |^<5,8т,Е'^Е'л,Е^,81,У1 ]

2) 6-мерная модель: х =

3) 4-мерная модель: х = [<5, со, <5^, Г^]г

В табл. 1 приведены значения, использованные в расчетах. О и Рт, являются бифуркационными параметрами системы.

2. Три пути к хаосу в энергосистемах

Возможны три пути перехода энергосистемы в хаотический режим: 1) удвоение бифуркаций; 2) бифуркация тора; 3) внешнее возмущение.

Путь каскада бифуркаций удвоения периода был идентифицирован во многих физических системах.

Выбираем 7-мерную модель с параметром бифуркации О . Исходные значения параметров системы следующие: х0=[0.76112, 0, 1.33268, -0.32833, 4.19836, 0.23961, 0.77953]т, ТА = 0.05, КА = 140. Другие параметры те же, что и в таблице 1. Постепенно увеличивая значение Оы, получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2а). В точке А появляется бифуркация Хопфа. Рассмотрение предельного цикла при бифуркации Хопфа проводим по кривой АВ. Рис. 2б поясняет перемещение изображающей точки. Очевидно, каскад бифуркаций появляется в точке В на предельном цикле, кривой АВ. Определение сечения Пуанкаре 7-мерной модели указано ниже:

2 :=К = 0 хдё 8 < 8,} , (5)

где 5с — центр колебаний фазы угла 5. Предположим, что X — пересечение точки 2 и потока 7-мерной модели. Тогда проекция точки X есть 8.

5' := 8(Х) (6)

Интегрируя уравнения (1а — 1д), со значением

Оы, лежащим в промежутке от 1.190 до 1.2036,

Рис. 2. а) бифуркационная диаграмма 7-мерной модели системы б) кривая решений множителей Флоке

строим график в осях О1Л-<~ (рис. 3). Сравнивая этот график с бифуркационной диаграммой логистического отображения, находим, что они подобны. При Оы < 1.1915, в системе существует устойчивый период 1 цикла. Для 1.1915 < Оы < 1.1970, период 2 цикла управляет колебанием. При О =1.1970, 1.19808..., появляются последовательно период-4, период-8. С увеличением периода бифуркации колебания в системе сводятся к хаотическому режиму.

При Оы » 1.20136 период 3 цикла имеет хаотическую природу возникновения и находится на высоком уровне, до О = 1.201525, когда преобразуется в период-6. Таким же образом появляются период 12, период 24..., последовательно возрастая, и наконец снова появляется хаотический режим. Этот процесс можно наблюдать в верхней части рисунка 3, в которой в увеличенном масштабе показана эволюция периода 3.

Бифуркация тора, вызванная парой комплексно сопряженных множителей Флоке с мнимой частью отличной от нуля, выходит из единичной окружности на комплексной плоскости. Это также приводит к хаотическому режиму. Выберем 6-мерную модель, параметр бифуркации Рт. Подобно рисунку 2, во-первых, строим бифуркационную диаграмму Рт — УЕ, и затем отследим предельный цикл от бифуркации Хопфа в точке А (рис. 4а). В табл. 2 приведено описание всех точек бифуркации. На рис. 4б представлена кривая решения комплексных множителей Флоке,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

1.190 1.193 1.200

Рис. 3. Диаграмма каскада бифуркаций удвоения периода

Таблица 2

Точки бифуркации

Точка А В С В Е Б С Н

Тип БХ БХ БХ БТ БТ БТ ЦБ БТ

Рт 0.608 1.156 1.191 0.841 1.251 1.302 1.362 1.265

где: БХ — бифуркация Хопфа

ЦБ — циклическая огибающая бифуркация

БТ — торическая бифуркация

д;<о.е)

1.20-

1.15-

1.10

1.05-

1.00-

0 005

^»(ое) 0

-0.005

а)

Рис. 5. а) фазовая диаграмма и сечение Пуанкаре, б) отображение Пуанкаре

а)

Рис. 4. а) бифуркационная диаграмма 6-мерной модели системы б) кривая решения комплексных множителей

из которой мы можем наблюдать, что точки бифуркации Б-Н главным образом подчинены паре комплексно сопряженных множителей Флоке (тр 7И1 ) и единственный действительный множитель Флоке т2. Множители т1 и 7и1 соответствуют точкам бифуркации тора Б, Е, Б и Н; т2 соответствует точке циклической огибающей бифуркации С.

Интегрируем уравнения (2а — 2!) со следующими начальными условиями: х10= [0.8684, 0, 1.0556, 2.3684, 0.1312, 1.012]ти Рш = 0.850. Результат моделирования показан на рис. 5. На рис. 5а показана фазовая диаграмма на (5, вт, Е' ) и на рис. 56 изображено отображение Пуанкаре. Соответствующее сечение Пуанкаре показано на рис. 5а серой плоскостью.

Хаос, вызванный бифуркацией тора, имеет много интересных особенностей, так как режим очень сложен, там проявляется явление самоорганизации и сосуществование регулярного и хаотического подпространства, и т.д [3]. Эти особенности полезны для глубокого понимания механизмов нестабильности энергосистемы с различными режимами.

Для исследования перехода энергосистемы в хаотический режим при большом возмущении используем 4-мерную модель со следующими начальными значениями: = 10.894, 50 = 0.3, 6Е0 =0.2. УЕ0 =0.97.

Изменяем начальную угловую скорость <в0 в диапазоне 0 + 1.7 рад/с. Интегрируя уравнения (За — 3<3), получаем результаты, приведенные на рис. 6 и в табл. 3.

Так как во всех шести случаях, показанных на рис. 6, изменяется только начальная угловая скорость <в0, то мы можем определять возмущение энергии вышеупомянутых исходных положений как возмущение кинетической энергии, которое связано только с со0.

Когда возмущение мало (со0 < 1.3024478 рад/с), энергосистема сходится к точке устойчивого равновесия так, как показано на рис. 6а и рис. 6Ь. Когда возмущение возрастает, сходимость становится все более трудной. При <в0=1.3024479 рад/с, энергосистема переходит в хаотический режим после длительного колебательного переходного процесса (рис. 6с).

Различные состояния системы при различных угловых скоростях

®0 (рад/с) Время моделирования (с) Конечное состояние Фазовая диаграмма

0.50 300 Точка равновесия Рисунок 6а

1.3024478 1200 Точка равновесия Рисунок 6Ь

1.3024479 15000 Хаос Рисунок 6с

1.40 15000 Хаос Рисунок 6d

1.6980378 15000 Хаос Рисунок 6е

1.6980379 100 Монотонная дивергенция Рисунок 6!

С0( рад/с| 1.0

0 50 100 150 200 250 і (О

а)

0 250 500 750 1000 г (с)

с)

0 200 400 а 00 800 Ю00'£(с)

ь)

00

(рад/с)

0 100 200 300 400 500 г(с)

а)

^(о.е.)

0 250 500 750 1000

е)

Рис. 6. Результаты моделирования при различных начальных угловых скоростях

возникновение

возмущения

большое возмущение

налое

возмущение

бифуркация

Хопфа

Непрерывное изменение параметров

угловая нестабильность

угловая дивергенция и коллапс напряжения

коллапс напряжения

Рис. 7. Место хаоса в эволюции случайной нестабильности энергосистемы

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

3. Неустойчивость и хаос

Хаос очень чувствителен к начальным условиям и переменным системы, любое их изменение может прекратить режим хаоса [4]. В реальной энергосистеме возможны внезапные изменения параметров вследствие возмущений. Таким образом, не исключается существование хаоса в энергосистеме как промежуточной стадии явления нестабильности после большого возмущения (рис. 7).

Когда происходит возмущение, энергосистема входит в переходное состояние. Если возмущение мало — может произойти бифуркация Хопфа, приводящая к непрерывным колебаниям. Если возмущение большое, система может перейти в хаотический режим, в котором возможно появление коллапса напряжения, угловой неустойчивости или коллапса напряжения и угловой неустойчивости одновременно.

Из приведенных исследований видно, что в энергосистеме возможно существование различных непериодических режимов, потенциально опасных для элементов системы. Поэтому особую важность представляет собой проблема предсказания и идентификации хаотических режимов.

Библиографический список

1. Фёдоров, В.К. Детерминированный хаос в нелинейных электрических цепях и системах / В.К. Федоров, В.К. Грунин, П.В. Рысев, Е.Ю. Свешникова. — Омск: Изд-во ОмГТУ. — 2006.

2. Мун, Ф. Введение в хаотическую динамику / Ф. Мун. — М.: Наука.— 1990. — 140 с.

3. Chiang, H.D. Chaos in a simple power system / H.D. Chiang, C.W. Liu, P. Varaiya, F. F. Wu, M. G. Lauby // IEEE Trans. Power Syst.- 1993.- vol.8, no. 4. -pp. 1407-1417.

4. Yu, Y. Power system instability and chaos / Y. Yu, H. Jia, P. Li, and M. G. Lauby // 14th PSCC, Sevilla.- 2002.- Session 22, Paper 2.

ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий.

РЫСЕВ Павел Валерьевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры электроснабжения промышленных предприятий.

БИРЮКОВ Сергей Владимирович доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры инженерной графики и систем автоматизированного проектирования машин и технологических процессов.

РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, доктор физическо-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

Адрес для переписки: e-mail: rysev_dmitry@list.ru.

Статья поступила в редакцию: 17.11.2011 г.

© В. К. Фёдоров, П. В. Рысев, С. В. Бирюков,

Р. К. Романовский

Книжная полка

621.311/М24

Маньков, В. Д. Основы проектирования систем электроснабжения [Текст] / В. Д. Маньков ; учеб.-метод. и инженер.-техн. центр «Электро Сервис». - СПб. : [б. и.], 2010. - 664 с. - 1БВЫ 978-5-98187-401-7.

В книге излагаются основы проектирования систем электроснабжения напряжением до 1000В, включающие в себя : требования к организации проектирования, текстовым и графическим документам, проектирование различных элементов систем электроснабжения, выбор электрооборудования, расчеты основных характеристик и элементов электрических сетей. Приведены расчеты характеристик электроустановок и сетей, порядок выбора электрооборудования на основании полученных данных; расчет электрических нагрузок, компенсация реактивной мощности, расчеты при выборе электрических проводов и кабельных линий и др.

621.315/Х73

Холодный, С. Д. Методы испытаний и диагностики в электроизоляционной и кабельной технике [Текст] : учеб. пособие для вузов по специальности «Электроизоляционная, кабельная и конденсаторная техника»... / С. Д. Холодный, С. В. Серебрянников, М. А. Боев. - М. : Изд-во МЭИ, 2009. - 232 с. -1БВЫ 9785-383-00381-7.

Изложены в обобщенном виде сведения о наиболее широко применяемых методах испытаний, а также даны сведения, необходимые для совершенствования и разработки новых методов испытаний, оценки погрешностей испытаний, показаны пути автоматизации испытаний. Приведены данные о современных физических и физико-химических методах исследований материалов, которые применяют в электроизоляционной и кабельной технике.

621.31/Г71

Горюнов, В. Н.История и методология науки и производства: электроэнергетика [Текст] : учеб. пособие / В. Н. Горюнов, В. К. Федоров, П. В. Рысев ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. - 155 с. - 1БВЫ 975-58149-1026-4.

Изложены основные сведения по истории и методологии науки и производства в области электроэнергетики. Рассмотрены вопросы истории, связанной с электричеством и магнетизмом, развития электротехники и электроэнергетики, экологии электротехники и тенденции развития современной электроэнергетики.