НЕРАВЕНСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ В КЛАССЕ 𝒑−ЛИСТНЫХ ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИЙ ПОРЯДКА 𝜷 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

Построенное аналитическое решение задачи позволяет оценивать величины изгибных смещений пластины w(x, Ь) под движущейся нагрузкой. Величины приходящегося на единицу длины вдоль координаты х изгибающего момента Мх (х, Ь) =

д2ш(х,Ь) „ , Л

-и1——— и сдвиговой силы Цх(х,Ь) =

D

дх2 d3w(x,t)

——— могут послужить для оценки прочности рассматриваемой системы.

Список литературы 1. Лавров Ю.А. О свободных гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей прямоугольный контейнер с жесткими стенками и упругой крышкой. Труды XXV-XXVI летних школ

"Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Санкт-Петербург: ИПМаш РАН, 1998. С. 348-355.

2. Стурова И.В. Влияние периодического поверхностного давления на прямоугольную упругую пластину, плавающую на мелководье // Прикладная математика и механика // 2006. Вып. 3. С. 417-426.

3. Жесткая В.Д., Джабраилов М.Р. Численное решение задачи о движении нагрузки по ледяному покрову с трещиной // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 3. С. 151-156.

4. Стурова И.В. Действие периодического поверхностного давления на ледовый покров в окрестности вертикальной стенки // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 92-101.

НЕРАВЕНСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ В КЛАССЕ р -ЛИСТНЫХ ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИИ

ПОРЯДКА р

Султыгов М.Д.

профессор, канд. физ. - мат наук, Ингушский государственный университет, г. Магас

Вазиева Л. Т. доцент, канд. физ. - мат наук, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (ГТУ),

г. Владикавказ

INEQUALITY OF COEFFICIENTS IN THE CLASS OF p-VALENT STARLIKE FUNCTIONS OF

ORDERp

Sultygov M.,

Professor, Candidate of Physics. - Mat of sciences, Ingush state University, Magas Vasieva L.

Associate Professor of mathematics, Candidate of Physics. - Mat of sciences, North Caucasus mining and metallurgical Institute (GTU), Vladikavkaz

Аннотация

Целью статьи является по радиусам параметризации границ областей Рейнхарта построить эффективные достаточные условия в классе р — листных звездообразных функций порядка fi(0 < р < р) с параметрами А и В (—1 < 5 < Л < 1) в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха для областей Рейнхарта. В работе рассматриваются функции, голоморфные в полных ограниченных кратно круговых областях D с Сп или в их подобластях Dr = rD, где D —замыкание области D и г Е (0,1). В первой теореме доказано, как {f(z, t)} образует цепь подчинения. Во второй теореме получены точные оценки коэффициентов Тейлора |afcl,fcJ. В последующих теоремах строятся многомерные аналоги гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок Тейлора в бицилиндре, гиперконусе и в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dpq.

Abstract

The aim of the article is to construct effective sufficient conditions in the class of p — valent starlike functions of order p(0 < p < p) with parameters A and В (—1<B<A<1) in the form of a multidimensional analogue of the Bieberbach hypothesis for Reinhart regions by the parameterization radii of Reinhart regions. The paper discusses the function, holomorphic in a full confined multiple circular regions D с Cn or subareas

Dr = rD, where D is the closure of the D and и г Е (0,1). The first theorem proves how {f(z, t)} a chain of command forms. In the second theorem exact estimates of Taylor coefficients 1акък21 are obtained. In the subsequent theorems are based multidimensional analogues of the Bieberbach conjecture in the form of effective assessments of Taylor in the cylinder bi, hyper cone and logarithmically convex complete bounded circular region in two ways Dpq.

Ключевые слова: p — листные звездообразные функции, порядок, полные ограниченные кратно круговые области, радиус параметризации, гипотеза Бибербаха, бицилиндр, гиперконус, оценка коэффициентов Тейлора.

Keyword: р — Valent starlike functions complete limited multiples of the circular area, the radius parametri-zation, the hypothesis of Bieberbach, Billings, hyper cone, evaluation of Taylor coefficients.

Введение.

В классической теории функции одного комплексного переменного важную роль играют два тесно связанных между собой класса регулярных в круге 1г1 < 1 функций № = /(г) = г + с2г2 + ■■■, однолистно отображающих 1г1 < 1 соответственно на область, звездообразную относительно точки ю = 0, и на выпуклую область. Известны [1] эффективные необходимые и достаточные условия принадлежности регулярных в 1г1 < 1 функций

ж = /(г) = г + с2г2 + ■•• к этим классам, а, именно, выполнимость в 1г1 < 1 соответственно условиям

г['(г)

>0, (1)

Re

№

zf"(z)

0.

f (z)

(2)

Естественно, что условия (1) и (2) остаются необходимыми и достаточными условиями и для принадлежности регулярных в 1г1 < 1 функций ю = [(г) = гр + ср+1гр+1 + ■■■ р Е N = {1,2,3,...} к классам

регулярных в 1г1 < 1 функций ш = [(г) = гр + ср+1гр+1 + ■■■ р — листных в нем и отображающих его соответственно на область, звездообразную относительно w = 0, и на выпуклую область.

Определение 1. Назовем /(г) е Н(В с Сп)

функцией класса QD Сп имеет разложение

(р)

если

f(z) =zp+^

akz

к+р

D с

(3)

m=i

и Р(гк) = г%[(У1гк, ...,гк, ...,упгк), как функция переменного гк, р —однолистна в сечении области О c комплексной прямой

Пм=К =—:УтЕ С\{0},т = 1.....к — 1,к +

V. Ут

1,..Л1};

при ут = 0 функция Р(гк) =

гк[(0,... ,гк,... ,0) р —однолистна в сечении Лт = Б П {гт = 0:т = 1, ...,к — 1,к + 1,...,п}.

По определению 2 и теоремы [2, с.4,5] для того, чтобы регулярная в области О функция [(г1,г2), [(0,0) = 0 принадлежала классу Ма необходимо и достаточно, чтобы в О Ьр[[(г1,г2) ]

(р)

Re-

f(Zi,Z2)

> 0,

(4)

где Lp [f(Zi, z2)] = pf(Zl, z2) + Z]=i zj [3,

c.1058].

Мои результаты.

Определение 2. Говорят, что функция /(г1,г2)б Q(p) принадлежит к классу р — листно звездообразных функций порядка р, если она удовлетворяет условию Ь71[ Т(г1,г2) ]

Яе р / 1 2 > Р,0<Р <р,рЕЫ = {1,2,3,...}. (5)

Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть [(г,1) = е* + —голоморфная в области И функция при любом фиксированном Ь. Здесь = Т111=1к1,к\ Ш П1=1к1\ Тогда {[(г,с)} образует цепь подчинения, если

1°. [(г, Ь) как функция от £ абсолютно непрерывна, локально равномерно по г Е О (в поликруговой норме).

2°. Существует семейство измеримых по £ функций к(г,Ь>) Е QD [2,с.10] для любых Ь, таких, что для почти всех £

^Г(г,1) = 1г(г,1)11[Г(г,1)] (6)

Доказательство. Рассмотрим фиксированную точку г0 Е ВГо. Пусть р Е (г0,1).Тогда в силу полноты области Б, точка — Е Б, если | < 1,% Е С1.

Рассмотрим функцию Р($,Ь) = ,с) как

функцию от ^ и Ь. В силу предположений теоремы, Р(%, Ь) голоморфна по £,измерима и абсолютно непрерывна по £, локально равномерно по Кроме того, существует семейство функций Н(%, Ь) =

к (—, £), удовлетворяющих условиям Re Н(%, I) >

0, Н(0, Ь) = 1, таких, что для почти всех £ > 0 д д

что справедливо в силу (8) и того факта, что

Таким образом, все требования теоремы Х. Поммеренке [4] выполнены, и мы можем утверждать, что {Р(г,Ь)} образует цепь подчинения, то есть для любых 0 < < Ь2 < <х имеет место Р(г, ^ < Р(г, Ь2). Полагая ^ = р, переходя к пределу при р ^ г0 и пользуясь полнотой области Бг, приходим к утверждению теоремы.

Определение 3. Мы будем говорить, что функция [(г-1,г2) подчинена функции д(г1,г2), и записывать в дальнейшем, как [(г-1,г2) <

д(г1,г2),есяи Бг) с д(Ог) для всех г Е (0,1).

(р)

Определим некоторый подкласс класса ^ в следующем виде.

Определение 4. Будем говорить, что функция [(г1,г2) Е ,которая удовлетворяет условию вида

М f(Zi,Z2) ] p + [pB + (A-B)(p-ß)]0(zi,Z2)

< -- - -;-,0(Zi,Z2) Sd(0)[5],

f(Zl, Z2)

1 + BQ(Z1,Z2)

в

oo

принадлежит классу функций М^ (А, В, Р), где 0 < р < р,а параметры А и В удовлетворяют условиям —1 < В < А < 1.

Теорема 2. Пусть —1 < В < А < 1 и р ЕМ. Если функция

f(zi,z2) Е М™ (A,B,ß) имеет вид (3), то

|ap+i| <

(A-B)(p-ß) ,(f:D)

d

кък-.

для A(p-ß)-B(p- ß-1)<1

или А(р - ß)- В(\к\ - ß -1)<\к\-р -1, \к\=к1 + к2>р + 2

(A-B)(p-ß)

]akl'k2l~ dkljk2(f-.D)(\k\-Py

а для А(р - ß) - В(\к\ -ß- 1)>\к\-р- 1,\к\>р + 2

\k\-p

1 y1[A(p-ß)-B(p-ß+j laki'k2l<dkl,k2(f-.D)[[

1)]

i=i

J

(8)

(9)

(10)

V

— I

Доказательство проводится c использованием листных звездообразных срез—функций [6] порядка Р(0 < р <р) с параметрами А и В (—1 < В < А < 1) для одномерного случая с привлечением работы [7].

В оценки коэффициентов (8)—(10) Тейлора входит величина *кък2(1:0) = sup(|z1|kl|z2|k2) для всех (г1,г2) е В с С2. Для конкретного вида области О важно уметь вычислить dkъk2(D). C целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей О, для которых можно эффективно вычислить dkl,k2(f: О). Пусть Б1 -та область Б, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне. Как доказал А.А.Темля-ков [8], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде: |г1| = г1(т), \г2\ = г2(т), 0< т < 1, где г1(0) =

1ар+11 <

dki,k2 (f.Di) = rkl fe) Г2к2 fe), считая О» = 1

0, г1(1) <®, г1(т) > 0,(0 <т< 1) и г2(т) = R2exp[— -^dlnr1(т)], г2(1) = 0. Такое параметрическое представление области И1 позволяет эффективно вычислить dkъk2(D1). Действительно, при к1 + к2 > 0

,\к\)'2

Заметим так же, что если область О - бицилиндр Цг11 < И1,1г21 < И2} , то очевидно, что dklk2{f: и2^) = К*1 • К*2. Итак, в случае тех областей О, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также в случае бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.

Теорема 3. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха [9] для функций [(г1,г2)ЕМ(у2

Rl,R2

(А,В,Р) в бицилиндре имеет эффективные оценки коэффициентов Тейлора вида:

(A-B)(p-ß)

R? • r;2

для А(р - ß) - В(р - ß - 1) < 1 или

А(р -ß)- В(\к\ -ß-1)<\k\-p-1, \k\=ki + k2>p + 2

(A-B)(p-ß)

laki,k2

<

r:1 • R:

ч -2l(\k\-P) а для A(p-ß)-B(\k\ -ß- 1)>\k\-p- 1,\k\>p + 2

\k\-P

, , _ 1 y1[A(p-ß)-B(p-ß+j-1)]

laki,k2l < nkl nk2 П

r:1 • R:

4 2 ¡ = 1 Теорема 4. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций [(г^^, 22) Е М™ (А,В,Р) в гиперконусе

К1 = [(21,22)ЕС2:1211 + 1221<1}, где граница этой области представима в параметрическом виде:

дК1 = {(2^22) ЕС2:\21\=Т,\22\ = 1 — Т ,0 < Т < 1},

J

(11)

(12)

(13)

d^2(f.Ki) = {lty{\tl

'k^V ,\k\)

A(p -ß)- B(\k\ -ß-1)<\k\-p- 1, \k\ = ki + k2>p + 2

< \k\\k\(A-B)(p-ß)

lükl,k2l~ kklkk2(\k\-p) , ( ) а для A(p-ß)-B(\k\ - ß - 1)>\k\ 1,\k\>p + 2

laki,k2l

\k\

эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

\к\\к1(А — В)(р—р)

\k\-P П

[A(p-ß)-B(p-ß+j-1)] j

(13)

lap+il <■

khikh2

(11)

\-\\к\

< Ък1Ък2

К1 К2 ¡=1

В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

для А(р - ß) - В(р - ß - 1) < 1 или

2

Ор,ч = {(г1,12) Е С2: № + Ш« <1;р =

т -Л

— ,т,п,а Е N1.

п J

Отметим, что Орл Е (Т) тогда и только тогда, когда р > 1.

В области Орд Е (Т) радиусы параметризации г1 (т) и г2 (т) имеют вид

логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Орл эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

к±д+к2Р

Г1р(т)=-

-,г1Чт)=-

1 тд + (1-т)р' 1 w тд + (1-т)р'

dk к (f: Dp g) = (———) р (-

kifav VA J \kiq+k2pj \k1

k2p

k2

-V

kiq+k2pJ

где

00 = 1.

Теорема 5. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций [(г1,г2) Е М^ (А,В,@) в

к1Ч+к2р 1к1-р

^ (М + к2р) РЧ ]-[

1акък21 < к1 кГ~ П (к^) р (к2р) ч ¡=1

Легко доказать, что оценки (8) и (10) точны для функции

(А-В)(р-р)

' в ,в*0, и = 1.

2РеА(р-Ю<гг В = 0.

KA,B,ß,p = iZP(1+BaZr

Список литературы

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.— Москва.

— I-

Наука.— 1966. — 630 с.

2. Баврин И.И. Критерии принадлежности регулярных функций к некоторым классам функций двух комплексных переменных // Аналитические функции и их приложения. — Орджоникидзе.—1984. —С. 3-8.

3. Темляков А.А. Интегральные представления для мероморфных функций //Доклад Академии наук СССР. —143. №5.—1962.—С.1057—1060.

4. Pommerenke Ch. Uber die Subordination analytischer Functionen // I. Reine und angew. Math., —1965. —218. — Pp.159—173.

5. Bavrin I.I. Classes of holomorphic functions of many complex variables and extreme questions for these classes of functions. M.: Ed. MOPI. - Moscow. -1976. 99 p.

6. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп.- Мир. -1984. - 455 с.

7. Sahoo S.K., Sharma N.L. Замечание о классе р — листных звездообразных функциях порядка р //

гр+1

<

(kiq + k2p) рч (A-B)(p-ß)

,(14)

к± к2 (kiq)P(k2p)i для А(р - ß) - В(р - ß -1) <1 или A(p-ß)-B(\kl-ß-1)<lkl-p-1, М =

к1 + к2>р + 2

ki4+k2P

\aki,l

<

(к1Ч + к2р) РЧ (A-B)(p-ß)

,(15)

к± ка

(k1q)P(k2p)4(M-p) а для А(р - ß) - B(\kl - ß - 1)>|fc| - p -1,M>p + 2

[A(p-ß)-B(p-ß+j-1)] j '

(16)

Сибирский математический журнал. -2016. -Том 57. - № 2. -Стр.463-468.

8. Temlyakov A.A. Integral representations of functions of two complex variables //Reports of the USSR Academy of Sciences. - 1958. -Vol. - 120. -No. 5. -Pp. 976-979.

9. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln // S. - B. Preuss. Akad. Wiss., Phys. - math. Kl. -1916. -Pp. 940-955.

10. Swadesh Sahoo, Navneet Lal Sharma // A note on a class of p-valent starlike functions of order ß. Sahoo Sharma-arXiv. July2014.tex, printed: 7-7-2021.

11. D.V. Krishna, T. Ramreddy. Coefficient inequality for certain subclass of p -valent functions // Palestine Journal of Mathematics. -V.4(1).-2015. -pp. 223-228.

12. Gangadharan. Murugusundaramoorthy and N. Magesh. Coefficient inequalities for certain classes of analytic functions associated with Hankel determinant //Bull Math Anal. Appl. -1(3) (2009). -85 - 89.

13. Al-Kharsani H. A., Al-Hajiry S. S. A note on certain inequalities for p -valent functions // J.Inequal. Pure Appl. Math. Vol. 9(3). -2008. Art. 90.

14. Aouf M. K., Hossen H. M. Certain subclasses of p-valent starlike functions, Proc. Pakistan Acad. Sci. -43(2). - (2006). - pp. 99-104.

к