CC BY
3
УДК 519.2
Гусев А. Л.
док. тех. наук, профессор ФГБОУ ВО ПГНИУ, г. Пермь, РФ Ерёмин И.В., аспирант ФГБОУ ВО ПГНИУ, г. Пермь, РФ Мочалина В.С., бакалавр ФГБОУ ВО ПГНИУ, г. Пермь, РФ
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ФИЛЬТРА ДЛЯ ВИБРОСИГНАЛА
Аннотация
В настоящей статье описан принципиальный алгоритм построения фильтра для очистки вибросигнала от шума на основе непараметрического подхода. Авторы алгоритма приходят к выводу, что фильтр должен иметь три типа очистки вибросигнала от шума: грубая очистка, средняя очистка и тонкая очистка. В некоторых случаях могут быть использованы только два типа очистки.
Ключевые слова: грубая, средняя и тонкая очистка вибросигнала, сглаживание, вибродиагностика, центрированное скользящее среднее.
Введение
Начиная с середины 90-х годов и по сегодняшний день, вибродиагностика является передовым комплексным подходом для выявления дефектов оборудования, т.к. все агрегаты, имеющие движущиеся части, производят вибрацию. При этом каждое оборудование имеет свой специфический вибросигнал, зависящий от его конструкции и состояния. Если состояние агрегата во время эксплуатации меняется, то меняется и его вибросигнал. Таким образом, изменение поведения вибрации может использоваться для обнаружения зарождающихся дефектов до того, как они станут критическими.
Затруднением при анализе вибрационного сигнала является наличие в нем случайной нерегулярной составляющей, иначе говоря, шума [1,2]. Причиной появления шума могут служить срок эксплуатации агрегата, особенности его внутренних механизмов и/или процессов (механических, гидравлических и т.п.), внешние факторы и т.д.
Однако на сегодняшний день не существует технологий выявления и устранения шума, обеспечивающих качественную фильтрацию данных, в связи с его сложно идентифицируемой природой и причиной возникновения [3].
1. Общая постановка задачи
Пусть XI - наблюдаемый вибрационный сигнал, регистрируемый один раз в квант времени (секунда, минута, час и т.д.); - скорректированное (очищенное от шумов) значение сигнала х¿. Наблюдения ведутся Т квантов времени. Можно считать, что за Т квантов времени были зарегистрированы следующие пары значений двух переменных: (х1,у1), (х2,У2), ■ ■■, (хт>Ут).
Тогда у(х) можно представить как многочлен следующего вида:
У1 = !к=о акх? + еь
где I = 1,2,... ,Т; m - неизвестная степень полинома; а0, а1,..., ат - неизвестные коэффициенты многочлена; ei - остаточный показатель вибрации (шум). Это классическая непараметрическая задача.
Основная составляющая вибрации вычисляется следующим образом: = yt — е^ где - основная составляющая вибрации в i-ый момент времени; - значение сигнала, полученное при помощи построенной модели (полинома), в i-ый момент времени; ei - выделенный шум в i-ый момент времени.
Заметим, что из эмпирического опыта следует, что вибросигналы, как случайные величины, обладают некоторым неизвестным (неизученным) распределением. Кроме того, процесс получения вибросигналов с датчиков не является «идеальным»: в ходе него могут случаться сбои, замыкания и т.д., в результате чего на выходе получаем «дефектные» сигналы, поэтому по мнению экспертов, такие сигналы не должны рассматриваться наравне с остальными сигналами и участвовать в анализе вибросигнала. Если же необходимо увидеть приблизительную динамику изменения сигнала (тренд), а его значения при этом сильно колеблются, то необходимо сделать его сглаживание. Для выделения тренда вибросигнала могут быть рассмотрены разные сглаживающие функции.
2. Понятие среднего значения для построения алгоритма
Пусть N - количество сигналов; п - ширина окна сглаживания (количество сигналов в одном
наблюдении); к = - количество наблюдений длины п; г = (N — кп) - количество наблюдений в (к + 1) наблюдении длиной меньше п ; К = к+1 - количество всех наблюдений; Xi - рассматриваемый сигнал, в окрестности которого находится среднее; yj - средне арифметическое сигналов в j - наблюдении, вычисляемое по следующей формуле:
( iy=n(j-v+ixP 1<j<k
' \±I.J=n(J-l)+lXP k<j<k + l
Тогда среднее арифметическое - это такая функция, которая каждому значению xt ставит в соответствие среднее арифметическое уу, где yj - наблюдение, в которое входит xt.
Пусть N - количество сигналов; п - ширина окна сглаживания (количество сигналов в одном наблюдении); xt - рассматриваемый сигнал, в окрестности которого находится среднее; yt - сглаженное значение сигнала х^ вычисляемое по следующей формуле:
_ ^Ylj^Xi-j+ъ n<l<N
У1= Ijlit1*!, Ki<n — 1
Тогда простое скользящее среднее - это такая функция, которая каждому значению xt ставит в соответствие среднее арифметическое yt следующим образом: а) если выполняется неравенство n < i < N, то yi рассчитывается как среднее арифметическое (п — 1) предыдущих сигналов и рассматриваемого i-ого сигнала; б) если выполняется следующее неравенство 1 < I < (п — 1), то yi рассчитывается как среднее арифметическое (I — 1) предыдущих сигналов и рассматриваемого i-ого сигнала.
Пусть N - количество сигналов; п - ширина окна сглаживания (четная); Xi -рассматриваемый сигнал, в окрестности которого находится среднее; yt - сглаженное значение сигнала Xj, вычисляемое по следующей формуле:
Zplxj, Ki<\
Xj=N-n*J, N— ¿+Ki<N
Тогда центрированное скользящее среднее - это такая функция, которая в соответствие каждому
значению Xi ставит в соответствие среднее арифметическое у^ следующим образом: а) если выполняется
п
следующее неравенство 1 < i < -, то yt рассчитывается как среднее арифметическое n + 1 первых
сигналов, включая i-ый сигнал; б) если же будет выполнено неравенство |+1<1<N— j, то yt
. п п
рассчитывается как среднее арифметическое - предыдущих сигналов, - последующих сигналов и
П
рассматриваемого i-ого сигнала; в) если выполняется неравенство N— -+l<i<N, то yt рассчитывается как среднее арифметическое (п + 1) последних сигналов, включая i-ый сигнал.
3. Основные принципы построения фильтра для вибросигнала
Фильтр должен предусматривать три основных типа (этапа) очистки вибросигнала. Первым и важным этапом очистки вибросигнала от шумов является грубая очистка - метод, при помощи которого удаляются «некорректные» («дефектные») сигналы, мешающие анализу изучаемого процесса. Под «некорректными» сигналами будем понимать сигналы, сильно отличающиеся на некотором интервале от среднего значения на этом интервале и/или равные нулю. В основе метода грубой очистки можно использовать следствие из теоремы Чебышева, которое устанавливает, что для любого произвольного распределения случайной величины вероятность случайной величины X попасть в
1
интервал (т — ка;т + ка) равна (1 — где т - математическое ожидание случайной величины; а - стандартное отклонение случайной величины; к - произвольное число больше единицы.
Для очистки вибрационного сигнала, предварительно усредненного некоторой сглаживающей функцией, от «некорректных» значений можно использовать следующее правило: каждый сигнал xt, выходящий за границы интервала (m.i — ka^m-i + ка{) или равный 0, удаляется. Здесь m.i - среднее на интервале сглаживания для х^ - выборочное стандартное отклонение на интервале сглаживания для Xi, а выбор коэффициента к производится экспертом путем оценки количества «некорректных» сигналов, в дальнейшем определяется алгоритмом при помощи критерия.
Вторым этапом очистки сигнала является средняя очистка - метод, при помощи которого происходит корректировка сигнала с целью выделения его тренда. Этот шаг основан на предыдущем и имеет следующие отличия. Сигнал xit не попадающий в интервал (m.i — ka^ m.i + ka^, корректируется следующим образом: а) если значение вибросигнала Xi превосходит правую границу интервала равную (m.i + кац, то сглаживаем xt его до (m.i + kffi); б) если значение вибросигнала xt меньше левой границы равной (m.i — ка^, то сглаживаем Xi до (m.i — ko{). Очистка может быть выполнена более одного раза, при этом функция сглаживания и коэффициент к могут быть выбраны иные по сравнению с предыдущей(-ими) итерацией(-ями).
Третьим необходимым этапом очистки является тонкая очистка - метод, который позволяет отобразить реальное поведение сигнала путем его корректировки, поскольку после предыдущего этапа получаем некоторую сглаженную кривую, отображающую «идеальную работу» вибросигнала, которая отличается от реальной. В основе тонкой очистки можно положить идею приближения сигнала к естественным статистическим характеристикам: среднему и стандартному отклонению. Для этого можно использовать следующий алгоритм:
1. Сигналы после средней очистки сглаживаются некоторой функций. При этом для каждого вибросигнала находятся его среднее значение m.i и стандартное отклонение на интервале сглаживания.
2. Сигналы (данные) делятся на к групп.
3. По каждой группе находятся среднее ту, стандартное отклонение оу и коэффициент вариации
К вариацииj.
4. Выбирается способ очистки сигнала, на основе которого данные в каждой группе корректируются.
Способы группировки данных могут быть основаны на оценке коэффициента вариации, характеризующего изменчивость результатов и рассчитывающегося по следующей формуле: Квариации =
а — Ii
-, где а - стандартное отклонение; х - среднее значение. На предположении, что с ростом количества
X
сигналов в группе сначала будет наблюдаться заметное убывание значения выбранного показателя, а затем его увеличение или колебание около некоторой величины, в качестве естественного критерия остановки можно выбрать первый локальный минимум.
Пусть N - количество сигналов; к - оптимальное количество сигналов в группе; ктах -максимальное количество сигналов в группе (может быть не задано). Тогда группировкой данных с динамическим размером назовем такое разделение данных, при котором: а) все сигналы могут быть сформированы как в равные по размеру группы, так и различные; при условии, что ктах задано, размер любой группы kj < ктах; выбор оптимального количества сигналов происходит для каждой группы на основании критерия, описанного выше.
Идея корректировки данных без весовых коэффициентов заключается в том, чтобы представить сигнал Xi как сумму следующего вида:
(m.j + kat, Xi > m.j \m.j — kobXi < m.j ,
где xt - скорректированный сигнал х^, m.j - среднее из сигналов группы, в которую входит xt; 07 -стандартное отклонение на интервале сглаживания; к - некоторое произвольное число.
Идея корректировки данных c весовыми коэффициентами заключается в том, чтобы представить сигнал Xi как сумму следующего вида:
^ = (т; + k Y^» an an, xt > т} ^ = ^ 1 \mj — kYn=ixanan,Xi< т{ П:1 п где xt - скорректированный сигнал xt; m.j - среднее из сигналов группы, в которую входит xt; оп -стандартное отклонение на интервале intn, в который входит сигнал х¿; ап - некоторый коэффициент при оп; птах - максимальное количество коэффициентов и интервалов соответственно; к - некоторое произвольное число. При этом нужно брать однонаправленные интервалы различной длины. Ближнему (наименьшему по длине) интервалу сопоставлять наибольший коэффициент.
Для поиска неизвестных коэффициентов а0,а1, ...,ат модели степени т можно использовать метод наименьших квадратов, т.к. он хорошо изучен и качественно разработан для практического применения. В качестве оценки модели (определения степени полинома т) можно взять скорректированный коэффициент детерминации, рассчитывающийся по следующей формуле: RcKOpp. =
1 — ^j-^(l — ß2), где к - количество параметров; N - количество сигналов; R2 - коэффициент
детерминации, который вычисляется по формуле: R — 1 — „'¡¡f1 1 '2, где yt - реальное значение; уг -
оценка реального значения при помощи полинома; yt - среднее арифметическое реальных значений.
Критерий остановки увеличения степени полинома можно задать следующим образом: (^cKOpp.i+1 — Ксшрр^) < £, где £ - некоторое произвольное число; Rcwpp^ - значение скорректированного коэффициента детерминации для полинома степени i; - значение скорректированного
коэффициента детерминации для полинома степени (I + 1). Далее необходимо увеличивать степень полинома до тех пор, пока выполняется неравенство, т.е. скорректированный коэффициент детерминации увеличивается не меньше, чем на £. При первом невыполнении неравенства фиксируется значение I, которое и является степенью полинома.
Заключение
С помощью непараметрического подхода для построения фильтра вибросигнала с целью выделить шум можно добиться очистки сигнала до разумной заданной точности. Это достигается возможностью неоднократного применения фильтра для вибросигнала с различными параметрами и в различных сочетаниях этапов грубой, средней и тонкой очистки.
Список использованной литературы:
1. Гусев А.Л., Румянцев М.А. Диагностика на основе классификации вибрационного сигнала// г. Пермь, 2020.
2. Розенберг Г.Ш., Модорский Е.З., Голуб Е.С., Виницкий М.Л., Поросенков Ю.В., Таджибаев А.И. Вибродиагностика — СПб., ПЭИПК,2003.
3. Гусев А.Л., Ерёмин И.В. Построение теоретической аварии по наблюдаемому вибросигналу //Международный научный журнал «Символ науки» - # 4-2/2023.
© Гусев А.Л., Ерёмин И.В., Мочалина В.С., 2023
