Неоднородные марковские системы с медленно меняющимися параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ

а і

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.23

НЕОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ

ГЕРАСИН C.H.

Рассмотрены неоднородные динамические системы без последействия. Приведен алгоритм сведения таких систем к системам меньшей размерности, основанный на процедуре блок-диагонализации матрицы системы уравнений Колмогорова. Это позволяет редуцировать сложные модели к таким, которые имеют меньшие параметры размерностей.

В настоящее время при математическом моделировании различных динамических систем часто приходится иметь дело с неоднородными системами без последействия, параметры которых мало меняются с течением времени. Поведение таких систем хорошо описывается неоднородными процессами Маркова. Изучение различных свойств неоднородных марковских процессов с конечным числом состояний приводит к анализу и решению системы уравнений Колмогорова, например, прямой [1]:

dpij(s,t)

—д------= Е Pik(St)^kj(tX 1,k,i = 1..., П (1)

где s < t . Здесь параметр s фиксирован, поэтому, хотя выражение (1) имеет вид системы в частных производных, по существу — это обычная система дифференциальных уравнений для переходных вероятностей

Pj(st) = Е P0Pij(s,t) = P($(t) = j) . i

Таким образом, приходим к прямой системе Колмогорова для вероятностей состояний. Параметр s, не изменяя общности, можно исключить:

Р j(t) = Е pk(tkj(t) . (2)

k

Система (2), как правило, не разрешима аналитически, но нас будет интересовать поведение ее решения при достаточно больших t. Кроме этого, будем предполагать, что элементы матрицы

Л(^ = (Л,kj) меняются медленно, что с физической

точки зрения означает близость уравнения (2) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для решения таких систем применяется специальная техника асимптотических решений [2]. Запишем (2) в матричном виде:

y'(t) = As ($)y(t), $ = в t, (3)

где y(t) = (a(0,...,p„(t))T; Ab(t) = ЛТ(t); в —

малый параметр. Наличие малого параметра в объясняется тем фактом, что медленно меняющаяся переменная $ может быть представлена в виде $ = в • t.

Предположим, что матрица Ав ($) допускает разложение в асимптотический ряд

А($) = ZsnAn($), 0.

n=0

Пусть существует невырожденная матрица Р0 ($) , такая что

Po-1($)Ao($)Po($) = Bo($) =

b0‘($)

Л

0

b22($)J

Здесь матрица в01($) имеет собственные значения А,11($), i = 1,..., r , не совпадающие с собственными значениями А."22($), i = r +1,..., n матри-

0

Pij(s,t) = P($(t) = j| $(s) = i) .

Коэффициенты матрицы Л(t) = ||Л.kj(t)|| определяются как производные от коэффициентов матрицы P(s,t) = ||pij(s,t)|:

цы b22 ($) . Существование такой матрицы P0 ($)

гарантируется теоремой Сибуйя о блок-диагонализа-ции матриц [2]. Таким образом, исходная система (3) разбивается на две несвязные системы порядка r и n - r .

Рассмотрим преобразование

Л(t) = lim P(s,t) P(0,0) , p(0,0) = e ,

s^0 s

где E — единичная матрица. Домножим уравнение системы (1) на вектор начального распределения

p0, р0,..., рП и просуммируем результат. Получим

-Л

dt (Е pfrijte t)) = Е (Е p-Vfe t))^ kj(t).

01 i k i

Сумма в скобках есть безусловная вероятность состояний

y(t) = P($)Z(t) (4)

и подставим его в уравнение (3)

y'(t) = $в dpd|$)Z(t) + P($) • Z'(t) = A($)P($)Z(t) Z'(t) = P-1($)(A($)P($) - в dPd$$l)Z(t).

70

РИ, 1998, № 1

Итак, преобразование (4) привело систему (3) к виду Z'(t) = B(^)Z(t) , где матрица

B(0 = P-1K)A(i;)P(i;)-є ddp •

Следовательно, матрица P(£) определяется из

dP

є dp^ = A($)PG) - P($)B($) • (5)

Будем искать асимптотические представления матриц P и B в виде рядов

PG) = Еє mPm (&

m=0

Ю

B(£) = Еє mBm (&

m=0

(6)

где Bm (£) - блочные диагональные матрицы. Подставив (6) в (5) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях є, получим

AqPq - РоВ0 = 0,

A0Pm - PmB0 = Р0Вт + (7)

Здесь

— m-1 dP і

Fm = E (PsBm-S - Am-sPs) - AmPo + •

S=1

Выбрав матрицы B0 и P0 такими, как было

указано выше, умножим уравнение (7) на P0-1 слева; получим

P0 1jA0Pm - P(-lPmB0 = P(-lP0Bm + P(-1Fm,

Bo = P0-1A0P0, P0 1a0 = B0P0 1,

B0P0-lPm - Po1PmB0 = Bm + P(-1Fm, или

B0Wm - WmB0 = Bm + Fm, (8)

где Wm = P0-1Pm ,а Fm = P0-1Fm •

Для решения системы (8) рассмотрим разбиение матриц Wm и Fm на блоки

Fm =

С f1 1 Fm

l f21 m

f12 ^ Fm

f22i

m

Wm =

W11 wE

m

^ Wm1

w22;

Здесь Fm11 и W™11 -

m

матрицы размерности

r x r . Положив

w,1 = W22 = 0, приведем систему (8) к виду

b11 = f11

Bm = -Fm ,

22 22 Bm = -Fm

Bo:lWm

12

- Wm12Bo22

= FT

12

B22W21 - W21B11 = F21 D0 vvm vvmD0 _ rm •

(9)

Эти уравнения разрешимы относительно W]12 и Wm1 единственным образом, так как матрицы B01 и B22 не имеют общих собственных значений [2].

Если матрица Д0 имеет различные собственные

значения, то с помощью описанной выше схемы исходную систему можно свести к системе n не связанных друг с другом уравнений типа (9) с диагональной матрицей B, на главной диагонали которой стоят собственные значения

ХД^) = X2(£) = ■ ■ ■ = XП(^) • В этом случае решение системы (3) примет вид

Ю

, (u(S) = Еєад )•

s=0

Если подставить эти выражения в уравнение (3), получим

dt

s=0

) = ЕєАш(0 ЕєsUs(^)e; m=0 s=0

л(є dus(0 e J4

Еє s(s—^ eJ s=0 d£,

+ u

;(^)X(|>

=

= ЕєmAm(0 Eus(S).

m=0 s=0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях є, получаем

U0(£)X(£) = A 0U0

dui

Ж

+

E Akui - ^

k=0

i = 1,2,

(10)

Решая эти уравнения последовательно, находим решение, отвечающее простому собственному значе-

нию X(^). Применяя аналогичную процедуру, находим решение, отвечающее любому собственному числу.

Выводы. Указанная методика дает возможность находить вероятности состояний неоднородного марковского процесса в случае, когда соответствующие параметры системы Колмогорова меняются медленно . Применение данного алгоритма к расчету конкретных динамических систем можно найти в работе

[3].

Литература: 1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1984. 527 с. 2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 462 с. 3. Методы и алгоритмы фокусировки распределений марковских процессов/ Веприк А.Е., Герасин С.Н., Дика-рев В.А. и др.// X.: ХТУРЭ, 1997. 160 с.

Поступила в редколлегию 13.03.98

Герасин Сергей Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Область научных интересов: теория вероятностей и ее приложения, стохастический анализ, теория процессов Маркова. Адрес: 310166, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, e-mail: [email protected], тел.: (0572)40-93-72, (0572)72-12-38.

РИ, 1998, № 1

71