Научная статья на тему 'НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ КАК ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ'

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ КАК ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
54
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ / НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ / ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ерофеев С.Е., Соловкина И.В.

В статье приводится один из возможных вариантов исследовательской работы по математическому анализу.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

INDEFINITE AND DEFINITE INTEGRAL IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS AS ONE OF THE AREAS OF RESEARCH

The article provides one of the possible research options for mathematical analysis.

Текст научной работы на тему «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ КАК ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ»

УДК 517.4

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ КАК ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ INDEFINITE AND DEFINITE INTEGRAL IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS AS ONE OF THE AREAS OF RESEARCH

Ерофеев С. Е., студент Соловкина И. В., канд. пед. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск kapitan_rus04@mail.ru, sol0903@mail.ru

Аннотация. В статье приводится один из возможных вариантов исследовательской работы по математическому анализу.

Ключевые слова: математический анализ, неопределенный интеграл, определенный интеграл.

Abstract. The article provides one of the possible research options for mathematical analysis.

Key words: mathematical analysis, indefinite integral, definite integral.

Курс математического анализа имеет очень много разнообразных тем, тем не менее, одними из базовых разделов являются неопределенный и определенный интеграл. Для ученика обучающегося как в школе, так и для студентов обучающегося на первом курсе может возникнуть проблема, в освоении данного материала. Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический характер. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека, так например, в геометрии, физике и других науках.

Для рассмотрения основного материала вводятся базовые понятия:

1. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс нахождения функции по заданной производной, называют интегрированием.

2. Термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f (x) «производит на свет» новую функцию у' = f (x). Функция у = f (x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у' = f (x), первичный образ, или первообразная [1].

3. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

4. Площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций у = f{x), у = непрерывных на отрезке [fl;t>] выполняется неравенство g[x) £ f(x)r вычисляется по формуле

ь

а

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций типа той, но и плоских фигур более сложного вида (см. рисунок).

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у = х — 2 и параболой V = х2 — 4х + 2.

Решение. Прямую у = х — 2 можно построить по точкам (2; 0) и (0{ -2).

Абсциссу вершины параболы найдем из условия уг = 0. Имеем:

Если х = 2, то у = 2: - 4 * 2 + 2 = -2. Значит, вершиной параболы случит точка а

осью параболы — прямая х = 2- Возьмем две пары точек, симметричных относительно оси параболы: (1; —1) и

( Ь: -1), i.O; 2 ■ и : 4; 2), и построим параболу по пяти точкам.Параболы и прямая пересекаются в точках А и В, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение х2 — 4.V + 2 = х — 2. Находим последовательно: х- — 5.1' + 4=0; Jti = 1; .V; = 4-

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у ~ х2 — 4.г + 2 (снизу) и у = X — 2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми х а 1 и х = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (2):

4 4

/ L

~ \ 2 3 411 |l ~ 1 * 2 3 " 4 * " 1 * 2 " 3 " 4*~ 4' '

Ответ: S = 4.S.

Таким образом, основные положения, связанные с интегралами в школьном курсе математики, представляют собой одно из мощных орудий исследования.

Библиографический список:

1. Атаманова, В. Первообразная / В. Атаманова // Первообразная и интеграл. - URL: https://www.sites.google.com/site/pervoobraznaaiintegral/ (дата обращения: 29.05. 2020). - Текст: электронный.

2. Аверьянов, Д. И. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы / Д. И. Аверьянов, П. И. Алтынов. - Москва : Дрофа, 2002.

3. Евстафьева, В. Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных / В. Ю. Евстафьева. - Москва : Дрофа, 2000. - 414 с.

4. Темербекова, А. А. Методика обучения математике: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - 352 с.

УДК 372. 851

К ВОПРОСУ О ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ФУНКЦИИ TO THE QUESTION OF THE HISTORY OF THE DEVELOPMENT OF FUNCTIONS

Кречетов Н. А., студент Соловкина И. В., канд. пед. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск krechetovnickolay@yandex.ru, sol0903@mail.ru

Аннотация. В статье рассматривается вопрос о истории возникновения понятия функции.

Ключевые слова: история понятия функции.

Abstract. The article discusses the history of the concept of function.

Key words: history of the concept of function.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости начинается из глубины веков. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. Изучение поведения функций является важным разделом математики.

Реальные процессы в жизни обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Поэтому изучение функций является актуальным всегда, поскольку исторические факты помогают осознать важность изучения поведения функции, дают возможность рассмотреть различные методы и подходы для решения задачи.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Французский ученый Николай Оресм (14 в.) стал одним из первых рассматривать функции, зависящие от двух или трех переменных. Он выделил три типа ка-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.