CC BY
18
Прикладные задачи •
'нелинейной теории колебаний и волн
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2021. Т. 29, № 1 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(1)
Обзорная статья УДК 530.182
DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-10-34
Нестационарная дискретная теория возбуждения периодических структур и ее использование для моделирования ламп бегущей волны
Н.М. Рыскин1'2^, А.Г. Рожнев1'2, D.F.G. Minenna3'4'5, Y. Elskens4, F. André5
Саратовский филиал Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, Россия 2Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Россия 3Национальный центр космических исследований, Тулуза, Франция 4Университет Экс-Марсель, Марсель, Франция 5 Группа Талес, Велизи-Вилакубле, Франция E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Поступила в редакцию 23.12.2020, принята к публикации 30.12.2020, опубликована 1.02.2021
Аннотация. Цели. В статье представлен обзор нестационарной дискретной теории возбуждения периодических электродинамических структур и обсуждаются приложения этой теории для моделирования микроволновых усилителей типа ламп бегущей волны с различными замедляющими системами. Методы. Дискретная теория базируется на представлении периодической замедляющей системы в виде цепочки связанных ячеек (осцилляторов). Однако эти осцилляторы не тождественны периодам структуры и каждый из них связан не только с ближайшими соседями, но и, вообще говоря, со всеми осцилляторами в структуре. Дискретная теория позволяет существенно упростить моделирование распространения электромагнитной волны в периодической структуре по сравнению с непосредственным интегрированием уравнений Максвелла. В статье представлен вывод уравнения возбуждения дискретной теории из уравнений Максвелла и рассматриваются результаты численного моделирования процессов электронно-волнового взаимодействия. Результаты. Воспроизведен вывод уравнений нестационарной дискретной теории возбуждения С.П. Кузнецова, рассмотрены дальнейшие направления развития этой теории, включая гамильтонову формулировку. Изложены результаты моделирования лампы бегущей волны с цепочкой связанных резонаторов C-диапазона, включая сложные переходные процессы при паразитном самовозбуждении вблизи частоты отсечки. Обсуждаются дальнейшие направления развития дискретной теории, включая гамильтонову формулировку. Представлены результаты моделирования спиральной лампы бегущей волны Ku-диапазона с выходной мощностью 170 Вт, которые хорошо согласуются с результатами экспериментов. Выводы. Нестационарная дискретная теория возбуждения, предложенная С.П. Кузнецовым в 1980 г., является мощным инструментом для моделирования распространения электромагнитных волн в различных периодических структурах. На ее основе реализованы алгоритмы и компьютерные программы моделирования нестационарных процессов в лампе бегущей волны, которые в настоящее время широко используются в фундаментальных и прикладных исследованиях.
Ключевые слова: нестационарная дискретная теория возбуждения, замедляющая система, лампа бегущей волны, гамильтонов формализм, численное моделирование.
Благодарности. Работа выполнена в рамках государственного задания Саратовского филиала ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.
Для цитирования: Рыскин Н.М., Рожнев А.Г., Minenna D.F.G., Elskens Y., André F. Нестационарная дискретная теория возбуждения периодических структур и ее использование для моделирования ламп бегущей волны // Известия вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 1. С. 10-34. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-10-34
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
10
©Рыскин Н.М., Рожнев А.Г., Minenna D.F.G., Elskens Y., Andre F., 2021
Review
DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-10-34
Nonstationary discrete theory of excitation of periodic structures and its application for simulation of traveling-wave tubes
N.M. Ryskin1>2EI, A. G. Rozhnev1'2, D. F. G. Minenna3'4'5, Y. Elskens4, F. Andre5
1 Saratov Brunch of Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics, Russia 2 Saratov State University, Russsia 3Centre National d'Etudes Spatiales, Toulouse, France 4Aix-Marseille Universite, Marseille, France 5Thales Thales Group, Velizy-Villacoublay, France E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Received 23.12.2020, accepted 30.12.2020, published 1.02.2021
Abstract. Aim. This article presents a review of the nonstationary (time-domain) discrete theory of excitation of periodic electromagnetic structures and discusses applications of the theory for simulation of traveling-wave tube (TWT) microwave power amplifiers with slow-wave structures (SWS) of different kind. Methods. The discrete theory is based on a representation of a periodic SWS as a chain of coupled cells. However, these cells are not identical to periods of the structure, and each cell is coupled with not only nearest neighbors, but, in general, with all the other cells. The discrete theory allows useful reformulation of Maxwell equations and simplifies simulation of electromagnetic wave propagation through a periodic structure by a great degree-of-freedom reduction. In this paper, we present the derivation of the basic equations of the discrete model from Maxwell equations and investigate the beam-wave interaction processes by numerical simulation. Results. Derivation of the discrete theory equations in its original form proposed by S.P. Kuznetsov is presented. The results of simulation of the С-band coupled-cavity (CC) TWT are considered, including complicated transients, which accompany spurious self-excitation near cut-off. Further developments of the discrete theory including the Hamiltonian formalism are discussed. The Hamiltonian discrete model is applied for simulation of the 170-W Ku-band helix TWT. The results of simulations are in good agreement with the experimental measurements. Conclusion. The discrete theory proposed by S.P. Kuznetsov in 1980 is a powerful tool for modeling of electromagnetic wave propagation in various periodic slow-wave structures. It allows development of computer codes for time-domain simulation of TWTs, which are promising tools that bears several advantages for industrial and research activities.
Keywords: nonstationary discrete excitation theory, slow wave structure, traveling wave tube, Hamiltonian formalism, numerical modeling.
Acknowledgements. The work was carried out within the framework of the state task of Saratov Brunch of Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics RAS.
For citation: Ryskin NM, Rozhnev AG, Minenna DFG, Elskens Y, Andre F. Nonstationary discrete theory of excitation of periodic structures and its application for simulation of traveling-wave tubes. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(1):10-34. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-10-34
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Введение
Практически сразу после изобретения лампы бегущей волны (ЛБВ) определились два основных типа конструкций лампы. В широкополосных ЛБВ сравнительно малой мощности в качестве замедляющей системы (ЗС) используется спираль, в то время, как в усилителях средней и большой мощности для замедления электромагнитной волны используются периодические структуры типа фильтров, имеющих полосовые характеристики [1,2]. Прежде всего, это гребенки и цепочки связанных резонаторов (ЦСР). Такие ЗС оказались более устойчивыми к электрическим и тепловым нагрузкам. Это разделение сохранилось к настоящему времени. В последние годы, в связи с попытками разработки ЛБВ в субтерагерцевом и терагерцевом диапазонах частот, часто используются также ЗС в виде петляющих волноводов. Взаимодействие электронного пучка в лампах двух упомянутых типов происходит по-разному. В то время, как в спиральных ЛБВ
электроны испытывают действие электромагнитной волны практически непрерывно, в мощных приборах взаимодействие происходит на последовательности коротких промежутков, когда электроны пролетают узкие зазоры между двумя стенками резонаторов или прямолинейных участков петляющих волноводов.
На начальном этапе теория обоих типов ЛБВ строилась одинаково, в предположении, что взаимодействие пучка происходит с бегущей электромагнитной волной, амплитуда которой сравнительно медленно меняется в пространстве. Однако довольно скоро стало ясно, что для мощных ЛБВ такой подход имеет ограниченную область применения и дает достаточно точные результаты только при выполнении следующих условий: взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, лежащих вдалеке от границ полосы пропускания периодической ЗС, количество периодов структуры достаточно велико, а параметр усиления Пирса С мал. Для мощных ЛБВ с ЗС в виде ЦСР или петляющего волновода какое-то из этих условий чаще всего нарушается. В режимах максимального усиления и КПД полоса усиления ЛБВ ЦСР обычно лежит вблизи критической частоты рабочей моды или даже распространяется за пределы полосы пропускания «холодной» ЗС. В таких случаях в теории необходимо учитывать взаимодействие пучка с полным полем в ЗС, то есть как с прямой, так и со встречной синхронными ему волнами.
Построение теории мощных ЛБВ с ЗС резонаторного типа исторически развивалось по двум независимым направлениям. Первое, получившее название дискретного подхода, описывает распространение волны в ЗС как передачу колебаний от одного периода структуры к соседнему за счет слабой связи между отдельными резонаторами, наподобие того, как это происходит в многоконтурных фильтрах. При этом взаимодействие пучка и поля, как уже было упомянуто выше, происходит в небольших по протяженности зазорах, расположенных в пределах каждого периода. Другим способом описания процессов в ЛБВ на частотах, близких к границе полосы пропускания, является модифицированная волновая теория, в которой учитывается взаимодействие пучка с двумя синхронными ему пространственными гармониками, принадлежащими, соответственно, прямой и встречной волнам в ЗС. Достаточно полный обзор работ по данному направлению приведен в [3], поэтому в данной статье модифицированная волновая теория подробно рассматриваться не будет.
Возвращаясь к дискретной теории взаимодействия, можно отметить, что при ее построении, в свою очередь, используются два подхода. Первый, называемый методом эквивалентных схем, основан на представлении ЗС радиотехнической схемой, состоящей из цепочки соединенных между собой колебательных контуров. Пролетающий сквозь ЗС пучок последовательно взаимодействует с полями одной из емкостей контура, принадлежащей соответствующему периоду. Исторически такой подход к описанию дискретного взаимодействия был первым. Достаточно сказать, что уже в 1949 г. появилась работа [4], в которой в рамках метода эквивалентных схем было получено дисперсионное уравнение для системы электронный пучок - цепочка связанных колебательных контуров. Данный подход оказался очень плодотворным, он активно развивается на протяжении многих лет и в настоящее время разработаны компьютерные коды, в которых указанный метод используется для моделирования современных мощных ЛБВ ЦСР и ЛБВ с петляющим волноводом как в стационарной [5-9], так и в нестационарной [10,11] постановках.
Тем не менее, метод эквивалентных схем имеет ряд особенностей и ограничений, которые затрудняют его применение. Прежде всего, это необходимость выбора конкретной радиотехнической схемы, которая, с одной стороны, была бы достаточно простой, а с другой, адекватно описывала свойства реальной электродинамической структуры. Было предложено несколько таких схем для ЦСР [12-15] и для петляющего волновода [16], однако проведенный в [17] сравнительный анализ двух наиболее продвинутых таких схем показывает, что в каждом конкретном случае нельзя однозначно сделать выбор в пользу какой-либо из них. Параметры емкостей, индуктивно-стей и сопротивлений, составляющих цепочку, определяются из соображений соответствия того
или иного элемента реальной структуры и элемента схемы [12,13], что зачастую приводит к существенным отклонениям характеристик построенной модели от измеренных или полученных в трехмерном компьютерном моделировании электродинамических характеристик реальной ЗС. Другой подход к построению эквивалентной схемы состоит в определении ее параметров исходя из значений частоты и сопротивления связи, а также соответствующих распределений ВЧ поля в зазоре резонатора, рассчитанных с помощью трехмерного моделирования для нескольких точек на дисперсионной характеристике [15]. Но и в этом случае не гарантируется адекватное описание свойств ЗС во всей необходимой полосе частот.
Еще одной проблемой, которая возникает при использовании метода эквивалентных схем, является сложность в описании фазового набега электромагнитного поля в зазоре резонатора. Обычно предполагается, что в области зазора, где пучок непосредственно взаимодействует с полем резонатора (в случае ЛБВ ЦСР), или с полем бегущей волны (в ЛБВ с петляющим волноводом), распределение электрического поля носит квазистатический характер и фаза колебаний поля в каждой точке зазора одинакова. Такое допущение, вообще говоря, справедливо лишь в определенных ситуациях, когда связь между соседними резонаторами достаточно слабая и когда можно полагать, что поле данного резонатора не проникают в зазоры его соседей. Если относительная ширина полосы пропускания рабочей моды периодической структуры достаточно велика, то такое приближение может нарушаться.
Обобщением метода эквивалентных схем является метод активных многополюсников, в котором конкретная схема отдельного резонатора заменяется на радиотехнический многополюсник, описываемый своей матрицей сопротивлений (или, что эквивалентно, матрицей проводи-мостей). Наиболее полно такой подход реализован в работах [18-20]. При этом единым образом могут быть рассмотрены структуры, представляемые в виде различных эквивалентных схем. Однако и в данном случае сохраняются проблемы расчета параметров многополюсников и описания фазового сдвига в зазоре. В недавней работе [21] произошел возврат к этим идеям. Наиболее важным результатом статьи [21] был предложенный в ней метод расчета параметров матрицы сопротивлений из данных, полученных с помощью современных трехмерных программ моделирования электродинамических структур.
Параллельно с методом эквивалентных схем на протяжении многих лет также активно развивались и другие подходы к описанию дискретного взаимодействия электронного пучка с полями периодических электродинамических структур [22-28], которые опирались на теорию возбуждения периодических волноводов Л. А. Вайнштейна и В. А. Солнцева [29]. В частности, большой цикл работ был выполнен В. А. Солнцевым и его учениками [24-28]. Однако следует отметить, что теория, развитая в этих работах, основана на ряде упрощающих предположений, таких как приближение фиксированной фазы поля, использование усредненного уравнения баланса мощностей, предположение о связи резонатора только с ближайшими соседями и т. д. При выводе разностной формы уравнения возбуждения обычно используются различные комбинации полей прямой и встречной собственных волн периодической структуры. Наряду с этим, в свое время были выполнены работы, в которых разложение полей ведется по собственным модам отдельных резонаторов [30,31], однако они не получили дальнейшего развития.
Существует еще одна причина, по которой дискретную теорию взаимодействия нельзя считать в настоящее время полностью завершенной. Дело в том, что в значительном большинстве перечисленных выше работ рассматривается стационарная теория, то есть предполагается гармоническая или, в крайнем случае, полигармоническая (многочастотная) зависимость от времени всех величин, описывающих электромагнитное поле в ЗС. Исключение составляют статьи [10,11], в которых строится нестационарная теория, однако в обоих случаях это делается на примере конкретных эквивалентных схем, что существенным образом ограничивает общность получаемых результатов.
Основная причина такого положения дел состоит в том, что и в методе эквивалентных схем, и в полевых теориях, сформулированных для заданной частоты колебаний, эта частота сложным образом входит во все основные уравнения. Например, элементы матрицы передачи отдельной ячейки в общем случае являются отношениями двух полиномов конечных степеней. В полевых теориях коэффициенты в уравнениях возбуждения являются мероморфными функциями частоты. При этом оказывается невозможным получить уравнения нестационарной теории путем перехода от частотного представления к временному с помощью обратного преобразования Фурье, как это было сделано в свое время для лампы обратной волны (ЛОВ) и ЛБВ в рамках волнового подхода [32].
Во второй половине 70-х годов прошлого столетия, на определенном этапе развития теории возбуждения периодических волноводов, эта ситуация казалось очень странной, поскольку к тому времени уже была известна нестационарная теория возбуждения резонаторов [29], которая в случае высокой добротности резонаторов сравнительно легко получалась из стационарной теории возбуждения. С качественной точки зрения было очевидно, что электромагнитные колебания в цепочке связанных резонаторов ведут себя так же, как механические колебания в простых системах, например, в цепочке связанных маятников. Для такой механической системы нетрудно записать уравнения связанных колебаний, возбуждаемых внешним воздействием. Однако для электромагнитных полей в периодической системе строгий вывод нестационарных уравнений возбуждения в форме колебаний системы связанных осцилляторов до некоторого момента отсутствовал. Ситуация изменилась в 1980 году с появлением небольшой по объему работы С. П. Кузнецова [33], в которой был предложен совершенно новый способ построения нестационарной теории возбуждения периодических систем. Интересно отметить, что независимо развитый в этой работе С.П. Кузнецовым математический аппарат оказался уже известным в математике [34] и в теории твердого тела [35]. Однако это стало ясно значительно позднее.
Первоначально уравнения, полученные в [33], были использованы для вывода уравнений нестационарной волновой теории, описывающей взаимодействие электронного пучка с электромагнитным полем вблизи границы полосы пропускания [36]. Хотя сама волновая теория взаимодействия вблизи границы полосы в последующие годы получила значительное развитие (см. [3] и упомянутые в этом обзоре работы [37-39]), нестационарная дискретная теория возбуждения [33] оставалась в тени. Только в конце прошлого десятилетия вновь проявился интерес к этому подходу, что позволило не только применить его для описания физики явлений в ЛБВ с периодическими ЗС, но и разработать эффективные компьютерные коды, которые оказалось возможным использовать для моделирование нелинейных нестационарных процессов усиления и генерации сложных сигналов в реальных приборах. Изложению полученных на этом пути результатов посвящена данная статья.
1. Нестационарная дискретная теория возбуждения периодических структур С. П. Кузнецова
Получим уравнение возбуждения периодического волновода током электронного пучка в рамках нестационарной дискретной теории, следуя работе [33]. Рассмотрим волновод, периодический по координате х с периодом d. Электромагнитные поля в волноводе подчиняются уравнениям Максвелла
9B
rot E = — —-, div D = р,
dt (1) <9D к '
rot H = — + j, div B = 0. at
Для дальнейших целей нам потребуется специальная форма дискретного преобразования Фурье для функции Ф(ж), впервые введенная в работе И.М. Гельфанда [34]:
Фр (х) = S Ф (х + nd) ^ . (2)
f Фр (ж)# = f jr Ф (ж + nd) e^dp =
= ^ Ф(ж + nd) einVdd$.
2л/d
0
Для любого п, кроме п = 0, интеграл в ( ) обращается в нуль, то есть
2л/а
( „г^ла - I 0 п = 0 \2п/й , п = 0 '
0
следовательно,
2л/d
0
Применяя преобразование (2) к уравнениям Максвелла (1), получим:
rot E p = - div Dp = р в,
rot H p = -D + jp, div Bp = 0.
(3)
При этом считается, что Ф(ж)^-0 при Отметим следующие свойства преобразования ( ):
Ф в (ж + d) = Фв (ж) е-^' Ф в (») = Фв+2к/d (ж) . Получим выражение для обратного преобразования. Интегрируя (2), находим
2пx,/d 2пx,/d
(4)
d f
Ф (Ж) = 2я У Ф (5)
(6)
Введем систему собственных функций Esp (r), Hsp (r), которые обладают следующими свойствами:
а) удовлетворяют граничным условиям Флоке: Esp (ж + d, у, z) = Esp (ж, у, z) e-^d;
б) удовлетворяют граничным условиям на стенках волновода;
в) удовлетворяют уравнениям
rot EsP + Qs ( p ) B^ = 0,
rot HsP + Qs ( p ) D^ = 0; ()
г) являются чисто соленоидальными, то есть div Esp = div Bsp = 0.
n=—oo
Наложим на собственные функции Е^ (r), Н^ (r) условие нормировки
J (DspEpp + H,pBpp) dV = |2
Vq
)spEPp + HspBpp) dV = <! I = p' (8)
где V0 - объём одного периода рассматриваемой электродинамической структуры, константу Ns будем называть нормой соответствующей собственной моды.
Отметим, что задача на собственные значения (7) имеет дискретный спектр собственных значений Qs (в) для вещественных в [33].
Разложим Ев, Нв по собственным функциям Е^, Н^, аналогично тому, как это делается в теории возбуждения резонаторов Л.А. Вайнштейна [29]:
Ев = Е (t) Е*в Нв = - ^ (t) Н,в , (9)
S S
где С^в - комплексные амплитуды. В (9) Ф - электростатический потенциал поля пространственного заряда, который удовлетворяет уравнению Пуассона.
ё1у(еУФ) = -р. (10)
Подставляя (9) в уравнения (6), получим1
i ^ С*в rot Нр = е ^ С^вЕ^в + jв - , (11)
s
Е^в rot Е^в = ¿Ц^ С^Н^, (12)
S S
или, с учетом определения собственных функций (7),
ге (в) Е,в = £ £ С^в + jв - (13)
S S
ц ^ C^Q. (в) Н,в = Щ ^ С.?вН3в . (14)
Умножим (13) на Е*,р, (14) - на —гН*,р и сложим полученные соотношения, что дает
г ^ (С^ (в) №рЕ:ф + цН^р)) =
= £ С5р №рЕ*,р + цНврН*,р) + ^р — е9-^] Е*/р. (15)
Проинтегрируем уравнение (15) по объёму Уо. Поскольку собственные функции удовлетворяют условию нормировки (8), все слагаемые с в = в' обращаются в нуль и (15) принимает вид
2^6^ (р) = + I ^р — . (16)
Уа
1 Здесь и далее точка сверху обозначает полную производную по времени.
Можно показать, что слагаемое, содержащее УФв, после интегрирования исчезает. Действительно, учитывая, что ё1у Е5 = 0, можно преобразовать интеграл, содержащий УФв, следующим образом
J УФвЕ,= ! (УФвЕ,р + Фв ё1у Е,р)с!У = ^ ё1у (ФвЕ,р) йУ = 0.
Уо Уо Уо
Интеграл по объёму У0 в (16) с учетом определения в -преобразования (2) преобразуем в интеграл по всему объему структуры:
У jвE:p¿V = У £ j (ж + ^)Е*р
Уо Уо п
Поскольку Е*р удовлетворяет условию Флоке, данное соотношение можно переписать в виде
I ^ j (х + пй, у, г)Е*ре^па<1У =
Уо
^ j (X + nd, у, z) E*p (X + nd, y, z)dV = J dV.
Уо ' У
Таким образом, уравнение (16) принимает вид
1
- iQs ( Р) = - — jE*pdV. (17)
Уо
Применим к уравнению (16) обратное преобразование Фурье
2я
1
^вп — т> I
с sa = "ЛУ Cst e-add ( Pd), 0
2п
Q sa = "Л/ Q se-add (Pd) , 0
2n
E*a = "П J E*Petadd (Pd) = Es0 (X - nd, y, z)
(18)
0
В результате придем к уравнениям для комплексных амплитуд С3.
<х 1 „
Сsa - i ^ QsmCsa-m = — jE**a^. (19)
2Ns
m=-rx у
Уравнение (19) есть нестационарное уравнение возбуждения дискретной теории С.П. Кузнецова, впервые полученное в [33]. Оно позволяет определить коэффициенты Сзп, с помощью которых можно найти электрическое и магнитное поля Е и Н по следующим формулам:
те
E = ^ ^ Csa (t) Es0 (х - nd,y,z) -УФ,
s a=-T (20)
H = ^ Csa (t) Hs0 (x - nd,y,z).
s a
s a=
Рис. 1. К определению величин Csn, Qsm
Fig. 1. Definition of amplitudes Csn and coupling coefficients Qs
В заключение этого раздела остановимся на вопросе о том, каков физический смысл величин С8п. Строго говоря, С8п являются коэффициентами в разложении Фурье (1). Однако, если функция Е50 является хорошо локализованной, то есть быстро затухает в направлении х, то систему удобно представить как цепочку ячеек (резонаторов), последовательно связанных друг с другом. Тогда С8п можно трактовать как амплитуду колебаний 5-й собственной моды в п-й ячейке. В особенности такое представление полезно для замедляющей структуры типа ЦСР. Коэффициенты Qsп, определяемые из разложения Фурье, могут быть интерпретированы как коэффициенты связи данной ячейки с её п-м соседом (рис. 1).
Из уравнения возбуждения (19) можно получить дисперсионное соотношение для «холодной» волноведущей структуры. Положим, ток электронного пучка отсутствует, в результате чего (19) примет вид
го
Сзп Ъ ^ ^ ^«шС8п—т = 0. (21)
т=-го
Отыскивая решение уравнения (21) в виде распространяющейся гармонической волны С8п ~ ехр [г (ш£ — пф)], где ф = kd - фазовый сдвиг, приходящийся на одну ячейку, получаем дисперсионное соотношение
го
ш = ^ ате1тф = а (ф). (22)
т=-го
В простейшем случае, когда учитывается связь только между соседними ячейками, то есть
^sm —
(1 + 2^) '
(
Q S0 — ШS0 ( 1 + ,#f f
(23)
АШ s/2 m — ±1,
0 m — 0, ±1,
уравнение (22) принимает вид
гш s o
ш = ш so + + Аш s cos ф . (24)
Таким образом, видно, что параметр Аш s имеет смысл ширины полосы пропускания 5-й моды периодической структуры.
В общем случае коэффициенты □ зт для конкретной структуры можно получить, разлагая в ряд Фурье периодическую дисперсионную характеристику ю = (ф), которую можно, например, рассчитать при помощи каких-либо программ электродинамических расчетов или измерить экспериментально.
2. Моделирование ЛБВ ЦСР
Впервые нестационарная дискретная теория возбуждения была использована на практике для моделирования ЛБВ ЦСР в работе [40]. Для численного моделирования были выбраны параметры (см. Таблицу), которые примерно соответствуют ЛБВ ЦСР типа М4040, разработанной для систем спутниковой связи [41].
Поскольку ЦСР является относительно узкополосной структурой, можно ограничиться простейшим случаем, когда каждый резонатор связан только с ближайшими соседями и учитывается только одна из собственных мод периодического волновода (при этом внешнее суммирование в выражениях (20) опускается). Движение электронов будем считать одномерным. Тогда уравнение возбуждения (19) принимает вид (индекс в опускаем)
Таблица. Параметры ЛБВ, используемые при численном моделировании
Table. Parameters of the simulated TWT
Число резонаторов, Мс 10-40
Период системы ¿, мм 8.4836
Центральная частота /0, ГГц 6.39
Полоса частот, ГГц 5.67-7.31
Холодная добротность Q 1700
Ток 10, А < 1
Ускоряющее напряжение У0, кВ 11-20
Волновое сопротивление Z0, Ом 22
Ширина зазора, мм 2.95
Радиус пучка г%, мм 1.25
Cn — ¿m0 1 + — )Cn +
гДш
(Cn+1 + Cn-1) — »0^0 i
2V2
I (x, t) E0 (x — nd) dx .
(25)
Отметим, что в случае, когда связь между ячейками структуры вообще отсутствует, (25) принимает тот же вид, что и в нестационарной теории возбуждения резонаторов Л. А. Вайнштейна [29].
В уравнении возбуждения (25) введено волновое сопротивление ^0 = Уо2/(юо^) . Возбуждающий ток I (х, t ) определяется из решения уравнений движения электронов
x
— — V, -j- — — e (E + Esc ) . dt dt v s>
(26)
Здесь х - координата электрона, V - его скорость, р = ту/^/1 — V2/с2 — импульс, е и т - заряд и масса покоя, Е — высокочастотное поле замедляющей системы, которое выражается следующим образом:
E (x, t) — ^Cn (t) E0 (x — nd).
Уравнения (26) решались при помощи хорошо известного метода «частиц в ячейке» [42,43]. Для вычисления поля пространственного заряда Esc использовалась формула [44]
Esc (x) — —— I р (x')e k±lx ■ sign (x — x') dx',
2^0 J
(27)
2
которая получается для модели пучка, составленного из тонких дисков, находящихся в однородной цилиндрической трубе дрейфа, причем силы электростатического взаимодействия между двумя дисками аппроксимируются экспоненциально спадающей функцией. В (27) р - плотность заряда, к± = а/гь - постоянная, которая характеризует скорость спадания сил пространственного заряда, гь - радиус пучка, а параметр а ~ 1 ^ 2 в зависимости от соотношения между радиусами пучка и трубки дрейфа (конкретно при вычислениях выбирали а = 2).
При численном моделировании рассматривалась периодическая структура конечной длины, состоящая из N резонаторов (рис. ), то есть в( ) п = 1,..., N. На левом и правом концах периодическая структура переходит в гладкие волноводы, соединяющие ее с источником входного сигнала и нагрузкой, соответственно. Подводящие волноводы считаются бездисперсными и согласованными с источником и нагрузкой. При моделировании они представлялись как секции периодической структуры, но с намного большей шириной полосы пропускания АО ^ Аю, что позволяет пренебречь их дисперсией в пределах полосы пропускания Аю. Во входной/выходной секции уравнение возбуждения (25) записывается следующим образом:
¿АО
Сп - гОоСп - — (Сп+1 + Сп-г) = 0 п< 1,п>Ы. (28)
Параметр расстройки Оо определяет частоту согласования центральной секции со входным и выходным волноводами. Нетрудно показать, что эта частота равна
(Оо - юо) Аю (Оо - юо) Аю
юс = юо--—---^ юо--—-. (29)
АО Аю АО
При Оо = юо согласование осуществляется точно на центральной частоте полосы пропускания.
В целом результаты моделирования, представленные в [40], хорошо иллюстрируют основные достоинства нестационарной дискретной теории. Так, на рис. 3 представлена зависимость коэффициента усиления от частоты. На ней хорошо заметны осцилляции, соответствующие ре-зонансам с различными собственными модами структуры. Обратим внимание на пик в окрестности высокочастотной границы полосы пропускания на частоте 7.3 ГГц. Число резонаторов выбрано небольшим (Ы = 13), чтобы этот резонансный характер проявлялся более наглядно. Соответственно, волновое сопротивление резонаторов увеличено до 88 Ом, чтобы при токе менее 1 А коэффициент усиления составлял около 10 дБ. Рис. 3 демонстрирует способность нестационарной дискретной теории описывать процессы как в центре, так и на границах полосы пропускания, и даже за ее пределами.
12 N-1 N
Рис. 2. Схема моделируемой электродинамической структуры Fig. 2. Scheme of the modeled electromagnetic structure
15
10
5
О
-5
-10
-----—- Л Л
А Л \ И
/
У 1
/
5.5 5.7 5.9 6.1
6.3 6.5 6.7 6.9 Frequency, GHz
7.1 7.3 7.5
Рис. 3. Зависимость коэффициента линейного усиления от частоты для ЛБВ с ЗС, состоящей из 13 резонаторов. Напряжение пучка 18.3 кВ, ток 0.77 A, волновое сопротивление резонаторов 88 Ом
Fig. 3. Small-signal gain versus frequency for the CC TWT with SWS consisting of 13 cavities, 18.3 kV dc beam voltage, 0.77 A dc beam current, and 88 Ohm cavity shunt impedance
Наиболее наглядно преимущества 20 нестационарной дискретной теории проявляются при анализе процессов паразитного самовозбуждения. Для ЛБВ ЦСР наибольшую опасность представляет паразитное самовозбуждение вблизи границ полосы пропускания ЗС.
В 1980-х годах С. П. Кузнецовым и соавторами была развита нестационарная теория электронно-волнового взаимодействия в окрестности границ полосы пропускания (см., например, [3,36-39]), которая позволила подробно исследовать режимы усиления и генерации, включая различные эффекты паразитного самовозбуждения. Отметим, что анализ самовозбуждения вблизи границы полосы пропускания осложняется тем, что соответствующая теория должна правильно описывать особенность коэффициента отражения на частоте отсечки [3,36-39,45]. Нестационарная дискретная теория является удобным инструментом для решения данной проблемы, поскольку обеспечивает правильный учет этой особенности [40].
На рис. 4 на плоскости параметров напряжение-ток построена граница самовозбуждения ЛБВ ЦСР вблизи верхней частоты отсечки (2п-вид колебаний). Рассматривалась ЗС, состоящая из 40 идентичных резонаторов, остальные параметры лампы соответствуют приведенным в табл. 1. Под самовозбуждением понимается нарастание начальных возмущений в виде малых шумовых флуктуаций полей в резонаторах, а входной сигнал отсутствует. Полученная граница имеет сложный характер, который хорошо согласуется с нестационарной волновой теорией ЛБВ
вблизи границы полосы пропускания [3,37]. Напряжение У0 = 11.26 кВ соответствует синхронизму пучка с волной точно на высокочастотной границе. При Уо < 11.26 кВ пучок в основном взаимодействует с обратной пространственной гармоникой, и поведение системы аналогично поведению ЛОВ с большими отражениями от границ. Левая часть кривой (У0 < 11.26 кВ) на рис. 4 имеет форму последовательности зон генерации. Каждая зона соответствует резонансу с одной из продольных собственных мод замедляющей структуры, причем в разных зонах распределение поля имеет вид стоячей волны с различным числом горбов, которое увеличивается по мере удаления от критической частоты [40]. При уменьшении уско-
25 -,
20 -
1а 15 -
i
о 10 -
U -
га
—I-1-1-1-1-
10 11 12 Beam voltage, kV
13
14
Рис. 4. Граница самовозбуждения на плоскости параметров напряжение - ток для ЛБВ с ЗС, состоящей из 40 резонаторов, при синхронизме вблизи высокочастотной границы полосы пропускания
Fig. 4. Start-oscillation current versus beam voltage for the 40 cavity CC TWT near the upper-cutoff frequency
ряющего напряжения частота синхронизма смещается от частоты отсечки. При этом коэффициент отражения уменьшается, вследствие чего стартовые токи увеличиваются.
Напряжения Уо > 11.26 кВ соответствуют преимущественному взаимодействую пучка с прямой волной, и система ведет себя как ЛБВ с большими отражениями. В этом случае после длительного и сложного переходного процесса, показанного на рис. 5, а, происходит установление основной продольной моды. На рис. 5, Ь-е приведены распределения амплитуды поля вдоль структуры в различные моменты времени. Эти рисунки наглядно показывают, что вначале возбуждается мода с пятью вариациями огибающей (рис. 5, Ь), затем происходят последовательные переходы к модам с тремя и двумя вариациями (рис. 5, с и 5, й) и, наконец, устанавливается основная мода (рис. 5, е). Такой характер переходного процесса обусловлен следующим. По мере того как электроны передают энергию полю, средняя скорость пучка уменьшается, вследствие чего он начинает более эффективно взаимодействовать с модами, имеющими меньшие фазовые скорости и, соответственно, более высокие частоты. На рис. 5, а хорошо видны процессы конкуренции мод, в результате которых «выживают» моды с меньшим числом горбов. В итоге устанавливается основная продольная мода. Заметим, что аналогичные эффекты конкуренции мод являются типичными для резонансных ЛБВ и ЛОВ [46-48].
30
g 20
о
а |10
О
0
п I 1 I 1 I 1 Г
1 2 3 4
Time, |s
b
.ЛПШ1111П1ЩШПЩ||Н1П1)111|И
1-"П- I- -1 " '
1 10 20 30
Normalized coordinate, x/d
1200
й
0
1 ••в
2 тз
Е
800
400-
0 2500 —1 i = 2.4ns
I I I Г
1 10 20 30 40
Normalized coordinate, x/d
d
10 20
Normalized coordinate,
a 5000 —I
^ 4000 ■ ö о
3000-
2000 -
'•В
■g 1000 -
0-
t = 3.4 |xs
Iflllll I III НИЩ
1 10 20 30 40 Normalized coordinate, x/d
Рис. 5. Зависимость выходной мощности ЛБВ ЦСР от времени, иллюстрирующая процессы конкуренции мод при V0 = 13.2 кВ, 10 = 15 мА (а) и распределения поля вдоль системы в различные моменты времени: t = 1.0 мкс (b), 2.0 мкс (с), 2.4 мкс (d), 3.4 мкс (e)
Fig. 5. CC TWT output power versus time illustrating mode-competition processes at V0 = 13.2 kV, I0 = = 15 mA (a) and field distributions along the system at different times t = 1.0 ^s (b), 2.0 ^s (c), 2.4 ^s (d), and 3.4 [is (e)
a
С
e
3. Гамильтонова формулировка уравнений нестационарной дискретной теории
Дальнейшее развитие нестационарная дискретная теория возбуждения получила в работе [49], где был развит гамильтонов формализм для уравнений нестационарной дискретной теории. В рамках этого подхода высокочастотные электрическое и магнитное поля представляются в виде
E (r, = Vsn (t) E s — (r) - УФ (r, t),
S" (30)
H (r,i) = i> Isn (t) H s, - n ( r ) ,
s n
s,n
где введены обозначения Е8-п, Н8-п (г) = Е5о,Н 5о (г — т!ех), ех - единичный вектор в направлении оси х. Повторяя процедуру, описанную в разделе 1, вместо уравнений (19) приходим к следующим уравнениям для переменных Узп, 1зп [49,50]
оо
- jF*dV,
m=—oo ,,
у (31)
isn У ^ QsmVs,n—m — 0,
m=—oo
где
2n
1 f E s
Fs-n = ^f ^^ ^ •
0
Собственные функции H sp (r) можно представить в виде ^oH sp = rot Asp. Применяя к этому соотношению обратное ^-преобразование ( ), получим p,0H sn = rot A sn, откуда следует выражение для векторного потенциала (в кулоновской калибровке)
A (r, t) = г ^ Isn (t) A s,-n (r). (32)
n
s,n
Полный гамильтониан системы можно представить в виде суммы двух частей: полевой
1 ^ —12 , .. |Тт|2^
Hem = 2 J (£0 |E|2 + Цо|Н|^ dV,
V
которую можно выразить через введенные выше переменные Узп, 1зп,
Нет — У ^ У ^ 22 ^,«-2 + ) ^«,«.1-П2 , (33)
и электронной
Не1 (р, г) = ^^т2с4 + С2|р к — еЛ (г к)|2 + 1 ^ еФ (гк — г у). (34)
к к'=к
где суммирование проводится по всем электронам, Гк - координата к-го электрона, рк = = тук Г к + еЛ (гк) - обобщенный импульс, ук - релятивистский масс-фактор. В итоге уравнениям (31) удается придать гамильтонову форму
(p к - eA (r к)),
(35)
где H = Heт + He| - полный гамильтониан системы. Как видно из уравнений (35), переменные Isn и Vsn являются канонически сопряженными друг другу обобщенными координатами и импульсами.
Гамильтонов формализм является очень удобным инструментом для корректного определения энергии и импульса волны, что в системах «электронный поток - электромагнитное поле» может представлять нетривиальную задачу [50]. Также он дает ряд преимуществ с точки зрения упрощения численного интегрирования, в частности, использовать так называемые симплек-тические методы численного интегрирования, которые гарантируют сохранение тех или иных интегралов движения [51].
Поскольку приведенные в предыдущем разделе уравнения нестационарной дискретной теории являются полностью нестационарными, они не налагают никаких ограничений на спектр моделируемого процесса и пригодны для решения широкого круга задач. В первую очередь следует упомянуть моделирование усиления сигналов со сложным спектральным составом, в том числе, телекоммуникационных сигналов с цифровой модуляцией [52], а также изучение процессов паразитного самовозбуждения. Решать подобные задачи с помощью традиционных подходов, где моделирование осуществляется в частотной области, затруднительно. С другой стороны, нестационарная дискретная теория требует куда меньших затрат времени, чем универсальные современные «полностью электромагнитные» коды, в которых решаются непосредственно уравнения Максвелла (1).
Первые попытки моделирования широкополосных спиральных ЛБВ на основе дискретной нестационарной теории С. П. Кузнецова были предприняты в работах [53,54], в том числе, в 2.5-мерной постановке [55]. В работе [56] было проведено сопоставление линейной теории ЛБВ на основе дискретного и волнового подходов, при этом электронный поток описывался на основе одномерной гидродинамической модели. В работе [57] представлен компьютерный код DIMOHA (Discrete MOdel with HAmiltonian approach) для моделирования процессов электронно-волнового взаимодействия в ЛБВ, основанный на гамильтоновой формулировке нестационарной дискретной теории (33)-(35). В [57] приведены результаты моделирования серийной спиральной ЛБВ Ku-диапазона (11.7 ГГц) с мощностью 140 Вт, которые сопоставлялись как с результатами, полученными с помощью хорошо зарекомендовавших себя кодов в частотной области,
4. Моделирование спиральной ЛБВ на основе дискретного подхода
s
о
hT
5 10 15
Normalized coordinate, x/d
Рис. 6. Зависимость функции Es0{x)/Eso(0) от продольной координаты, нормированной на период структуры, для спиральной ЛБВ Ku-диапазона
Fig. 6. Electric shape function Eso(x)/Eso(0) versus axial coordinate normalized on the SWS period for the Ku-band helix TWT
так и с результатами экспериментальных измерений. Результаты, полученные с помощью различных подходов, достаточно хорошо согласовывались друг с другом, наблюдаемые отклонения можно объяснить в первую очередь тем, что код DIMOHA является одномерным. Также в [57] проводилось сопоставление с результатами моделирования для ЛБВ диапазона 220 ГГц с ЗС типа двойной гребенки и ленточным электронным пучком, полученными при помощи 3-D кодов KARAT и CST Studio Suite [58]. В [52] код DIMOHA использовался для моделирования ЛБВ с петляющим волноводом диапазона 92-95 ГГц, предназначенной для использования в системах беспроводной передачи данных поколения 5G, также проводилось сопоставление с CST Studio Suite.
В данной работе в качестве конкретного примера рассмотрим коммерческую спиральную ЛБВ Ku-диапазона с выходной мощностью 170 Вт. Моделировалась система, состоящая из 300 ячеек. Поскольку спиральная ЛБВ является широкополосной, приближение связи с ближайшими соседями, которое использовалось в разделе 2 для моделирования ЛБВ ЦСР, для нее не справедливо. На рис. 6 приведена зависимость продольной компоненты функции Eso (х), которая описывает распределение поля в ячейке (ср. рис. 1) вдоль оси системы. Видно, что эта функция убывает достаточно медленно, так что в уравнениях (35) необходимо учитывать связь примерно с 20 ближайшими соседями.
Рис. 7 демонстрирует сравнение расчетной и экспериментальной зависимостей выходной мощности от входной. Моделировалась система, полностью соответствующая экспериментальной конфигурации, то есть с учетом изменения параметров ЗС вдоль системы, затухания, локального поглотителя и отражений от устройств ввода и вывода энергии. Результаты моделирования достаточно хорошо согласуются с экспериментальными измерениями.
На рис. 8 показаны так называемые фазовые портреты пучка, то есть зависимости скоростей электронов от координаты, в разные моменты времени. Хорошо видно, что с течением времени скоростная модуляция электронов нарастает. В то же время, поскольку средняя скорость электронного потока больше скорости электромагнитной волны, электроны начинают тормозиться и отдают волне свою кинетическую энергию,
175
150
^ 125 i-T
(L>
£ 100
о
а
-д 75
t ê 50
25
V4 \
\
-15
-10
-5 0
Input power, dBm
Рис. 7. Зависимость выходной мощности от входной на частоте 17.4 ГГц. Сплошная линия - расчет, штриховая - эксперимент
Fig. 7. Simulated (sold line) and measured (dashes) output power versus input power at 17.4 GHz
1.20 1.15 1.10 1.05 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70
a
1.20 1.15 1.10 1.05 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70
50
60
70 80 Coordinate, mm
90
\ АЛ i г •
wv УУь • •
--- V и —¥ -if- -i L li-
50
60
c 1.20 1.15 1.10 1.05 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70
70 80 Coordinate, mm
90
100
* А . л •• • * *
лл A л л л •• ; : * ' ' • •'
^VVi /\1у : .. .. • • •.
--- Lrr •• !* •• -I; —
< j / i f » t i i
• ■
1 • « i
50
60
e
70 80 Coordinate, mm
90
100
1.20 1.15 1.10 1.05 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70
лЛЛ/W
ттш
100
b
50
60
70 80 Coordinate, mm
90
100
1.20 1.15 1.10 1.05 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70
. л .* « ¿k л *
\ЛЛ л л A г •
Vv v Ч/у ; • • * .. • 1' \*
--- _ _ i i-h г f T t
* 1 ! i !
50
60
d
70 80 Coordinate, mm
90
100
1.20 1.15 1.10 1.05 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70
■ •
> * • ' N *
Л Л Л л л A • • • . ^ , •
rvv \ : . • • • * 1 ' , • J
--- L
1 •: » : / • i
' ' * "t • * * J *. . •
* 1 ^ : I • • •
50
60
f
70 80 Coordinate, mm
90
100
Рис. 8. Зависимости нормированных скоростей электронов v(x)/v(0) от координаты в разные моменты времени t = 1.0 нс (a), 1.5 нс (b), 1.8 нс (с), 1.9 нс (d), 2.0 нс (e) и 2.5 нс (f). Горизонтальной штриховой линией показана фазовая скорость замедленной электромагнитной волны
Fig. 8. Normalized electron velocities v(x)/v(0) versus coordinate at different moments of time: t = 1.0 ns (a), 1.5 ns (b), 1.8 ns (c), 1.9 ns (d), 2.0 ns (e), and 2.5 ns (f). The horizontal dashed line shows phase velocity of the slow electromagnetic wave
что приводит к усилению сигнала. Начиная с t = 1.8 нс возникают эффекты нелинейного насыщения. В целом рис. 8 хорошо согласуется с известной картиной нелинейной группировки частиц в приборах О-типа (см., например, [2,44]).
Заключение
В данной статье мы представили краткий обзор нового и плодотворного научного направления в вакуумной СВЧ электронике, которое выросло из одной небольшой работы С. П. Кузнецова. Наиболее общим образом это направление можно охарактеризовать как теорию вакуумных электронных приборов О-типа, основанную на нестационарной дискретной теории возбуждения. Разработанный С. П. Кузнецовым подход позволил рассматривать периодическую электродинамическую структуру в виде ансамбля связанных между собой электромагнитных осцилляторов. Однако эти осцилляторы, вообще говоря, не тождественны отдельным элементам периодической структуры (в отличие от метода эквивалентных схем), поэтому в случае достаточно широкополосных структур необходимо учитывать связь не только между ближайшими соседями.
Нестационарный дискретный подход обладает рядом существенных достоинств. Прежде всего это возможность единым образом моделировать процессы электронно-волнового взаимодействия как в центре, так и на границе полосы пропускания, а также за ее пределами. Среди других преимуществ стоит указать отсутствие ограничений на вид и ширину спектра усиливаемого или генерируемого сигнала, а также относительную простоту определения параметров компьютерной модели на основе результатов численного трехмерного моделирования электродинамических параметров ЗС.
На основе нестационарной дискретной теории были реализованы программы численного моделирования различных СВЧ усилителей и генераторов, в частности, ЛБВ ЦСР, ЛБВ с замедляющими системами типа петляющий волновод и гребенка, широкополосных спиральных ЛБВ, приборов клистронного типа. Разработанные программы позволяют анализировать различные тонкие эффекты, которые играют важную роль при использовании ЛБВ в современных усилительных модулях. К числу таких эффектов относятся усиление широкополосных телекоммуникационных сигналов с цифровой модуляцией, искажения при прохождении через лампу многочастотного сигнала, паразитная генерация в отсутствии и при наличии внешнего сигнала и т.д. Одновременно с этим, дискретный подход оказывается существенно более быстрым и экономичным, чем «полностью электромагнитные» коды, основанные на прямом численном решении уравнений Максвелла.
Помимо вклада в развитие дискретной теории, статья [33] позволила получить наиболее адекватную форму уравнений волновой теории электронно-волнового взаимодействия вблизи границы полосы пропускания периодических структур. По нашему мнению, данная статья С. П. Кузнецова принадлежит к числу классических работ по электронике СВЧ, благодаря тому влиянию, которое она оказала на развитие этой науки на протяжении последних сорока лет.
Список литературы
1. Пирс Дж.Р. Лампа с бегущей волной. М.: Сов. радио, 1952. 229 с.
2. Гилмор А.С. Лампы с бегущей волной. М.: Техносфера, 2013. 616 с.
3. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рожнев А.Г., Блохина Е.В., Булгакова Л.В. Волновая теория ЛБВ вблизи границы полосы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 5-6. С. 399-418.
4. Pierce J.R., Wax N. A note on filter-type traveling-wave amplifiers // Proc. IRE, 1949. Vol. 38, no. 6. P. 622-625. DOI: 10.1109/JRPR0C.1949.233301.
5. Gould R.W. Characteristics of travelling-wave tubes with periodic circuits // IRE Trans. Electron Devices. 1958. Vol. 5, no. 3. P. 186-195. DOI: 10.1109/T-ED.1958.14419.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16
17
18
19
20
21
22
23
28
Kino G.S., Hiramatsu Y., Harman W.A., Ruetz J.A. Small-signal and large-signal theories for the coupled-cavity TWT // Proc. 6th International Conference on Microwave and Optical Generation and Amplification, Cambridge, England, 1966. P. 49-53.
Vaughan J.R.M. Calculation of coupled-cavity TWT performance // IEEE Trans. Electron Devices. 1975. Vol. 22, no. 10. P. 880-890. DOI: 10.1109/T-ED.1975.18237.
Chernin D., Antonsen T.M., Chernyavskiy I.A., Vlasov A.N., Levush B., Begum R., Legarra J.R. Large-signal multifrequency simulation of coupled-cavity TWTs // IEEE Trans. Electron Devices. 2011. Vol. 58, no. 4. P. 1229-1240. DOI: 10.1109/TED.2011.2106504.
Chernin D., Antonsen T.M., Vlasov A.N., Chernyavskiy I.A., Nguyen K.T., Levush B. 1-D large signal model of folded-waveguide traveling wave tubes // IEEE Trans. Electron Devices. 2014. Vol. 61, no. 6. P. 1699-1706. DOI: 10.1109/TED.2014.2298100.
Qiu W., Lee H.J., Verboncoeur J.R., Birdsall C.K. A time-domain circuit simulator for coupled-cavity traveling-wave tubes // IEEE Trans. Plasma Sci. 2001. Vol. 29, no. 6. P. 911-920. DOI: 10.1109/27.974979.
Freund H.P., Antonsen T.M., Zaidman E.G., Levush B., Legarra /.Nonlinear time-domain analysis of coupled-cavity traveling-wave tubes // IEEE Trans. Plasma Sci. 2002. Vol. 30, no. 3. P. 1024-1040. DOI: 10.1109/TPS.2002.802148.
Curnow H.J. A general equivalent circuits for coupled-cavity slow-wave structures // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1965. Vol. 13, no. 5. P. 671-675. DOI: 10.1109/TMTT.1965.1126062. Carter R.G. Representation of coupled-cavity slow-wave structures by equivalent circuits // IEE Proc. I (Solid-State and Electron Devices). 1983. Vol. 130, no. 2. P. 67-72. Christie V.L., Kumar L., Balakrishnan N. Improved equivalent circuit model of practical coupled-cavity slow-wave structures for TWTs // Microwave Optical Technol. Lett. 2002. Vol. 35, no. 4. P.322-326. DOI: 10.1002/mop.10596.
Malykhin A.V., Konnov A.V., Komarov D.A. Synthesis of six-pole network simulating of coupled cavity chain characteristics in two passbands // 4th IEEE International Conference of Vacuum Electronics. 2003. P. 159-160. DOI: 10.1109/IVEC.2003.1286199.
Antonsen T.M., Vlasov A.N., Chernin D.P., Chernyavskiy I.A., Levush B. Transmission line model for folded waveguide circuits // IEEE Trans. Electron Devices. 2013. Vol. 60, no. 9. P. 2906-2911. DOI: 10.1109/TED.2013.2272659.
Dialetis D., Chernin D.P., Cooke S.J., Antonsen T.M., Chang C.L., Levush B. Comparative analysis of the Curnow and Malykhin-Konnov-Komarov (MKK) circuits as representations of coupled-cavity slow-wave structures // IEEE Trans. Electron Devices. 2005. Vol. 52, no. 5. P. 774-782. DOI: 10.1109/TED.2005.846353.
Булгакова Л.В., Трубецков Д.И., Фишер В.Л., Шевчик В.Н. Лекции по электронике СВЧ приборов типа O. Саратов: Изд-во Сарат. унт-та, 1974. 221 с.
Гаврилов М.В., Трубецков Д.И., Фишер В.Л. Теория цепочек активных многополюсников с электронным возбуждением // В кн. Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. C. 173-197. Булгакова Л.В., Гаврилов М.В., Пищик Л.А., Трубецков Д.И., Фишер В.Л. Применение теории активных многополюсников к анализу ЛБВ и КБВ // В кн. Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 198-215.
Chernyavskiy I.A., Antonsen T.M., Rodgers J.C., Vlasov A.N., Chernin D., Levush B. Modeling vacuum electronic devices using generalized impedance matrices // IEEE Trans. Electron Devices. 2017. Vol. 64, no. 2. P. 536-542. DOI: 10.1109/TED.2016.2640205.
Connolly D.J., O'Malley T.A. A contribution to computer analysis of coupled-cavity traveling wave tubes // IEEE Trans. Electron Devices. 1977. Vol. 24, no. 1. P. 27-31. DOI: 10.1109/T-ED.1977.18673.
Connolly D.J., O'Malley T.A. Computer program for analysis of coupled-cavity traveling wave tube // Rep. NASA, TND-8492. Cleveland, USA. 1977. 52 p.
24. Солнцев В.А., Осин А.В. Теория взаимодействия в приборах типа О с периодической структурой // В кн. Лекции по электронике СВЧ и радио-физике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 4. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. C. 142-178.
25. Солнцев В.А, Мухин С.В. Разностная форма теории возбуждения периодических волноводов // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 11. С. 2161-2166.
26. Солнцев В.А. Теория возбуждения волноводов // Известия вузов. ПНД. 2009. Т. 17, № 3. С. 55-89. DOI: 10.18500/0869-6632-2009-17-3-55-89.
27. Солнцев В.А., Колтунов Р.П. Анализ уравнений дискретного электронно-волнового взаимодействия и группировки электронных потоков в периодических и псевдопериодических замедляющих системах // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 6. С. 738-751.
28. Solntsev V.A. Beam-wave interaction in the passbands and stopbands of periodic slow-wave systems // IEEE Trans. Plasma Sci. 2015. Vol. 43, no. 7. P. 2114-2122.
DOI: 10.1109/TPS.2015.2440479.
29. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973. 400 c.
30. Bevensee R.M. A unified theory of electron beam interaction with slow wave structures, with application to cut-off conditions // Journal of Electronics and Control. 1960. Vol. 9, no. 6. P. 401-437. DOI: 10.1080/00207216008962774.
31. Bahr A.J. A coupled-monotron analysis of band-edge oscillations in high-power traveling-wave tubes // IEEE Trans. Electron Devices. 1965. Vol. 12, no. 10. P. 547-556.
DOI: 10.1109/T-ED.1965.15606.
32. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21, № 7. С. 1037-1052.
33. Кузнецов С.П. Об одной форме уравнений возбуждения периодического волновода // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25, № 2. С. 419-421.
34. Гельфанд И.М.Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами //ДАН. 1950. Т. 73, № 6. С. 1117-1120.
35. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. 492 с.
36. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы зоны Бриллюэна // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, № 12. C. 1575-1583.
37. Булгакова Л.В., Кузнецов С.П. Нестационарные нелинейные процессы при взаимодействии электронного пучка с электромагнитным полем вблизи границы полосы пропускания электродинамической системы. I. Высокочастотная граница // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 2. С. 207-221.
38. Булгакова Л.В., Кузнецов С.П. Нестационарные нелинейные процессы при взаимодействии электронного пучка с электромагнитным полем вблизи границы полосы пропускания электродинамической системы. II. Низкочастотная граница // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 5. С. 612-621.
39. Булгакова Л.В., Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рожнев А.Г. Усиление и паразитное самовозбуждение ЛБВ у границы полосы прозрачности замедляющей системы // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1988. Т. 3, № 407. С. 7-12.
40. Ryskin N.M., Titov V.N., Yakovlev A.V. Nonstationary nonlinear discrete model of a coupled-cavity traveling-wave-tube amplifier // IEEE Trans. Electron Devices. 2009. Vol. 56, no. 5. P. 928-934. DOI: 10.1109/TED.2009.2016690.
41. Collier R.J., Helm G.D., Laico J.P., Striny K.M. The ground station high-power traveling-wave tube // Bell Syst. Tech. J. 1963. Vol. 42, no. 4. P. 1829-1861.
DOI: 10.1002/j.1538-7305.1963.tb04052.x.
42. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987. 640 c.
43. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989. 452 c.
44. Роу Дж.Е. Теория нелинейных явлений в приборах сверхвысоких частот. М.: Сов. радио. 1969. 614 c.
45. Miller S.M., Antonsen T.M., Levush B., Bromborsky A., Abe D.K., Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillator operating near cutoff// Phys. Plasmas. 1994. Vol. 1, no. 3. P. 730-740. DOI: 10.1063/1.870818.
46. Levush B., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y. Theory of relativistic backward-wave oscillators with end reflectors // IEEE Trans. on Plasma Sci. 1992. Vol. 20, no. 3. P. 263-280. DOI: 10.1109/27.142828.
47. Рыскин Н.М.Исследование нелинейной динамики ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 2. С. 129-142.
48. Рыскин Н.М, Титов В.Н. Автомодуляционные и хаотические режимы генерации в релятивистской лампе обратной волны с отражениями // Изв. вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, № 10. С. 860-874.
49. Andre F., Bernardi P., Ryskin N.M., Doveil F., Elskens Y. Hamiltonian description of self-consistent wave-particle dynamics in a periodic structure // Europhys. Lett. 2013. Vol. 103, no. 2. P. 28004. DOI: 10.1209/0295-5075/103/28004.
50. Minenna D.F.G., Elskens Y, Andre F., Doveil F. Electromagnetic power and momentum in N-body Hamiltonian approach to wave-particle dynamics in a periodic structure // Europhys. Lett. 2018. Vol. 122, no. 4. P. 44002. DOI: 10.1209/0295-5075/122/44002.
51. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric Numerical Integration. Vol. 31. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006. 644 p. DOI: 10.1007/3-540-30666-8.
52. Andre F., Racamier J.-C., Zimmermann R., Trung Le Q., Krozer V., Ulisse G., Minenna D.F.G., Letizia R., Paoloni C. Technology, assembly, and test of a W-band traveling wave tube for new 5G high-capacity networks // IEEE Trans. Electron Devices. 2020. Vol. 67, no. 7. P. 2919-2924. DOI: 10.1109/TED.2020.2993243.
53. Bernardi P., Andre F., David J.-F., Le Clair A., Doveil F. Efficient time-domain simulation of a helix traveling-wave tube. // IEEE Trans. Electron Devices. 2011. Vol. 58, no. 6. P. 1761-1767. DOI: 10.1109/TED.2011.2125793.
54. Bernardi P., Andre F., David J.-F., Le Clair A., Doveil F. Control of the reflections at the terminations of a slow wave structure in the nonstationary discrete theory of excitation of a periodic waveguide // IEEE Trans. Electron Devices. 2011. Vol. 58, no. 11. P. 4093-4097. DOI: 10.1109/TED.2011.2163410.
55. Bernardi P., Andre F., Bariou D., David J.-F., Le Clair A., Doveil F. Efficient 2.5-D nonstationary simulations of a helix TWT // 2011 IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC). 21-24 Feb. 2011, Bangalore, India. P. 307-308. DOI: 10.1109/IVEC.2011.5746998.
56. Minenna D.F.G., Terentyuk A.G., Elskens Y, Andre F., Ryskin N.M. Recent discrete model for small-signal analysis of traveling-wave tubes // Physica Scripta. 2019. Vol. 94, no. 5. P. 055601. DOI: 10.1088/1402-4896/ab060e.
57. Minenna D.F.G., Elskens Y, Andre F., Poye A., Puech J., Doveil F. DIMOHA: A time-domain algorithm for traveling-wave tube simulations // IEEE Trans. Electron Devices. 2019. Vol. 66, no. 9. P. 4042-4047. DOI: 10.1109/TED.2019.2928450.
58. Karetnikova T.A., Rozhnev A.G., Ryskin N.M., Fedotov A.E., Mishakin S.V., Ginzburg N.S. Gain analysis of a 0.2-THz traveling-wave tube with sheet electron beam and staggered grating slow wave structure // IEEE Trans. Electron Devices. 2018. Vol. 65. no. 6. P. 2129-2134.
DOI: 10.1109/TED.2017.2787960.
References
1. Pierce JR. Traveling Wave Tubes. Princeton, NJ.: Van Nostrand; 1950. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1950.tb02352.x.
2. Gilmour Jr. AS. Principles of Traveling Wave Tubes. Boston, London: Artech House; 1994. P. 644.
3. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Rozhnev AG et al. Wave theory of a traveling-wave tube operated near the cutoff. Radiophysics and Quantum Electronics. 2004;47(5/6):356-373.
DOI: 10.1023/B:RAQE.0000046310.29763.c1.
4. Pierce J, Wax N. A note on filter-type traveling-wave amplifiers. Proc. IRE. 1949;38(6):622-625. DOI: 10.1109/JRPR0C.1949.233301.
5. Gould RW. Characteristics of travelling-wave tubes with periodic circuits. IRE Trans. Electron Devices. 1958;5(3):186-195. DOI: 10.1109/T-ED.1958.14419.
6. Kino GS, Hiramatsu Y, Harman WA, Ruetz JA. Small-signal and large-signal theories for the coupled-cavity TWT // Proc. 6th International Conference on Microwave and Optical Generation and Amplification. Cambridge, England. 1966:49-53.
7. Vaughan JRM. Calculation of coupled-cavity TWT performance. IEEE Trans. Electron Devices. 1975;22(10):880-890. DOI: 10.1109/T-ED.1975.18237.
8. Chernin D, Antonsen TM, Chernyavskiy IA, Vlasov AN, Levush B, Begum R, Legarra JR. Large-signal multifrequency simulation of coupled-cavity TWTs. IEEE Trans. Electron Devices. 2011;58(4):1229-1240. DOI: 10.1109/TED.2011.2106504.
9. Chernin D, Antonsen TM, Vlasov AN, Chernyavskiy IA, Nguyen KT, Levush B. 1-D large signal model of folded-waveguide traveling wave tubes. IEEE Trans. Electron Devices. 2014;61(6): 1699-1706. DOI: 10.1109/TED.2014.2298100.
10. Qiu W, Lee HJ, Verboncoeur JR, Birdsall CK. A time-domain circuit simulator for coupled-cavity traveling-wave tubes. IEEE Trans. Plasma Sci. 2001;29(6):911-920. DOI: 10.1109/27.974979.
11. Freund HP, Antonsen TM, Zaidman EG, Levush B, Legarra J. Nonlinear time-domain analysis of coupled-cavity traveling-wave tubes. IEEE Trans. Plasma Sci. 2002;30(3):1024-1040.
DOI: 10.1109/TPS.2002.802148.
12. Curnow HJ. A general equivalent circuits for coupled-cavity slow-wave structures. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1965;3(5):671-675. DOI: 10.1109/TMTT.1965.1126062.
13. Carter RG. Representation of coupled-cavity slow-wave structures by equivalent circuits. IEE Proc. I (Solid-State and Electron Devices). 1983;130(2):67-72.
14. Christie VL., Kumar L, Balakrishnan N. Improved equivalent circuit model of practical coupled-cavity slow-wave structures for TWTs. Microwave Optical Technol. Lett. 2002;35(4):322-326. DOI: 10.1002/mop.10596.
15. Malykhin AV, Konnov AV, Komarov DA. Synthesis of six-pole network simulating of coupled cavity chain characteristics in two passbands. 4th IEEE International Conference of Vacuum Electronics. 2003:159-160. DOI: 10.1109/IVEC.2003.1286199.
16. Antonsen TM, Vlasov AN, Chernin DP, Chernyavskiy IA, Levush B. Transmission line model for folded waveguide circuits. IEEE Trans. Electron Devices. 2013;60(9):2906-2911.
DOI: 10.1109/TED.2013.2272659.
17. Dialetis D, Chernin DP, Cooke SJ, Antonsen TM, Chang CL, Levush B. Comparative analysis of the Curnow and Malykhin-Konnov-Komarov (MKK) circuits as representations of coupled-cavity slow-wave structures. IEEE Trans. Electron Devices. 2005;52(5):774-782.
DOI: 10.1109/TED.2005.846353.
18. Byulgakova LV, Trubetskov DI, Ficher VL, Shevchik VN. Lectures on the Electronics of Microwave Devices O-type. Saratov: Saratov State Univ.; 1974. P. 221 (in Russian).
19. Gavrilov MV, Trubetskov DI, Fisher VL. Theory of chains of active multipoles with electronic excitation. Lectures on Microwave Electronics and Radiophysics. The 5th Winter Workshop of Engineers, Book 1. Saratov: Saratov State Univ.; 1981. P. 173-197 (in Russian).
20. Bulgakova LV, Gavrilov MV, Pishik LA, Trubetskov DI, Fisher VL. Application of the theory of active multipoles to the analysis of a TWT and EIK. Lectures on Microwave Electronics and Radiophysics. The 5th Winter Workshop of Engineers, Book 1. Saratov: Saratov State Univ.; 1981. P. 198-215 (in Russian).
21. Chernyavskiy IA, Antonsen TM, Rodgers JC, Vlasov AN, Chernin D, Levush B. Modeling
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32
33
34
35
36
37
38
39
40
32
vacuum electronic devices using generalized impedance matrices. IEEE Trans. Electron Devices, 2017;64(2):536-542. DOI: 10.1109/TED.2016.2640205.
Connolly DJ, O'Malley TA. A contribution to computer analysis of coupled-cavity traveling wave tubes. IEEE Trans. Electron Devices, 1977;24(1):27-31. DOI: 10.1109/T-ED.1977.18673. Connolly DJ, O'Malley TA. Computer program for analysis of couple-cavity traveling wave tube. Rep. NASA, TND-8492. Cleveland, USA; 1977. P. 52.
Solntsev VA, Osin AV. Theory of interaction in O-type devices with periodic structure. Lectures on Microwave Electronics and Radiophysics. The 5th Winter Workshop of Engineers, Book 4. Saratov: Saratov State Univ.; 1981. P. 142-178 (in Russian).
Solntsev VA and Mukhin SV. Difference Form of the Periodic Wave-Guides Exitation Theory. J. Commun. Technol. Electron. 1991;36(11):2161-2166 (in Russian).
Solntsev VA. Theory of waveguides excitation. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2009;17(3):55-89 (in Russian). DOI: 10.18500/0869-6632-2009-17-3-55-89. Solntsev VA, Koltunov RP. Analysis of the equations of discrete electron-wave interaction and electron-beam bunching in periodic and pseudoperiodic slow-wave structures. J. Commun. Technol. Electron. 2008;53(6):700-713. DOI: 10.1134/S1064226908060120.
Solntsev VA. Beam-wave interaction in the passbands and stopbands of periodic slow-wave systems. IEEE Trans. Plasma Sci. 2015;43(7):2114-2122. DOI: 10.1109/TPS.2015.2440479. Vainshtein LA, Solntsev VA. Lectures on Microwave Electronics. Moscow: Sov. Radio; 1973. P. 400. (in Russian).
Bevensee RM. A unified theory of electron beam interaction with slow wave structures, with application to cut-off conditions. Journal of Electronics and Control. 1960;9(6):401-437. DOI: 10.1080/00207216008962774.
Bahr AJ. A coupled-monotron analysis of band-edge oscillations in high-power traveling-wave tubes. IEEE Trans. Electron Devices. 1965;12(10):547-556. DOI: 10.1109/T-ED.1965.15606. Ginzburg NS, Kuznetsov SP, Fedoseeva TN. Theory of transients in relativistic backward wave tubes. Radiophysics and Quantum Electronics. 1978;21(7):728-739. DOI: 10.1007/BF01033055. Kuznetsov SP. On one form of excitation equations of a periodic waveguide Sov. J. Commun. Technol. Electron. 1980;25(2):419-421 (in Russian).
Gel'fand IM. Expansion in eigenfunctions of an equation with periodic coefficients. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1950;73(6):1117-1120 (in Russian). Kittel C. Quantum Theory of Solids. University of California, Berkeley. John Wiley and Sons, Inc. New York; 1963. P. 435.
Kuznetsov AP, Kuznetsov SP. Nonlinear nonstationary equation of interaction between an electron beam and electromagnetic field near the Brillouin zone boundary. Radiophysics and Quantum Electronics. 1984;27(12):1099-1105. DOI: 10.1007/BF01039225.
Bulgakova LV, Kuznetsov SP. Unsteady-state nonlinear processes accompanying the interaction of an electron beam with an electromagnetic field near the boundary of a transmission band. I. The high-frequency boundary. Radiophysics and Quantum Electronics. 1988;31(2):155-166. DOI: 10.1007/BF01039179.
Bulgakova LV, Kuznetsov SP. Nonstationary nonlinear processes in the interaction of an electron beam with an electromagnetic field near the limit of the transmission band of an electrodynamic system. II. Low-frequency limit. Radiophysics and Quantum Electronics. 1988;31(5):452-460. DOI: 10.1007/BF01043610.
Bulgakova LV, Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Rozhnev AG. Amplification and parasitic self-excitation of TWT-amplifier near the limit of the transmission band of slow-wave structure. Sov. Electron Tech. Microw. Electron. 1988;3(407):7-12. (in Russian).
Ryskin NM, Titov VN, Yakovlev AV. Nonstationary nonlinear discrete model of a coupled-cavity traveling-wave-tube amplifier. IEEE Trans. Electron Devices. 2009;56(5):928-934. DOI: 10.1109/TED.2009.2016690.
41. Collier RJ, Helm GD, Laico JP, Striny KM. The ground station high-power traveling-wave tube. Bell Syst. Tech. J.. 1963;42(4):1829-1861. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1963.tb04052.x.
42. Hockney RW, Eastwood JW. Computer Simulation Using Particles. NY, London, Paris: McGrow-Hill; 1981. P. 540.
43. Birdsall CK, Langdon AB. Plasma Physics, via Computer Simulation. NY: McGrow-Hill; 1985. P. 479.
44. Rowe JE. Nonlinear Electron Wave Interaction Phenomena. NY, London: Academic Press; 1965. P. 606. DOI: 10.1016/C2013-0-08102-9.
45. Miller SM, Antonsen TM, Levush B, Bromborsky A, Abe DK, Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillator operating near cutoff. Phys. Plasmas. 1994;1(3):730-740.
DOI: 10.1063/1.870818.
46. Levush B, Antonsen TM, Bromborsky A, Lou WR, Carmel Y. Theory of relativistic backward-wave oscillators with end reflectors. IEEE Trans. on Plasma Sci., 1992;20(3):263-280.
DOI: 10.1109/27.142828.
47. Ryskin NM. Study of the nonlinear dynamics of a traveling-wave-tube oscillator with delayed feedback. Radiophysics and Quantum Electronics. 2004;47(2):116-128.
DOI: 10.1023/B:RAQE.0000035693.16782.94.
48. Ryskin NM, Titov VN. Self-modulation and chaotic regimes of generation in a relativistic backward-wave oscillator with end reflections. Radiophysics and Quantum Electronics. 2001; 44(10):793-806. DOI: 10.1023/A:1013717032173.
49. Andre F, Bernardi P, Ryskin NM, Doveil F, Elskens Y. Hamiltonian description of self-consistent wave-particle dynamics in a periodic structure. Europhys. Lett. 2013;103(2):28004.
DOI: 10.1209/0295-5075/103/28004.
50. Minenna DFG, Elskens Y, Andre F, Doveil F. Electromagnetic power and momentum in N-body Hamiltonian approach to wave-particle dynamics in a periodic structure. Europhys. Lett. 2018;122(4):44002. DOI: 10.1209/0295-5075/122/44002.
51. Hairer E, Lubich C, Wanner G. Geometric Numerical Integration. Vol. 31. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg; 2006. P. 644. DOI: 10.1007/3-540-30666-8.
52. Andre F, Racamier JC, Zimmermann R, Trung Le Q, Krozer V, Ulisse G, Minenna DFG, Letizia R, Paoloni C. Technology, assembly, and test of a W-band traveling wave tube for new 5G high-capacity networks. IEEE Trans. Electron Devices. 2020;67(7):2919-2924.
DOI: 10.1109/TED.2020.2993243.
53. Bernardi P, Andre F, David JF, Le Clair A, Doveil F. Efficient time-domain simulation of a helix traveling-wave tube. IEEE Trans. Electron Devices. 2011;58(6):1761-1767.
DOI: 10.1109/TED.2011.2125793.
54. Bernardi P, Andre F, David JF, Le Clair A, Doveil F. Control of the reflections at the terminations of a slow wave structure in the nonstationary discrete theory of excitation of a periodic waveguide. IEEE Trans. Electron Devices. 2011;58(11):4093-4097. DOI: 10.1109/TED.2011.2163410.
55. Bernardi P, Andre F, Bariou D., David JF, Le Clair A, Doveil F. Efficient 2.5-D nonstationary simulations of a helix TWT. 2011 IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC). 21-24 Feb. 2011, Bangalore, India. P. 307-308. DOI: 10.1109/IVEC.2011.5746998.
56. Minenna DFG, Terentyuk AG, Elskens Y, Andre F, Ryskin NM. Recent discrete model for small-signal analysis of traveling-wave tubes. Physica Scripta. 2019;94(5):055601.
DOI: 10.1088/1402-4896/ab060e.
57. Minenna DFG, Elskens Y, Andre F, Poye A, Puech J, Doveil F. DIMOHA: A time-domain algorithm for traveling-wave tube simulations. IEEE Trans. Electron Devices. 2019;66(9): 4042-4047. DOI: 10.1109/TED.2019.2928450.
58. Karetnikova TA, Rozhnev AG, Ryskin NM, Fedotov AE, Mishakin SV, Ginzburg NS. Gain analysis of a 0.2-THz traveling-wave tube with sheet electron beam and staggered grating slow wave structure. IEEE Trans. Electron Devices. 2018;65(6):2129-2134.
DOI: 10.1109/TED.2017.2787960.
Рыскин Никита Михайлович окончил физический факультет Саратовского государственного университета (1991). Защитил диссертации на соискание ученой степени кандидата (1996) и доктора физико-математических наук (2005). Главный научный сотрудник, заведующий лабораторией Саратовского филиала ИРЭ РАН. Заведующий кафедрой динамических систем СГУ на базе СФ ИРЭ РАН. Область научных интересов: нелинейная теория колебаний и волн, приборы вакуумной электроники ТГц-диапазона, вакуумная микроэлектроника. Имеет более 200 научных публикаций по указанным выше направлениям.
Россия, 410019 Саратов, Зелёная, 38
Саратовский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Россия, 410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский национальный исследовательский государственный университет E-mail: [email protected]
Рожнев Андрей Георгиевич родился в Саратове (1959). Окончил физический факультет СГУ (1981). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (2019). С 1981 года работал в различных должностях на кафедре электроники СГУ а также в НИИ механики и физики СГУ. В настоящее время - старший научный сотрудник СФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН. Область научных интересов -вакуумная СВЧ электроника, вакуумная микроэлектроника, вычислительная электродинамика, оптика, теория колебаний и волн. Автор более 100 статей и соавтор нескольких учебных пособий для физических специальностей вузов.
Россия, 410019 Саратов, ул. Зеленая, 38
Саратовский филиал ИРЭ имени В.А. Котельникова РАН
Россия, 410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский национальный исследовательский государственный университет E-mail: [email protected]
Дамиен Ф.Г. Миненна. Получил степень магистра (2015) в университете Монпелье (Франция) и степени магистра (2016) и Ph.D. (2019) в университете Экс-Марсель (Франция). В настоящее время работает в области исследований термоядерного синтеза с инерционным удержанием (Комиссариат по атомной энергии, Арпажон, Франция). Его научные интересы связаны с теоретическими и численными исследованиями взаимодействия волн и частиц в электродинамике и физике плазмы.
F-13397 Марсель, Франция Университет Экс-Марсель 78140 Велизи-Вилакубле, Франция Группа Талес
E-mail: [email protected]
Ив Эльскенс. Получил степень инженера в области прикладной физики (1979) в Католическом университете (Лёвен, Бельгия) и степень доктора физики (1984) в Свободном университете Брюсселя (Бельгия). С 1990 года профессор университета Экс-Марсель. Область научных интересов: взаимодействие волн и заряженных частиц, установление связей между элементарными процессами и макроскопическим поведением в таких системах. Член Американского физического общества, Европейского физического общества, Общества промышленной и прикладной математики, Французского математического общества и ряда других научных обществ.
F-13397 Марсель, Франция Университет Экс-Марсель E-mail: [email protected]
Фредерик Андре. Получил степень магистра (1991) в Высшей школе электрики (Жиф-сюр-Иветт, Франция). Работает в компании Thales AVS (группа Талес), где занимается разработкой лампы бегущей волны для космических приложений. Область научных интересов: актуальные проблемы вакуумной СВЧ электроники, включая моделирование ЛБВ во временной области на основе гамильтоновского формализма, разработку катодов на основе углеродных нанотрубок, разработку ЛБВ суб-терагерцевого диапазона.
78140 Велизи-Вилакубле, Франция Группа Талес
E-mail: [email protected]
