CC BY
46
НЕТРАДИЦИОННАЯ ВЕРСИЯ МЕТОДА ДДП ДЛЯ ОЦЕНКИ НЕДВИЖИМОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ1
С.А. Смоляк, В.И. Аркин, А.Д. Сластников
Мы предлагаем математическую модель для оценки рыночной стоимости объекта недвижимости, включающего здание и земельный участок. Для этих целей мы применяем нетрадиционную версию метода дисконтированных денежных потоков, принцип наиболее эффективного использования имущества, а также аппарат, используемый в теории реальных опционов. При этом в составе расходов, связанных с использованием объекта, мы учитываем уплачиваемые владельцем объекта налог на прибыль и адвалорные расходы (например, налог на имущество). Поэтому денежные потоки, используемые для стоимостной оценки объекта, являются посленало-говыми. Исходная информация для оценки рыночной стоимости объекта включает рыночную стоимость земельного участка и приносимый объектом чистый доход (за вычетом адвалорных расходов) на дату оценки. Однако значения этих характеристик после даты оценки неизвестны, и их динамику мы описываем случайными процессами геометрического броуновского движения. Решение модели показывает, что стоимость здания зависит от стоимости земельного участка, на котором оно
© Смоляк С.А., Аркин В.И., Сластников А.Д., 2017 г.
Смоляк Сергей Абрамович - д.э.н., главный научный сотрудник, ЦЭМИ РАН, Москва, smolyak1@yandex.ru Аркин Вадим Иосифович - к.ф.-м.н., главный научный сотрудник, ЦЭМИ РАН, Москва, arkin@cemi.rssi.ru Сластников Александр Дмитриевич - к.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, ЦЭМИ РАН, Москва, slast@ cemi.rssi.ru
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-06-03723).
размещено. Соответствующая зависимость нелинейная. Так, если отношение доходов от использования объекта к стоимости земельного участка не превосходит определенной границы, то стоимость здания должна быть нулевой (т.е. стоимость объекта должна совпадать со стоимостью земельного участка). Приводятся примеры применения предложенного метода. Разумеется, рыночная стоимость объекта зависит и от параметров тех случайных процессов, которыми описывается динамика доходов от использования объекта и рыночной стоимости земельного участка. В одном из примеров мы показываем, как можно оценить значения этих параметров по данным о ценах нескольких аналогичных объектов. Ключевые слова: здание, доходы, срок службы, земельный участок, стоимостная оценка, неопределенность, дисконтирование денежных потоков/ JEL: С44, С61, D46, D81, G11.
ВВЕДЕНИЕ
Мы решаем задачу оценки рыночной стоимости (РС) объекта недвижимости, включающего земельный участок (ЗУ) и расположенное на нем здание, использование которого приносит владельцу некоторые доходы. Принимается, что РС объекта (V) является суммой РС здания (К) и РС ЗУ (Ь), которая предполагается известной.
Под РС имущества понимается расчетная денежная сумма, за которую состоялся бы обмен имущества на дату оценки между заинтересованным покупателем и заинтересованным продавцом в результате коммерческой сделки после проведения надлежащего маркетинга, причем каждая сторона действовала бы как хорошо осведомленная, расчетливо и без принуждения (Международный комитет..., 2008). РС имущества определяется оценщиком на основе оценок, полученных с применением разных подходов, методов и личного опыта. Поэтому, строго говоря, результатом применения каждого метода будет не сама РС объекта, а некоторая ее оценка (приближенное, ориентировочное значение).
Имеются различные методы оценки недвижимости, отличающиеся выбором факторов, определяющих РС. Анализу этих методов посвящена многочисленная литература, например (Грибовский и др., 2003; Brown, Matysiak, 2000; Kleiber et al., 2002; Kummerow, 2011). В настоящей статье речь пойдет о методе дисконтирования денежных потоков (ДДП). Стандарты оценки (Международный комитет..., 2008, МР9, п. 3.2) предусматривают следующий порядок его применения:
• определяются чистые доходы (ЧД) от использования объекта за некоторый (стандартный) период времени (обычно год или квартал), предшествующий дате оценки;
• полученные ЧД прогнозируются на предстоящий (прогнозный) период;
• прогнозируется РС объекта в конце прогнозного периода (реверсионная стоимость)2;
• устанавливается ставка дисконтирования;
• РС объекта оценивается как сумма дисконтированных (к дате оценки) ЧД за прогнозный период и РС объекта в конце этого периода.
Однако такая технология оценки вызывает многочисленные возражения.
1. Метод может приводить к ощутимо большой ошибке в размере стоимости объекта. Дело в том, что оценить РС здания в конце прогнозного периода гораздо труднее, чем оценить его РС на дату оценки, поскольку надежной базы для этого пока нет. Поэтому прогноз реверсионной стоимости объекта оказывается весьма неточным. При небольшой продолжительности прогнозного периода доля этой составляющей в стоимости объекта достигает 75-95%, что может привести к серьезным ошибкам в оценке РС объекта. Если прогнозный период велик, то на резуль-
2 Правильно - реверсионный, т.е. относящийся к реверсии. Реверсивный относится к объектам, у которых можно изменять направление движения или вращения на обратное (по словарю Ефремовой и Ушакова).
тат оценки повлияют ошибки в долгосрочном прогнозе ЧД. Поэтому повысить точность стоимостной оценки объекта за счет подходящего выбора прогнозного периода обычно не удается.
2. Для прогнозирования реверсионной стоимости объекта часто используют метод прямой капитализации. Для этого ЧД в конце прогнозного периода умножается на рентный мультипликатор (отношение РС объекта к ЧД, Rent Multiplier), определяемый путем прогнозирования фактически сложившейся на дату оценки динамики этого показателя. Однако остается неясным, какие факторы влияют на значение и динамику рентного мультипликатора, поэтому ошибки в прогнозе его величины могут быть значимыми.
3. Оценка РС объекта во многом зависит от принятой ставки дисконтирования. Нередко она принимается неизменной на весь прогнозный период. Между тем ставки дисконтирования со временем меняются, и расчет следовало бы проводить при переменных по годам ставках. Однако прогнозирование ставок дисконтирования на перспективу сопряжено со значительными ошибками, что еще больше снижает точность оценки.
4. При прогнозировании реверсионной стоимости объекта часто принимают, что по завершении прогнозного периода ЧД растут в постоянном темпе. При этих предположениях реверсионная стоимость объекта будет выражаться известной формулой Гордона (см. разд. 2). В ее основе лежат спорные допущения о регулярной динамике ЧД от использования объекта недвижимости (стабильные темпы роста или снижения ЧД) и о неограниченном сроке его службы. Остановимся на этом подробнее.
Допущение о регулярной динамике ЧД, как нам представляется, приемлемо для стран со стационарной экономикой и стабильными темпами инфляции. В переходной экономике ситуация иная, поскольку здесь темпы изменения ЧД от использования недвижимости меняются нерегулярно и непредсказуемым образом. Разумеется, можно построить фор-
мулы, в которых прогнозная динамика ЧД будет описана более сложными регулярными моделями - это сделано, например, в (Лейфер, 2006; Строков, Строкова, 2009). Однако (и это рассматривается оценщиками как общий недостаток любых методов оценки, основанных на доходном подходе) обосновать применение именно таких моделей и надежно оценить их калибровочные параметры обычно не удается, поэтому получаемые с их помощью стоимости участники рынка рассматривают как менее точные.
Необходимость учета ограничений срока службы здания (по истечении которого стоимость объекта становится равной стоимости земельного участка) не вызывает сомнений. На это прямо указывается и в немецком нормативном документе об оценке недвижимости (ImmoWertX § 15, 16). В то же время остается неясным, как устанавливать остаточный срок службы оцениваемого здания. Более того, в соответствии с принципом наиболее эффективного использования (принцип НЭИ) срок службы здания при оценке РС объекта должен быть оптимальным. Дело в том, что нередко технические характеристики здания позволяют использовать его достаточно долго, тогда как после определенного (экономически рационального) срока продолжать им пользоваться становится экономически невыгодным и РС здания становится нулевой. К тому же при приближении к концу экономически рационального срока службы приносимые зданием доходы должны уменьшаться, что противоречит допущению постоянного темпа их изменения (обычно роста). Мы считаем, что экономически рациональный срок службы здания во многом определяется стоимостью ЗУ и ее динамикой. Соответствующая упрощенная модель рассматривается в разд. 2.
Вопросам выбора оптимального срока службы объектов посвящено много публикаций, в основном опирающихся на метод ДДП, например (ТеЛо^, 1948; Канторер, 1963; Петухов, 1965; Массе, 1971; Лившиц, Смоляк, 1971, 1990; Аркин, Сластников, Смоляк,
2006). Однако нельзя не отметить, что большая часть таких публикаций посвящена оптимизации сроков службы машин, а не зданий и предполагает долгосрочный прогноз соответствующих денежных потоков.
В работах (Смоляк, 2008; Smolyak, 2012) применительно к задачам оценки машин и оборудования была предложена нетрадиционная версия метода ДДП, не требующая долгосрочного прогнозирования. В (Smolyak, 2016) эта версия была применена для оценки недвижимости. Однако процесс использования оцениваемого объекта в этих работах рассматривался как детерминированный. В (Смоляк, 2014) результаты того же метода были показаны для оценки машин и оборудования в условиях неопределенности. На некоторые идеи этой работы авторы опираются и в данной статье.
Применяя доходный подход к оценке имущества, мы, по сути, рассматриваем покупку имущества по рыночной стоимости и его последующее использование как инвестиционный проект. Основным показателем эффективности такого проекта для инвестора является чистый дисконтированный доход (ЧДД, интегральный эффект, Net present value, NPV). При этом ЧДД от наиболее эффективного использования имущества одновременно является и оценкой его стоимости. Тем самым задачи стоимостной оценки имущества оказываются одновременно задачами оптимизации проектных решений. Между тем вопросам оптимального управления проектами в условиях неопределенности посвящена масса публикаций. В частности, идея оптимизации выбора моментов начала и прекращения разного рода инвестиционных проектов положена в основу теории реальных опционов (понимаемых в широком смысле). Ее развитие началось с модели Макдональда-Зигеля (McDonald, Siegel, 1986) и последующих монографий (Dixit, Pindyck, 1994; Trigeorgis, 1996), а к настоящему времени ее анализ вырос в самостоятельное направление с широкой областью исследований. Применительно к различным механизмам стимулирования инвестиций в
проекты создания новых предприятий эта теория развивалась в (Аркин, Сластников, 2007, 2016; Arkin, Slastnikov, 2006; Сластников, 2014 и др.). Методы теории реальных опционов применялись и для оценки объектов недвижимости (см., например, (Titman, 1975; Williams, 1991)). Настоящую статью также можно отнести к этому направлению исследований, хотя предлагаемая экономико-математическая модель оценки недвижимости базируется на иных предположениях. Они подробно изложены в разд. 3 и 4 данной статьи. В разд. 4 нетрадиционная версия метода ДДП применяется к ситуации, когда процессы изменения чистых доходов от использования объекта и рыночной стоимости земельного участка являются случайными. Результаты применения расчетных формул иллюстрируют примеры в разд. 5.
Денежные потоки от использования объекта принимаются доналоговыми, что допускается стандартами оценки (Международный комитет..., 2013, МСО 200, п. С23). Таким образом, под ЧД от использования объекта мы понимаем валовой доход (выручка от операций, например от аренды) за вычетом операционных затрат владельца (кроме амортизации и налога на прибыль). Обычно оценщикам известно, какой ЧД приносит оцениваемый объект или его аналоги в том месяце, квартале и году, в котором производится оценка, и какой ЧД ожидается в следующем аналогичном периоде.
В отличие от большинства известных работ о применении метода ДДП к оценке активов характеристики объектов недвижимости рассматриваются в статье в непрерывном времени. Такой прием для оценки активов в детерминированной ситуации, использованный нами, например, в (Смоляк, 2002; Аркин, Сластников, Смоляк, 2006; Виленский, Лившиц, Смоляк, 2015), позволил получить новые результаты, относящиеся к оптимизации моментов начала и окончания инвестиционного проекта, сроков прекращения разработки нефтяных месторождений, сроков службы машин и выяснению динамики процессов их
износа. Процесс непрерывного получения доходов от использования объекта мы характеризуем интенсивностью («скоростью») поступления чистых доходов (ИЧД), которая, как понятно, меняется во времени. При этом значение ИЧД, равное P, означает, что объект приносит ЧД Pdt за малое время dt. Для дисконтирования денежных потоков мы используем непрерывную доналоговую ставку, обозначаемую через г.
1. ВЛИЯНИЕ СТОИМОСТИ ЗЕМЕЛЬНОГО УЧАСТКА НА СТОИМОСТЬ РАЗМЕЩЕННОГО НА НЕМ ЗДАНИЯ
В излагаемой ниже упрощенной детерминированной модели стоимость объекта недвижимости (V) оценивается по значениям и динамике двух его ключевых характеристик (КХ): интенсивности приносимых им ЧД (ИЧД) и стоимости ЗУ, на котором оно расположено.
Необходимость учета динамики КХ обусловлена следующим.
1. С течением времени стоимость конкретного ЗУ меняется хотя бы за счет общего роста цен в стране и регионе (инфляция) и изменений в составе и доходности близлежащих объектов недвижимости. Так, стоимость ЗУ изменится, если вблизи участка появилась станция метрополитена или принято решение о сооружении такой станции в ближайшие годы. Можно говорить и об общей тенденции увеличения стоимости ЗУ в городах и пригородах, обусловленной урбанизацией страны. По той же причине стоимость ЗУ под жилую и коммерческую застройку в сельской местности со временем растет заметно медленнее или даже снижается. Не учитывать этих обстоятельств при прогнозировании стоимости объекта нельзя.
2. С течением времени здание стареет и подвергается физическому износу. Поэтому
собственнику приходится нести растущие затраты на содержание и ремонт здания, вследствие чего его расходы увеличиваются, а чистые доходы сокращаются.
3. В период использования оцениваемого здания другие инвесторы вводят в эксплуатацию новые здания, дающие пользователям более широкий круг услуг (удобств). Эти здания становятся привлекательными для некоторых пользователей оцениваемого здания и его близких аналогов. В такой ситуации обеспечить прежнюю загрузку помещений оцениваемого здания собственник может, только несколько снизив арендную плату, а значит, и свои доходы. Соответствующее снижение стоимости здания оценщиками трактуется как функциональный износ. Функциональный износ во введенных в эксплуатацию зданиях обычно отсутствует и нарастает только по мере того, как на рынке появляются новые типы зданий и новые виды услуг, предлагаемые пользователям этих зданий. Измерить его влияние в краткосрочном периоде практически невозможно (например, трудно оценить, как снизилась стоимость здания за счет функционального износа на протяжении последнего года). Однако в долгосрочном периоде функциональный износ здания проявится, например, в том, что арендная плата в нем будет (в сопоставимых ценах) снижаться. Соответственно будут снижаться и ЧД от использования объекта.
4. Темп роста ИЧД должен быть меньше темпа роста стоимости ЗУ: аР < аЬ. Действительно, в противном случае здание целесообразно использовать сколь угодно долго: чем дольше оно эксплуатируется, тем более дорогим оно становится по сравнению с земельным участком, на котором расположено. Между тем такая ситуация невозможна, хотя бы в связи с постоянным физическим и моральным износом здания.
Поэтому при оценке объекта недвижимости мы считаем известными интенсивность ЧД от его использования на дату оценки (Р), темп ее роста (аР), стоимость ЗУ на дату оценки (Ь), темп ее роста (аЬ). На дату
оценки (в момент времени 0) требуется оценить только стоимость здания (К), тогда как стоимость ЗУ на эту дату (Ь) считается известной. Стоимость объекта недвижимости при этом составит V=K+L. Срок службы здания, вообще говоря неизвестный, обозначим через Т.
Поскольку в конце срока службы здание имеет нулевую стоимость, то стоимость всего объекта недвижимости в этот момент будет равна стоимости ЗУ, т.е. 1еа1Г . Факторов риска и неопределенности при этом учитывать не будем, так что ставка дисконтирования г в наших рассуждениях будет безрисковой. Сравним ее с темпами роста интенсивности ЧД и стоимости ЗУ.
Заметим для этого, что вложения в земельные участки с целью их перепродажи должны давать, как правило, меньшую доходность, чем наилучшие альтернативные безрисковые вложения, иначе свободные денежные средства инвесторов вкладывались бы не в финансовые инструменты, а в земельные участки и масштабы спекулятивных покупок земельных участков стали бы огромными. Это значит, что доходность операции по покупке ЗУ и продаже его через малую единицу времени (т.е. аЬ) не превосходит доходности наилучших альтернативных вложений (т.е. ставки дисконтирования г).
Из изложенного выше вытекают следующие неравенства:
ар <аь <г. (1)
Применение доходного подхода основано на принципе дисконтирования (в оценочной литературе он не выделяется в качестве самостоятельного): РС объекта равна сумме дисконтированных ЧД от его использования в течение определенного (прогнозного) периода и РС того же объекта в конце этого периода.
Применим принцип дисконтирования к оцениваемому объекту недвижимости, приняв в качестве прогнозного периода срок службы здания. Учитывая, что в конце этого периода здание имеет нулевую РС, мы получим
V = K + L = J[ Pea Je-rtdt + Le
aTT
• e"rT =
=P
1 _ e-(r-ap)T
+ Le
-(r_«L )T
(2)
r _a.
При достаточно большом сроке службы эта формула превращается в известную формулу Гордона3 (в ее непрерывном варианте):
V = -
P
r -а.
В дальнейшем нам понадобятся и две других характеристики объекта:
• рентный мультипликатор - отношение R = K/P стоимости здания к ИЧД;
• срок окупаемости ЗУ (СОЗУ) - отношение S = L/P стоимости ЗУ к ИЧД (эта величина показывает, за какое время окупились бы вложения в ЗУ, если бы объект приносил ЧД с неизменной интенсивностью4).
Используя указанные характеристики, из формулы (2) находим:
K = PR;
л -(r-ар )T
R = —--S [l - e- r)T ]. (3)
r-aD
Мы видим, что на значение рентного мультипликатора влияют темпы роста ИЧД и стоимости ЗУ, срок окупаемости ЗУ, а также срок службы здания.
На последнем факторе следует остановиться специально. Дело в том, что тео-
3 На самом деле модель дисконтированных денежных потоков вместе с подобной формулой для оценки бизнеса появилась в диссертации (Williams, 1938). В (Gordon, 1959) предложена похожая корректная формула, выведенная из дивидендной модели оценки бизнеса.
4 Термин «срок окупаемости ЗУ» не следует понимать буквально, поскольку интенсивность поступления ЧД и стоимость ЗУ все время меняются, а утверждать, что затраты (на приобретение участка) окупаются, можно, но только с учетом неравноценного поступления разновременных доходов.
рия оценки и стандарты оценки, например (Международный комитет..., 2013), требуют оценивать рыночные стоимости любых объектов применительно к наиболее эффективному способу их использования. Это относится и к сроку службы здания, который должен быть оптимальным, т.е. приводить к наибольшему значению рыночной стоимости объекта (V = К + £). Нетрудно убедиться, что оптимальному сроку службы при этом будут отвечать и наибольшая РС здания, и наибольшее значение рентного мультипликатора.
При решении этой оптимизационной задачи возможны две ситуации.
1. (г-аь)5>1. Можно проверить, что в этом случае оптимальным оказывается Т = 0. Другими словами, оптимальным здесь будет прекращение дальнейшего использования здания по его функциональному назначению и продажа всего объекта недвижимости по стоимости земельного участка. Стоимость здания и рентный мультипликатор при этом обратятся в нуль.
2. 0 <(г -аь)51 <1. Тогда нетрудно убедиться, что при выполнении неравенств (1) рентный мультипликатор (3) будет максимальным, если
Лr-aP )T
-S ( r-aL )i
■)T _
= 0.
T =
Решением этого уравнения будет 1 , 1
ln
( r -aL ) S
> 0.
(4)
Другими словами, оптимальный срок службы здания при прочих равных условиях будет тем больше, чем меньше СОЗУ.
Кстати, отметим, что при г <аь или г <ар оптимальный срок службы здания оказывается бесконечно большим. Нереальность такой ситуации еще раз подтверждает справедливость неравенств (1).
Обратим внимание также, что в данной модели ИЧД будет все время положительной, в том числе в конце рационального срока его службы. Такой результат не согласуется с традиционным представлением оценщиков, со-
ОС L ССр
гласно которому экономически рациональный срок службы здания истекает тогда, когда оно перестает приносить доходы. Между тем из полученных формул следует, что прекращать использование здания экономически рационально раньше, когда эти доходы составят долю (г -аь) от стоимости земельного участка. Интересно отметить, что политика некоторых инвесторов предусматривает отклонение проектов с большими сроками окупаемости, хотя теоретически доказано, что такая политика в общем случае не является экономически рациональной (Виленский, Лившиц, Смоляк, 2015).
Подставим теперь оптимальный срок службы здания (4) в формулу (3). После простых преобразований мы получим, что при 0 <(г-аь)5 <1
К = РЯ; Я = -1--5
г-аг
г-аг
[(г-аь)5-аР • (5)
Для дальнейшего окажется удобным ввести следующие обозначения:
С = г -ар; р = -(
1 _ в
г -а
р
2 =
г-а,
(в-1)С'
(6)
Используя эти обозначения, выражение (5) для рентного мультипликатора при < г можно представить в следующем виде:
(7)
Отметим, что полученная зависимость непрерывная. К тому же при предельном значении 5 = г и сам рентный мультипликатор, и его производная по 5 обращаются в нуль (т.е. график функции Р(5) касается оси абсцисс при 5 = г).
Таким образом, при 5 > г РС здания будет нулевой, а при 5 < г РС здания и объекта в целом описывается следующими формулами:
К = РЯ = —<1 + -
С I В -11 Рг
Легко видеть, что при малой стоимости ЗУ, т.е. при малом 5, отсюда вытекает формула Гордона (в непрерывном времени):
N = ■
Р
г-а.
В то же время при больших значениях 5 начинает играть роль последний член в фигурных скобках. Поскольку он положительный, то его учет повышает значение рентного мультипликатора, так что в общем случае формула Гордона занижает оценку стоимости здания и объекта в целом.
2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ
Модель, приведенная в разд. 2, как и модель Гордона, опирается на точный прогноз значений КХ объекта. В предлагаемой ниже модели такого допущения не делается. Она также основана на доходном подходе к оценке, но реализует этот подход совершенно иначе. Если зависимость РС здания от его КХ выводилась из принятых допущений, то в основу нашей модели положено лишь предположение о существовании такой зависимости и некоторых ее свойствах. Принцип дисконтирования нам потребуется только для установления конкретного вида этой зависимости.
Как и выше, мы исходим из того, что РС здания может быть определена умножением ИЧД на рентный мультипликатор. Учитывая результаты разд. 2, мы постулируем, что между рентным мультипликатором и СОЗУ существует некоторая функциональная зависимость R = R(S) с неизвестной пока функци-
ей R. Задача, которую мы решаем, по существу, сводится к нахождению этой функции с целью ее последующего применения для оценки различных объектов недвижимости.
Рассматривается объект недвижимости, включающий здание и земельный участок (ЗУ). На дату оценки требуется оценить только стоимость здания (К), тогда как стоимость ЗУ на эту дату (V) считается известной. Известными на эту дату предполагаются и ИЧД (Р) и СОЗУ (5). Стоимость объекта недвижимости при этом составит V = К + V. Процесс использования объекта и получения доходов мы рассматриваем в непрерывном времени.
Оцениваемый объект мы рассматриваем как один из объектов на «большом» рынке недвижимости, где обращаются разные объекты, различающиеся по значениям КХ, но имеющие одно и то же функциональное назначение. Тем самым у каждого объекта на этом рынке можно найти (точные или неточные) аналоги. Мы исходим из того, что значения КХ для любого объекта на дату оценки известны участникам рынка, однако не предполагаем точного прогноза их изменения на перспективу: процессы последующего изменения Р и V рассматриваются как случайные. Это позволяет учесть неопределенность будущих цен, случайный характер загрузки используемых зданий, возможность неполной оплаты арендатором занимаемых площадей и т.д. В то же время предполагается однородность ожиданий участников рынка - рассматривая какой-то объект недвижимости, все они одинаково представляют себе неопределенность динамики его КХ. Так, если один участник считает, что через год доходы от данного здания вырастут более чем на 30% с вероятностью 0,5, то и другие участники так же оценят эту вероятность. Аналогичная гипотеза об однородности ожиданий, как известно, положена в основу модели САРМ, широко используемой для оценки финансовых инструментов (Шарп и др., 2003; Брейли, Майерс, 2006).
Мы принимаем, что искомая зависимость R(S) справедлива для всех объектов недвижимости на этом рынке. Если на дату
оценки на рынке было совершено представительное число сделок с точными аналогами оцениваемого объекта, то его рыночную стоимость (а значит, и рентный мультипликатор) можно оценить исходя из цен совершенных сделок. Однако гораздо чаще у оценщика есть информация о ценах объектов, отличающихся от оцениваемого по своим КХ. В таких случаях можно было бы построить регрессионную зависимость R(S), но вначале надо как-то обосновать ее вид, чем мы в этой статье и занимаемся. И лишь после этого, установив зависимость R(S) по данным об одних объектах, можно использовать ее для оценки других (в разд. 5 мы приведем соответствующий пример).
Выясним, какими свойствами должна обладать искомая функция R(S).
1. Начнем с того, что при относительно большой стоимости ЗУ, т.е. при большом СОЗУ (5), получение доходов от использования здания будет менее выгодным, чем продажа всего объекта недвижимости по стоимости ЗУ. Стоимость здания и рентный мультипликатор при этом будут нулевыми, а стоимость всего объекта - равной стоимости ЗУ. Наоборот, при малых 5 рентный мультипликатор будет положительным. Поэтому существует разделяющее значение z, такое, что R(S) = 0 при 5 > z, R(S) > 0 при 5 < z. Значение z, по сути, определяет экономически рациональный срок службы зданий на рассматриваемом рынке. Интересно, что этот срок задается не возрастом (каким-то числом лет), а условием S = z, причем заранее неизвестно, на каком именно году эксплуатации будет выполняться это условие.
2. Естественно считать, что при небольших изменениях срока окупаемости ЗУ стоимость здания изменится мало. Это значит, что функция R(S) - непрерывная. В частности, при S ^ 0 рентный мультипликатор должен иметь конечный предел R(0). Кроме того, мы будем считать, что функция R(S) достаточна гладкая - в той области, где она положительная, т.е. при S < z она имеет непрерывные первую и вторую производные.
3. Разумеется, мы должны исходить и из того, что искомая зависимость R(S), в принципе, может быть подтверждена рыночной информацией, т.е. сведениями о ценах аналогичных объектов недвижимости в некотором небольшом периоде, предшествующем дате оценки. Другими словами, мы предполагаем, что имеющаяся у оценщика рыночная информация позволяет ему считать, что эта зависимость справедлива на дату оценки. Обычно, устанавливая те или иные зависимости между характеристиками объектов, оценщик опирается на данные, относящиеся к периоду (например, месяцу или кварталу), предшествующему дате оценки, однако при их применении считает, что они остаются справедливыми и на дату оценки. По нашему мнению, такое правило следует рассматривать как один из важных принципов стоимостной оценки -принцип стабильности (во времени): зависимости между характеристиками объекта, справедливые на дату оценки, будут справедливы и в небольшом периоде после этой даты.
Учитывая изложенное, мы будем считать, что искомая зависимость R(S) стабильна, т.е. пригодна для оценки объектов не только на дату оценки, но и на более поздние близкие к ней даты.
Оказывается, что указанные свойства функции R(S) позволяют выяснить, как устроена эта функция, и определить и неизвестное разделяющее значение СОЗУ (г). При этом оказывается возможным учесть и неопределенность будущих доходов и стоимости ЗУ.
Как и в разд. 2, мы будем опираться на принцип дисконтирования. Однако в условиях, когда денежные потоки случайные, этот принцип должен формулироваться несколько иначе: РС объекта равна математическому ожиданию суммы дисконтированных ЧД от его использования в течение прогнозного периода и РС того же объекта в конце этого периода.
Далее мы попробуем выразить это условие аналитически. При этом длительность прогнозного периода мы будем считать малой величиной е.
Предположим, что на дату оценки срок окупаемости ЗУ меньше разделяющего значения г, так что стоимость здания здесь положительная. Поскольку интенсивность ЧД (Р) на дату оценки нам известна, то за малое время е ЧД от использования объекта составит Ре. В конце периода интенсивность ЧД, стоимость ЗУ, рентный мультипликатор и СОЗУ изменятся случайным образом - их новые значения обозначим соответственно через Р+, Ь+, R+ и 5+ = Ь+/Р+.
Мы приняли, что (неизвестная пока) зависимость R(S) рентного мультипликатора от СОЗУ имеет место на дату оценки. Поэтому в силу принципа стабильности она будет справедлива и через малое время е после этой даты, т.е. будет иметь место равенство R+ = R(S+). В таком случае стоимость здания в этот момент составит К+ = P+R(S).
Рассмотрим объект недвижимости, у которого СОЗУ меньше разделяющего значения г (5 < г). В соответствии с принципом дисконтирования стоимость этого объекта на дату оценки равна математическому ожиданию суммы дисконтированных ЧД от использования объекта и стоимости объекта в конце периода. Поскольку длительность периода мала, то при дисконтировании ЧД их можно отнести к началу периода, а коэффициент дисконтирования, относящийся к концу периода, принять равным (1 - ге). В результате мы с точностью до малых более высокого порядка получаем:
К + Ь = Рв + (1 -ге) е [ К++Ь+], (8)
где символ Е означает математическое ожидание.
Отметим, что факторы неопределенности в этой формуле влияют на будущую стоимость здания и ЗУ и для их учета неопределенные величины К+ и Ь+ заменяются в формуле (8) своими математическими ожиданиями. В таком случае было бы некорректно повторно учитывать влияние факторов неопределенности в ставке дисконтирования. Это означает, что входящая в эту формулу ставка дисконтирования г должна быть безрисковой.
Для того чтобы вывести из (8) явное выражение для функции R, нам потребуется более детально описать случайный процесс изменения ЧД и стоимости ЗУ. Это будет сделано в следующем разделе.
3. УСТАНОВЛЕНИЕ ИСКОМОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Как показывают некоторые эмпирические исследования (Capozza, Li, 1994), распределение доходов от использования недвижимости напоминает нормальное. Ряд специалистов считает, что такое распределение лучше описывается логарифмически нормальным законом. Соответственно динамика указанных доходов при этом описывается процессами геометрического броуновского движения. Такая гипотеза принимается и во многих работах по финансовым и реальным опционам, в том числе и по применению теории реальных опционов к оценке недвижимости (например, (Williams, 1991)). Мы также принимаем эту гипотезу. При этом, чтобы не усложнять изложение, нам придется при описании и исследовании модели в ряде мест отступить от критериев математической строгости.
Изменение ИЧД (P) и стоимости ЗУ (L) мы будем описывать процессами геометрического броуновского движения:
dP = P (aPdt + oPdwP );
dL = L (aLdt + aLdwL ), (9)
где вектор (wP, wL) - двумерный винеровский случайный процесс с коррелированными компонентами.
Это означает, что случайные приращения ИЧД (DP = P+ - P) и стоимости ЗУ (DL =L+ - L) за малое время e при фиксированных значениях P и L в начале периода имеют примерно нормальные распределения со средними значениями e[AP] = aPPe и
Е[Д£] = а,Ьг , дисперсиями б[ДР] = стрР2в и Б[Д£ ] = сТгЬ2 в и некоторым коэффициентом корреляции, который мы обозначим через 0.
Входящие в (9) величины ар и аь (коэффициенты сноса) отражают средние темпы роста Р и V на рассматриваемом рынке. Величины ар и сь (волатильности) отражают стандартные отклонения темпов роста ИЧД (Р) и стоимости ЗУ (V) за малую единицу времени, а величина 0 представляет собой коэффициент корреляции между этими темпами роста.
В разд. 2 на темпы роста ИЧД и стоимости ЗУ (ар и аь ) налагались два ограничения: ар <аь и аь < г . Первое из них обосновывалось тем, что в противном случае здание целесообразно использовать сколь угодно долго. Для традиционной версии метода ДДП подобный «долгосрочный» аргумент вполне приемлем, однако в нашем случае, когда речь идет о малом отрезке времени, он «не работает». Поэтому мы заменим это ограничение менее жестким: ар < г . В то же время второе допущение в нашей модели оправдано: оно означает, что средняя доходность вложений в покупку ЗУ с целью их последующей перепродажи должна быть меньше доходности альтернативных безрисковых вложений. Поэтому далее мы будем предполагать, что
ар < г, аь < г. (10)
Сходные требования были предусмотрены и в (Trigeorgis, 1996).
Характеристики объекта, которые мы рассматриваем, являются функциями от двух переменных Р и V. Зафиксируем их значения на дату оценки. Через малый период времени е они (в соответствии с (9)) получат случайные приращения - соответственно АР и Л£. Возьмем какую-нибудь гладкую функцию F(P, V) и определим ее приращение АF(P, V) за тот же период. Можно доказать, что оно имеет примерно нормальное распределение. Чтобы найти его математическое ожидание и дисперсию (с точностью до малых более высокого порядка), воспользуемся первыми членами ряда Тейлора:
AF (P, L ) = F (P + AP, L + AL ) - F (P, L ) =
= FPAP + FlAL +1FPP (AP)2 +
+FPLAPAL + 2FLL (AL)2,
где через F с нижними индексами обозначены производные функции F(P, L) по соответствующим аргументам.
Поэтому приращение DF(P, L) будет примерно нормально распределенной случайной величиной, имеющей следующие среднее и дисперсию:
e [AF (P, L )] = FP aPPe + FL aLLe + + 2 fpp °pp "e + fpl °lpls+ 2 fll
d [AF ( P, L )] = ( FP aPP )2 e + +2 FpFlo p oLPL 9e + ( Fl clL )2 e.
(11)
Стоимость здания, когда она положительна (т.е. при 5 < г) является гладкой функцией К = PR(L/P) от Р и Ь и имеет следующие производные:
— = Я (5)-— = Я'(Б); дР дЬ
^ = -S2R"(S); — = --SR"(S); dP2 P dPdL P
д2К 1
2 = -Я"(5).
дЬ Р
В таком случае формула (11) позволяет найти математическое ожидание стоимости здания в конце периода:
е [ К +] = К + е [ К + - К ] = = К + [ Я ( 5 )-5Я'( 5 )]aPPг + PSR' ( 5 )аь в +
+— 2
1PS 2Я' ( S -2cP aL Q + a2L ]e.
Подставив это выражение в равенство (8) и учитывая, что e [ l+] = e [L + AL ] = L + alls ,
с точностью до малых более высокого порядка найдем:
К+Ь = Рг + К + [ Я ( 5 )-5Я'( 5 )]аРРв + +Р5Я'( 5 )а, в +
+1PS 2 Я"( S )[
а2 - 2aPaL0 + aL J в -
-гРЯ ( 5 )в + Ь + аЬЬв- гЬв.
Отсюда после приведения подобных членов и деления на Ре получим обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет (неизвестная пока) функция R(S) в области 5<г:
^ 2 Я"( S ) + BSR'( S )-СЯ ( 5 ) +1 - DS = 0, (12)
где
a = gl +gp -2gpgl0; B = aL -aP; C = r -aP; D = r -aL.
(13)
Отметим, что величины А, В и С имеют простой экономический смысл: В является средним значением разности темпов прироста стоимости ЗУ и ИЧД, А - дисперсией этой разности, а С - коэффициентом капитализации в формуле Гордона. При этом величины А, С и В = D - положительны.
Общее решение уравнения (12) имеет следующий вид:
R (S ) = -1 - S + pS e+ qSY,
(14)
где p, q - константы; b, g - корни квадратного уравнения
Ax(x -1) + Bx - C = 0. 2
(15)
Поскольку произведение этих корней -отрицательная величина, можно считать, что Р > 0 > у. При этом
P = -
4C
2 B - A-
-V( 2B - A)2
8 AC
К тому же Р > 1, так как при х = 1 левая часть (15) отрицательная: В - С = ^ < 0.
Вспомним теперь, что функция R(S) непрерывная, в том числе и при S = 0, и при S = z. Однако правая часть (14) будет иметь конечный предел при S ^ 0, только если q = 0. Кроме того, она должна обращаться в нуль при S = z, поскольку R(z) = 0. Это значит, что
0 = Д (?) = С - г + р2в.
Найдя отсюда р и подставив его в (14), получим
(17)
Напомним, что все предыдущие рассуждения относились только к случаю, когда стоимость здания положительная, т.е. £ < г. Но функция Я непрерывная, так что полученная формула справедлива и при $ = 0, и при $ = г.
Мы уже почти нашли искомую функцию Я^), осталось найти только неизвестное граничное значение срока окупаемости ЗУ (г).
Возьмем объект недвижимости, у которого Р = 1, S = г. Назовем его базовым и будем отмечать нижним индексом 0 характеристики этого объекта. Таким образом, у базового объекта будет Р = Р0 = 1, V = Ь0 = г, К = К0 = 0. Ясно, что оптимальным для владельца базового объекта будет его продажа. Если вместо этого использовать здание в течение малого промежутка времени е, то такое поведение будет менее эффективным. Поэтому в формуле (8), описывающей именно такую ситуацию, вместо знака равенства следует поставить знак «>», а равенство (8) следует заменить неравенством
Ь0 > Д0в + (1 -гг)Е[К++Ь+0]. Учитывая, что Р0 = 1; К+=К0 + АК0 =АК0, Ь+0 =Ьо +АЬо = z + АЬо; е [А0 ] = аьЬ0 в = аь2 в,
это неравенство можно записать так:
г > е + (1 - ге) {е [ ДК0 ] + а^е + г}.
Отсюда после преобразований (с точностью до малых более высокого порядка) найдем
Е[А^0 ]<[(г-аь )г-Г\е = (Бг-1)в. (18)
Выясним, в каком случае может выполняться это неравенство.
Для этого заметим, что функция Я^ -убывающая и обращается в нуль в точке S= г. Поэтому ее (левая) производная в точке г не может быть положительной: Я'(г) < 0. Докажем, что на самом деле она равна нулю. Подобное условие в задачах оптимальной остановки случайных процессов (приводящих к уравнению типа (12)) называется принципом гладкого склеивания. Поскольку вывод его в общем случае достаточно сложен, приведем соответствующие рассуждения для данного конкретного случая.
Допустим, что Я'(г) < -а < 0. Тогда в некотором малом отрезке г - h < S < г будет Я(6) = Я(6) - Я(г) > а(г - S). В частности, Я(г - И) > ah. На отрезке [0, г - К] функция Я^ убывает, поэтому здесь будет Я^ > ah. Тогда отношение Я(3!)/(г - S) будет больше, чем Ь = ah/z. Но Ь < а, и поэтому Я^ > Ь(г - S) при всех 0 < S < г.
В таком случае К = РЯ(Ь/Р) > РЬ(г - Я) = = Ь(Рг - Р^) = Ь(Рг - V) при всех V < Рг. В то же время при V > Рг стоимость здания должна быть нулевой. Отсюда сразу же следует, что К> Ь тах[Рг - V; 0].
Для базового объекта недвижимости через время е после даты оценки последнее неравенство принимает вид К0 > Ьтах(Р+2 -Ь+ ;0). Подставив сюда Р+ = 1 + АР, Ь+ = г + АЬ, К0+ = ДК0 и обозначив Q = г АР - АР, получим К+ > Ь тах (Q; 0) и, следовательно,
е[К+]> Ье [тах(б; 0)]. (19)
Используя формулы (11), нетрудно убедиться, что математическое ожидание и
дисперсия случайной величины Q имеют порядок е: Е[<2] = шг, ^[<2] = пг, где т и п > 0 -некоторые константы. В таком случае среднее абсолютное (линейное) отклонение Q будет равно е [|( - оте|] = д/ 2пе/л. Учтем теперь, что
max(Q; 0) = 2{|Q\ + Q}>
> 2 {Q -
ms\ -ms +
Q}.
Поэтому в силу (18) и (19) имеем: (Dr - 1)s > e [K+ ] > be [max(Q; 0)] >
> | {e [| Q-ms|]-| m\s + E [Q]}>
> Ь{e[|Q - ms|] - |m|s - |m|s} >
> Ьe[|Q - ms|]- b|m|s = bj-^— - b|m| s.
Однако такое неравенство при малых e не выполняется, поскольку его левая часть имеет порядок e, а правая - порядок -v/s . Полученное противоречие и доказывает, что R'(z) = 0.
Используя (17), легко получить, что
z ) = ß-1 -!_.
Cz
Приравняв это выражение к нулю, мы найдем
z =
ß
(ß-1) С'
Подставив это в (17), получим окончательную формулу для рентного мультипликатора:
*(s)-C
S < z -
1 + -
1 (S
ß-11 z ß >
- S;
(ß-1) C
(20)
Тогда стоимости здания К = PR(L/P) и всего объекта недвижимости N = К + Ь будут
выражаться следующими формулами (при
z):
к=P
C
N = P C
i[L
ß-1 {Pz
1(—
ß-1 { Pz
- L;
(21)
Если же 5 > г, то стоимость здания равна нулю, а стоимость объекта недвижимости равна стоимости земельного участка. Мы получили полное решение поставленной задачи.
К полученному результату следует сделать важный комментарий. В нашей модели динамика ИЧД и стоимости ЗУ для всех объектов на рассматриваемом рынке описывалась процессами (10) геометрического броуновского движения с известными параметрами сноса и волатильности. Однако мы не требовали, чтобы эти параметры оставались стабильными: для вывода окончательных формул достаточно, чтобы они не менялись на небольшом отрезке времени вблизи даты оценки. Поэтому входящие в расчетные формулы значения параметров сноса и волатиль-ности, по сути, краткосрочные. Это позволяет оценивать их приближенно, используя ретроспективную информацию и экстраполируя фактические значения параметров на краткосрочную перспективу. Точно так же в расчеты должна быть заложена и ставка дисконтирования на ближайшую перспективу, а не долгосрочная.
Обратим внимание, что неопределенность динамики КХ объекта в нашей модели характеризуется единственным параметром А - дисперсией разности темпов прироста стоимости ЗУ и ИЧД. Другими словами, если менять волатильности сР и сЬ и коэффициент корреляции 9, оставляя величину А = с2ь + ср - 2срсь9 неизменной, на стоимости объектов это не повлияет.
При А = 0 модель описывает детерминированную ситуацию, когда имеется точный прогноз динамики ОД и стоимости ЗУ. В этой ситуации в силу (13) имеем
А = 0; В = аь -ар; С = г -ар; В = г -аь. Отсюда и из (16) находим С г-ар
=
а тогда
В аь -аР
г =
Р
(Р-1) С г-а/
Эти значения точно такие же, как и в формуле (6), так что формула (20) здесь дает те же результаты, что и (7).
В ситуации неопределенности будет уже А > 0. Легко проверяется, что величина Р при этом уменьшится. Соответственно увеличится значение г. Выясним, как это скажется на величине рентного мультипликатора. Для этого заметим, что
1 (5
\Р
1
Р-1^г) р-1
(Р-1) Р
в
Производная от логарифма этого выражения по Р при этом оказывается равной
1п
(Р-1) в
=
Поскольку при S < г эта производная отрицательная, то при уменьшении Р величина
1 Г ^ ?
р-и
будет расти. Соответственно увеличатся и рентный мультипликатор (20), и стоимость
объекта недвижимости. Это означает, что с ростом неопределенности динамики ЧД и стоимости ЗУ значение рентного мультипликатора повышается. Этот вывод явно не согласуется с оценочной практикой, когда учет факторов неопределенности обычно производится путем введения повышающих поправок к ставке дисконтирования. Из приведенных выше рассуждений вытекает, что если уж учитывать влияние неопределенности путем корректировки ставки дисконтирования, то такая корректировка должна быть понижающей!
4. ПРИМЕРЫ
Приведем примеры применения предложенного метода. Время при этом измеряется в годах и долях года, стоимости - в условных единицах.
Пример 1. Для того чтобы выявить зависимость рентного мультипликатора от основных характеристик рынка, рассмотрим восемь вариантов, отличающихся значениями г, аР и ар (табл. 1). Во всех вариантах принимается, что волатильность чистых доходов оР = 0,1, волатильность стоимости ЗУ ар = 0,08, а коэффициент корреляции между ростом цен на земельные участки и ростом чистых доходов 0 = 0,4 (этому отвечает А = 0,01). При этом варианты 1 и 2 отвечают детерминированной ситуации.
1
Таблица 1
Значения основных характеристик рынка
Параметр Вариант
1 2 3 4 5 6 7 8
Ставка дисконтирования г 0,15 0,1 0,15 0,1 0,15 0,15 0,1 0,1
Средний темп роста цен на ЗУ аь 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 -0,05 -0,05
Средний темп роста ИЧД аР 0 0 0 0 0,07 0,02 0,02 -0,07
На рис. 1, 2 представлены соответствующие зависимости рентного мультипликатора R от срока окупаемости земельного участка Как видно на рис. 1, при уменьшении ставки дисконтирования рентный мультипликатор увеличивается, а с увеличением параметра А снижается, причем при сроке окупаемости участков менее пяти лет это снижение пренебрежимо мало. ■
Пример 2. Требуется оценить здание, входящее в состав объекта недвижимости 0 по данным о ценах объектов-аналогов 1-6, представленным в первых строках табл. 2. В расчетах принимались следующие характеристики рынка: ставка дисконтирования г = 0,14; волатильности аь = 0,06; аР = 0,08; коэффициент корреляции 0 = 0,5 (этим значениям отвечает А = 0,00616).
Средние темпы роста ИЧД аР и стоимости ЗУ аь подбирались так, чтобы рассчитанные по формуле (21) стоимости зданий-ана-
логов оказались в среднем как можно ближе к наблюдаемым ценам сделок с ними (здесь и далее денежные единицы для краткости не указываются). Оказалось, что аР = 0,019; аь = 0,037. Соответствующие оценки стоимости зданий приведены в последней строке табл. 2.
Среднеквадратичное отклонение оцененных стоимостей зданий-аналогов от фактических цен сделок с ними составляет 2,1%. Стоимость оцениваемого здания определена в сумме 449. ■
Построенная модель может быть уточнена и приспособлена к более сложным ситуациям оценки.
Дело в том, что в построенной модели предполагалось, что величина чистого дохода от использования объекта не зависит ни от рыночной стоимости здания, ни от рыночной стоимости земельного участка. В той части, которая касается выручки от сдачи в аренду или оказания иных услуг, это оправдано. Од-
я
ч
\ р. 1 -
о р. 2
\
р. 3
7 ч
- V
......В р. 4
4
- N
"Ч-.
-'и
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Рис. 1. Зависимость рентного мультипликатора от срока окупаемости ЗУ по вариантам 1-4
— —Бар - Бар -Бар • Бар . 5 . 6 . 7 . 8
N
ч ч
ч N
N
X ч
ч \ ч
N ч
ч
•ч. ч
ччч "V
ч Ч;-
-----
Рис. 2. Зависимость рентного мультипликатора от срока окупаемости ЗУ по вариантам 5-8
Таблица 2
Основные характеристики объектов
Характеристика объектов Номер объекта
0 1 2 3 4 5 6
Интенсивность ЧД 150 100 120 130 220 180 240
Стоимость ЗУ 810 460 480 624 1320 675 1200
Цена здания - 370 520 480 540 800 790
Стоимость здания (расчет) 449 373 516 460 542 817 805
я
S
0
6
12
15
нако, как справедливо отмечается в (Грибов-ский и др., 2003), некоторые операционные затраты (например, расходы на страхование или налог на имущество) могут зависеть именно от указанных стоимостей. Это обстоятельство несложно учесть в модели, однако она при этом усложнится.
Список литературы
Аркин В.И., Сластников А.Д. Инвестиционные ожидания, стимулирование инвестиций и налоговые реформы // Экономика и математические методы. 2007. Т. 43. № 2.
Аркин В.И., Сластников А.Д. Оптимизация бюджетных субсидий при кредитовании инвестиционных проектов // Журнал Новой экономической ассоциации. 2016. № 1 (29). С. 12-26.
Аркин В.И., Сластников А.Д., Смоляк С.А. Оценка имущества и бизнеса в условиях неопределенности (проблема «хвоста» и «начала») // Аудит и финансовый анализ. Приложение. Сборник научных трудов. 2006. № 1. С. 81-92.
Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. 2-е изд. М.: Олимп-Бизнес, 2006.
Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: учеб. пособие. 5-е изд., перераб. и доп. М.: ПолиПринтСервис, 2015.
Грибовский С.В., Иванова Е.Н., Львов Д.С., Медведева О.Е. Оценка стоимости недвижимости: учеб. М.: Интерреклама, 2003.
Канторер С.Е. Определение оптимального срока службы строительных машин // Механизация строительства. 1963. № 7.
Лейфер Л.А. Метод прямой капитализации. Обобщенная модель Инвуда // Вопросы оценки. 2006. № 3. С. 15-21. URL: http://www.labrate. ru/leifsr/lev_leifer_article-model_mwood.htm.
Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Сроки службы основных фондов в оптимальном плане // Первая конференция по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством. Секция 1. Вып. 1. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1971.
Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Модели динамики экономического износа оборудования // Экономика и математические методы. 1990. Т. 26. № 5. С. 871-882.
Массе П. Критерии и методы оптимального определения капиталовложений. М.: Статистика, 1971.
Международный комитет по стандартам оценки. Международные стандарты оценки 2007. 8-е изд. / пер. с англ. И.Л. Артеменкова, Г.И. Микерина и др. М.: Российское общество оценщиков, 2008.
Международный комитет по стандартам оценки. Международные стандарты оценки 2011. М.: Российское общество оценщиков, 2013.
Петухов Р.М. Методика экономической оценки износа и сроков службы машин. М.: Экономика, 1965.
Сластников А.Д. Инвестирование рискованных проектов в условиях государственных гарантий по кредитам // Журнал Новой экономической ассоциации. 2014. № 4 (24). С. 12-37.
Смоляк С.А. Рациональные сроки прекращения разработки нефтяного месторождения // Аудит и финансовый анализ. 2002. № 3. С. 230-241.
Смоляк С.А. Проблемы и парадоксы оценки машин и оборудования: сюита для оценщиков машин и оборудования. М.: РИО МАОК, 2008.
Смоляк С.А. Зависимость стоимости машин от возраста: проблемы и модели // Аудит и финансовый анализ. 2014. № 5. С. 138-150.
Строков А.В., Строкова Д.В. Коэффициент капитализации и доходность вложений. 2009. URL: http://www.appraiser.ru/UserFiles/File/ Guidance_materials/Koef_kapitalizacii.pdf.
Шарп У.Ф., АлександерГ.Дж., БэйлиДж.В. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2003.
Arkin VI., Slastnikov A.D. The effect of depreciation allowances on the timing of investment and government tax revenue // Annals of Operations Research. 2006. Vol. 151. № 1. P. 307-323.
Brown G.R., Matysiak G.A. Real estate investment. A capital market approach. Essex: FT, Prentice Hall, Financial Times, Pearson Education Limited, 2000. P. 12-89.
Capozza D., Li Y. The intensity and timing of investment: The case of land // American Economic Review. 1994. Vol. 84. № 4.
Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under uncertainty. Princeton: Princeton University Press, 1994.
McDonald R., Siegel D. The value of waiting to invest // Quarterly Journal of Economics. 1986. Vol. 101. № 4. P. 707-727.
Gordon M.J. Dividends, earnings and stock prices // Review of Economics and Statistics. 1959. № 41.
Kleiber W., Simon J., Weyers G. Verkehrswertermittlung von Grundstücken. Bundesanzeiger Verlagsgesellschaft mbH. 4 Aufl. Köln, 2002.
Kummerow M. Theory of real estate valuation: An alternative way to teach real estate price estimation methods. Department of Property Studies. Curtin University, 2011.
Smolyak S.A. Models for estimating depreciation in plants, machinery and equipment: Analysis and proposals // Journal of Property Tax Assessment & Administration. Vol. 9. Issue 3. 2012. P. 47-86.
Smolyak S.A. A model to decompose property rental multipliers with regard to the division between land and building elements // Real Estate Management and Valuation. 2016. Vol. 24. Issue 1. P. 51-63.
Terborgh G. Dynamic equipment policy. McGraw-Hill Book Company, USA, 1948.
Titman S. Urban land prices under uncertainty // American Economic Review. 1975. Vol. 75. № 3. P. 505-514.
Trigeorgis L. Real options: Managerial flexibility and strategy in resource allocation. Cambridge: MIT Press, 1996.
Verordnung über die grundsätze für die ermittlung der verkehrswerte von grundstücken (Immobilien Wertermittlungs Verordnung - ImmoWertV). 2010. URL: http://www.gesetze-im-internet.de/ bundesrecht/immowertv/gesamt.pdf.
Williams J.B. The theory of investment value. 1997 reprint, Fraser Publishing, 1938. Cambridge: Harvard University Press, 1938.
Williams J.T. Real estate development as an option // Journal of Real Estate Finance and Economics. 1991. Vol. 4. Issue 2. P. 191-208.
Рукопись поступила в редакцию 13.10.2016 г.
ALTERNATIVE VERSION
OF THE DCF-METHOD
FOR REAL ESTATE VALUATION
UNDER UNCERTAINTY
S.A. Smolyak, VI. Arkin, A.D. Slastnikov
Smolyak Sergey A. -Central Economics and Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia, smolyak1@yandex.ru
Arkin Vadim I. -Central Economics and Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia, ar-kin@cemi.rssi.ru
Slastnikov Alexandr D. -Central Economics and Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia, slast@cemi.rssi.ru
We offer a mathematical model for estimating the market value of a property comprised of a building and a land parcel. For these purposes, we apply an unconventional version of the discounted cash flow analysis, the highest and best use principle, as well as notions utilized in the theory of real options. In doing so, we take into account the income tax paid by the owner of the property and ad valorem expenses (for example, the property tax) - as part of the costs associated with the use of the property. Therefore, the cash flows used in the valuation of property are post-tax. The input information for appraising the market value of the property includes the market value of underlying land plot and the net income that property generates as of the valuation date (net of ad valorem expenses). However, the values of these inputs subsequent to the date of valuation are unknown, and their dynamics is modelled by random processes of the geometric Brownian motion. Solutions to the model indicate that the value of building depends on the value of the land on which it is located, the corresponding dependence being a nonlinear one. Thus, if the ratio of income from the property use to the value of the land plot does not exceed a certain threshold, the value of the building must be zero (that is, the value of the overall property must coincide with the value of the land plot). We present some examples of application for the proposed method. Of course, the market value of the property depends likewise on the parameters of those random processes that describe the dynamics of income from the property use and the market value of the land. In one example we show how the values of these parameters can be evaluated on the basis of the price data on several comparable properties.
Keywords: building, income, service life, land, valuation,
uncertainty, cash flows discounting.
JEL: C44, C61, D46, D81, G11.
References
Arkin VI., Slastnikov A.D., Smolyak S.A. (2006). Appraisal of property and business in conditions of indeterminacy (a problem of "tail" h "beginnings"). Audit and Financial Analysis, Supplement. Compendium of scientific works, no. 1, pp. 81-92 (in Russian).
Arkin VI., Slastnikov A.D. (2006). The effect of depreciation allowances on the timing of investment and government tax revenue. Annals of Operations Research, vol. 151, no. 1, pp. 307-323.
Arkin VI., Slastnikov A.D. (2007). Theory of investment expectations, investment incentives, and tax reforms. Economics and Mathematic Methods, vol. 43, no. 2 (in Russian).
Arkin VI., Slastnikov A.D. (2016). Optimization of budget subsidies on credits for investmemt projects. Journal of the New Economic Association, no. 1 (29), pp. 12-26 (in Russian).
Brealey R.A., Myers S.C. (2003). Principles of corporate finance. 7th ed. Boston at al.: McRaw-Hill.
Brown G.R., Matysiak G.A. (2000). Real estate investment. A capital market approach. Essex: FT, Prentice Hall, Financial Times, Pearson Education Limited, pp. 12-89.
Cantorer S.E. (1963) Optimal Service Life of Construction Machinery Estimation // Mechanization of construction, no. 7 (in Russian).
Capozza D., Li Y. (1994). The intensity and timing of investment: The case of land. American Economic Review, vol. 84, no. 4.
Dixit A.K., Pindyck R.S. (1994). Investment under uncertainty. Princeton: Princeton University Press.
McDonald R., Siegel D. (1986). The value of waiting to invest. Quarterly Journal of Economics, vol. 101, no. 4, pp. 707-727.
Gordon M.J. (1959). Dividends, earnings and stock prices. Review of Economics and Statistics, no. 41.
Gribovsky S.V, Ivanova E.N., Lvov D.S., Medvede-va O.E. (2003). Real estate valuation: text-book. Moscow, Interreklama (in Russian).
Intemational Valuation Standards Committee (2007). International valuation standards. 8th ed. London, International Valuation Standard Committee.
International Valuation Standards Committee (2011). International valuation standards 2011. London, International Valuation Standard Committee.
Kleiber W., Simon J., Weyers G. (2002). Verkehrswertermittlung von Grundstücken. Bundesanzeiger Verlagsgesellschaft mbH, 4. Köln.
Kummerow M. (2011). Theory of real estate valuation: An alternative way to teach real estate price estimation methods. Department of Property Studies. Curtin University.
Leyfer L.A. (2006). Direct capitalization technique. A generalized Inwood model. Valuation Issues, no. 3, pp. 15-21. URL: http://www.labrate.ru/ leifer/lev_leifer_article-model_inwood.htm (in Russian).
Livchits VN., Smolyak S.A. Service lives of fixed assets in the optimal plan. The First Conference on the Optimal Planning and Management of National Economy. Is. 1. Moscow, CEMI AS USSR (in Russian).
Livchits VN., Smolyak S.A. Models of dynamics of economic depreciation of equipment. Economics and Mathematic Methods, vol. 26, no. 5, pp. 871-882 (in Russian).
Massé P. (1968). Le choix des investissements. Critères et methodes. Paris: Dunod (in French).
Petukhov P.M. (1965). Technique of economic evaluation of depreciation and service lives of machinery. Moscow, Ekonomika (in Russian).
Slastnikov A.D. (2014). Investing a risky projects under the government guarantees on loans. Journal of the New Economic Association, no. 4 (24), pp. 12-37 (in Russian).
Smolyak S.A. (2002). Rational timing of the oil field development termination. Audit and Financial Analysis, no. 3, pp. 230-241 (in Russian).
Smolyak S.A. (2008). Problems and paradoxes of machinery and equipment valuation: Suite for appraisers of machinery and equipment. Moscow, International Academy of Valuation and Consulting (in Russian).
Smolyak S.A. (2012). Models for estimating depreciation in plants, machinery and equipment: Analysis and
proposals. Journal of Property Tax Assessment & Administration, vol. 9, no. 3, pp. 47-86.
Smolyak S.A. (2014). Dependence of the value of machinery and equipment items on age: Problems and models. Audit and Financial Analysis, no. 5, pp. 138-150 (in Russian).
Smolyak S.A. (2016). A model to decompose property rental multipliers with regard to the division between land and building elements. Real Estate Management and Valuation, vol. 24, no. 1, pp. 51-63.
Strokov A.V, Strokova D.V (2009). The capitalization ratio and the return on investment. URL: http:// www.appraiser.ru/UserFiles/File/Guidance_ma-terials/Koef_kapitalizacii.pdf (in Russian).
Sharpe W.F., Alexander G.J., Bailey J.V (2003). Investments. 7 th ed. Prentice Hall Inc.
Terborgh G. (1948). Dynamic Equipment Policy. McGraw-Hill Book Company, USA.
Titman S. (1975). Urban Land Prices under Uncertainty. American Economic Review, vol. 75, no. 3, pp. 505-514.
Trigeorgis L. (1996). Real options: Managerial flexibility and strategy in resource allocation. Cambridge, MIT Press.
Verordnung über die grundsätze (2010) für die ermittlung der verkehrswerte von grundstücken (Immobilien Wertermittlungs Verordnung - ImmoW-ertV). URL: http://www.gesetze-im-internet.de/ bundesrecht/immowertv/gesamt.pdf.
Vilensky P.L., Livchits VN., Smolyak S.A. Investment projects evaluation: Theory and practice: textbook. 5th ed., overwork and extend. Moscow, PoliPrintService (in Russian).
Williams J.B. (1938). The Theory of investment value. 1997 reprint, Fraser Publishing, 1938. Cambridge, Harvard University Press.
Williams J.T. (1991). Real estate development as an option. Journal of Real Estate Finance and Economics, vol. 4, no. 2, pp. 191-208.
Manuscript received 13.10.2016
ЭФФЕКТ ПЕРЕНОСА ИЗМЕНЕНИЙ ИМПОРТНЫХ И ЭКСПОРТНЫХ ЦЕН В ЦЕНЫ ВНУТРЕННЕГО РЫНКА: МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ1
М.Г. Прокопьев
В статье рассматриваются методические аспекты влияния изменений импортных и экспортных цен на цены внутреннего рынка в условиях как несовершенного замещения, так и несовершенной трансформации. Обоснованы ключевые параметры, определяющие степень воздействия на внутренние цены изменений внешних цен: эластичность цены отечественного производителя при изменении импортной цены и эластичность цены отечественного производителя при изменении цены экспорта. Рассмотрены факторы, определяющие значения данных параметров. В основу исследования положена односекторная модель частичного равновесия, которая со стороны спроса включает приближение Армингтона, предложение отражает С^Т-функция (функция с постоянной эластичностью трансформации). Модель при определенных допущениях и предпосылках позволяет оценить эффект влияния «возмущений» экзогенных параметров модели (импортных тарифов, экспортных субсидий и экспортных пошлин, а также валютного курса рубля) на равновесные (базовые) значения внутренних цен. Особое внимание уделяется степени, в которой импортные и отечественные товары одной товарной группы замещают друг друга на внутреннем рынке, а также степени трансформации отечественной продукции между внутренним и внешними рынками. В этой связи
© Прокопьев М.Г., 2017 г.
Прокопьев Михаил Григорьевич - д.э.н., главный научный сотрудник Института проблем рынка РАН, Москва, mgprokopyev@yandex.ru
1 Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-06-05898).
