CC BY
74
УДК 621.45.018.2:669.295
DOI: 10.24412/0321-4664-2021-2-82-89
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ДИСКА ИЗ ДЕФОРМИРУЕМОГО ИНТЕРМЕТАЛЛИДНОГО ТИТАНОВОГО ОРТОСПЛАВА ВИТ-6
Антон Николаевич Серветник1, канд. техн. наук, Дмитрий Владимирович Шадрин1,
Максим Гоигорьевич Яковлев2, канд. техн. наук, Василий Валерьевич Белоусов1, Ярослав Алексеевич Кожуховский1
1ЦИАМ им. П.И. Баранова, Москва, Россия, anservetnik@ciam.ru 2Филиал АО «ОДК» «НИИД», Москва, Россия, to-niid@uecrus.com
Аннотация. Проведено разгонное испытание диска компрессора из деформируемого интерметаллидного титанового ортосплава ВИТ-6 в условиях радиального перепада температур 350-460 °C. Определены характер разрушения диска и его разрушающая частота вращения. На основе сопоставления результатов моделирования теплонапряженного состояния диска с экспериментальными данными оценены деформационные способности сплава. Определены условие текучести и критерий разрушения диска из сплава ВИТ-6. Дана оценка перспективы применения дисков из деформируемых интерметаллидных титановых ортосплавов взамен дисков из жаропрочных никелевых сплавов.
Ключевые слова: интерметаллидный сплав, диск, несущая способность, разрушающая частота вращения, разгонный стенд, условие текучести, критерий разрушения
Load Carrying Capability of a Dise Made from Wrought Intermetallic Titanium Ortho-Alloy. Cand. of Sci. (Eng.) Anton N. Servetnik1, Dmitry V. Shadrin1, Cand. of Sci. (Eng.) Maxim G. Yakovlev2, Vasily V. Belousov1, Yaroslav A. Kozhukhovsky1
1 Central Institute of Aviation Motors, Moscow, Russia, anservetnik@ciam.ru
2 NIID, UEC branch office, Moscow, Russia, to-niid@uecrus.com
Abstract. Spin rig test of the compressor disc made from VIT-6 wrought intermetallic orthotitanium alloy was carried out under conditions of a radial temperature difference of 350-460 °C. The nature of the disk fracture and the burst speed were determined. The tendency to deformation of the alloy was estimated based on comparison of the results of modeling the thermal-stress state of the disk with experimental data. The yield condition and the fracture criterion of a VIT-6 alloy disc were determined. The prospects of using discs made of wrought intermetallic titanium orthoalloys instead of discs made of Ni-based superalloys are evaluated.
Keywords: intermetallic alloy, disk, load carrying capability, burst speed, spin rig, yield condition, fracture criterion
Введение
Задача снижения веса до сих пор остается актуальной и востребованной у разработчиков авиационных двигателей. Деформируемые интерметаллидные титановые ортосплавы
благодаря высоким удельным прочностным свойствам, жаропрочности и жаростойкости [1] являются перспективным классом материалов для изготовления деталей современных авиационных двигателей, максимальная рабочая температура которых может дости-
гать 700 °С. Данные материалы могут заменить жаропрочные никелевые сплавы, обладающие высокой (до 8,5 г/см3) плотностью. Использование в конструкции современных двигателей интерметаллидных титановых ор-тосплавов с плотностью до 5,4 г/см3 позволит обеспечить конкурентоспособные характеристики двигателя и приведет к повышению экономичности летательного аппарата.
В настоящее время активно ведутся работы по совершенствованию интерметаллидных сплавов, технологии изготовления полуфабрикатов и деталей из них [2]. Одним из направлений разработок является создание технологии изготовления крупногабаритных заготовок для изготовления дисков компрессоров [3].
К дискам предъявляют повышенные требования к обеспечению их прочностной надежности, так как их разрушение может приводить к опасным последствиям. Несущая способность диска является наиболее важной характеристикой конструкционной прочности, показывающей деформационные возможности материала при действии предельных нагрузок на конструкцию. Экспериментальную проверку несущей способности дисков проводят на разгонных стендах с предварительным подогревом до уровней эксплуатационных температур (при необходимости). Испытания выполняют с постоянным угловым ускорением непосредственно до разрушения. В процессе испытаний ведется запись частоты вращения, а также дополнительных параметров, характеризующих тепловое и деформационное состояние диска. Результатом разгонных испытаний является определение запаса прочности по разрушающей частоте вращения.
Результаты испытаний также необходимы для калибровки и валидации прочностных моделей, используемых при проектировании роторов турбомашин. К таким моделям относят как традиционные методы расчета разрушающей частоты вращения дисков, основанные на теории предельного равновесия [4], так и методы прямого численного моделирования процесса разгонных испытаний диска [5]. В результате сопоставления расчетных и экспериментальных данных определяются новые параметры моделей либо подтверждаются параметры, ранее используемые.
В работах [6, 7] на примере разгонных испытаний модельных дисков из сталей ЭИ268 и ЭИ961-ш было показано, что для материалов с ярко выраженной шейкой при испытании образца на разрыв пластическое деформирование идет по поверхности текучести с условием текучести Мизеса, а разрушающая частота вращения определяется интегральным критерием разрушения, когда эквивалентная пластическая деформация во всем критическом сечении диска становится равной предельной пластической деформации образца [7]. В работе [8] на примере разгонных испытаний диска турбины из жаропрочного гранулируемого никелевого сплава, для которого характерно отсутствие шейки при испытании образца на разрыв, было определено, что пластическое деформирование идет по поверхности текучести с условием текучести Треска. В ряде работ [8-10] было показано, что разрушающая частота вращения дисков из жаропрочных гранулируемых и деформируемых никелевых сплавов определяется локальным критерием разрушения, когда эквивалентная пластическая деформация в наиболее нагруженной зоне диска становится равной предельной пластической деформации образца.
В настоящей работе выполнена экспериментальная оценка несущей способности диска из деформируемого интерметаллидно-го титанового ортосплава ВИТ-6, определены разрушающая частота вращения и характер разрушения диска. Результаты расчетного прогнозирования разрушения диска сопоставлены с экспериментальными данными, на основании чего определены критерий начала возникновения пластических деформаций в сплаве ВИТ-6 и критерий разрушения диска.
Сплав ВИТ-6 и его характеристики кратковременной прочности
Деформируемый интерметаллидный титановый ортосплав ВИТ-6 обладает высоким уровнем прочности и повышенными характеристиками жаропрочности по сравнению со сплавами-аналогами: по кратковременной прочности при температуре 20 °С ВИТ-6 находится на уровне сплавов ВИТ1 (РФ), Т1-22Д!-23ЫЬ (США) и ВТ18У (РФ), по кратковременной проч-
Средние значения характеристик кратковременной прочности сплава ВИТ-6 при температуре 450 °С и коэффициенты вариации (в скобках в процентах)
E, ГПа апц, МПа 0b, МПа еь, МПа 85, % V, %
116 (1,0) 752 (2,8) 1121 (1,8) 11,2 (6,0) 10,6 (8,2) 16,9 (11,5)
еь - деформация, соответствующая условному пределу прочности.
О 123456789 10 11 12 Деформация, %
Рис. 1. Диаграмма растяжения сплава ВИТ-6 при 450 °С
ности при температуре 700 °С этот сплав превосходит на 10 и 40 % сплавы ВИТ1 (РФ) и ВТ18У (РФ) соответственно. Длительная прочность при температуре 700 °С (на базе испытаний 100 ч) сплава ВИТ-6 в 1,9 раз выше, чем у сплава ВИТ1. Деформированные полуфабрикаты из сплава ВИТ-6 имеют более широкий диапазон рабочих температур (до 700 °С) по сравнению с российским сплавом-аналогом по применению ВТ18У (до 600 °С) и зарубежным сплавом Ti-22Al-23Nb (до 650 °С).
Данные о характеристиках кратковременной прочности сплава ВИТ-6 при 450 °С (максимальная эксплуатационная температура диска) получали на шести стандартных цилиндрических образцах с диаме-
Рис. 2. Образец из сплава ВИТ-6 после разрыва
тром рабочей части 6 мм. Образцы вырезали в тангенциальном направлении из заготовки диска того же типоразмера, что и заготовка диска для разгонных испытаний. Испытания проводили под руководством М.Е. Волкова в аккредитованной лаборатории ФАУ «ЦИАМ им. П.И. Баранова» в соответствии со стандартом [11] при скорости нагружения 0,3 мм/мин с установкой на рабочую часть образца экстензометра. Результаты испытаний представлены в таблице.
Построенная по средним значениям механических свойств диаграмма растяжения сплава ВИТ-6 при 450 °С характеризуется плавным участком перехода от упругой к упругопласти-ческой зоне (рис. 1). Сплав имеет среднюю пластичность (55 = 10 %), однако процесс разрушения образца характеризуется отсутствием развития шейки (рис. 2), т.е. после упрочнения сплава сразу происходит его разрушение. Представленное поведение материала характерно для дисковых жаропрочных никелевых сплавов.
Результаты испытаний диска
Объектом исследования служил диск компрессора с установленными в пазы типа «ласточкин хвост» рабочими лопатками (рис. 3). Диск и лопатки изготавливали из интерметал-лидного титанового ортосплава ВИТ-6. В области полотна диска расположены болтовые отверстия, через которые осуществляли его крепление к разгонному стенду с помощью переходника и оправки, предварительно собранной со шпинделем приводной турбины разгонного стенда.
Испытание проводили на вакуумном разгонном стенде РС-1Д ФАУ «ЦИАМ им. П.И. Баранова». Характеристики стенда приведены в работе [12]. Диск нагревали до уровней эксплуатационных температур с использованием системы, состоящей из трубчатых и патронных электронагревателей. Температуру диска
Вид А
Рис. 3. Диск компрессора, закрепленный на оснастке разгонного стенда:
1 - лопатки; 2 - диск; 3 - переходник;
4 - оправка; 5 - шпиндель
контролировали в нескольких зонах по показаниям оптических пирометров.
После нагрева проводили разгон диска с угловым ускорением 60 рад/с2 непосредственно до разрушения на фрагменты. В процессе испытания выполняли запись частоты вращения и проводили видеосъемку процесса разрушения диска с использованием высокоскоростной видеокамеры.
Объект разрушился при относительной частоте вращения юэ = 164 % (за 100 % принимали максимальную рабочую частоту вращения ротора компрессора). Анализ результатов видеосъемки показал, что разрушение диска происходит по меридиональным сечениям, проходящим через болтовые отверстия. На рис. 4, слева зафиксирована первая сквозная трещина, справа - вторая сквозная трещина. Дальнейший процесс разрушения происходил по сложным траекториям развития трещин в полотне диска из-за потери радиальных связей. В целом характер разрушения диска из сплава ВИТ-6 идентичен характеру разрушения дисков из жаропрочных титановых и никелевых сплавов.
Моделирование теплового состояния диска
Степень достоверности математического моделирования процесса разгона диска и расчетной оценки его разрушающей частоты вращения зависит от данных распределения температуры непосредственно перед началом разгонных испытаний. Тепловое состояние диска определяли методом конечных элементов в стационарной осесимметричной постановке с использованием пре-постпроцессора МБС.Меп1а1 и решателя МБС.Маго. Расчетная модель включает в себя диск совместно с оснасткой крепления к разгонному стенду и закрепленной на плите системой нагрева, состо-
Рис. 4. Видеокадры процесса разрушения диска
ящей из нагревателей и теплоизоляционных блоков (рис. 5). Из расчетной модели по причине малых значений тепловых потоков исклю-
Рис. 5. Расчетная схема для моделирования теплового состояния диска:
1 - диск; 2 - переходник; 3 - оправка; 4 - шпиндель; 5-8 - трубчатые электронагреватели; 9, 10 - патронные нагреватели; 11-13 - теплоизоляционные блоки; 14 - плита
1 1 1 }
-Расчет • Измерение по пиромс:
грам
1 •
2
3
/
4
340 360 380 400 420 440 460
Т,° С
а б
Рис. 6. Распределение температуры по диску (а) и сопоставление расчетных и измеренных по пирометрам температур передней поверхности диска (б)
чали лопатки, силовую стоику для патронных нагревателей, электрические магистрали, болтовые соединения и силовые элементы конструкции. Модель разбивали на четырехузло-вые конечные элементы первого порядка.
Граничные условия первого рода прикладывали в виде заданных значений температур, контролируемых по термопарам, к заднему торцу шпинделя и наружным поверхностям электронагревателей. На остальные наружные поверхности элементов были заданы граничные условия третьего рода, учитывающие испускание энергии посредством излучения.
Результаты расчета в виде распределения температуры по меридиональному сечению диска представлены на рис. 6, а. В диске при выбранном способе нагрева реализуется радиальный перепад температур. Сопоставление измеренных по пирометрам значений температур диска с расчетной эпюрой температур передней поверхности диска показано на рис. 6, б. Видно достаточно хорошее соответствие данных.
Моделирование разгонных испытаний диска
Пластические деформации диска в процессе разгонных испытаний определяли с использованием квазистатической конечно-элементной модели на основе изотермической теории пластического течения с изотропным упрочнением [13]. Расчеты проводили в пре-постпроцессоре MSC.Patran и решателе MSC. Marc с использованием процедуры пошагового итерационного решения при постепенном увеличении частоты вращения ю. Метод расчета подробно представлен в работе [7].
Модель представляет собой циклически симметричный сектор диска (без лопаток) под одно болтовое отверстие диска совместно с переходником и оправкой (рис. 7). Некратность количества лопаток и болтовых отверстий диска компенсировали увеличением сил от лопаток. Построение конечно-элементных сеток выполняли по номинальным геометрическим размерам деталей. Модель разбивали на вось-миузловые конечные элементы первого порядка. В зоне концентрации напряжений сетку выстраивали достаточно густой и равномерной с характерным размером конечного элемента
Рис. 7. Конечно-элементная сетка диска и оснастки разгонного стенда
0,5 мм. По двум крайним сечениям модели задавали условие циклической симметрии в виде уравнений связи узлов по перемещениям. Модель закрепляли в зоне соединения шпинделя с оправкой в осевом и тангенциальном направлениях. Между диском и переходником задавали условие контактного взаимодействия (коэффициент трения принят равным нулю) с учетом монтажного усилия болта. В области соединения переходника и оправки модель упрощали заданием условия равенства перемещений по контактирующим поверхностям. Температурную нагрузку задавали с помощью наложения на модель осесимметричного поля температур, полученного в процессе тепловых расчетов. Центробежную нагрузку от лопаток задавали в виде сил, действующих по нормали к контактным граням замков.
С целью исследования влияния условия текучести на разрушающую частоту вращения диска использовали общий вариант неквадратичной функции текучести Хосфорда [14]:
/■ =
1
^[(а1 ~а2)а +(^2 -^э)3 +
+ (а, -^э)Э])1/3 МЁ),
(1)
где
ст1, а2, аэ - главные напряжения; а - параметр материала в виде четного целого числа;
ст(е) - функция упрочнения материала. Общепринятые функции ( с условиями текучести Треска и Мизеса являются частными и предельными случаями соотношения (1). При а > 4 поверхность текучести ( = 0 лежит
между предельными поверхностями с условиями текучести Мизеса и Треска и стремится к поверхности текучести с условием текучести Треска при а ^ да.
Для определения а(Ё) использовали диаграмму растяжения материала (см. рис. 1), пересчитанную в истинные значения напряжений из предположения о равномерном сужении цилиндрического образца по всей длине рабочей части при постоянстве объема материала до и после пластического деформирования:
а = а(1 + ё), 0 < ё < ёь;
ё = ё,
(2)
где а и ё - значения напряжений и деформаций на диаграмме растяжения. Остальные характеристики материала принимали по справочным данным.
Расчеты проводили при условиях текучести Мизеса (а = 2) и условии текучести, близком к условию текучести Треска (а = 80). Деформированное состояние диска совместно с оснасткой при разрушающей частоте вращения ю = 164 %, показано на рис. 8. Радиальные перемещения диска находятся в диапазоне
Рис. 8. Деформированное состояние диска при ю = 164 % (показано на шкале в мм)
Рис. 9. Пластические деформации в диске при ш = 164 %
от 5,5 до 7,7 мм, что говорит о высоких деформационных способностях сплава ВИТ-6.
Максимальные пластические деформации в диске локализуются в болтовых отверстиях, представляющих зоны концентрации напряжений (рис. 9); их накопление происходит в радиальном направлении, что соответствует характеру разрушения диска при разгонных испытаниях.
Оценку разрушающей частоты вращения диска проводили с использованием локального деформационного критерия разрушения вида [10]:
8 Pl "8 Pl ь,- - ьь,
(3)
где 8
pi
интенсивность пластической де-
формации в наиболее нагруженной зоне диска;
ер1 - значение пластической составляющей деформации еь образца (далее предельная пластическая деформация). При использовании показателя степени а = 2 (условие текучести Мизеса) разрушающая частота вращения составила юр = 174 %, при ис-
пользовании показателя степени а = 80 (условие текучести, близкое к условию Треска) юр = 167 %. Таким образом, условие текучести Треска и критерий разрушения (3) обеспечили лучшее соответствие расчетных и экспериментальных данных. Погрешность расчета составила 2 %.
Дополнительно была выполнена оценка разрушающей частоты вращения диска по теории предельного равновесия, основанной на уравнениях равновесия недеформируемой системы и на допущениях о выравнивании напряжений по меридиональному сечению в момент разрушения [4]. В результате расчета юр = 181 %, а погрешность расчета составила 10 %.
Выводы
Результаты исследований несущей способности диска компрессора из деформируемого интерметаллидного титанового ортосплава ВИТ-6 в диапазоне температур 350-460 °С показали его высокие деформационные способности и перспективы применения взамен дисков из жаропрочных никелевых сплавов. Характер разрушения диска по меридиональным сечениям от концентраторов напряжений в виде болтовых отверстий идентичен характеру разрушения дисков из жаропрочных титановых и никелевых сплавов.
Показано, что для сплава ВИТ-6 применимо условие текучести Треска, а оценка разрушающей частоты вращения диска может быть выполнена на основе локального деформационного критерия разрушения, который учитывает способность сопротивляться разрушению до момента, когда эквивалентная пластическая деформация в наиболее нагруженной зоне диска становится равной предельной пластической деформации стандартного образца при испытании на растяжение. Аналогичные результаты по условию текучести и критерию разрушения дисков были получены на гранулируемых и деформируемых жаропрочных никелевых сплавах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Имаев В.М., Имаев Р.М., Оленева Т.И. Современное состояние исследований и перспективы развития технологий интерметаллидных у-Т1Д!-сплавов // Письма о материалах. 2011. Т.1. № 1. С. 25-31.
2. Ночовная Н.А., Алексеев Е.Б., Ясинский К.К., Кочетков А.С. Специфика плавки и способы получения слитков интерметаллидных титановых сплавов с повышенным содержанием ниобия //
Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Машиностроение. 2011. № SP2. С. 53-59.
3. Ночовная Н.А., Скворцова С.В., Ани щук Д.С., Алексеев Е.Б., Панин П.В., Умарова О.З. Отработка технологии опытного жаропрочного сплава на основе интерметаллида // Титан. 2013. № 4 (42). С. 24-29.
4. Термопрочность деталей машин/ Под ред. Бир-гера И.А. и Шорра Б.Ф. - М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.
5. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. - М.: Машиностроение, 1978. - 247 с.
6. Кузьмин Е.П., Серветник А.Н. Исследование поверхности нагружения материалов дисков газотурбинных двигателей при разгонных испытаниях модельных дисков // Наука и образование. Сер.: Научное издание. 2014. № 5. С. 330-339.
7. Серветник А.Н. Исследование пластического деформирования и разрушения модельного диска из стали ЭИ961 // В сб.: Прочность и надежность газотурбинных двигателей/ Под ред. Ножницко-го Ю.А. - М.: ЦИАМ, 2020. С. 7-13.
8. Серветник А.Н. Моделирование несущей способности диска турбины АГТД // Справочник. Инженерный журнал. 2012. № 10. С. 44-49.
9. Nozhnitsky Yu., Karimbaev K., Servetnik A. Numerical simulation of spin testing for turbo machine disks using energy-based fracture criteria. Proceedings of the ASME TURBO EXPO, Copenhagen, Denmark. 11-15 June, 2012. Vol. 7. P. 35-40.
10. Nozhnitsky Yu., Servetnik A. Prevention of Hazardous Failure of the Turbine Rotor Due to Its Overspeed. Proceedings of the 2nd International Conference on Aerospace Technology, Communications and Energy Systems, ATCES 2018, Shanghai, China. 15-17 September, 2018. Vol. 449. P. 10.
11. ASTM E8-01, Standard Test Methods for Tension Testing of Metallic Materials, ASTM International, West Conshohocken, PA, 2001.
12. Ножницкий Ю.А., Федина Ю.А., Шадрин Д.В., Серветник А.Н. и др. Новые возможности применения разгонных стендов для обеспечения прочностной надежности газотурбинных двигателей // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2015. Т. 14. Вып. 3. Ч. 1. С. 71-86.
13. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике/ Пер. с англ. Зенкевич О.; под ред. Побе-дри Б.Е. - М.: Мир, 1975. - 541 с.
14. Hosford W. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. P. 425.
REFERENCES
1. Imayev V.M., Imayev R.M., Oleneva T.I. Sovremen-noye sostoyaniye issledovaniy i perspektivy razvitiya tekhnologiy intermetallidnykh y-TiAl-splavov // Pisma
0 materialakh. 2011. T.1. № 1. S. 25-31.
2. Nochovnaya N.A., Alekseyev Ye.B., Yasins-kiy K.K., Kochetkov A.S. Spetsifika plavki i spo-soby polucheniya slitkov intermetallidnykh titanovykh splavov s povyshennym soderzhaniyem niobiya // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser.: Mashino-stroyeniye. 2011. № SP2. S. 53-59.
3. Nochovnaya N.A., Skvortsova S.V., Anishchuk D.S., Alekseyev Ye.B., Panin P.V., Umarova O.Z. Otrabotka tekhnologii opytnogo zharoprochnogo splava na os-nove intermetallida // Titan. 2013. № 4 (42). S. 24-29.
4. Termoprochnost detaley mashin/ Pod red. Birgera I.A.
1 Shorra B.F. - M.: Mashinostroyeniye, 1975. - 455 s.
5. Demyanushko I.V., Birger I.A. Raschet na proch-nost vrashchayushchikhsya diskov. - M.: Mashinostroyeniye, 1978. - 247 s.
6. Kuzmin Ye.P., Servetnik A.N. Issledovaniye pover-khnosti nagruzheniya materialov diskov gazoturbin-nykh dvigateley pri razgonnykh ispytaniyakh model-nykh diskov // Nauka i obrazovaniye. Ser.: Nauch-noye izdaniye. 2014. № 5. S. 330-339.
7. Servetnik A.N. Issledovaniye plasticheskogo de-formirovaniya i razrusheniya modelnogo diska iz stali EI961 // V sb.: Prochnost i nadezhnost gazoturlbinnykh dvigateley/ Pod red. Nozhnitskogo Yu.A. - M.: TSIAM, 2020. S. 7-13.
8. Servetnik A.N. Modelirovaniye nesushchey sposob-nosti diska turbiny AGTD// Spravochnik. Inzhenernyy zhurnal. 2012. № 10. S. 44-49.
9. Nozhnitsky Yu., Karimbaev K., Servetnik A. Numerical simulation of spin testing for turbo machine disks using energy-based fracture criteria. Proceedings of the ASME TURBO EXPO, Copenhagen, Denmark. 11-15 June, 2012. Vol. 7. P. 35-40.
10. Nozhnitsky Yu., Servetnik A. Prevention of Hazardous Failure of the Turbine Rotor Due to Its Overspeed. Proceedings of the 2nd International Conference on Aerospace Technology, Communications and Energy Systems, ATCES 2018, Shanghai, China. 15-17 September, 2018. Vol. 449. P. 10.
11. ASTM E8-01, Standard Test Methods for Tension Testing of Metallic Materials, ASTM International, West Conshohocken, PA, 2001.
12. Nozhnitskiy Yu.A., Fedina Yu.A., Shadrin D.V., Servetnik A.N. i dr. Novyye vozmozhnosti primeneniya razgonnykh stendov dlya obespecheniya prochnost-noy nadezhnosti gazoturbinnykh dvigateley // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta. 2015. T. 14. Vyp. 3. Ch. 1. S. 71-86.
13. Zenkevich O.K. Metod konechnykh elementov v tekhnike/ Per. s angl. Zenkevich O.; pod red. Pobedri B.Ye. - M.: Mir, 1975. - 541 s.
14. Hosford W. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. P. 425.
