CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 18 Выпуск 3
УДК 539.3, 539.4 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-3-330-349
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ТЕРМО-ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОНЕЧНОМ ОДНОМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ1
А. М. Кривцов2, А. С. Мурачёв3, Д. В. Цветков4 (г. Санкт-Петербург)
Аннотация
Рассматривается периодический одномерный гармонический кристалл, подвергнутый мгновенному пространственно-однородному тепловому воздействию. Строится точное решение для тепловых и диффузионных характеристик: дисперсии скоростей частиц (кинетической температуры) и дисперсии перемещений частиц. Выявляется квазипериодическое повторение тепловых и диффузионных процессов. Характерное время повторения равно половине времени пробега звуковых волн вдоль кристалла. С указанной периодичностью в системе реализуется "тепловое эхо" — резкие всплески кинетической температуры. Диффузионные характеристики обнаруживают крупномасштабные изменения во времени с практически полным возвращением в исходное состояние на каждом квазипериоде. Показано, что для квадратов перемещений частиц среднее по пространству существенно отличается от среднего по ансамблю.
Ключевые слова: Гармонический кристалл, неравновесная термодинамика, температура, диффузия.
Библиография: 23 названий.
1 Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-29-15121.
2 Кривцов Антон Мирославович, член-корреспондент Российской академии наук, заведующий кафедрой теоретическая механика Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, akrivtsov@bk.ru
3 Мурачёв Андрей Сергеевич, аспирант Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, andrey.murachev@gmail.com
4Цветков Денис Валерьевич, техник кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, DVTsvetkov@ya.ru
NON-STATIONARY THERMO-DIFFUSION
PROCESSES IN FINITE ONE-DIMENSIONAL
CRYSTAL
A. M. Krivtsov, A. S. Murachev, D. V. Tsvetkov (Saint-Petersburg)
Abstract
A periodic one-dimensional harmonic crystal subjected to an instantaneous spatially uniform thermal perturbation is considered. Fast transitional and long evolutionary processes are observed. Time dependance of thermal and diffusion characteristics is analyzed. Influence of the crystal finite size on the transitional and evolutionary processes is considered. The principal difference in long time behavior for statistical averages for squares of velocities and squares of displacements is demonstrated.
Keywords: Harmonic crystal, nonequilibrium thermodynamics, temperature, diffusion.
Bibliography: 23 titles.
1. Введение
Точное аналитическое описание нестационарных тепловых и диффузионных процессов на молекулярном уровне представляет собой сложную задачу, на настоящее время имеющую решение лишь для ограниченного класса систем. Значительный прогресс в этой области достигнут для гармонических кристаллов [1, 2, 3, 4, 5, 6], в которых используются линеаризованные силы взаимодействия между атомами. Подобное приближение оправдано, если температуры далеки от температур плавления, а электронная подсистема не вносит существенного вклада в общую динамику кристаллической решетки. Эти условия естественным образом могут быть выполнены для ковалентных кристаллов. В данной работе на примере одномерного гармонического кристалла будет проведен анализ нестационарных тепловых и диффузионных процессов в конечных системах. Под тепловыми будут пониматься процессы, связанные со случайными скоростями, под диффузионными — со случайными перемещениями частиц кристалла.
Тепловые процессы в кристаллических телах могут быть разделены на быстрые и медленные [6], где быстрые процессы носят переходный характер и связаны с перераспределением энергии по степеням свободы, а медленные процессы связаны с переносом тепла. В данной работе мы ограничимся рассмотрением быстрых процессов, для которых состояние системы может считаться пространственно-однородным. Современные технологии генерации и измерения сверхкоротких лазерных импульсов [7, 8, 9] позволяют рассчитывать в ближайшем будущем на возможность экспериментального исследования подобных процессов. Дополнительно к тепловым будут рассматриваться сопутствующие диффузионные процессы. В гармоническом кристалле
не происходит изменения порядка частиц, так что диффузия как перемешивание частиц не реализуется. Однако, в результате теплового движения частица может уходить на значительные расстояния от своего начального положения, соответствующие диффузионные процессы достаточно сложны и существенно отличаются от тепловых, В частности, как будет показано ниже, для диффузионных процессов в пространственно однородном случае реализуются как быстрые, так и медленные процессы,
В связи с развитием нанотехнологий особую актуальность приобрело исследование систем, содержащих конечное число атомов [10, 11, 12, 13], Термодиффузионные процессы в таких системах обладают рядом характерных особенностей, связанных с ограниченностью системы, В частности, в работе будет показано, что быстрые тепловые процессы в конечном кристалле периодически самопроизвольно возобновляются — возникает эффект "теплового эха"; медленные диффузионные процессы приводят к возвращению системы в исходное состояние за времена порядка пробега звуковых волн в кристалле,
2. Модель
Одномерные кристаллы (цепочки) представляют удобную модель для аналитического исследования термомеханических процессов в твердых телах [1, 14, 15, 16, 17, 18], Динамика частиц одномерного гармонического кристалла в простейшем случае описывается уравнением
ик = ш2е (ик-1 - 2ик + ик+1), (1)
где ше = у/С/т — элементарная частота, т — масса частицы, С — жесткость связи, ик — перемещение частицы с номером к. Будем считать, что для уравнения (1) выполняются условия периодичности
ик+м = ик, (2)
где N — число частиц в кристалле. Условия (2) можно интерпретировать так, что одномерный кристалл замкнут в кольцо (условия Борна-Кармана [19]), В качестве начальных условий будем использовать условия теплового удара:
г = 0: ик = 0, ик = арк, (3)
где рк — случайные вели чипы, а — дисперсия начальных скоростей частиц. Для случайных величин рк выполняется:
Рк+м = Рк , (Рк) = 0 , (ркрк+п) = . (4)
Здесь и далее: угловые скобки означают математическое ожидание, = 1 при п кратном N и = 0 в остальных случаях. Формулы (4) означают, что случайные величины периодичны по п, имеют пулевое матожидание и единичную дисперсию, а также они независимы при различии индексов менее, чем па N (иными словами, имеется N независимых случайных величин).
В силу линейности системы (1), перемещения и скорости имеют нулевое матожидание:
(ик) = 0 , (ук) = 0, (5)
где V к =11 к- Обозначим
1 N 1 N
— (1е£ 1 _ (1е£ 1 гп\
и = , у = Уп
к=1 к=1
— средние по пространству значения перемещений и скоростей частиц (здесь и далее черта сверху означает среднее по пространству). Очевидно, величи-
масс системы. Для конечных N эти величины, в отличие от матожиданий (5), являются случайными и, вообще говоря, ненулевыми. Только при N ^ ж средние (6) стремятся к нулю. В этом состоит существенное отличие конечного и бесконечного кристаллов.
Введем центрированные перемещения и скорости
~ сИ __~ сИ _
ик = ик - и, Ук = ук - V. (7)
данные
величины, в отличие от ик и Ьк, являются материально-объективными: они не меняются при смещении центра масс системы. Диффузионные и тепловые процессы определяются, соответственно, дисперсиями центрированных перемещений и скоростей:
и) , (%). (8)
В частности, кинетическая температура одномерного кристалла определяется формулой
квТ = т(ь ¡), (9)
где кв — постоянная Больцмана, Согласно постановке задачи, величины (8)-
Для описания нестационарных процессов будет использоваться метод, основанный на корреляционном анализе [1, 3, 4, 6, 20, 21]. Корреляционный анализ рассматривает детерминированные уравнения для статистических характеристик движения — ковариаций перемещений и скоростей частиц. Указанные уравнения замкнуты и позволяют получить аналитическое решение, включающее, в том числе, зависимости дисперсий (8) от времени.
3. Корреляционный анализ
Рассмотрим ковариации перемещений и скоростей:
= (икик+п) , Кп = (УкУк+п). (10)
В силу однородности задачи, ковариации не зависят от индекса к, а зависят только от индекса п, определяющего расстояние между коррелирующими частицами. Из условий периодичности (2) следуют аналогичные условия периодичности для ковариаций:
Сп+М = Сп , = Кп. (11)
Дифференцирование ковариаций с учетом уравнения динамики цепочки (1) приводит к замкнутой системе динамических уравнений для ковариаций. Наиболее простая форма может быть получена с использованием дополнительной переменной
Лп = + ш2 (— 2£га + . (12)
Тогда начальной задаче (1)-(3) соответствует следующая начальная задача [3, 21]:
Хп = 4ше (Хп_1 — 2Хп + Лга+1), (13)
г = 0 : Лга = а2С , Лп = 0. (14)
Данная задача эквивалентна начальной задаче для одномерного кристалла (1), у которого в начальный момент времени смещена одна частица, а остальные неподвижны. Важное отличие начальной задачи (13)—(14) от исходной начальной задачи (1)-(3) состоит в том, что она описывает динамику детерминированных величин Лп, в то время как исходная начальная задача описывает динамику стохастических величин ик. Основная разница состоит в начальных условиях: в задаче (13)—(14) они детерминированы, в то время как в задаче (1)-(3) начальные условия стохастические.
Учитывая условия периодичности (11), задача (13)—(14) может быть решена как начальная задача для системы N линейных дифференциальных уравнений, что дает
а2 х-1 0 , 2ттк п . кк ,
Лп = N ¿^ СОЙ № сое 2шкг , qk = — , шк = 2ше вт N. (15)
к=0
После определения Лп ковариации перемещений и скоростей находятся из соотношений:
2 кп = Лп + а28^ ; £п = 2Лп , £га|4=о = 0 , £га|4=о = 0; (16)
а дисперсии центрированных перемещений и скоростей определяются значе-
п = 0
0-2-^2 а2 <ик> = Со — , <^> = Ко — N.
Удобно выразить дисперсии через функцию Л(Ь) = Л0 = Лга|га=0:
2 2 2 2 (и1) = 2Х2Л(1) — ^ , = + у — N, (18)
где использован интегральный оператор
ft
!№ = í(r)ár. (19)
J о
Согласно [3] величина \(t) пропорциональна лагранжиану С (разности кинетической и потенциальной энергий системы): С = ^NX(t). Далее будем называть \(t) приведенным лагранжианом. Из формулы (15) получаем
a2 N-1 пк
\(t) = — cos , ^k = 2ие sin — . (20)
к=0
Подстановка выражения (20) в соотношения (18) дает явные выражения для центрированных дисперсий
2 N-i sin2 t 2 N-i
{ük) = -, {дк) = ^У] cos2 ^kt, (21)
— к=1 — к=1
где частоты шк определены формулой (20).
4. Тепловое эхо
Временные зависимости для диффузионных и тепловых процессов полностью определяются точными аналитическим зависимостями (21). Данные зависимости удобны для численных расчетов, однако их использование для аналитического анализа затруднено, так как при больших N (наиболее интересный с практической точки зрения случай) они содержат большое количество слагаемых. При этом слагаемые равноправны и нет возможности какой-то частью из них пренебречь. Существенно упростить аналитический анализ позволяет тождество
1 / пк\ ^
-^совЬвт М + (г), (22)
к=0 ^ ' р=1
где ^п(^) — функции Бесселя 1-го рода. Доказательство данного тождества приведено в приложении. С использованием тождества (22) формула (20) для \(1) приобретает вид
\(t) = a2 ) + 2 ¿ J2Pn(Ш) j .
(23)
На первый взгляд может показаться, что формула усложнилась: сумма конечного числа элементарных функций заменяется бесконечной суммой специальных функций. Однако, это не так. Дело в том, что функции Бесселя
практически не отличаются от нуля, если значение аргумента меньше (с некоторым запасом), чем значение индекса. Поэтому во многих практически важных случаях формула (23) содержит лишь одно или несколько существенных слагаемых. Более того, при больших N наибольшие значения функции Бесселя реализуются при значениях аргумента, находящихся вблизи значения индекса. Этому соответствуют моменты времени
г= ри, и = —; р = 0,1,2,3,... (24)
2ше
Тогда в окрестности этих моментов времени в сумме (23) доминирует одно основное слагаемое, а остальные вносят лишь незначительный вклад.
Сказанное позволяет проанализировать диффузионные и тепловые про-
риодом указанных процессов. Хотя рассматриваемые процессы, строго говоря, не периодичны, но для них наблюдается определенная повторяемость с
сы могут восприниматься как периодические. Величина квазипериода имеет простую физическую интерпретацию:
^ (1е£ N 1 Ь (25)
2сие 2 се
где Ь = N(1 — длина кристалла, се = шеа — скорость звука, а — шаг кристаллической решетки. Таким образом, квазипериод — это время, за которое длинные (звуковые) волны проходят половину длины кристалла. За это время волны, расходящиеся от точечного источника, огибают кольцевой (периодический) кристалл и встречаются на его противоположной стороне — в этот момент резко возрастает амплитуда тепловых колебаний — реализу-
Л( )
представлепа на рис, 1, Хорошо видные резкие увеличения амплитуды тепловых колебаний для Ь = ¿* и Ь = 21*. Каждому из этих увеличений отвечает одно слагаемое в сумме (23) — соответствующая функция Бесселя, представляющая собой пакет из волн последовательно уменьшающейся амплитуды. Таким образом, физический смысл преобразования (22) состоит в том, что суммирование по труднонаблюдаемым собственным формам кристалла заменяется на суммирование по волновым пакетам, наблюдаемым как реализации "теплового эха".
5. Бесконечный кристалл
При N ^ ж квазипериод ¿* (24) стремится к бесконечности, В этом слу-из формул (18) получаем в пределе N ^ ж:
2
и) = 2а2Х2,1о(Ш), <ь1) = + Ч400е. (26)
Рис, 1: Зависимость приведенного Лагранжиана от времени при N = 106. На выноске показаны колебания вблизи всплеска (разрешение по времени увеличено в 2000 раз).
Формула для (Ък) = квТ/т была ранее получена в работе [3], Вычисление дисперсии перемещений дает
(чк) = £ ТкФ(4ше1) , Ф(г) = 1кЗо(г),
(27)
где функция Ф(г) выражается через функции Бесселя Зп и Струве Нп [22]:
Ф(г) = гкЗо{г) - гЗ^г) + - гЧ Л(г)Но(г) - Зо^Н^)
2
(
).
(28)
Ф( )
2
2 > 1 ^ Ф(г) ~ г. (29)
г < 1 ^ Ф(г) ~ — ,
1 ^ Ф(г) ~г-З0(г).
(30)
Таким образом, дня бесконечного кристалла дисперсия перемещений — монотонно возрастающая функция времени, совершающая затухающие колебания
вблизи наклонной асимптоты. Начиная с некоторых времен рост дисперсии практически становится линейным, совпадая с асимптотой:
* » *е = - : №)- (31)
Рис, 2: График функции Ф(г), отображающий рост дисперсии перемещений в бесконечном кристалле. Пунктиром показана асимптота Ф(г) ~ г.
6. Первый квазипериод
Рассмотрим £ € [0,£*]. В этом случае требуется учет двух первых слагаемых в представлении (23) дня приведенного лагранжиана
А(£) = а2 (МШ) + ¿^м(Ш)) , (32)
что дает дня дисперсий формулы
/ \ а2+2 {й2к) = 2а21Ч МШ) + 232М (4шр1)) - —, (33)
22
<^2) = у ( 1 + М4ие1) + 2/2м(Ш)) - (34)
Здесь, в отличие от случая бесконечного кристалла, сохранены слагаемые
- 1/Ы.
Из формулы (34) может быть получена простая асимптотическая форму-
ла для больших N. Воспользуемся следующими аппроксимациями: слагаемое
(4ше£) не учитывается до приближения к моменту £ = ¿*, повторный интеграл от слагаемого ,10(4ше¿) заменяется линейной зависимостью (31), Тогда получаем:
2 2 2 ^ (г* - г) , (%)- ^ - (35)
— дисперсия перемещений представляет собой квадратичную зависимость времени (перевернутая парабола), дисперсия скоростей постоянна. Наиболее существенные отклонения от этих законов буду наблюдаться па границах рассматриваемого интервала, однако чем больше число частиц в кристалле, тем менее заметными будут указанные отклонения. Сравнение точной и асимптотической форму:: дня дисперсии перемещений представлено0 па рис, 3,
ь/и
Рис, 3: Зависимость дисперсии центрированных перемещений от времени для N = 100 (сплошная линия); предельная зависимость при N ^ ж (пунктир); обозначено: А = а2^/(4Ж) — максимальное значение дисперсии при N ^ ж.
Неожиданное следствие из формулы (35) состоит в том, что дисперсия перемещений обращается в ноль при £ = ¿*. Это означает, что в этот момент времени перемещения всех частиц в цепочке обращаются в ноль — она возвращается в исходное состояние. Время, которое дня этого требуется, велико но микроскопическим меркам (много больше периодов атомарных колебаний), по отнюдь невелико но макроскопическим меркам — время за которое звук проходит половину длины кристалла. Конечно, этот результат неточный — формула (35) приближенная. Однако, она тем точнее, чем больше М, и
5Графики, представленные на рис. 3. могут быть получены в результате интегрирования в формуле (33). однако для численного расчета удобнее использовать формулу (21).
для достаточно протяженных кристаллов возвращение должно выполняться с высокой точностью. Результат напоминает теорему Пуанкаре о возвращении, но реализуется это возвращение за время на много порядков меньшее, чем предсказывается теоремой Пуанкаре,
Феномену обращения в ноль перемещений кристалла можно дать простое объяснение с точки зрения собственных форм (нормальных мод) колебаний кристалла, В макроскопическом (длинноволновом) приближении все собственные частоты кратны низшей частоте, соответствующей квазипериоду ¿*. Это означает, что все собственные периоды укладываются целое число раз в казипериод ¿*, который, тем самым, становится периодом колебаний кристалла. Для точных уравнений высшие частоты уже не кратны низшей, однако это отклонение тем меньше сказывается, чем больше атомов содержит кристалл, и, соответственно, чем ближе система становится к макроскопической, Поэтому обращение перемещений в ноль тем более ярко выражено, чем длиннее рассматриваемый одномерный кристалл.
7. Асимптотика для больших N
ние6
32Рм (г) - ф - 2рN), (36)
2 ( ^ \
где использовано, что для положительных а выполняется 5(ах) = 6(х)/а. Данное представление является периодическим и квазипериод ¿* (25) выступает в качестве периода для функции (37), Для величины ¿* выполняется t * — N (25), поэтому для больших N формула (37) соответствует большим временам, В этом случае наибольшие значения функции Бесселя реализуются в окрестности моментов времени рЪ*, где р = 0,1, 2, 3..., поэтому представление (37) может использоваться в качестве аппроксимации выражения (32) — см, рис.1.
Применение формулы (37) на открытом интервале (0, ¿*) дает для дисперсий (18) формулы (35), только уже как асимптотически точные пред*
6 Данное представление означает, что при соответствующем изменении масштабов по осям функция Бесселя будет стремиться к дельта-функции. Формально это можно выразить соотношением А(г — п) + п) ^ 6(г — п) при А ^ то, где предел понимается в слабом (обобщенном) смысле. Для интегралов от функции Бесселя, которые потребуются для определения дисперсии перемещений, этот предел и соответствующая асимптотика могут уже рассматриваться в классическом смысле.
функции периодически повторяются. Результат можно представить в виде
те те
(й1) - ^ f (г - Ри), (у2к) ~ ^ ф - рь*), (38)
р=0 р=0
где функции на замкнутом интервале [0,£*] определяются формулами
2 2 / \ 2 2 /а) = ^ а* - г), ф)=^ т+^ - Ы + ^ - ^
и равны нулю вне указанного интервала.
Согласно представлению (38)—(39), при тепловом ударе после первоначального переходного процесса дисперсия скоростей (а значит, и температура) практически постоянна, за исключением моментов времени р1*, в которых реализуются локализованные всплески: "тепловое эхо". Их наличие связано с конечностью кристалла и определяется встречей упругих волн, сгенерированных начальным возмущением каждого атома. Эта встреча реализуется, когда волны огибают кристалл, поэтому соответствующее время ¿* и равно времени, требуемому для звуковых волн, чтобы пройти половину длины кристалла (25). Согласно представлению (37) все всплески одинаковы. На самом деле, согласно точному выражению (32), они различаются. Можно показать, что высота каждого последующего всплеска ниже, а ширина больше — они как бы размываются, сохраняя при этом свою энергию. Согласно свойствам функций Бесселя, каждый всплеск представляет собой резко возникающие колебания, амплитуда которых затем затухает обратно пропорционально корню из времени.
Временная зависимость дисперсии перемещений, согласно (38)—(39), носит другой характер — рис. 3. После первоначального теплового удара дисперсия растет сперва линейно, потом рост ее замедляется, и при £ = ¿*/2 достигается максимум
' ,2, ^ = тах 4 N
«3)тах - ^ = Щ. («)
Величина максимума дисперсии, согласно (40), пропорциональна М, значит максимальные перемещения относительно центра масс кристалла пропорциональны После достижения максимума начинается симметричный спад дисперсии, приводящий к ее тождественному обращению в ноль при £ = t*. Затем дисперсия снова начинает расти и процесс повторяется. Такая картина наблюдается на больших, макроскопических временах. На малых, микроскопических, временах вблизи моментов времени £ = рЬ* реализуются переходные процессы. Формулы (38)-(39) описывают их просто как излом зависимости дисперсии от времени. Согласно точной формуле (32), переходные процессы представляют собой высокочастотный колебательный режим, наложенный на зависимость (38)-(39).
Отметим что в формулах (38)-(39) для достижения одинаковой точности для перемещений и скоростей требуются значения М, различающиеся на порядки. Так, согласно рис. 3, уже при N = 100 наблюдается хорошее согласие
точной и асимптотической формул для дисперсии перемещений. Для дисперсии же скоростей даже при N = 106 соответствующие графики все еще достаточно далеки от соответствующего асимптотического представления7 — см, рис, 1, Это различие связано с тем, что переход от дисперсии скоростей к дисперсии перемещений осуществляется посредством двукратного интегрирования, а интегрирование сильно сглаживает зависимости. Обратный переход, напротив, требует двукратного дифференцирования, что приводит к сильному росту высокочастотной составляющей.
8. Сравнение средних по ансамблю и проетран-
Оппсанные выше результаты для дисперсии перемещений относятся к математическому ожиданию квадрата перемещения, что эквивалентно осреднению по статистическому ансамблю. Для реальных систем этот результат соответствует осреднению по большому числу реализаций — экспериментов со сходными начальными условиями (одинаковыми статистически, но различными с точки зрения индивидуальных случайных значений). Для каждого конкретного эксперимента ситуация, вообще говоря, может быть отличной от той, которая была описана выше. Как показывают численные расчеты, и это может быть подтверждено аналитически, поведение среднего по пространству квадрата перемещений в каждом индивидуальном эксперименте очень сильно отличается от среднестатистической картины, даваемой формулами (38)-(39). Иллюстрация этого явления приведена8 на рис, 4, где показаны временные зависимости величины
Здесь фигурные скобки означают осреднение по пространству (или, что в данном случае то же самое, по частицам). Далее, для краткости, будем называть величину {ик} средним квадратом перемещений. Зависимости среднего квадрата перемещений от времени, представленные на рис, 4, получены в результате численного решения начальной задачи (I) (3) для различных реализаций случайных начальных условий, В отличие от дисперсии (ик), которая является детерминированной величиной, средний квадрат перемещений {ик} — величина случайная, и для разных реализаций получаются разные
кривые. Зависимость {ик}(£), также, как и (ик)(£), приближается к пулю
= *
периоде. Однако, между обращениями в ноль, временная зависимость этой
7Согласно формуле (18), дисперсия скоростей связана линейно с приведённым лагранжианом (23), поэтому график на рис. 1 характеризует временную зависимость дисперсии скоростей.
8Соответствующие интерактивные графики представлены на сайте tm.spbstu.ru/uu
ству
(41)
величины в разных экспериментах принимает различную форму, часто существенно отличающуюся от параболической. Максимальные значения могут сильно различаться (во много раз), а в рамках одного квазинериода может реализовываться несколько максимумов.
2
^1.5
'3
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3
г/и
Рис. 4: Средний по пространству квадрат перемещений {и\} для различных реализаций при N = 1000 (тонкие линии); дисперсия перемещений (й|)
(жирная линия); обезразмеривающий множитель: А = а2Ь2/(4N).
Зависимость (й|)(£) является математическим ожиданием зависимостей {й|}(£), то есть пределом при осреднении этих зависимостей по случайным реализациям начальных условий. Однако, зависимости (й|)(£) не стремятся к {й2к }(£) при увеличении числа частиц. Даже для очень больших N средний квадрат перемещений {й|} остается случайной величиной. Таким образом, дня квадрата перемещений среднее но пространству и среднее но ансамблю существенно различаются. Отметим, что дня скоростей ситуация иная: средний квадрат скоростей } при увеличении N стремится к детерминированной величине ) — дисперсии скоростей, пропорциональной кинетической температуре кристалла, В этом состоит коренное отличие тепловых и диффузионных процессов.
9. Заключение
В работе рассмотрены процессы, возникающие в периодическом (кольцевом) одномерном кристалле при мгновенном тепловом воздействии, однородном но пространству. Получены точные временные зависимости дня тепловых и диффузионных характеристик, таких как дисперсии скоростей и перемещений частиц. Наиболее значимые формулы: 21 — точные выражения дня центрированных дисперсий скоростей и перемещений, удобные дня
численного расчета; 22 — переход от суммирования по собственным формам к суммированию по волновым пакетам; 18, 23 — альтернативные выражения для дисперсий скоростей и перемещений, удобные для аналитического анализа; 27-28 — временная зависимость дисперсии перемещений для бесконечного кристалла; 38-39 — асимптотические выражения для дисперсий скоростей и перемещений при больших N.
В пределе бесконечного кристалла для тепловых характеристик реализуются затухающие колебания, описываемые функцией Бесселя — в соответствии с полученными ранее результатами [3]. Для диффузионных характеристик наблюдается неограниченный рост по закону, близкому к линейному — рис, 2,
В случае конечного кристалла колебания тепловых характеристик возобновляются через время, равное пробегу звуковой волны через половину длины кристалла — рис 1, Подобные всплески кинетической температуры могут интерпретироваться как "тепловое эхо", связанное с тем, что упругие волны от возбужденной частицы обегают кристалл и встречаются с противоположной стороны от точки их возникновения, С течением времени последовательные всплески теряют амплитуду, но увеличивают ширину, сохраняя содержащуюся в них энергию. Таким образом, в кристалле реализуются периодически повторяющиеся быстрые переходные процессы.
Для диффузионных характеристик, кроме аналогичных быстрых процессов, наблюдается также медленный процесс — рост дисперсии до величины, пропорциональной числу частиц, и последующим приближением дисперсии перемещений к нулю в момент очередного всплеска температуры — рис, 3, Таким образом, кристалл возвращается в состояние, близкое к исходному, за половину времени пробега звуковой волны через кристалл — период незначительный по макроскопическим масштабам. Чем больше частиц в кристалле, тем ярче выражен эффект возвращения и тем ближе закон изменения дисперсии к параболическому. Среднее значение квадрата перемещений по пространству отличается от статистического среднего по реализациям: первая величина является случайной (для любого числа частиц), вторая — детерминированной (см, рис, 4),
Таким образом, тепловые и диффузионные процессы в конечном кристалле значительно сложнее, чем в бесконечном. Диффузионные процессы в конечном кристалле, в свою очередь, сложнее, чем тепловые — они включают быстрые и медленные движения, средние по кристаллу сохраняют стохастическую природу даже при очень большом числе частиц. Наиболее значимые из обнаруженных эффектов: тепловое эхо (периодические всплески температуры), периодическое возвращение частиц системы в исходное положение, случайность ереднеквадратичеекого значения перемещений по пространству.
Обнаруженные эффекты могут наблюдаться при ультракоротком лазерном воздействии на наноструктуры. Они также могут служить базисом для описания более сложных процессов — тепло- и массопереиоса в бездефекных кристаллах и наноструктурах.
Авторы благодарны Д, А, Индейцеву и В, А, Кузькину за полезные об-
суждения.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rieder Z,, Lebowitz J. L. and Lieb E. Properties of a harmonic crystal in a stationary nonequilibrium state. J. Math. Phvs, 1967. vol. 8, pp. 1073-1078.
2. Dhar A. Heat Transport in low-dimensional systems. Advanced in Physics. 2008. Vol. 57, No. 5, pp. 457-537.
3. Кривцов A. M. Колебания энергий в одномерном кристалле. Доклады академии наук. 2014. том 458, JV2 3, С. 279-281.
4. Кривцов А. М. Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле. Доклады академии наук. 2015. Т. 464, № 2, С. 162-166.
5. Thermal transport in low dimensions: from statistical physics to nanoscale heat transfer. Edited by S. Lepri. Lecture notes in physics, volume 921. Springer International Publishing, Switzerland. 2016. 418 p.
6. Kuzkin V. A., Krivtsov A. M. Unsteady heat transfer in harmonic scalar lattices. 2017. ArXiv:1702.08686.
7. Poletkin К. V., Gurzadyan G. G,, Shang J., Kulish V. Ultrafast heat transfer on nanoscale in thin gold films. Applied Physics B. 2012. 107 (01), pp. 137143.
8. Cartlidge E. European xfel to shine as brightest, fastest x-ray source. Science. 2016. Vol. 354, no. 6308, pp. 22-23.
9. Albertazzi В., Ozaki N,, Zhakhovskv V. et al. Dynamic fracture of tantalum under extreme tensile stress. Science Advances. 2017. Vol. 3, no. 6.
10. Кривцов A. M,, Морозов H. Ф. О механических характеристиках нанораз-мерных объектов. Физика твердого тела. 2002. Т. 44. № 12. С. 2158-2163.
11. Гольдштейн Р. В., Морозов Н. Ф. Механика деформирования и разрушения наноматериалов и нанотехнологии. Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. JV2 5. С. 17-30.
12. Левин В.А., Левитас В.И., Лохин В.В., Зингерман К.М., Саяхова Л.Ф., Фрейман Е.И. Твердотельные фазовые переходы, вызванные действием механических напряжений в материале с наноразмерными неоднородно-стями. Модель и вычислительный эксперимент. Доклады Академии наук. 2010. Т. 434, № 4. С. 481-485.
13. Индейцев Д. А,, Лобода О, С,, Морозов И, Ф,, Скубов Д. К).. Штукин Л, В, Автоколебательный режим нанорезонатора. Физическая мезомеханика. 2016. Т. 19. № 5. С. 23-28.
14. Florencio J., Lee М. Н. Exact time evolution of a classical harmonic-oscillator chain. Phvs. Rev. A, 1985. Vol. 31, 3231.
15. Кривцов A. M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М,: Физматлит, 2007. 304 с.
16. Gendelman О. V., Savin А. V. Normal heat conductivity in chains capable of dissociation. Europhvs, Lett. 2014. Vol. 106, 34004.
17. Savin A. V., Kosevich Y. A. Thermal conductivity of molecular chains with asymmetric potentials of pair interactions. Phvs. Rev. E. 2014. Vol. 89, 032102.
18. Berinskii I. E,, Slepvan L. I. How a dissimilar-chain system is splitting. Quasi-static, subsonic and supersonic regimes. 2017. arXiv:1704,00046v2,
19. Ашкрофт П.. Мермин H. Физика твердого тела. 1979. Т.2. М,: Мир.
20. Krivtsov А. М. On unsteady heat conduction in a harmonic crystal. 2015. ArXiv: 1509,02506,
21. Кривцов A. M. Динамика тепловых процессов в одномерных гармонических кристаллах. Вопросы математической физики и прикладной математики, — Материалы семинара, приуроченного к 75-летию проф. Э.А, Троппа. 30 сентября 2015. СПб.: Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, 2016. С. 63-81.
22. Янке Е., Эмде Ф,, Лёш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы. 1964, М,: Наука,
23. Абрамовиц М,, Стиган И, Справочник по специальным функциям, С формулами, графиками и математическими таблицами, 1979, М,: Наука,
REFERENCES
1, Rieder Z,, Lebowitz J, L, and Lieb, E, Properties of a harmonic crystal in a stationary nonequilibrium state, J, Math, Phvs, 1967, vol, 8, pp. 1073-1078,
2, Dhar A. Heat Transport in low-dimensional systems. Advanced in Physics. 2008. Vol. 57, No. 5, pp. 457-537.
3, Krivtsov A. M. Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal. Dokladv Physics. 2014, Vol. 59, No. 9, pp. 427-430.
ilKCTAIUIOilAi'ilblK TEPMO-AHOOY3HOHHHE nPOIJECCbl ... 347
4. Krivtsov A. M, Heat transfer in infinite harmonic one dimensional crystals. Dokladv Physics. 2015, Vol. 60, No. 9, pp. 407-411.
5. Thermal transport in low dimensions: from statistical physics to nanoscale heat transfer. Edited by S. Lepri. Lecture notes in physics, volume 921. Springer International Publishing, Switzerland. 2016, 418 p.
6. Kuzkin V. A., Krivtsov, A. M, Unsteady heat transfer in harmonic scalar lattices. 2017. ArXiv:1702.08686.
7. Poletkin K. V., Gurzadyan G. G,, Shang J., Kulish V. Ultrafast heat transfer on nanoscale in thin gold films. Applied Physics B. 2012. 107 (01), pp. 137143.
8. Cartlidge E. European xfel to shine as brightest, fastest x-ray source. Science. 2016. Vol. 354, no. 6308, pp. 22-23.
9. Albertazzi B,, Ozaki N,, Zhakhovsky V. et al. Dynamic fracture of tantalum under extreme tensile stress. Science Advances. 2017. Vol. 3, no. 6.
10. Krivtsov A. M,, Morozov N. F. On Mechanical Characteristics of Nanoervstals, Physics of the Solid State. 2002. Volume 44, Issue 12, pp 2260-2265.
11. Goldstein E.V., Morozov N.F. Mechanics of deformation and fracture of nanomaterials and nanoteehnology. Physical Mesomechanics. 2007. Vol 10, p. 5-6.
12. Levin V.A., Levitas V.I., Lokhin V.V., Zingerman K.M., Savakhova L.F., Freiman E.I. Solid-state stress-induced phase transitions in a material with nanodimensional inhomogeneities: Model and computational experiment. Dokladv Physics. 2010. Vol. 55, No. 10, pp. 507-511.
13. Indeitsev D.A., Loboda O.S., Morozov N.F., Skubov D.Yu., Shtukin L.V. Self-oscillating mode of a nanoresonator. Physical Mesomechanics. 2016. Vol.19. №5. pp. 23-28.
14. Florencio J., Lee M. H. Exact time evolution of a classical harmonic-oscillator chain. Phvs. Rev. A, 1985. Vol. 31, 3231 p.
15. Krivtsov A. M. Deformation and fracture of solids with mierostruetureii, Moscow, Fizmatlit. 2007. 304 p. (In Russian).
16. Gendelman O. V., Savin A. V. Normal heat conductivity in chains capable of dissociation. Europhvs, Lett. 2014. Vol. 106, p. 34004.
17. Savin A. V., Kosevich Y. A. Thermal conductivity of molecular chains with asymmetric potentials of pair interactions. Phvs. Rev. E. 2014. Vol. 89, 032102.
18, Berinskii I. E,, Slepyan L, I. How a dissimilar-chain system is splitting. Quasi-static, subsonic and supersonic regimes, 2017, arXiv:1704.00046v2.
19, Ashcroft N. W, and Mermin N.D, Solid State Physics, Holt, Einehart and Winston. 1976. 847 p.
20, Krivtsov A. M, On unsteady heat conduction in a harmonic crystal, 2015, ArXiv: 1509,02506,
21, Krivtsov A, M, Dynamics of thermal processes in one-dimensional harmonic crystals. Questions of mathematical physics and applied mathematics, -Proceedings of the seminar timed to the 75th anniversary of prof, E.A, Tropp, 30 September 2015, — SPb,: A.F, Ioffe Phvsico-Technical Institute , 2016, — pp. 63-81,
22, Yanke E,, Emde F,, Lesh F, Special functions: the formulas, graphs, tables. Science, 1964, Moscow, 344 p.
23, Abramowitz M, and Stegun I, A, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1979, 1046 p.
Приложение: доказательство тождества 22
Воспользуемся формулой [23]:
те
сов^втв) = ^ ,12р(г)соъ(2рв), (42)
р=-те
где </2р(£) _ функции Бесселя первого рода. Произведем подстановку 9 = пк/М, где к = 0,1,..., N — 1 и, просуммировав по к, получим:
N ^ С08(^1п М^) = ]те (Р), (43)
к=0 ^ ' р=-те
где
м-1
Sn {р) = ^~Т ^ cos (р j . (44)
ь=0 V /
N
fc=Q
Сумма косинусов кратных углов может быть вычислена через сумму экспонент, которая, в свою очередь, вычисляется как сумма геометрической прогрессии:
N-1 N-1 í ршФ — i \
Е cos кФ = Re £ е-кф = Re . (45)
fc=0 fc=Q ^ '
Вычисление вещественной части (45) позволяет получить следующее представление:
1 1 Ф 2 NÓ ,
кф = 2 sin(A0) ctg — + sin , (46)
к=о
откуда находим
sin(2^p) пр sin2(^p)
Sn (Р) = ctg^ + (47)
Анализ полученного выражения показывает, что для р, кратных N, оно равно единице, а для всех остальных целых р оно равно нулю. Иными словами, Sn (р) = Тогда для выражения 43 получаем окончательно:
N— 1
^cos( z sin — J = ^ J2pN (z ) = jo(z) + 2^2 J2pN (z), (48)
k=0 ^ ' p=—<x p=1
где используется, что Jn(x) = J—n(x) для всех целых п.
Получено 19.05.2017 принято в печать 14.09.2017
