Неосесимметричные собственные колебания ортотропных тонкостенных цилиндров переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Э. В. Антоненко, С. С. Иванов

НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Колебания систем с переменными характеристиками представляют большую и сложную проблему. Поведение таких систем зависит от величин частот собственных колебаний. Теоретические основы их расчёта разработаны [1 - 5] и сводятся к отысканию собственных значений дифференциальных уравнений. Математические модели, основанные на классической теории оболочек, не позволяют получить аналитических зависимостей для расчёта собственных частот.

Для неосесимметричных оболочечных колебаний, как наиболее вероятных по сравнению с осесимметричными и изгибными балочными колебаниями, предлагаются упрощенные математические модели, позволяющие вычислять собственные частоты рассматриваемых систем.

Рассмотрим колебания тонкой цилиндрической оболочки из анизотропного материала с переменной толщиной 8(х) вдоль оси оболочки х. Используем энергетический метод в форме, представленной в работах [6, 3]. Сделаем следующие допущения: справедливы закон Гука, гипотезы Кирхгофа-Лява и гипотезы отсутствия сдвигов в срединной поверхности и нерастяжимости в окружном направлении; диссипации энергии нет.

Энергию оболочки представим в виде

' 1 Г

и = \Гс1х, Г = +ах5хех +р8(>Ы + п> + ии)]1М(р. (1)

о 2

В (1) потенциальная энергия деформации представлена энергией изгиба и депланаций поперечных сечений, работа внешних сил - силами инерции на радиальных окружных V, и продольных и перемещениях. Точками обозначены производные по времени Штрихами будем обозначать производные по осевой координате х.

Зададим радиальные перемещения т-го тона колебаний в виде

00

уфс,ср,/) = ]Гуп(;с)со8лф-зта)г, (2)

п=2

где со - частота собственных колебаний. Все усилия и перемещения выразим через радиальные перемещения и- [6]. В результате из (1) получим следующее выражение:

л

У + 1 я2

УК*)—+

[пЯ сое2 со/,

в* 12(1-ц,цф)"

Из уравнения Эйлера-Лагранжа вариационной задачи на одном периоде колебания

дГ

8Г

йх1

дг

= 0

с учетом (3) получим дифференциальные уравнения задачи

IV! \ ~Ь'(х) „г \ Г5"(дг) со^р^) „/ ч 5'(х) ю2р ,/ \

5(х)

8(х)

Нх) Ех

Ех1165(х)

ЕЛ

(4)

Ч/„(*)=0.

Из этой математической модели собственных колебаний как частные случаи следуют известные уравнения для ортотропных и изотропных оболочек с постоянной толщиной [2, 3, 5, 6].

Для расчёта собственных частот предлагаем модель задачи, вытекающую из закона сохранения механической энергии за один период, что соответствует ситуации Г„=0 в (1)

п Л п п

1Р

(5)

¿г

В качестве функций \)/п(;с) можно использовать фундаментальные балочные функции [2], соответствующие граничным условиям. Для ситуации

§(х) = 5■

(6)

из формулы (5) получим

где а - параметр, учитывающий граничные условия и номер тона колебаний [6]. Для шарнирного опирания краев оболочки а=тп (т= 1, 2...).

Зависимость коэффициентов неоднородности К\ и К2 от показателя изменения толщины с приведена на рисунке.

К 1,8

1.6 1,4 1,2

1

0,8

0,6

0.4.

0,2

-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0.4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 с

Расчёты минимальных собственных частот для гладких изотропных оболочек в ситуации (6) при шарнирном опирании краёв методом вариации произвольных постоянных при трёх приближениях по первой и второй модели практически совпадают. Объём расчётов по первой модели во много раз превышает объём вычислений по второй модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965.

2. Власов В. 3. Избранные труды: В 3 т. Т.1. М.: Изд. АН СССР, 1962.

154

Ъ.КанС.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966.

4. Крысъко В. А., Куцемако А. Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек. Саратов, 1999.

5. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Госстройиздат, 1961.

6. Антоненко Э. В. Частоты свободных колебаний гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек с упруго закрепленными краями // Прикладная механика. 1989. Т. 25. №8. С. 122-126.

УДК 539.3

В. Л. Березин, Ю. П. Гуляев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ С ЛОКАЛЬНЫМИ ЖЁСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Контактные задачи в упругих средах с локальными тонкостенными включениями относятся к классу наиболее сложных задач теории упругости. Основные математические подходы к решению подобных задач изложены в монографии [1].

В данной статье предлагается простой подход к решению сложной контактной задачи взаимодействия неоднородного упругого массива с абсолютно жесткими элементами, находящимися как на поверхности массива, так и внутри него. На практике такая задача возникает при изучении напряженно деформированного состояния (НДС) в рулоне сена при перемещении его с помощью захватного механизма погрузчика.

Сформулируем эту задачу. Имеется рулон сена длиной Ьг, радиуса Я, со средним удельным весом уг, который поставлен на торец. В него внедрены зубья захватного механизма в торец и в боковую поверхность (см. рисунок). При подъеме рулона манипулятором погрузчика на поверхности контакта рулона с зубьями и несущими элементами за- Схема захвата рулона

хватного механизма возникают напряжения под действием веса рулона.

155

-——-\ ЕгрШШЯ

1 [ ! гЛ у1

1х2

^¡ч 1

1 1