Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 97-110.

УДК 517.912

НЕПОДОБНЫЕ ШЕСТИМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ НА ПЛОСКОСТИ И ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

В.О. ЛУКАЩУК

Аннотация. В работе решаются задачи построения всех неподобных шестимерных приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка от двух переменных на основе известной классификации приближенных алгебр Ли и нахождения соответствующих инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка вида y'' = F(0) (x, y, y') + eF(1) (x, y, y') + o(e).

Ключевые слова: приближенная алгебра Ли, приближенные симметрии дифференциального уравнения с малым параметром.

1. Введение

Знание группы преобразований, допускаемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволяет понижать порядок уравнения или интегрировать его. В частности, если дифференциальное уравнение второго порядка

У'' = F (x,y,y') (1)

имеет трехмерную алгебру симметрий, то С. Ли показал, что его решение может быть выписано без интегрирования. Им была проведена классификация всех неподобных трехмерных алгебр Ли на плоскости, получены соответствующие инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка (результат см., например, в [1]). В недавней работе [2] был приведен алгоритм и показано, что если в частных случаях приближенное уравнение второго порядка имеет три симметрии, то его решение, также как и в случае уравнения (1), может быть получено без интегрирования (алгебраическими преобразованиями).

В данной работе ищется общий вид дифференциального уравнения

y'' = F(0) (х, У, у') + eF( 1) (х, У, у') + о{е) (2)

второго порядка с тремя устойчивыми симметриями.

Теория приближенных симметрий была развита в работах [3], [4]. В частности, было показано, что если уравнение (2) приближенно допускает оператор вида

X = Х(о) + sX(l), (3)

где Х(о) = 0, то Х(о) является симметрией невозмущенного уравнения

у'' = F(o)(x,y,y'). (4)

В этом случае говорят, что Х(0) является устойчивой симметрией уравнения (4) относительно рассматриваемого возмущения sF(1) (x,y,y') + о(е).

V.O. LüKASHCHUK, NON-SIMILAR SIX-DIMENSIONAL APPROXIMATE LlE ALGEBRAS ON PLANES AND INVARIANT SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SMALL PARAMETRE.

© Лукащук В.О. 2009.

Поступила 25 августа 2009 г.

В данной работе рассматривается приближенная алгебра Ли, базис которой определяется тремя операторами вида (3). Согласно [5] такая алгебра Ли является шестимерной и существует 36 типов таких вещественно неизоморфных приближенных алгебр. В данной статье, на основе имеющейся в [5] классификации, строится реализация всех неподобных шестимерных приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов (3) первого порядка от двух переменных (раздел 3), ищется общий вид инвариантного уравнения относительно каждой из алгебр (раздел 4).

В работе используются следующие обозначения. Равенство f (x, є) = о(є) означает, что f (x, є)

lim--- — = 0. Под приближенным равенством f « g понимается f (x, є) = g(x,e) + о(є).

є^0 Є

2. Приближенная алгебра Ли

Введем необходимые понятия теории приближенных алгебр Ли, следуя работе [5].

Пусть и — Ж-мерное векторное пространство над полем Л, которое является алгеброй Ли с определенной на ней обычной операцией коммутирования. Рассмотрим множество ифєи = {«(о) + £И(1) : И(о),И(1) Є и,є — малый параметр} , на котором определена операция приближенного коммутирования

[«(0) + ЄМ(1),^(0) + ЄИ(1)] и [«(0)^(0)] + є ([«(0)^(1)] + [«(1) ,«(0)]) .

Такое множество и ф єи является алгеброй Ли относительно операции приближенного коммутирования.

Замечание. Введенная операция коммутирования предполагает, что полученные в результате слагаемые порядка є2 отбрасываются.

Очевидно, что если некоторое линейное подпространство Ь С и ф єи замкнуто относительно операции приближенного коммутирования, то оно также является алгеброй Ли. В дальнейшем такие алгебры Ли будем называть приближенными алгебрами Ли.

Элементы множества Ь могут быть двух типов: либо

« = «(0) + є«(1), где «(0) = 0, (5)

которые будем называть векторами нулевого порядка по є, либо

« = є«(0), где «(0) = 0, (6)

которые будем называть векторами первого порядка по є. Тогда Ь = Ь0 ф Ь1 , где множество Ь состоит из векторов типа (5), а Ь — из векторов типа (6).

В пространстве Ь вводится базис е1,... , ег, и любой вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация базисных (линейно независимых) векторов с константами, независящими от малого параметра є. Если среди базисных векторов имеется к вида (5) и (г — к) вида (6), то Ь =< еЦ0) + єе1(1),... , ек(0) + єек(1) >, а

Ь =< єек+1(0),... ,єег(0) > . При этом (Ь0)|£=0 =< е1(0),... , ек(0) > — алгебра Ли, а множество Ьг(0) =< е1(0),... , ег(0) > не обязательно будет алгеброй Ли.

Будем рассматривать преобразования базиса, при которых операторы нулевого порядка переходят в операторы нулевого порядка, а операторы первого порядка - в операторы первого порядка. Это означает, что замена базиса осуществляется по формулам

Г Г

Є = ^0ву, і =1,...,к, Є = ^ а'тет, I = к + 1,...,г,

І=1 т=к+1

где (0), і^ = 1,... , к, (0т), I, т = к + 1,... , г, — невырожденные матрицы с вещественными элементами, не зависящими от малого параметра є.

Среди приближенных алгебр Ли будем выделять такие алгебры, базис которых образуют существенные векторы.

Определение 1. Векторы в1,... ,вк называются существенными для алгебры Ли Ьг, если линейная оболочка векторов в( и єв(, і = 1,... , к, с постоянными коэффициентами, независящими от малого параметра, совпадает с Ьг с точностью до слагаемых первого порядка.

Согласно этому определению, если в алгебре Ли имеются существенные векторы в( вида (5), (6), то множество {ві,єві} образует базис в Ьг ([4]) и при переходе к новому базису достаточно рассматривать лишь преобразование существенных векторов.

На основе известных результатов классификации неизоморфных точных алгебр Ли (см., например, [6]), получаемых из приближенных при є = 0, в [5] строились неизоморфные приближенные алгебры с тремя существенными векторами. Такие алгебры Ли могут быть а) шести-, б) пяти- и в) четырехмерными с существенными векторами вида а) ві = ві(0) + єві(1),і = 1 2, 3; б) в1 = єв1(0), в2 = в2(0) + єв2(1), в3 = в3(0) + єв3(1);

в) в1 = єв1(0), в2 = єв2(0), в3 = в3(0) + єв3(1), соответственно, ві(0) = 0, і = 1, 2, 3. Было найдено 36 типов неизоморфных шестимерных приближенных алгебр Ли (см. таблицу 1). В таблице 1 приведены коммутационные соотношения существенных векторов в1, в2, в3. Остальные коммутационные соотношения могут быть получены из указанных путем умножения на малый параметр (например, [в(,єву] , і,^ = 1, 2, 3), причем [єв(,єву] и 0. Классификация проводилась в зависимости от размера производной алгебры Ь .

3. Реализация приближенных алгебр Ли в Л2

В работе рассматриваются дифференциальные уравнения (2), приближенно допускающие три существенных оператора вида

Х1 = Х1(0) + єХ1(1)> Х2 = Х2(0) + єХ2(1), Х3 = Х3(0) + єХ3(1), (7)

где Хі(0) = 0, і = 1, 2, 3. Операторы Х((0) определяют три симметрии невозмущенного уравнения (4), являются линейно независимыми и образуют базис точной трехмерной алгебры Ли. Тогда операторы (7) являются существенными операторами в некоторой приближенной алгебре Ли симметрий уравнения (2). Базис такой алгебры образован ненулевыми операторами Х1, Х2, Х3, єХ1, єХ2, єХ3, то есть приближенная алгебра Ли является шестимерной.

Найдем реализацию алгебр Ли, приведенных в таблице 1, в пространстве дифференциальных операторов первого порядка от двух переменных

д д

— (8) дх ду

таких, что (х,у,є) и С(0)(х,У) + ^О^у^ пі(х,у,є) и П(0)(х,У) + єП(1)(х,У),і = 1, 2 3, и

выделим среди них представителей классов неподобных приближенных алгебр Ли.

Процесс нахождения неподобных алгебр Ли рассмотрим на примере алгебры, относящейся к типу Ь3 1 (см. таблицу 1). Существенные операторы такой алгебры удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Х2,Х3] и Х1, [Х3,Х1] и єХ1 + єХ2, [Х1,Х2] И 0.

Заменой переменных

х = ^ (х, у, є) и ^0 (х, у) + є^1 (х, у) , д (^0, ^0)

у = ф (х, у, є) и ^0 (х, у) + є^1 (х, у) , д (х, у)

= 0 (9)

Коммутационные соотношения

[е2,е3] [63,61] [61,62]

ГО Г6,1 0 0 0

^гт V = 1

г 1 Г6,1 £61 0 0

г 1 Г6,2 0 0 £61

^гт V' = 2

Г 2 Г6,1 е1 0 0

Г 2 Г6,2 61 0 £61

Г 2 Г6,3 0 0 61

Г 2 Г6,4 £61 ±£62 0

Г 2 Г6,5 £61 + а£62 ±£62 0

Г 2 Г6,6 £62 а£61 0

Г 2 Г6,7 0 £62 £61

Г 2 Г6,8 £62 0 £61

^гт Г' = 3

Г3 Г6,1 е1 £61 + £62 0

Г3 Г6,2 61 £62 0

Г3 Г6,3 е1 £62 £61

Г3 Г6,4 £62 + £63 —£61 £63

Г3 Г6,5 а£61 + £63 £61 + в£62 £63

Г3 Г6,6 аев1 + £62 £62 £63

Г3 Г6,7 аев1 + £63 в£62 £63

Г3 Г6,8 аев2+ £63 £61 £62

Г3 Г6,9 £е1 £63 а£62

^гт Г' = 4

Г 4 Г6,1 ав2 + в^е2 —61 0

Г 4 Г6,2 ав2 —61 0

Г 4 Г6,3 е2 — 61 + £62 0

Г 4 Г6,4 е2 + аев1 — 61 + £62 0

Г 4 Г6,5 е2 + аев1 —61 0

Г 4 Г6,6 е2 — 61 — ^62 0

Г 4 Г6,7 в2 + £61 — 61 — ^62 0

Г 4 Г6,8 е1 а£62 1 = ,3 6 СО 1 — "Н"

Г 4 Г6,9 61 £62 £63

Г 4 Г6,10 61 £63 £62

Г 4 Г6,11 61 £63 £62 + а£63

Г 4 Г6,12 61 £63 £61 + £62

^гт Г' = 5

Г 5 Г6,1 — 62 + в£б2 —61 £63

Г 5 Г6,2 -62 —61 £63

^гт Г' = 6

Г 6 Г6,1 61 62 63

Г 6 Г6,2 —61 62 63

Таблица 1. Шестимерные неизоморфные приближенные алгебры Ли

один из операторов вида (8) приводится к оператору переноса

Х = -д 1 дх,

а два других удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[Хі,Х2]

дС(2о) д дП(2о) д . д£т д . дП2

+

+ є

(1)

+ е-

(1)

д

дж дх дх ду дх дх дх ду

[Хз,Хі] = -

дЄ(3о) д дП(3о) д

-е

д£(31) д

-е

дП(3і) д

дх дх дх ду дх дх дх ду

-А

дх

д

+ <о) дх + еп 20)

А

ду’

Собирая коэффициенты при — и — и расщепляя их по малому параметру е, как решение

дж ду

дифференциальных уравнений получаем условия на коэффициенты операторов Х2 и Х3: С(20) = а2 (у), П20) = & (у), С(21) = 72 (у), П21) = Х2 (у),

С(30) = а3(у^ П30) = &(у^ С(31) = 7э(у) - (1 + П31) = Хз(у) - в2(уК

где «¿(у), А(у), 7г(у), Хг(у), * = 2, 3, — произвольные функции от у.

Используя последнее коммутационное соотношение [Х2,Х3] ^ Х1, получим систему на неизвестные произвольные функции «¿(у), вг(у), 7г(у), Хг(у), * = 2, 3,

да да

Р2^------Р3_

ду 3 д в2 дй - в3

ду

ду

0,

д7;

да,3

д72

да2

(10)

— а2 — а2 + ,$2^-------+ Х2^-------^3^--------Х3 о

ду ду ду ду

в в дХ3 + дв3 в дХ2 дв2

-«2^2 + + Х2^-Р3^--------------Х3

ду

ду

ду

ду

Чтобы найти общий вид операторов алгебры Ли необходимо решить систему (10) Рассмотрим следующие частные случаи.

а) Пусть в2 = 0, в3 = 0, х2 = 0, х3 = 0. Тогда система (10) примет вид

—в3

д«2

ду

1,

2 а д72 -а2 - а2 - в3^— 2 ду

0.

После решения полученной системы относительно неизвестных функций в3,72 операторы могут быть записаны в виде

д_

дх ’

(11)

д 1 д д X = «3 —-------- ------— + е(73 - (1 + «2)^) —.

’ дх дуа2 ду

дх

Среди найденного класса приближенных алгебр выделим одного представителя. Для этого сделаем в (11) замену переменных (9)

х = х + ^о(у) + е^1(у^ у = ^о (у) + е^1(у^

0

0

0

которая сохраняет оператор переноса Х1. Выбирая функции ^о(у), ^1(у), ^о(у), ^1(у), по-

лучаем

д д д д х = эх А'2 =уэх х = -ех(1 + у)дх - (1 + е(у + »2)) 5у.

Остальные алгебры этого класса при помощи замены переменных (9) могут быть приведены к найденному представителю.

б) Пусть в2 = 0,в3 = 0,х2 = 0,х3 = 0. Тогда, действуя аналогично пункту а), получим

операторы

Х1

д

д

д

д

, ^^2 — т:~, Х3 — (у — ех) — — ех _

дх

ду

дх

ду’

Аналогичным образом можно найти все неподобные шестимерные алгебры Ли в пространстве двух переменных. Справедлива

Теорема 1. Базис неподобных приближенных алгебр Ли в Е2 подходящей заменой переменных (9) может быть приведен к одному из видов таблицы 2 (столбец 2).

4. Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с тремя существенными приближенными симметриями

Для каждой из приведенных алгебр таблицы 2 (столбец 2) можно построить вид дифференциального уравнения второго порядка (2), допускающего эту приближенную алгебру.

Рассмотрим, например, случай приближенной алгебры Ь 1 типа (1), то есть дифференциальное уравнение

у" и ^(0) (х y, у') + е^(1) (х y, у')

допускает операторы

д д д д = х~—, Х2 = ~—, Х3 = —(1 + ех + ех ) —— — (еху + еу)~—

ду

ду

дх

ду

Действуя продолженными операторами на уравнение (2) и расщепляя по степеням е, получим системы

(о) :

Г^(о) + = 0

х о + О / 0’

ду ду

дя(о) ^ 0

ду

дітг

(1) :

(о)

0.

^ = 0’ ду ду'

дЯ(1)

“я111 = 0, ду

. 2. дЯ(о) дЯ(1)

(х + х )~дх~ + + я(о) + 3хЯ(о) = 0.

. дх

Решая систему П(о), имеем

я(о) = C0,

где Со — константа.

Подставляя Яо в систему П(1) и ее, получим

3х

я(1) = С1 - Сох(1 + “2“

где С1 — константа.

Следовательно, дифференциальное уравнение, допускающее приближенную алгебру Ли ¿6 1 с операторами указанного типа (1), имеет вид

у' = Со + е (^С1 - Сох(1 + — ^ .

2

Отметим, что найденное дифференциальное уравнение, как минимум, допускает приближенную алгебру Ь 1 (1).

Замечание. Известно, что в точных алгебрах существует два типа неподобных трехмерных алгебр Ли, которые не допускаются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Это абелева алгебра

Х = -д 1 дх ’

Хз

( ) 9

а(у) 9х,

и алгебра с операторами

г\ г\

Хі = ^, Х2 = 8Іп(х) — ,

9х 9х

Хз = сов(х)^.

9х

Поэтому в случае приближенных алгебр не удается построить инвариантные уравнения второго порядка для алгебр, операторы которых являются возмущениями указанных типов точных алгебр, однако есть инвариантные уравнения третьего порядка.

Все найденные инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка приведены в таблице 2 (столбец 3). Прочерк в столбце 3 означает, что инвариантного уравнения второго порядка нет, но может быть найдено уравнение третьего порядка.

Таблица 2

Тип Существенные операторы Инвариантные уравнения

О со" 1 2 9 9 9 Хі = —, Х2 = є^(х) — + х—, 9у 9х 9у 99 Х3 = є£(х)а' ——+ а(х) —, а" = 0, £(х) = 0 9х 9у Х = 9 Х =х9 Х1 = ТТ", Х2 = х^~, 9у 9у В Х3 = (а(х) + є£(х)) —, а" = 0 9у —

<гт V = 1

со" со" 1 у д д Хі = —, Х2 = є^(х) — + х—, 9у 9х ау Х3 = е(£(х)а' — 1) ——+ а(х) —, а/; = 0 9х 9у

1 <9 д д Хі = 9/ Х =£і(х) ах +(х +еу) 9? 9 9 Х3 = є(£(х)а' — а(х)) ——+ а(х) —, а" = 0 9х 9у

<Ит V = 2

V 2 ^6,1 V 2 ^6,2 V 2 ^6,3 1 X = 9 Х = 9 Х = г9 XI = ТТ", Х2 = 7Т“, Х3 = X — 9у 9х 9у у" = Со + єС

1 2 9 9 9 Хі = тг~, Х2 = (—х + £у)^_, Х3 = тг-9у 9у 9х 9 9 9 9 Х1 = ТТ" , Х2 = (1 + єх)^ + ЄУ^Т , Х3 = х7Г“ 9у 9х 9у 9у у" = Со + є (С1 _ Соу;) у" = Со + є(С1 _ Сох)

1 2 9 9 9 Х1 = ^, Х2 = у—, Х3 = — 9У 9У 9х 9 ^ 9 9 ^ 9 Х1 = 7Т-, Х2 = х— + у—, Х3 = х — 9у 9х 9у 9у у" = Соу' + єС1у' у" = Сох-1 + єС1х-1

Тип Существенные операторы Инвариантные уравнения

Г 2 Г6,4 1 Х1 д д д = 7ч , Х2 = е£(х) — + х—, а'' = 0 ду дх ду дд = — е(1 ± х2 — £(х)а') ——+ (а(х) Т еху) — дх ду

Хз —

Г 2 Г6,5 1 Х1 д V г/ ч д д = тт-, Х2 = ед(х) — + х—, ду дх ду д = —е(±х2 + ах +1 — ¿(х)в' )^—+ д дх + (в(х) Т еху) дду, в '' = 0

Хз

—

,6 Г 1 Х1 д д д = ^, Х2 = е^(х) — + х—,в'' = 0 ду дх ду дд = е(^(х)в' — х — ах)——+ (в (х) — еау) —, дх ду

Хз —

Г 2 Г6,7 1 Х1 д д д = ^, Х2 = е£(х) — + (х + еу) —, ду дх ду д = —е(х2 — £(х)а' + а(х)) — + а -х + (а(х) — еху) —, а'' = 0 ду

Хз

—

Г 2 Г6,8 1 Х1 д д д = 5? Х =е5(х) дх + (х + еу)-? д д = — е(х — £(х)а' + а(х)) ——+ а(х) —, дх ду = 0

Хз

а'' —

^гт Г' = 3

Г 3 Г6,1 1 Х1 д Х д = , Х2 = х—, ду ду у'' = Со+

Хз = -(1+ех+ех2) -х - .(х, +у) А = — Х = — ду, 2 дх, ду д дх д = — еу-х + (х—еу) -у +е (С — Сох — § Сох2)

2 Х1 Хз у'' = Со+ +е (С1 — Соу' + |Соу'2)

Г 2 1 Х1 = ^-Х2 = 4- ду ду 2 д д = — (1+ех) -х — еху-у д ^ д ^ д д = ТТ"- Х2 = ТГ“- Хз = — еу^ + х7Т“ ду дх дх ду

2 Хз Х1 у'' = Со + е (С1 — зСох2) у'' = Со + е (С1 + зу'2Со)

Г 3 1 Х1 д ^ , д = -у х (—х +еу)-у- П ^ д д = (1 + ех2) — + еху— дх ду у'' = Со+

Хз +е ^С1 — Соу' — Соз|_^

2 Х1 д - д = я-- Х2 = (1 + ех) я—+ еу7Г-ду дх ду дд = — е^ + х^" дх ду у'' = Со+

Хз +е (С1 — Сох + Со^)

Продолжение Таблицы 2

Тип Существенные операторы Инвариантные уравнения

Г 3 Г6,4 Г 3 Г6,5 Г 3 Г6,6 Г 3 Г6,7 Г 3 Г6,8 Г 3 Г6,9 1 д д д х х = ^(х)дх +(х + еа(х)у)ду, Х3 = £(£(х)а' — а2(х) — а^))^- + д дх + (а(х) + еу)тт, а" = 0 ду

1 с) с) с) Х1 = ду, Х = ^(х)дх + (х + е7(х)у)ду, Х3 = е(7^(х) — а — х(1 + *х) — 7 (х) — 5 5 —72(х)) ^х + (7(х) — £У(1 + *х)) ^7" = 0

1 д д ' д Х1 = х2 = ^(х)^ + (х + ев(х)у)^у, Х3 = е(^(х)в' — а — х(1 + х) — ^(х))^- + д дх + (* (х) — еху) ду,в" = 0

1 д ' д д Х1 = ду, Х2 = ^(х)дх + (х + е7(х)у)ду, X = е(^(х)У — а — 7 (х)(1 + 7 (х)) — <9 <9 —вх2) дх + (т(х) — евху) ду’7" = 0

1 д д ' д Х1 = Х2 = ^(х)т;—+ х(1 + £у)тг-, у х у Х3 = е(^(х)7; — х(1 + а + 7(х)) — д д —7(х)) ^ + (7 (х) — ^) ^т" = 0

1 д д ' д X = —-, X = е$(х)— + (х + еаху) —, у х у д Х3 = е(^(х)в' — х* (х) — 1 — ах*(х)) ——+ д дх +в (х)(1 — еу) д^у, в' ' = 0

Г' = 4

Г , 1 2 X = д Х = гд XI = ТТ", х2 = х^~, у у Х3 = х(1 — а — ^*) дх + уду х = д х = д Х1 = ^г“, Х2 = ТТ", х у 9 алд = х~дх + а + ) ду а =1, У = 0, , .. 1 —2а а =1, у = Сох а—1 + +“■*( с- С:*-",1:’) а =1, у" = 0, .. .а —2 , а =1, у = у а—1 (Со+ +.С1+^ ^ >) (1 а)2

7Г

ду,

я я

£х(1-«^__----+ х(1-а)(1 — е* 1п(х)) —,

_х ду

д д . п х^- + у^г, а = 1 _х ду

„ _"С0 ау^.

у = ~х х~+

Х1

Х2

Х3

е

(аС° — С1+

х( а 1)

/(Со — 2аСо + * (1 — а)) + +а(2а — 1) ^

д Х = х д —, х2 = ду ду

дд (1 — “)хах + уду

— Х = —

_х , 2 ду,

дд х— + ау—

дх ду

д х = ех1-“ д + х1-“ д

—, х2 = ех т;—+ х 7; ,

ду дх ду дд хТТ + ^,а = 1

дх ду

Г4

Г 6,

Х1

Х3

Х1

Х3

Х1

Х3

а =1, у'' = 0,

а =1, у'' = х~

а =1, у'' = 0,

а = 1 у'' = у' “—1 (Со + еС1)

у« = Со — ау'+

,/2'

—, Х2 = х—,

ду ду

_ех2_^ + у<! " ех>ду

— Х = —

_х, 2 ду,

х_- + (у — ех)

дх ду

/С1 2а — 1 / ' у

+Ч~хг + хст—а) г°у — ат

Г4

Г 6,3

Х1

Х3

Х1

Х3

у'' = 0

у'' = 0

д Х = х д —, Х2 = ду ду

- ф2+_х+,(1—ех) _у

— Х = -

_х, 2 ду,

дд

(х +еау) _х + (у —ех) _у

Г4

Г6,4

Х1

Х3

Х1

Х3

у'' = 0

у'' = 0

-1г— д

— , Х2 = х—,

ду ду

дд —еая—+ у7Т

дх ду -д Х = -д ду, 2 дх,

д . . д

х_х + (у+еахж

Г4

Г 6,5

Х1

Х3

Х1

Х3

у'' = 0

у'' = 0

д Х = х д —, Х2 = ду ду

*х2дх+у(1+*х) _у

— Х = —

дх, 2 ду,

х_х + (*х+_у

Г4

Г 6,6

Х3

Х1

Х3

у'' = х 3е вх (С°

у'' = е-ву

3

1

а —1

2

3

1

2

1

2

1

2

2

о

ха д у 3 — д д

Х1 = , Х2 = ех е вх — + х—,

ду дх ду

у

С°е вх

+

х3

Х3

2 + е*х3уе т_- +

дх

д

'2 ^ По 1

+еу е вЧ * — 3х — 2х*2

+

+ (1 + *х)утГ

ду

х х2 *

х3

-------------------------Г~------------------------------------

е вх

у'' = 3- (С° + еС1 +

Г4

Г6,7

Х = д Х = х_

Х1 = ТТ", Х2 = хТГ~,

ду ду

дд Х3 = (*х2 — е) _ + у(1 + *х) 7^-Х = д Х = д Х1 = ТТ“, Х2 = 7Г~,

_х ду

дд Х3 = (х + еу) _х + (*х + у) _у

X'

+еС°(

3

3

1

2*х2 3*2х3

у'' = С°е-7 +

+ее в ( С1 — ТС°2 у'3

3*2

3С° '2 1*у

д

д

д

Х1 = —, Х2 = ех3е вх ——+ х—

ду

Х3

_х ду

1 \ д

+ е(*х3уе ^ — 1)^ ——+

у

С°е-вх -вх ( С°

---5----+ ее вх — ——7 +

х3

3*2х6

+!^+еС° 3у;—

д

+ (1 + *х)у^

ду

2*х5

е

Х = д_

1 _y,

дд Х2 = а(1 — а)еу— + х—, а =1 _х ду 2 д д

Х3 = — (1 + еах2) —-----------еаху—

_х ду

дд Х1 = , Х2 = (1 + еа(а — 1)х2) д—+

д

+еа(а — 1)ху—, а =1

ду

дд Х3 = — еау— + х—

_х ду

х2*

х3

X

— еу'2е вх ( 3х — — +

2

1

* 2х*у

Г4

Г 6,8

у'' = С° + еС1—

3

—е ^ аС°(х2 + (1 — а) у'2)

у'' = С° + еС1+

+е ( 2аС°(у'2 — (а — 1)х2)

д ^ ^ д д-

Х1 = ТГ~, Х2 = (1 + ех ) д-------------+ еX^я_,

ду _х ду

дд Х3 = — еу ^ + х7Т“

_х ду

Г4

Г6,9

Г4

Г6,1°

у'' = С°+

+е ( С1 + 2 С°(у' — х )

"д х2 д

Х1 = ду, Х = — еТ _х +

дд

+х(1 +еу) _у-Х3 = —(1 — еу) _х

дд

Х‘ = ду' х'2 = (1 +еу)_х-

х2 д д

Х3 ~ ет _х+х(1—еу) _у

у'' = с°+

3

+е ( С1 + 3С°ху' + 2у'2

у'' = с°+

+е ( С1 — 3С°ху'— 2у'2

3

1

)

2

3

2

1

1

2

1

1

2

Х = —

1 ду’

{ т2 \ д д

Х = е(“'у + т) дТ — т(1 + еу)зу

д

Хз = (1 - еу) ^

Х = д.

1 ду’

Г 4 Г6,11

Х2 = (1 + еу + еат2)-—+ аету—

5т

т2 д д

Хз =еТ дТ + (т — ету) ду

1 ду’

V М , NN д д

Х = (1 +е(т + у)) дТ + еуау-

т2 д д

Хз =ет дт + (т — ету) ду

Х = д_

1 ду’

т2 5 д

Х2 = еТ ат - (т - еу +ету) дУ

д

Хз =(1 — еу) аГ

у'' = Со + еС1 +

3

+е ( 3Сожу; + ^У2(1 + аСо)

у" = Со + еС1 +

+е ^ — 3Соту' — ^У/2 - ^Соат2

Г4

Г 6,12

У" = Со + еС1 +

+е ( — Сот — 3Соту; — 2 У/2

у" = Со + еС1 +

3

+е ( — Со у' + 3Соту; + 2 у /2

^гт Г' = 5

Х = _д 1 ду’

д / 2 у2

Х2 = етуат + т + е7—

Г 5

Г6,1

—евт21п(у)) —, Хз = т— + у—

Х = А

1 ду’ Х2 = (1 —

Хз = (ев

5у

дт ду

Х = _д.

1 ду’

д , У д

5т + 2 ду’

д д

15т + уду

у/ = (у + Со) +

т

+- ( С1 — 1 у/3 — 3 у'2 Со — ву

т

1 /3 3

_у — ~1 2У 4'

у" = Соу'3 +

+е ^у'2 + 4 СотУ2

+е ^3жу'2 — 4 Сову3 1п(у')

Г5

Г 6,2

Х2

д

2 у2

етудт + 1т + ет

^<9 3

Х3 = тя“ + утт дт ду

Х = А

1 ду’

,8 у2 5

Х2 = (1 — ету) дт + е1Г ^’ д д Хз = —тя + у7Г

________дт ду__________

д_

5у’

у/ = (Со + у/) +

т

+ - ( С1 — 1 у/3 — 3 у'2 Со

т

1 /3 3

— у — —'I

2У 4'

у" = Соу' 2 + +^С1у/2 + 3 Сот2у'2 + 3ту'2

1

2

1

2

1

2

1

Продолжение Таблицы 2

Тип Существенные операторы Инвариантные уравнения

dim L' = 6

i-H <N CO со" со со" 1 v - д д Xl = <1+х) dx + худу’ X д д X2 = yTj дх ду ^ д , 2A д X = -худх - (1 + у) дУ у„ = С fi + у2 + у2 <1 + х2) у \ 1 + ж2 + у2 2хуу' \3/2 _ 2 - 2хуу' 1 + 2 + 2 ) 1 еС4 1 + 2 + 2 + 1+ х2 + у2 у \1 + х2 + у2 , 1 + у2 + у2 <1 + х2) \3/2 1 + х2 + у2 /

1 2 3 4 X = д 1 дх’ дХ д X2 = Sin<x + у) — + а<у) cos<x + у) д + cos2 (у) ду’ д Хз = cos(x + у) дх - а<у) sln(x + у) д cos2(у) ду 2 д д Xl = (1+ х) дх + хуау д <9 Х2 = у^~ + X—’ дх ду ^ д , 2ч д хз = -ху^- + (1 - у ) тр дх ду X = д 1 ду’ д X2 = <cos<y) - ее 2х cos<y)) — + ду д + sin<y)д“’Хз = <- Sln<У) + д д +ее 2х sln<y)) ду + cos<y)дх X = д 1 ду’ д X2 = <cos<y) + ее 2x cos<y)) -—+ ду д + sin<y)д“’Хз = - <sin<y) + д д +ее 2y sln<y)) ду + cos<y)дх „ С 2у2 - 1+ у2 <1 + х2) у = 1 + х2 - у2 2хуу' \3/2 ( - 2хуу' 1 I 2 2 ) + еС^ | 2 2 + 1 + х2 - y2 1 + х2 - y2 , у2 - 1 + у'2 <1 + х2) \3/2 1 + ж2 - у2 / у" = 2 + у'3(Сое2* - 2) + +ее-2х (-4у +2у'- 2т) + +еу' <Cie2xy'2 + у2 Со + 3Со) у'' = - | + у'3 (-1 + Сое2^ + +ее-2* (4у -v+уг)+ +еу' <-у'2Со + у'2Cie2x + 3Со)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности, в математической физике // Успехи математических наук. Т. 47, вып. 4(286). 1992. С. 84-144.

2. Yu.Yu. Bagderina Sollution of ordinary differential equation with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. V. 30. 2002. P. 287-294.

3. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. Т. 29. № 10. 1993. С. 1712-1732.

4. V.A. Baikov, R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov Approximate transformation groups and deformations of symmetry Lie algebrasn// CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 3. CRC Press, Boca Raton, Florida. 1996. 536 p.

5. Р.К. Газизов, В.О. Лукащук Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром с тремя существенными симметриями // Труды международной конференции MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений"(18-22 июня 2009): Уфа. 2009. С. 13.

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир. 1964. 355 с.

Вероника Олеговна Лукащук,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]