Нестационарный диффузионный рост газового пузырька в сильно пересыщенном растворе газа в жидкости при учёте сил Лапласа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 532.73-1, 532.787

А. Е. Кучма, Ф. М. Куни, Г. Ю. Гор

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ДИФФУЗИОННЫЙ РОСТ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В СИЛЬНО ПЕРЕСЫЩЕННОМ РАСТВОРЕ ГАЗА В ЖИДКОСТИ ПРИ УЧЁТЕ СИЛ ЛАПЛАСА*

О диффузионном потоке на газовый пузырёк молекул газа из окружающего пузырёк жидкого раствора будем ради краткости говорить просто как о диффузионном потоке. При стационарности диффузионного потока рост заметно закритического пузырька газа с момента его флуктуационного зарождения был описан в [1]. Влияние сил Лапласа на пузырёк играло в [1] важную роль. С другой стороны, безотносительно к требованию стационарности диффузионного потока, рост пузырька газа при столь больших его размерах, при которых влияние сил Лапласа на пузырёк уже пренебрежимо мало, был описан в [2] на основе автомодельного решения задачи диффузии.

Условия применимости стационарного приближения, сформулированные в [1], показали, что в процессе своего роста пузырёк, как правило, переходит от стационарного режима роста к заметно нестационарному. Это делает актуальной задачу о нестационарном диффузионном росте пузырька с момента его зарождения, т. е. когда силы Лапласа существенно влияют на процесс роста.

Учёт сил Лапласа вводит в теорию размерный параметр, связанный с поверхностным натяжением растворителя, что нарушает автомодельность диффузии растворённого газа к растущему пузырьку, выявленную в [2]. При отсутствии свойства автомодельности точное решение задачи диффузии затруднительно. Поэтому в настоящей статье, на основе результатов работ [1, 2], предлагается приближённое описание с использованием интерполяционной формулы, позволяющей учесть нестационарность диффузионного потока во всём диапазоне размеров заметно закритического пузырька с момента его флуктуационного зарождения.

Состояние раствора будем задавать температурой Т, давлением П и начальной плотностью числа молекул по растворённого газа. Через иж обозначим плотность числа молекул растворённого газа в насыщенном растворе, который при заданных температуре Т и давлении П находится в химическом и механическом равновесии с чистым газом над плоской поверхностью соприкосновения. Раствор предполагаем разбавленным. Диссоциацией и химическими превращениями растворённых молекул пренебрегаем. Пересыщение раствора £ определим с помощью £ = (п0 — пж)/пж.

В растворе, спустя некоторое время ожидания после мгновенного создания пересыщения, зарождается флуктуационно пузырёк газа. Чтобы в дальнейшем пузырёк рос уже необратимо, радиус пузырька Я должен быть несколько больше радиуса Яс критического пузырька - пузырёк должен быть заметно закритическим. Для удобства и определённости будем считать, что начальное значение радиуса Я превышает

* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)», проект РНП.2.1.1.4430 «Структура, термодинамика и кинетика супрамолекулярных систем». Исследования Г. Ю. Гора были поддержаны также аспирантской стипендией Фонда им. К. И. Замараева.

© А. Е. Кучма, Ф. М. Куни, Г. Ю. Гор, 2009

вдвое Яс. Отсчитывая время £ от момента зарождения пузырька, примем тогда начальное условие

При стационарности диффузионного потока в области Я ^ 2Яс имеем [1] для ско-

Здесь а = в'С, - важный в дальнейшем безразмерный параметр, в = кТпж/П - растворимость газа (определяемая как безразмерная величина), Л - коэффициент диффузии молекул газа в жидком растворителе (при разбавленности раствора), к - постоянная Больцмана, Яс = 2о/П^ - радиус критического пузырька, о - поверхностное натяжение растворителя (при разбавленности раствора), Яо = 4о/3П - характеристический радиус пузырька.

Флуктуационное зарождение пузырька газа возможно лишь при высоком пересыщении раствора, когда соблюдается ^ ^ 10. Тогда отношение Яо/Яс = 2^/3 с большим запасом удовлетворяет сильному неравенству Яо/Яс ^ 1. Это будем иметь в виду в дальнейшем.

В области Я ^ Яо (и Я ^ Яс), в которой 2о/Я ^ П и следовательно влияние силы Лапласа 2о/Я на пузырёк пренебрежимо мало, имеем [2] для скорости Я, безотносительно к требованию стационарности диффузионного потока, автомодельную формулу

Здесь безразмерный параметр Ь связан с введённым выше безразмерным параметром а трансцендентным уравнением

Как показано в [2], это уравнение однозначно определяет Ь > 0 при каждом заданном а > 0. С ростом параметра а отношение а/Ь монотонно убывает. В области а1/2 ^ 1 с высокой точностью справедливо а/Ь = 1, а в области а > 1 практически уже имеет место а/Ь ^ 1. Согласно [2], область а1/2 ^ 1 соответствует стационарности диффузионного потока и малой скорости Я, а область а > 1 - сильной нестационарности диффузионного потока и большой скорости Я. Нахождение параметра Ь и отношения а/Ь при каждом заданном а > 0 осуществляется численным решением уравнения (4).

В проводимом нами исследовании предполагается изотермичность роста пузырька и механическое равновесие пузырька с раствором, а также уже упоминавшаяся разбавленность раствора. Все эти допущения соблюдаются, согласно [2], для воды (как растворителя) при нормальных условиях в области а < 20. Эту область и будем иметь в виду в последующем.

Как показано в [1], условием стационарности диффузионного потока является

Яи = 2Яс

(1)

рости Я = в,Я/сИ роста радиуса пузырька во всей этой области формулу

(2)

(3)

(4)

1

Очевидно, это условие может удовлетворяться вследствие малости К или вследствие малости К. Используя формулу (2), перепишем сильное неравенство (5) в виде

1/2

< 1. (6)

К + Ка

Введём однозначно связанную с К безразмерную величину х по определению

К — Кс

К + Ка

(7)

В заметно закритическом пузырьке, в котором, согласно (1), имеет место Я ^ 2Яс, величина х растёт монотонно с ростом Я в области

аЯс/(Яо + 2Яс) ^ х < а. (8)

Определение (7) позволяет при каждом х представить условие (6) стационарности диффузионного потока как х1/2 ^ 1. Если условие х1/2 ^ 1 соблюдается на верхнем пределе в (8), т. е. если а1/2 ^ 1, то стационарность диффузионного потока имеет место во всей области Я ^ 2Яс, и тогда во всей этой области справедлива формула (2). Безотносительно к тому, соблюдается ли условие а1/2 ^ 1, автомодельная формула (3), справедливая в области Я ^ Яо (и Я ^ Яс), будет, согласно (7), справедлива и при х ^ а.

Введём интерполирующую функцию д(х), которая во всей области (8) представляет собой отношение искомого нестационарного диффузионного потока к стационарному диффузионному потоку. Вместо (2) будем тогда при нестационарном диффузионном потоке иметь

Д = Г1 ~ Ф)а15 (л 1 /вУ (9)

Я ) у 1 Я ^1 + Яо/Я/

Очевидны два условия на введённую таким образом интерполирующую функцию д(х). Благодаря весьма сильному неравенству Яс/Яо ^ 1, справедливо и неравенство [аЯс/(Яо + 2Яс)]1/2 ^ 1, причём даже и во всей области а < 20, если £ — 103 и, соответственно, Яс/Яо = 3/2^ — 1,5 х 10~3. Поэтому на нижнем пределе в (8) соблюдается условие х1/2 ^ 1 стационарности диффузионного потока, а с ним соблюдается и соотношение (2), в которое естественно и должно переходить соотношение (9). Получаем тогда

Ц(х)\х=аКс/(Ко+2Кс) = 1 (10)

При х ^ а, что, согласно (7), имеет место только при Я ^ Яо (и Я ^ Яс), справедливо автомодельное соотношение (3), в которое естественно и должно переходить соотношение (9) на верхнем пределе в (8). Получаем тогда

Ч(х)\х^а = Ь/а. (11)

Используем для д(х) простейшее линейное приближение

д(х) = ах + в, (12)

где а, в - постоянные. Условия (10) и (11) позволяют по (12) найти коэффициенты а и в и получить

ф) = V (: + дтЬ:) х+~а~ъ~^{1 + д~гд;) • (13)

Записывая д(х) с учётом (7) как функцию радиуса пузырька Я, имеем

Ь

а (Я + Яо)

</(ж) — —тт; |—5— Я + —Я0 — 2 (1 — — ) Яс . (14)

Хотя при выводе условия (10) и предполагалось Яс/Яо < 1, однако, пренебрегать в (14) членом с Яс, не нарушив условия (10), можно лишь при соблюдении ограничения

Введя параметр у определением

Н-2(Ч)& (16)

перепишем выражение (14) в виде

™

При соблюдении ограничения (15) из определения (16) следует у = а/Ь. Напомним, что по мере увеличения параметра а отношение а/Ь, а с ним и параметр у монотонно убывают. В области а1/2 < 1 имеем с высокой точностью а/Ь = 1, а в области а > 1 практически уже имеем а/Ь < 1. Тогда при стационарности диффузионного потока, когда а1/2 < 1, равенство у = а/Ь даёт у =1. При сильной же нестационарности диффузионного потока, когда а > 1, равенство у = а/Ь даёт у < 1.

Наконец, подставляя выражение (17) в соотношение (9), приходим во всей области Я ^ 2Яс к интерполяционной формуле

(18)

которую можно записать эквивалентно и в виде

(Я + Я0)2

(Я — Яс)(Я + уЯа)

ЯП = БЬ. (19)

При а1/2 < 1, когда а/Ь =1 и у =1, формула (18) переходит во всей области Я ^ 2Яс в формулу (2). При любом а > 0, когда а/Ь < 1 и у < 1, формула (18) переходит в области Я ^ Яо (и Я ^ Яс) в формулу (3).

Можно показать, что при сильной нестационарности диффузионного потока, когда у < 1, скорость Я роста радиуса пузырька Я имеет, согласно формуле (18), максимум при значении Я = Ят, определяемом с высокой точностью равенством

Ят = (1 — 2у) Яо + 2(1 + 2у) Яс (у << 1). (20)

Это значение много превышает Яс, поскольку Яс/Яо < 1. Из (18) и равенства (20) (в пренебрежении в нем членом с Яс) получаем

Я

к=кт 4у(1 — у)Я,

Ба . .

(у«1), (21)

где учтено у = а/Ь. Заметим, что для справедливости (20) и (21) практически уже достаточно неравенства у < 1/4.

Рассмотрим асимптотические формулы (20) и (21) вблизи верхней границы у = 1/4 области у < 1/4 применимости этих формул. Будем при этом учитывать уже отмечавшуюся связь между параметрами а и у, обязанную уравнению (4) и определению у = а/Ь. Предварительно запишем с помощью у = а/Ь интерполяционную формулу (18) в виде

1-^ — Д + ТД° (22)

д; т (д+да)2 у ;

что справедливо при всех у ^ 1. Учитывая неравенство уЯО/2Яс ^ 1, вытекающее при у < 1/4 из ограничения (15), а при 1/4 < у ^ 1 - непосредственно из сильного неравенства ЯО/Яс ^ 1, получим на основании (22):

Я

Я

Я=2ЯС

Па

2Д?

(23)

что не содержит параметр у и справедливо при всех у ^ 1.

Зададим значения а = 2 и а =1, которым, в согласии с (4) и у = а/Ь, отвечают, соответственно, значения у = 0,2 и у = 0,3, близкие к значению у = 1/4. При учёте ЯО ^ Яс и того, что ЯО не зависит от а и у, имеем из асимптотических формул (20) и (21):

Ят = 0,6Яо, Я

Ят = 0,4Яо, Я

= ЗЛ§- (а = 2,у = 0,2),

Я—Ят -1-

_ =12§~ (« = 1,7 = 0,3).

Я— Я,т -^^О

(24)

Из (23) имеем также

Я

Я

Я—2ЯС

Я—2ЯС

Яо

[а ■ 2Яо ^

2),

= 1).

(25)

Согласно (24) и (25), отношение максимальной (при Я = Ят) к начальной (при Я = = 2Яс) скорости Я в случае а = 2, у = 0,2 (когда уже у < 1/4) заметно больше, чем 2. В случае же а = 1, у = 0,3 (когда ещё у > 1/4) это отношение лишь немного больше, чем 2, т. е. почти такое же, каким оно оказывается при стационарности диффузионного потока (что увидим несколько ниже).

Представим на рис. 1 результаты численного расчёта по интерполяционной формуле (22) зависимости Я от Я в случае а = 2, у = 0,2 (когда уже у < 1/4) и в случае а = 1, у = 0,3 (когда ещё у > 1/4). Положим £ = 103. При этом ЯО/Яс = 2^/з = 6,7 х 102 и ограничение (15) выполняется с большим запасом. За масштаб радиуса Я на рис. 1 принята величина ЯО (не зависящая от а и у). В этом масштабе нельзя изобразить зависимость Я от Я на начальном участке области Я ^ 2Яс. Важно, что, согласно расчётам по формуле (22), величина Я на этом участке растёт монотонно от значения

ЯI

Я—2Я,

, так что единственным максимумом у Я во всей области Я ^ 2Яс является

максимум, описываемый асимптотическими формулами (20) и (21). Это и позволило на рис. 1 вести формально отсчёт радиуса Я от значения Я = 0 (а не от значения

ш

___ст

Я

3

2,5

1,5

0,5

0

а = 2, у = 0,2

....................................................................

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Л,

К = 2КС). Масштабом величины К на рис. 1 служит величина В/Ка. Рис. 1 согласуется с асимптотическими формулами (24), причём согласуется лучше в случае а = 2, у = 0,2, чем в случае а = 1, у = 0,3.

Чем меньше у и, соответственно, чем сильнее нестационарность диффузионного потока, тем шире по (20) интервал 2КС ^ К ^ Кт, соответствующий первой стадии роста пузырька, однако тем уже интервал Кт ^ К ^ К0, соответствующий второй стадии роста пузырька. Мы пользуемся введёнными в [1] понятиями о стадиях роста пузырька. При соблюдении сильного неравенства у ^ 1 вторая стадия практически исчезает и вслед за ней сразу идет третья стадия роста пузырька. Тогда же и отношение максимальной (при К = Кт) к начальной (при К = 2КС) скорости К делается по (21) и (23) много больше 2. Интерполяционная формула (22) позволяет выявить максимум у К и при а1/2 ^ 1, когда у =1 и, соответственно, диффузионный поток стационарен. Согласно формуле

1/2 'I

(22) при у =1, имеем Кт = (КСК0) / и К|д_д = Ва/Ка для положения максимума и его величины. Отсюда и из (23) видим, что отношение максимальной (при К = Кт) к начальной (при К = 2КС) скорости К равно 2. Поскольку в масштабах, принятых на рис. 1, величины Кт и К1 имеют в случае а1/2 ^ 1, у =1 весьма малые

I ТЬ— Л-т

значения, то невозможно в этом случае изобразить на рис. 1 зависимость К от К, даваемую формулой (22).

От рассмотрения скорости роста радиуса пузырька перейдём теперь к рассмотрению зависимости радиуса пузырька от времени. Перепишем тождественно интерполяционную формулу (19) в виде

Рис. 1. Зависимость А от К в (22) при удалении от границы применимости асимптотических формул (20) и (21)

(1 — у)До До + Дс (1 — у)До(До + Дс)

К КС

(К — Кс)(К + уКа)

КК = вь.

(26)

Интегрируя уравнение (26) методом разделения переменных и разложения на простейшие дроби, учитывая начальное условие (1), получим строго

К2 — 4К2

+ [(2 — у)К0 + Кс] (К — 2Кс) +

(К + Кс )

„ „ Дс 1п (- 1 ) +

у До + Д с \ Дс

+ У(1 — у)5

До ^ А Д + уДо уД о + Дс \ ^Д с + уДо

ВЫ (27)

Соотношение (27) определяет в аналитическом виде зависимость времени роста пузырька от его радиуса.

При соблюдении ограничения (15) и сильной нестационарности диффузионного потока имеем у = а/Ь ^ 1 и уК0/2КС ^ 1. Учитывая это, а также Ка/КС ^ 1, сведём (27) к выражению

Д2 ~4Д° + 2Д0(Д - 2ДС) + 1п ^ 1п (Д;Д = ОЬЬ. (28)

Сравним (28) с вытекающей из (3) формулой автомодельной теории

К2 = 2ВЬ t (К* > Ко), (29)

в которой с запасом положим

Ко ~ 30Ко (30)

в согласии с оценкой [2, формула (3.8)]. В (29) время £ отсчитывается, как и во всей статье, от момента зарождения заметно закритического пузырька. Индекс * у К означает, что решение получено в рамках автомодельной теории.

Сравнение проведем при сильной нестационарности диффузионного потока. Пусть £ = 103 и, соответственно, Ка/КС = 2£/3 = 6,7 х 102. Положим а = 20 и, соответственно, у = а/Ь = 2,5 х 10~2, в = а/Х, = 2 х 10~2. Все принятые данные вполне реалистичны и удовлетворяют ограничению (15).

Учитывая принятые данные, убеждаемся, что при К порядка Ко и выше (Ко даётся приближённым равенством (30)) отношения второго, третьего и четвёртого слагаемых в левой части соотношения (28) к первому слагаемому в левой его части не превышают, соответственно, величин 1,3 х 10-1, 1,2 х 10~3 и 1,5 х 10~2. Видим, что с относительной погрешностью, не превышающей малой величины 1,5 х 10~2, можно учитывать лишь первые два слагаемые в левой части соотношения (28). Тогда соотношение (28) сведётся при К порядка Ко и выше к соотношению

К2

— + 2ДаД = ВЫ. (31)

Заметим, что точность соотношения (31) стала бы ещё больше, если бы мы увеличили

(при том же X = 103) величину параметра у = а/Ь, сохранив, однако, условие у ^ 1

сильной нестационарности диффузионного потока.

Решая соотношение (31) относительно К, находим

К = (2ВЫ + 4К2)1/2 — 2Ка, (32)

что с помощью (29) запишем как

К = (К2 +4К2)1/2 — 2К0 (К* > Ко), (33)

где указано ограничение К* ^ Ко в (29).

В силу К* ^ Ко и (30), имеем Ка/К* ^ 1/30, так что с большим запасом Ка/К* ^ 1. Из (33) получаем тогда с высокой точностью

К(£) = К*(£) — 2К0 [1 — К0/К*(£)] (К*(£) ^ Ко), (34)

где мы явно указали на зависимость К и К* от £.

Соотношение (34) описывает аналитически выход точного решения (32) на автомодельное решение (29). Для относительного отклонения К* (£) от К(£), вызываемого влиянием сил Лапласа, из (34) имеем

Д*д = ЩГ)[1~Ка/1г*т (35)

Ввиду Ка/К* ^ 1/30, это отклонение меньше, чем 1/15, причём тем меньше, чем больше £, поскольку К*(£), согласно (29), растёт с ростом £. Согласно (29), можно также заменить в (34) и (35) ограничение К*(£) ^ Ко на ограничение £ ^ £о, где £о = К“^/2ВЬ. Хотя найденное в (35) при сильной нестационарности диффузионного потока относительное отклонение К*(£) от К(£) и достаточно мало, оно всё же в 2 раза больше аналогичного отклонения, которое было бы в стационарном случае. В этом можно убедиться, если заметить, что в стационарном случае справедливо у =1 и, в силу (27), в соотношении (31) будут вместо 2К0К и Ь стоять, соответственно, КаК и а.

Вывод. Согласно (34) и (35), автомодельное решение К*(£) даёт завышенное значение радиуса пузырька. Физически это объясняется тем, что силы Лапласа, которыми пренебрегается в автомодельном решении, приводят к увеличению равновесной концентрации раствора на поверхности пузырька и, следовательно, к уменьшению движущей силы роста пузырька, а также приводят к увеличению плотности числа молекул газа в пузырьке и, следовательно, к уменьшению скорости роста радиуса пузырька.

Литература

1. Кучма А. Е., Гор Г. Ю, Куни Ф. М. Стационарный рост газового пузырька в сильно пересыщенном растворе газа в жидкости // Научн. приборостроение. 2008. Т. 18. № 4. С. 124-128.

2. Гринин А. П., Куни Ф. М., Гор Г. Ю. Теория нестационарного диффузионного роста пузырька газа в пересыщенном растворе газа в жидкости // Коллоид. журн. 2009. Т. 71. № 1. С. 47-55.

Принято к публикации 1 июня 2009 г.