CC BY
15
УДК 536.24+532.52
НЕСТАЦИОНАРНЫЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КАНАЛАХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
УСТАНОВОК
Г.Н. МАРЧЕНКО, Ю.Г. ВОЛОДИН
Казанский государственный энергетический университет
Представлена математическая модель турбулентного пограничного слоя (ТПС), основанная на параметрических методах расчета, для транспортных магистралей теплоэнергетического оборудования.
Ключевые слова: нестационарность, неизотермичность, математическая модель, газовый поток, осесимметричный канал.
В основу математической модели, описывающей нестационарное неизотермическое течение несжимаемого газа в осесимметричных каналах с теплообменом, положены уравнения движения, неразрывности и энергии:
дмх дмх дР 1 д(гт)
Р-^Т + Р™х^ + х = -— +---Н (1)
дЬ дх дг дх г дг
дрг + д^г) + д(руггг) = 0; (2) дЬ дх дг
дк* дк* дк* 1 д(щ) дР
+ + =---+ (3)
дЬ дх дг г дг дЬ
2
2
Система уравнений (1) - (4) совместно с заданными в форме (5) начальными и граничными условиями:
о = / (Ь);
Та = / (Ь ); (5)
^ = / (ь,х)
и необходимыми замыкающими соотношениями (6) - (7):
к*= к + =| 1оСр. дТ. (4)
С- = /т/Р/РОЭи/Ц, (6)
st = Ш. 1 ¡1д^/ 1 Ъи- (7)
V 2 уРО /¿щ1
описывает нестационарное неизотермическое течение несжимаемого газа в осесимметричных каналах. Здесь N - константа турбулентности.
В рассматриваемом случае имеют место следующие возмущающие течение
© Г.Н.Марченко, Ю.Г. Володин Проблемы энергетики, 2010, № 5-6
факторы: неизотермичность, тепловая нестационарность, динамическая нестационарность, продольный градиент давления, формирующийся на начальном участке течения.
В основу аналитического исследования положен параметрический метод, разработанный в трудах Кутателадзе С.С. и Леонтьева А.И. [1]. Суть его заключается в изучении влияния конкретного воздействия на процессы трения и теплоотдачи с последующим синтезом явлений - изучением их совместного воздействия и установления корреляционных связей между ними.
Предположим, что при достаточно большом периоде осреднения нестационарных параметров, по сравнению с временным масштабом турбулентности, нестационарность не оказывает влияния на структуру турбулентности пограничного слоя. При этом останутся справедливыми основные предпосылки полуэмпирических теорий турбулентности.
Воспользуемся уравнениями (1) и (3) в виде, преобразованном к интегральным соотношениям импульсов
1 др о п об + дб
Р 0 п 0
дг
дх
+ 8
(2 + Н).-!_ ^ + ^ по дх Р о
дР о + дг0 дх го дх
С
/
(8)
и энергии 1
Дкп о
дДкб д + дбд
дг
дх
п о
дпо +бд_ дх Р о
дРо + 8к
дх Дк дх
дДк 8 к
+ —
го
до=^ (9)
дх
Соотношение импульсов является уравнением первого порядка в частных производных. Для численной его реализации
дW0 дW0 Б-0 + Е о
Ы
дХ
Ж
(1о)
используем метод характеристик. Это позволяет при переходе к новым характеристическим координатам в квазилинейном приближении представить уравнение (10) в виде системы дифференциальных уравнений в полных производных:
йг йХ йг Б
Б ~ ~Е' йХ ~ Е
йХ йW0 йW0 Ж Е_ Ж ' йХ ~ Е
где
(11)
С
/о
Ж = Ие1 —— • го - Ие • W0 + Ие • Н--1 • W02 2• го
Ие
1 Т1/2
л дГо
дХ '
(12)
** _ - д Ие ** ** _ дН _ д Ие Е = Ие го + Wо го-+ Ие НГо + Ие Wо го-+ HWо го-
дW0
дW0
дW0
Wо го
2 Ие
4
2
8
+
д Ие Ь Ж - КВ
дw0 т+Нг0 ж
0^
Ь = **г02 - Ие** го ' 4 0 0 дW0
* * * * * * дН ^ Ие1
К = Ие го + Ие Шо + Ие Wо го ^ - WоГо2-^1'
N = WоГо + HW0 го'
В =
Ие1 дг0
Wо г0
2 дХ
с \
дг0 Ие1 _2 2г01 1 дР01
дХ 4 п 0! Р 0! дг
Ие Н • г0 д
1 -ф к
Wо дг I ф к
_ _ * * _ 2г0! дН 2го1 д Ие * Б = Ие г0-1--+ Нг0 1
по1 дWо ^01 дWо
Уравнение неразрывности
4Н Ие** г0 = г2 1
Ие1 = ^ го-1-Уравнение энергии
д Ие к дХ
Ие к
(к0 - К)+ —
дго
К дХ
го дХ
Ие81о
+-— +
го
1 д ,*— - г01 _ --ко Ро г0-Ke1,
+ ■
ко - кп дг где
2п
о1
Ие = Ро гоWоKel, Р01 п01 2г01
Ие1
Ц 01
- Р о „, п0 - г0
Р о =-' Wо =-' го =— •
Р 01 п01 г01
Из анализа временной производной в уравнении (21) видно, что
д ,* д ,*
ттРгк = т;Рогоко, дг дг
(15)
(16) (17)
(18)
(19)
(2о)
(21)
(22)
(23)
(24)
д
1
к
т. е. комплекс величин ргк изменяется во времени одинаково по всему сечению
канала. Это довольно удобное свойство системы, так как существенно понижает сложность численной реализации уравнения (21), переводя его в класс
обыкновенных дифференциальных уравнений, так как величина р о го ко определяется начальными условиями для случая течения в коротких каналах.
Таким образом, соотношения (10 - 21), замыкающиеся зависимостями (6) и (7) для коэффициентов трения и теплоотдачи с начальными и граничными условиями (5), позволяют рассчитать значения коэффициентов трения и теплоотдачи, интегральных и тепловых характеристик и параметры течения с теплообменом несжимаемого газа в целом в осесимметричных каналах переменной геометрии.
Содержание параметров трения и теплоотдачи, определяющих различные виды дестабилизирующих воздействий, вытекает из граничных условий при аппроксимации профилей касательных напряжений и тепловых потоков по сечению пограничного слоя [2] и представляет собой
гдт Л _ ( д^ \
; чМ,= дГ . (26)
^,0 ^ к у ^ к ^о
Т М —
К
Здесь т = т/т # = .
Данные производные определяются из уравнений движения и энергии, записанных для области потенциального ядра и пристенной области. Параметр трения :
Ро
дмо
+ Ро Мо
дмо
дх
дР
дх
дгт
кдг
дР
дх
= о.
(27)
(28)
о
Подставляя (27) в (28) и умножая полученный результат на 5/тМ , получаем
8 дмо 5 дмо 5 --Ро—дЬ---Ро = —
д* дх Т лм
1 д-(г) г дг
(29)
о
С / 2
Раскрывая производную в правой части (29) и замечая, что тМ = ——Ро™о ,
2
получаем
—/ _
Т М —
д%
1 5
= г+ Ъ - —,
го
(3о)
где параметр динамической нестационарности 2 5 дмо
г ■■
С/ Мо2 дь '
параметр продольного градиента давления
^--^•А-^. (32)
С/ по дх Параметр теплоотдачи : дк* дк0
Ро^о + Ропо^т = 0, (33)
дг дх
Рп ^ = (34)
дг ду
Проведя преобразования, подобные параметру трения, получим
Г дq Л
= Ъ + ^к - — • (35)
§ к ^ 0 го
Здесь параметр тепловой нестационарности
=--^-^0- К), (36)
Б!- по Чк (кО- К ) дг
параметр продольного градиента энтальпии
хк =--бк—) д-х • (37)
(ко - К ) дх
Следуя выражению [2], зависимость для коэффициента трения запишем в виде
/ = /ТР/м* //л/Т^о Ц • (38)
Входящее в (38) распределение плотности по сечению турбулентного пограничного слоя в стационарных условиях определяется интегралом Крокко [3]. Сделаем допущение, что и в нестационарных условиях имеет место данная зависимость, т. е.
Р/Р0 =[фк +(1 -фк )• ш]-1, где фк = Тп/То. (39)
Обозначим знаменатель в выражении (38) через А':
А'=1ж Ц • (4о)
§1
Интегрируя (38), с учетом (39) и (40) получим
С / 2(1 -ш 1)
=~,-,1 , 1 ^Г^ (41)
2 (1 -ш 10 ) 11+ Л/Фк +(1 -Фк )ш 1 \А Введем функции относительного изменения коэффициента трения:
^=(с//С/о )Ие** ,
© Проблемы энергетики, 2010, № 5-6
где, согласно [4], С/о = 0.025б/Ие** 0 25 . Преобразуя (41), находим
II
С
/
С
/о
= л/^ =
2 (1 - ш 1 )1п %
10
(1 -ш 10 Я1 + л/Фк +(1 -Фк )ш 1 ]а
Здесь А = ^т/то —; ю 10 и § до - значения относительной скорости на
§1 §
границе вязкого подслоя и его толщина в стандартных условиях. Как видно из (42), конечная реализация зависимости связана с распределением касательных напряжений. Следуя Федяевскому К.К. [5] и Фафурину А.В. [2], запишем их в виде:
^ = 1 +
То т2(1 + 2§)
; ^о ^ 0;
_1 = 1 , (^£+^0)§ 0)§а _ < 0 То = 1 + (1 -§)Ъ - (1 -§)*Е ; ^ < 0,
(43)
(44)
где Л = Т'по/0 ).
Соотношения (42 - 44) совместно с зависимостями для относительных толщин вязкого подслоя и скорости на его границе:
, „ , „ , -1
** 5
11 = 11,6
ю 1 = Ие г
Ие:
5*
2
1 + тп ^
V 2 У
8 ГС/
8*
-Т §1
1+ Т §1
А"!" -V 2 У
(45)
(46)
образуют систему уравнений, которая при заданных значениях Ие** , т^о , фк и
— позволяет рассчитать эволюцию относительного коэффициента трения. го
На рис. 1 показано влияние характерного числа Рейнольдса и параметра трения в изотермических условиях. В области положительных значений Т^
(расширяющийся канал или при уменьшении расхода рабочего тела) коэффициент трения меньше своего стандартного аналога. Эволюция проявляется глубже при меньших числах Рейнольдса, т. к. поток менее устойчив к внешним возмущениям и требуется соответственно меньше затрат энергии для его деформации. Увеличение числа Рейнольдса заметно увеличивает сопротивляемость потока к внешнему возмущению.
В области отрицательных значений параметра трения (когда поток ускоряется при сужении канала или при увеличении расхода газа) относительный коэффициент трения больше единицы. Меняется дислокация и по числу Рейнольдса, что вызвано перераспределением энергии.
Яе**-103
Рис. 1. Влияние параметра трения Т'М и числа Яе** на относительный коэффициент трения в
изотермических условиях при фц = 1,0 На рис. 2 показано влияние неизотермичности на относительный коэффициент трения при воздействии параметра трения. Если фц < 1, то анализируемый параметр возрастает по отношению к изотермическому. Данная ситуация соответствует случаю, когда тепловой поток направлен от теплоносителя к более холодной стенке, т.е. в пристенной области протекает основной расход более тяжелого газа. Это и стимулирует трение. При фц > 1 наблюдается обратная ситуация.
Рис. 2. Зависимость относительного коэффициента трения от фактора неизотермичности в ускоренных и замедленных потоках при Яе** = 103
Согласно работе [2], закон теплоотдачи в общей форме запишем в виде
1 |--/ 1 _ Г=~ д.
ч То д%к
St = Л1 ^ / »1
/ 2 -
чо V Т Х%к
Подставляя в (47) распределение плотности (39) и интегрируя полученное выражение, находим
St =
2(1 -»1)
С
/
7[В'
где
в = / ^¡чЖ
/ Ч0 V Т N к
% 1 к
(48)
(49)
Входящее в (49) распределение плотности теплового потока может быть аппроксимировано полиномом Федяевского К.К. [5] в области ЧМ > 0 и степенным полиномом Фафурина А.В. [2] при ЧМ < 0. Имеем:
Ч=1+
Ч 0
чМ о 4 к
:; чМо >0,
Ч0
Уек (1 + 24к )
9_ = 1 + (уе к + чМ 0 )4 к (уе к + чМ о )4 /к + УЕк (7 + 4к ) - УЕк (1 + 4к )
лк = о/к + 0 ),
чМ 0 - параметр теплоотдачи,
чМ 0 < ^
(50)
(51)
(52)
Stí
Яек
Распределение касательных напряжения в выражении (49) аппроксимируется зависимостями (43) и (44). Однако в силу изменения переменной интегрирования данные выражения удобнее записать в виде
т
^ = 1 + т 0
т М 0 4 к
5
к
У
Е
тМо > 0,
1 + 24 к
(53)
2
5
5
к
5
(*L + T'w0feh (T£ + 0)Uh
т
— = 1 + т0
8 h
dh
1 -1 h
8h^ 8
1 -1 h
8h 8
Tw0 <
(54)
T
£
Безразмерные параметры на границе теплового вязкого подслоя \ 1 й и
определяются из условия сопряжения линейной и логарифмической областей профиля температуры по методике [2]:
Reh*- Pr-8 h
8*
1 +
q'w-kih
* 1 h =11'6
Re h
8Г V
St • Pr
1 +
q'w* 1 h 2
-1
(55)
(56)
Выражения, определяющие коэффициент теплоотдачи, (47)-(56) непосредственно указывают на воздействие динамических эффектов. Последние проявляют себя не только через диссипацию энергии, т. е. коэффициент трения, но и через профиль касательных напряжений, а также отношение толщин теплового и динамического пограничных слоев. Так как данные величины определяются числом Рейнольдса и параметром трения, то и коэффициент теплоотдачи является функцией данных параметров. Однако влияние их должно быть меньше, чем на коэффициент трения, т. к. коэффициент теплоотдачи пропорционален корню квадратному из этих величин.
т.
Рис. 3. Зависимость относительного коэффициента теплоотдачи от параметров трения т'w и
теплоотдачи q'w при Re** = Reh* = 103
8
2
8
h
На рис. 3 показано изменение величины относительного коэффициента
** ** _. _.
теплоотдачи для Яе = Ясц = 1000 при различных значениях чМ и тм .
Положительным значениям параметра теплоотдачи при Т'М = 0 (например, уменьшение температуры газа в потенциальной области потока) соответствуют значения величины относительного коэффициента теплоотдачи меньше единицы. При отрицательных значениях чМ (например, увеличение температуры газового
потока) наблюдается возрастание величины числа Стантона относительно стандартного значения. Параметр трения воздействует на относительный коэффициент теплоотдачи обратным образом. В ускоренных во времени и пространстве потоках величина коэффициента теплоотдачи уменьшается, а в замедленных - возрастает. Различные же их сочетания, естественно, могут изменить ситуацию в ту или иную сторону, что и иллюстрируется на рисунке.
Summary
The mathematical model of turbulent boundary layer (TBL) based on parameter calculation methods for main traffic artery of heat-and-power engineering equipments.
Key words: nonstationary state, nonisothermic state, mathematical model, gaseous flow, axisymmetric canal.
Литература
1. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 180 с.
2. Фафурин А.В. Законы трения и теплоотдачи в турбулентном пограничном слое // Тепло- и массообмен в двигателях летательных аппаратов. 1979. Казань. Вып. 2. С. 62-69.
3. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 415 с.
4. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. 342 с.
5. Федяевский К.К., Гиневский А.С., Колесников А.В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1973. 256 с.
Поступила в редакцию 30 декабря 2009 г.
Марченко Герман Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Экономика и организация производства» (ЭОП) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 554-53-74.
Володин Юрий Гурьянович - канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры «Информатика и информационно-управляющие системы» (ИИУ С) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8-903-3409832.
