CC BY
16
УДК 517.9
О.М. Ленюк
НЕОДНОРОДНА КРАИОВА ЗАДАЧА ДЛЯ Р1ВНЯННЯ КОЛИВАННЯ З ВАНТАЖЕМ НА
Л1ВОМУ К1НЦ1
Постановка проблеми та анатз публшацш за темою досл1дження. Одним iз ефективних методiв побудови точних аналиичних розв'язк1в рiвнянь математично! фiзики е метод iнтегральних перетворень. Цей метод дае змогу знаходити аналiтичний вигляд розв'язк1в багатьох задач математично! фiзики, що дуже зручно для дослвдження властивостей розв'язкiв. У шдручниках та поабниках з математично! фiзики наведеш постановки рiзноманiтних крайових задач (наприклад, див. [1]), але для багатьох з них не знайдеш аналиичш вигляди розв'язк1в. У працi [2] розв'язана крайова задача для рiвняння коливання з вантажем на л1вому кiнцi у випадку однорвдних початкових умов та крайово! умови на правому шнщ.
Цiль статтi. Дана стаття присвячена побудовi методом штегрального перетворення Лапласа розв'язку крайово! задачi для рiвняння коливання з включениям вантажу на лiвому кшщ у випадку неоднорщного рiвняння та неоднорвдних початкових та крайових умов.
Основна частина. Розглянемо однорщну струну (або однорщний ненапружений стержень) довжини I, правий к1нець яко! (якого) рухаеться за заданим законом, а л1вий к1нець навантажений: до нього прикршлена пружина жорсткостi к, до пружини прикрiплено вантаж масою т, на який дiе сила тертя, пропорцiйна швидкостi.
Задача про мал1 поперечнi коливання тако! струни (або повздовжш коливання жорсткого стержня) математично приводить до побудови обмеженого в обласп О = {(¿,х): ^ > 0,X е (0,1)} розв'язку рiвняння коливання
1 д2и д 2и
az dt дх
за початковими умовами
и It=0= Их\
ди ~dt
= f (t, х)
= щ( х)
i крайовими умовами [1]
(
д 2и ди
ди
m—- + п--h ku - T—
дг1 6t дх
= gl(tX и U = g2(tX
(1)
(2)
(3)
х=0
де m - маса ирикршленого вантажу, T =const - стала натягу струни (модуль Юнга матерiалу стержня, помножений на площу поперечного перерiзу) в точщ х = 0, k - жорсткють пружини, ] - коефщент тертя. При цьому повиннi бути виконаш умови узгодження:
^ д2и ди , ^ m—- + п--h ku -1
дt2 дt
ди дх
= maV(0) + f (0,0)) + W(0) + kp(0) - Tp'(0) = &(0),
х=0 t=0
g2(l) = <P(l).
Припустимо, що заданi й шукана функцii е оригiналами Лапласа стосовно t [3]. У зображеннi за Лапласом задачi (1)-(3) вiдповiдае крайова задача: побудувати на (0, l) розв'язок рiвняння
2Л
У дх2 j
и^ х) = -f Xp, x),
за крайовими умовами
Тут прийняп позначення
тд - qAu(p, х)
, ах j
= -gl(P\ U\P, х) |х=1 = g*(pX
(4)
х=0
л _л 9 9 9
q = a p , p = a + is, i = -1, qi = mp + ]p + k,
* ~ * _9 _9
и (p, х) = L[u(t, х)], f (p, х) = L[f (t, х)] + a pq(х) + a х),
t=0
£(Р) = И)] + т(рчЩ + ^(0)) + т?ф), &(р) = Ь[g2(t)].
2 2 2
Фундаментальну систему розв'язшв для рiвняння Фур'е (Ш 2 - q2 )у = 0 утворюють функцп chqx та shqx. Це дае можливiсть побудувати розв'язок крайово! задачi (4), (5) методом функцш Кошi:
* (р, х) = А chqx + A2 shqx +1Е* (р, х,Е) / *( р,Е)ШЕ. (6)
и ( р,х) = Achqx + A2shqx + |Е ( р,х.
Функцш Кошi Е (р, х,Е) будемо шукати у виглядi
. , Е~*( р, х,Е) = + Cshqx,0< х < Е < I,
Е (р, х,Е) = < „ * (7)
[Е + (р,х,Е) = B2chqx + C2shqx,0 < Е < х < I.
Властивостi функци Кошi [2] для визначення неввдомих В, С (* = 1,2) дають алгебра!чну систему з чотирьох рiвнянь:
' (в2 - В )^Е + (С2 - С = о,
(в2 - В + {С2 - С = -
q
^С - qlBl =0, B2chql + C2shql = 0. З перших двох рiвнянь системи знайдемо (В - В ) ^ (С - С ) •
В - В = 1 shqЕ; С - С = - 1 q q
Використовуючи останнi два рiвняння системи, знаходимо:
в _ ^^ -Е) с = q1^^ -Е)
1 qchql + 1 q(Tqchql + qlshql)'
_qTshqlchqЕ + q1shqlshq£ _ qlchqlshq£ + TqchqlchqЕ В2--; С2---.
q(Tqchql + q1 shql) q(Tqchql + q1 shql)
Щдставляючи знайденi значення у формулу (7), отримаемо функцш Кошi Е (р, х, Е):
, 1 г - + q1 shqx],0 < х < Е < К
Е (р, х,Е) =-;-\ (8)
qa (р) у shq(l - + !^!Е],0 < Е < х < ^
де А* (р) = Tqchql + qlshql.
Знайдемо сталi A1 та A2, поставивши функцiю u (р, х) , що зображаеться формулою (6), у крайовi умови (5). Одержимо систему двох алгебра!чних рiвнянь:
- ql А+qTA2= - &(рХ
+shqlA2 = g* (р).
Визначник ще! системи
- ql qT
А =
= -qlshql - Tqchql = -А (р).
chql shql
Припускаючи, що А* (р) Ф 0, обчислимо A1, A2 за формулами Крамера:
А р)^!1+g2(p)Tq.л р)с/1-р)^!1
1 А(р) ' 2 А*(р) •
Тодi розв'язок крайово! задачi (4), (5) запишеться так:
/
и(р,x) = Щ*(р,x)g1*(p) + Ж*2(р,x)g*(p) + fE*(р,*(р,%У%. (9)
0
У рiвностi (9) беруть участь породжеш крайовими умовами (5) функци Грiна
Ж*(Р, x) = , w;p x) = ^^+^8114x1 (10)
А (р) А (р)
i породжена неоднорiднiстю рiвняння (4) функщя впливу
^ 1 Г -%)[Tqchqx + q1shqx],0< x < % < /,
Е (р, X,£) =-;-< (11)
4А (р) [ ^^^ - x)[Tqchq% + qvshq%],0 < % < x < /.
Тут А* (р) = qyshq/ + = 0.
Повертаючись у рiвностi (9) до орипналу, одержуемо iнтегральне зображення розв'язку задачi
(1)43):
г г г /
и (г, x) = ¡Щ(г - т,x)g1 (т^т + ¡Щ(г - г, x)g2(т^т + Це(1 - т,x,%) f (т,%)d%dт, 0 0 0 0 _ _ (12) де g1(т) = g1 (р)], f (т, %) = (р,%)] - оберненi перетворення Лапласа.
Розпишемо перший i третш iнтеграли, враховуючи вигляд функцiй g1 (р) , f (р, %) , а також
властивосп перетворення Лапласа згортки функцш [3]:
г
-т, x) gl(т)dт = Жх(г, x) * gl(t ) = Wl(t, x)*[ g1(t) + ш5' (г )р(0) + ш¥(0) + р)] =
0
= W (г, x) * ^ (г) + x) шр(0)+щ (г, x)[ш^(0)+ р0)] =
дг
= ¡щ (г - т, x) g1 (т)dт + д^(г, x) шр(0)+Щ (г, X)[ш ^(0)+?7р (0)],
0 дг
t 1 Ге(1 - т, X,%)f (т,%)dтe Е(г, ^ %) * f (г, %) = Е(г, ^ %) *[/■ (г, %) + 4 р(%) +—щ(%)]
а а
|е(1 - т, ^ %)./■ (т,£Ут + ^ ^Г^ р(%) +-1 Е (г, x,%)щ(%).
г
^(г -т, x,
0 а а Поставивши одержанi iнтеграли у формулу (12), отримаемо остаточний вигляд розв'язку задачi (1)-(3):
и(г,x) = ¡Щ(г - т, x)g1 (т)dт + ¡Щ(г - т,x)g2(т^т + ш дWl(t, x) р(0) + Щ(г,x)[ш щ(0) + ?7р(0)] +
0 0 дг
г / / 1 /
+ Це(1 - т, ^ %)/(т, %)d%dт ++—дЫг, x,%)р(%)d% + — ¡Е(г, x, %М%¥£.
00 а дг о а 0
У формул! (13) за означенням
2 Ш Т.
0
(13)
10 10
Щ (г, x) = —1— Г Ж* (р, x)eptdp, ] = 1,2, Е(г, ^ %) = — Г Е*(р, x, %)eptdp,
0-771 3 9 777 ^
(14)
2Я7 '
де С0 - абсциса зб1жност! штеграла Лапласа.
Знайдемо коректний для !нженерних розрахунк1в вигляд функцш Ж (г, x), Е(1, x, %) .
Особливосп функцш W (p, x) та E (p, x, g) зосередженi в коренях рiвняння
tÜ(p) = q^hql + qTchql = 0, (15)
як1 залежать ввд значень коефщента 7]. Зауважимо, що точка p = 0 е правильною (усувною)
особливою точкою для функцiй W*(p, x), W2(p, x), E*(p, x,g). Справедливi леми [2].
Лема 1. (про розподш особливостей). При 7]> 0 ргвняння (15) не мае коренгв у пгвплощинг Re p > 0 за винятком точки p = 0 (простий нуль).
Лема 2. (про розподш особливостей). При 7] = 0 ргвняння (15) мае злiченну кшьюсть уявних коренгв, симетрично розташованих eidHOCHO початку координат, як прямують до HecKÍH4eHHOcmi. Це дае можливють одержати структуру головних розв'язшв задача
1. Випадок неперервного спектру. При 7] > 0 рiвняння (15) не мае корешв у швплощиш Rep > 0. Це дае можливють покласти в рiвностях (14) С0 =0 . Тодi рiвностi (14) набувають вигляду
W (t, x) = — J Re[W* (is, x)eist ]ds, j = 1,2, E (t, x,g) = — J Re[E* (is, x, g)eist ]ds. Ж 0 Ж 0
Визначимо функци:
A(is) = -[c1 (s, l) - ic2 (s, l)],
o1(s,l) = 7]ssin —, c2(s,l) = (k -ms2)sin — + Tscos —;
a a a a
G(s,x) = c(s,l)c(s,x) + щ(s, l)c2(s,x), G2(s,x) = c(s, l)c2(s,x)-c2(s,l)c(s,x);
. s(l - x) a sin —--
H (t, x, g, s) =--- [G (s, g) cos st + G (s, g) sin st].
s([c—(s, l)] + [c(s, l)f)l—K'g) ]
У результатi виконання зазначених операцiй одержимо коректнi для iнженерних розрахункiв вирази головних розв'язшв задача
W(tx) = — +f Cl(S,l)sinst + C2(sl')cosst s(l - x) ds —( ж J [a,(s,l)]2 + [щ(s,l)]2 a ,
TTr, N 1 +r G (s, x)cos st + G (s, x)sin st .
W(t,x) = — I lV J-^-2V J ,-ds, (16)
2(,) ж1 [c—(s, l )f + [c(s, l )f ,
E (t, x,g) = -
Ж
JH(t,g,x,s)ds,0< x < g < l,
0
J И (t, x,g, s)ds,0 < g < x < l.
0
2. Випадок дискретного спектру. При ]] = 0 piBHOCTi (14) набувають вигляду
Wj(t,x) = £ res [W*(p,x)ept], j = 1,2, E(t,x,g) = £ res [E*(p,x,g)ept],
p=is p=is
n n
n=0 n=0
де sn - кореш трансцендентного piBHAHHA [2]
sl a (к \
ctg— =--1--ms \.
a T ^ s )
Оск1льки точки p = isn для функцiй [W*(p, x)ept ] (j = 1,2) та [E*(p, x,g)ept ] e простими полюсами, то мають мiсце формули
ЩГ, х) = 2
п=-да п=0
q(l - х)вр'
(а*(р))'
, Щ*,х) = 2
Р=15 г и
п=-да п=0
\qTqx +
(а*(р))'
Р=15
и
£ (*, х,^)= 2
п = -да п = 0
shq(l - £)\Т^х + ^^]ер
q
(а*( р))'
Р = 15
г п
Виконавши елементарнi перетворення, одержуемо рiвностi
ттг/ N ~ а ($„, хЪт . „¿^ ^ а (^ , хЪт ^^
^(Г,х) = 2а2 "Ц г \— , ^(*,х) = 22 п // -:
а^ )
= а^ )
а
Е(^ х £) = 2а! Х^а2(5п , х)а2(5п
, , Т 2 5пА1(5п) ^
де
(17)
. , ч 1т2 4 Г Т1 21шк Л 2 1к2 , А (5,) =-54 +1 —г + ш--5 2 + — + к.
IV ГТ-Т п 2 Т^ п ГГ1
Т \ а Т ) Т
Щдсумком вищевикладеного е твердження.
Теорема. Якщо функци ^, £2 е С^2)(\0,да)), функця / е С2'2\0), функцП
р £ С (3)(\0, I]), Щ £ С (2)(\0, I]), виконуються умови узгодження, то функщя и(1, х) , визначена
формулою (13), е класичним розв'язком гiперболiчноi задачi (1)-(3). При цьому головнi розв'язки ^ (^,х)
(7 =1,2) та Е($, х,£) визначаються формулами (16) при 7] > 0 i формулами (17) при 7] = 0.
Висновки: Одержано iнтегральне зображення розв'язку неоднорщно! riперболiчноl крайово! задача Дослiджено спектр задачi в залежносп ввд параметрiв, виписано головнi розв'язки (функци Грша, породженi крайовими умовами, та функцш впливу, породжену неоднорщшстю рiвняння) в залежностi вiд спектра задача
Л1ТЕРАТУРА:
1. Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики: Учеб.- метод. пособие / А.И. Комеч.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.- 160 с.
2. Ленюк О.М. Моделювання коливних процеав в елементах конструкцш з включениям вантажу на кiнцi / О.М. Ленюк // Крайовi задачi для диференщальних рiвиянь: Зб. наук. пр.- Чершвщ: Прут, 2006.- Вип. 14.- С. 102-108.
3. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа / Г. Деч.- М.: Наука, 1965.- 288 с.
ЛЕНЮК Олег Михайлович - к. ф.-м.н., доцент кафедри диференщальних рiвнянь Чершвецького нащонального унiверситету iменi Юр1я Федьковича. Науковi iнтереси:
- диференцiальнi рiвияния, математична фiзика, математичне моделювання.
