CC BY
9УДК 517.52
НЕРАВЕНСТВО ПЭЛИ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЕЛЛМАНА
КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ
А. М. Жантакбаева1, Е. Д. Нурсултанов2
В статье получено неравенство Харди-Литлвуда-Пэли для усреднений типа Беллмана коэффициентов Фурье функций из анизотропного пространства Лоренца.
Ключевые слова: анизотропное пространство Лоренца, неравенство Харди-Литлвуда-Пэли, коэффициенты Фурье.
A root estimate is obtained for the Hardy-Littlewood-Paley inequality for Bellman type averages of Fourier coefficients of functions from anisotropic Lorentz spaces.
Key words: anisotropic Lorentz spaces, Hardy-Littlewood-Paley inequality, Fourier coefficients. В статье будут рассматриваться функции f (x) G L[0;1], имеющие ряд Фурье степенного типа, т.е.
те
вида аке2жгкх по тригонометрической системе. k=i
Пусть 1 ^ p < œ, 0 < q ^ œ. Пространством Лоренца Lp,q[0,1] называется множество всех измеримых 1-периодических функций, которые определены на [0,1] и для которых конечны следующие величины:
1 \i dt \
tpf*(t)j — I < оо при 0 < q < оо,
1 ч
1
Lpco[o,i] = sup tpf*(t) < оо при q = оо.
Здесь f *(t) = inf[a : ^{x : | f (x)| > a] < t] — невозрастающая перестановка функции f (t).
Изучается вопрос: если f £ Lp,q[0;1], то какими свойствами обладают ее коэффициенты Фурье, т.е. сходится ли некоторый ряд, зависящий от коэффициентов Фурье?
Хорошо известно неравенство Харди-Литлвуда [1, с. 165]: если 1 < p < 2и f £ Lp [0; 1], то
1 р
]TF-2|ak|p < C||f ||Lp[o>i|.
и=1 /
Это неравенство показывает необходимость условия принадлежности функции пространству Ьр[0; 1].
Условимся здесь и везде далее обозначать через С постоянные, зависящие только от параметров р, ц,Рг, qi, а гДе ^ = 0,1. Эти постоянные могут быть различными в разных случаях.
Также хорошо известно неравенство Харди-Литлвуда-Стейна [2, с. 490], которое верно для пространства Лоренца: если l<p<2,0<q^oo, р' = и / е ¿р)9[0,1], то
те
Е^"1^)9 ^сц/ц^о,!], (1)
k=i
где а*к — невозрастающая перестановка коэффициентов Фурье функции /(ж) по системе {е2ткх}^=1.
Отметим, что в случае 2 < р < те эти неравенства неверны. В случае р = q соответствующий пример можно найти в [3, с. 249; 4, с. 154-158]. Если же р = q, то, используя тот же пример, несложно показать
1 Жантакбаева Аягоз Мелисовна — PhD-докторант каф. фундаментальной и прикладной математики Евраз. нац. ун-та им. Л.Н.Гумилёва, г. Астана, Казахстан, e-mail: ayagoz.zhantakbayevaQyandex.ru.
2Нурсултанов Ерлан Даутбекович — доктор физ.-мат. наук, проф. Казахстан, филиала МГУ, г. Астана, Казахстан, e-mail:
er-nursQyandex.ru.
данный факт. Тем не менее, если заменить коэффициенты ак на некоторые средние, то оценка сохраняется. В работе [5] был установлен такой результат: если 1 < р < го, 0 < д ^ го, р' = и / е ¿р,9[0; 1], то
(2)
4fc=1
к
где ак = ± ¿2 ат
т= 1
Заметим, что здесь вместо коэффициентов Фурье в левой части стоят их средние типа Харди. В той же работе неравенство (2) было установлено и для функций многих переменных.
Настоящая работа посвящена получению аналога неравенства (2) для средних Беллмана коэффициентов Фурье функций многих переменных. Для одномерного случая этот результат был анонсирован в работе [6] . В дальнейшем через а будем обозначать вектор (а1,...,ап), запись а < Ь означает, что СЦ < Ьг, Уг = 1,...,п. Пусть также аь = ... аь™, р' — сопряженный вектор кр, т.е. = ^гу, Уг = 1, ■ ■ ■ ,п. Нам понадобятся вспомогательные утверждения.
Определение 1. Пусть 1 < р < го, 0 < д ^ го, где р = (р1,... ,рп), д = (д1,---, дп), а = (а1,..., ап) ъ > ^ ] = 1 Анизотропным дискретным пространством Щдд называется множество всех
последовательностей а = {ак1...к„}кге^ ^ = 1,...,и, для которых конечны величины
{ оо [ / \ 41
V I Г I к?1 Ы" а, ,
кп
22
I a\\np,q,a
£ (^...А^а^Са)
fcn=1 \fci=1
1
\ Чп
* 1 \ " 1
если q < го,
7
где
i
1
\a\\np^a = SUP kpi ...кПп aki ,„kn (a) < го , если q = (го,..., го),
kiEN, i=1,...,n
aki ...kn (а) =
sup
• 1 m1-a1 m1-a" mi^ki, i=1,...,n . . . Ilin
...
sn=mn si=mi
„«1 ean s ...sn
Лемма 1. Если 1 <p < го и 0 <q ^ го, mo имеет, место вложение np,q,a ^ Щ^д3 Доказательство. Заметим, что
П 1 П / ki Щ__Д 4i
С I I I > m„Pi
kn
ki
П'^'ПЕ
i=1
i=1 \mi=1
i
ci E •••( E K-'-^T^
,mn = 1 \mi = H
42 «1
1
mn
i
qn
где константа c зависит только от p, q,n. Поскольку при mi ^ ki имеем aki...kn (а) ^ ami..mn (а), мы получаем, что
l|a||np,oo,a = SUP К1 ■■■k%"akl,„kn(a) <
kiEN,i=1,...,n
кп / fci ^ с sup | y^ ■■■( E
32.
1
qn
kiEN
mn =1 mi =1
n mi ... m
(a)
m1
1
mn
< C\\a\j
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть 1 <p < го и 0 < q ^ го. Тогда
(
| a \ \ np,q,a
Е-""! Е(2и1 •••2p"a2fci...2fcn(a)
kn=0 \ki=Q
qi
92 \ «1 \
/
т.е. имеют место двусторонние оценки с константами, зависящим,и только от, параметров р, д.
3 Здесь запись Ач B означает вложение квазинормированного пространства А в квазинормированное пространство B. 5 ВМУ, математика, механика, № 3
a
si...s
n
1
Пр q a
i
Доказательство. Так как для для любого i = 1,...,n
ok,- +1 — 1
„.bill ^--l Sibi.
С2Яг Pi < E mV < C2 щ (3)
mi=2ki
и при ki ^ mi выполняется неравенство
(CK) ^ dki...kn (a), (4)
то мы получаем
oki +1 1
fcx + 1 ^ Г fcl
C2qi pi aq±+1 (a)< V mi1 m (a) < C29l"ia?L (a).
2ki+1m2 ...mnK' Z_/ 1 mi...mn\ / ^ okl m2 ...mn v 7
m1=ok1
Просуммировав неравенства no fci от нуля до бесконечности и возведя в степень -Ц будем иметь
91
, ^ ^1+1 \ 91 / ^ \ «1 ( ^ к1 Х п С ( £ 2* —а£1+1---тп(а) < £ шГ < С МГ 2**0^ ^(а)
^=0 у \Ш1 = 1 ) \к1=0
Отсюда, вновь используя (3) и (4), получим
42
( ~ *1 + 1 \ ^ / ~ 11-1 \ «
^1+12,2+1 тп(«) < £ т? Е^Г <
\Й1=0 У т2 =2к2 \Ш1 = 1 )
—
к2 I
\к1=0
Просуммировав неравенства по к.2 от нуля до бесконечности и возведя в степень приходим к оценке
12' 1
i- 1 • -i-
/ / \ -\Й
C
fco+1 / °° fci+1 \ 91 .
Е2"- Е2" - <
k2=0 k1=0
1
22\ — / / \
Я2 _1 ( 00 \ 91 * 42 1 ™ ' ™ \ 41 \
те
<
Е ш2я" Е тГ~ < с ЕЕ
o
m2 =1 m1 =1
те , / те ,
/ ^—л
yk2 =0 \ki=0 / у
Таким образом продолжая процесс п раз, получим требуемое неравенство.
В работе [5] введен интерполяционный метод для анизотропных пространств. Пусть А1 — банахово пространство, А 2 — функциональная банахова решетка [7]. Через А = (А1,А2) обозначим пространство А^значных измеримых функций, таких, что ||/||а1 € А2 с нормой ||/1| = ||||/(ж)Уа1 |Ц2- Пространство А = (А1,..., Ап) определяется индуктивно. Назовем его анизотропным пространством размерности п.
Пусть А0 = (А1А,), А1 = (А1,..., А,) — два анизотропных прост ранства, Е = (е = (е1 , •••,еп) : еi = ^и еi = 1, г = 1,...,п} . Для произвольного е € Е определим пространство Ав = (А^1,..., А,") с нормой
||а||Ае = У ••• ||а|А=1 ••• Уа"" •
Пару анизотропных пространств Ао и А1 назовем совместимой, если найдется линейное хаусдорфово пространство, содержащее в качестве подмножеств пространства Ав, е € Е. Пусть
К(¿, а; Ао, А1) = И(Е £в||ав||А£: а = Е ав, а£ € А£}
веЕ веЕ
есть функционал Петре. При 0 < д = (д1 ,...,дп) < го, 0 < в = (в1,...,вп) < 1, обозначим через
А^ = (Ао, Ах)^ц линейное подмножество ^ Ае, состоящее из элементов, для которых ' ' ееЕ
a||A
6,4
X /о
g2 \ 7Г"
. «Г \ qn
dt1 \ dtn
ti
tn
< го, если q < го,
0 \0
/
M|a6(4) = sup í K(t,a) < го, если q = го.
' 0<t<x
Лемма 3. Если 1 < pt(0) < p(1) < го и параметры 0 < q ^ го, 0 < q(i) ^ го, где i = 0,1, 0 <0 < 1,
то
(np(0) ,,(0),а, np(1),«(i),а)ё = ^ П
'p, q, а i
P(je 1 — 1=1 j__íL
р - р(0) + р(1) •
Доказательство. В силу вложения np(i),s(i),a ^ i = 0,1, достаточно доказать, что
(np(0)
n
p,q,a ■
Пусть V = (ы,..., ьп), где ы = {¡\ 7* = 0 < и < го. Пусть также Е = {е = (еь ..., еп) : ^ = 0
или £г = 1, г = 1,... , п}. Для последовательности а = {ак1 ...кп }^ем^=1,..,п рассмотрим представление
aki...kn = Е aki...kn
etE
где ак кп является обозначением и последовательность {а£к1 кп }^ем^=1,..,п соответственно принадлежит пространству
Учитывая, что при г = 1,...,п
ак1...кЛа)= sup 1-
mi^ki m,i ... mn
E - E
sn=mn si=mi
^ asi...sn
etE
Qai еап si ...sn
<
<
E SUP 3
etE mf^ki mi . . . riln
...
sn=mn si=mi
"si ...sn
Qai еап si ...sn
etE
получим
-L __^-^ -L __^-^ _1___1 I 1 _
sup У sup sp(°)a|=> sup sp(°> p(£> p(£>a§.
v>s>1
etE
v>s>1
etE
v>s>1
Так как для любых i = 1,...,n имеем
0, если £i = 0;
Pi(0) Pí(£í)~ если^ = 1,
sup si
vi>si>1
Pi(°) Pi(Ei)
,,P¿(°) P¿(£¿) _ JSi vi = bi
ТО
__1__ x _ __1__
sup sp^as^) te sup sp(£> a§.
v^s^1 etE stN
Учитывая произвольность представления aki...kn = a£kí kni получаем
etE
SUp SP(°)ds < К (¿,а;Пр(0))ОО,а,%(1),оо,а) •
v>s>1
х,а
e
1
ii
ii
Поэтому при 0 < q ^ те будем иметь
6,4
1
--А ^ i- w^ di .
t К [t, a;%(0),oo,a,%(l),oo,ajj ^
- o / Л^ di
í-0 sup SP(°I CLs(oí) — / -
_р(1)-р(0)
Сделаем замену £ = и р(°)р(1) . Тогда, так как 1 < р(0) < р( 1), мы заключаем, что
-_б _-L__,-Л9 dt
t sup sp^as{a) I — J -
- \ 4
1
OO - \ 4
___5_) __du
u ^p(o) p(i)> SUp sp^as{a)
) u
\0
( ^ 2f-l _ \ 4
y ___M __,.\qdu
u \p(o) p(i)> SUp sp^as{a) —
-_, „ ч / u y-V-i-i
_ i
\ 1\ 4 / OO
E
/
Итак,
<
C ||a||( ) .
Лемма доказана.
Перейдем к выводу основного результата этой статьи.
Определение 2. Пусть 1 ^ р < те, 0 < д ^ те, где р = (р^^р,), ^ = ^^•••^и). Множество всех измеримых функций, определенных на [0,1]п, называется пространством Лоренца £^[0,1]"", если конечны величины
Lp,4 [0,1]n
/ 1
0 0
/у» P1 /у> Pn 'P^Í'Y*., Т1 ^
x1 • •• xn f (x1
g2 \ 7Г"
dx 1 \ dxn
x1
xn
< те при 0 < q < те
Lpoo[o,i]"= SUP tpf*(t)<oо при <? = oo. (ti ,...,ín )e[0;1]n
Здесь f*(-) = inf(ст : ^{X G Rn : |f(x)| > ст} < -} — невозрастающая перестановка функции f (-).
Теорема. Пусть параметры 1 < р < ос, 0 < q ^ те, число а > г<9е о; = (ai,..., ап). Пусть 1-периодическая по каждой переменной функция f (x1,... , xn) имеет ряд Фурье по тригонометрической системе вида
те те
Е ••• Е afcb..fcne2ni(klx1+...+knXn),
fcn=1 fci=1
где коэффициенты
1 1
afci...fc„ = J ••J f (X1, •••, x„)e-2ni(k1 Xi+...+fcnXn)dx1 •••dxn
00 Ira
Тогда, если f (x1, • • • , xn) G LpgiO; 1]n; то справедливо неравенство те
те i i
a i--
1 Pi
E-IEIk,
kn = 1 \fci = 1
E - E
»mi...m„
— — ma1 •••man
mn =kn mi=ki 1
91
92
1
\ 4n
l \П 1
k
1
kn
< c
Lp,4[0,1]n
(5)
те
n
a
n
1
1
1
Доказательство. Оценим величину
A = sup k
n 1
ai ——
j Pj
E ■■■ E
— — m?1 ...man
m„=k„ mi=ki 1
к1,...,к„ем :^=1
Подставляя значение коэффициента Фурье и меняя местами интегралы и суммы, получим
1 1
... /(Ж1,...,Жп)Фк 1...к„ (ж)(ж1 ...(1хг,
A = sup IT k¿' ki,...,kneN j=1
0 0
где
g—2ni(mi xi+...+mn xn) n g— 2nimj Xj
E ••• E =П E
m„ =kn mi=ki
j=1 mj =kj
m
n
n$kj (Xj). j=1
Используя неравенство Гельдера при — + = 1, где } = 1,... ,п, для пространства Лоренца, будем иметь
тг , а
A < sup k.-
ki,...,kneN =
i i
00
II/(') x2, ■ ••) xn) IILpi ,i H$ki\\lp, с П (xj )dx2 ...dXn <
Pi A X "Jj i j=2
^ ••• ^
ni a i——
j Pj
sup j
ki,...,kneN j=1
kj
j II$kj||L„
Lpi ,i ••• \ \ LPn ,i •
(6)
Рассмотрим функцию Фk (xj) = X]
e j j
. Коэффициенты Фурье этой функции при mj ^ kj moho
тонно убывают. Мы воспользуемся теоремой Харди-Литлвуда для пространства Лоренца. Для симметричных пространств она доказана Е. М. Семёновым [8], для косинус- и синус-рядов функции из пространства Лоренца — Ю. Загером [9]. Тогда получим
l^kj ||L / 1 j 11 pj
1
m
1
с
sup Tj-————-.
<rj^те (kj + rj) j
1
Заметим, что при а > ^ максимум функции д(х) = ^^^ конечен и достигается в точке х = ар_1 ■ Тогда, используя (6), приходим к оценке А ^ С||/||(^ 1 ^ 1)> слеД°вательн°)
<
C||f 11 (Lpi,i,...,Lpn,i) •
Используя лемму 3 и интерполяционную теорему 2 из работы [5] (теорема 2), получим требуемое неравенство. Теорема доказана.
Замечание. В одномерном случае а = 1 и 1 <р< 2 неравенство (5) может быть получено из неравенства Харди-Литлвуда-Стейна (1) и неравенства Харди [9, с. 288].
Авторы приносят благодарность профессору М.И. Дьяченко за полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Комитета науки МОП РК № 1)711 ГФ. 1112 ГФ и ШИ ГФ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.
2. Stein Е.М. Interpolation of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. 83. 482-492.
3. Эдварде P. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. М.: Мир, 1985.
4. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.
a
mi ... m
n
i
P
j
а
m
j
mj =kj j
i
Pj
а
j
a
n
p ,<с
5. Нурсултанов Е.Д. О коэффициентах кратных рядов Фурье // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. 64, № 1. 93-122.
6. Жантакбаева A.M., Нурсултанов Е.Д. О суммируемости коэффициентов Фурье функций из пространства Лоренца // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 2. 64-66.
7. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции // Докл. АН СССР. 1981. 256, № 1. 14-17.
8. Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов и оценки коэффициентов Фурье // Докл. АН СССР. 1967. 176,№ 6. 1251-1254.
9. Sagher Y. An application of interpolation theory to Fourier series // Stud. Math. 1972. XLI. 169-181.
Поступила в редакцию 26.04.2012
УДК 519.714
О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ, СВЯЗАННЫХ С КОНЕЧНЫМИ ГРАММАТИКАМИ, ФОРМУЛАМИ ГЛУБИНЫ АЛЬТЕРНИРОВАНИЯ 3
С. А. Ложкин1, В. А. Коноводов2
Исследуется сложность реализации булевых функций, связанных с конечными грамматиками, в классе формул с глубиной альтернирования 3. Для соответствующей функции Шеннона получены асимптотические оценки высокой степени точности.
Ключевые слова: булевы формулы, сложность, глубина альтернирования, функция Шеннона, оценки высокой степени точности.
The realization complexity of Boolean functions associated with finite grammars in the class of formulae of alternation depth 3 is studied. High accuracy asymptotic bounds are obtained for the corresponding Shannon function.
Key words: Boolean formulae, complexity, alternation depth, Shannon function, high accuracy asymptotic bounds.
Введение. Задача синтеза управляющих систем в математической кибернетике включает исследование сложности реализации булевых функций в различных классах схем. Эта задача часто сводится к изучению поведения так называемой функции Шеннона, которая зависит от натурального аргумента n и определяется как максимальная сложность (в рассматриваемом классе схем) функций алгебры логики из
n
схемы из функциональных элементов, булевы формулы, контактные схемы, где под сложностью обычно понимается число входящих в схему элементов (функциональных символов, контактов), асимптотика этой функции была получена О. Б. Лупановым (см., например, [1]). В дальнейшем в работах С. А. Ложкина (см., например, [2]) уточнялись оценки остаточного члена асимптотического разложения для некоторых функций Шеннона и устанавливались асимптотические оценки высокой степени точности (АОВСТ), в которых указана асимптотика второго члена этого разложения.
Во многих случаях как асимптотика, так и АОВСТ устанавливались для функций Шеннона в некоторых "стандартных" классах схем при наличии определенных ограничений на их структуру. Так, в [3] была найдена асимптотика функции Шеннона для сложности реализации булевых функций формулами с глубиной альтернирования A, A ^ 3, а в [4] для указанной функции Шеннона получены АОВСТ, которые, в отличие от ее асимптотики, явно зависят от A. Таким образом, получение АОВСТ в различных классах схем с ограничениями позволяет обнаруживать "тонкие" эффекты влияния этих ограничений на поведение соответствующих функций Шеннона.
В ряде работ задача синтеза управляющих систем решалась для специальных классов функций, в частности для функций, связанных с языками. В [5] АОВСТ установлены для сложности реализации функций из таких классов схемами с ограниченной глубиной ветвления и ориентированными контактными
1 Ложкин Сергей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: lozhkinQcs.msu.su.
2 Коноводов Владимир Александрович — асп. каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: vkonovodovQgmail .com.
