Необходимые условия оптимальности в линейной задаче управления с помехой и платой, зависящей от модуля линейной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 1. С. 80-87.

УДК 517.977

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМЕХОЙ И ПЛАТОЙ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ МОДУЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

В. И. Ухоботов

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]

Для линейной задачи управления с помехой, в которой терминальная составляющая платы определяется модулем значения линейной функции фазового вектора в заданный момент времени, получены необходимые условия оптимальности.

Ключевые слова: управление, помеха, плата.

Введение

В работе [1] в рамках теории оптимизации гарантированного результата [2] рассмотрена линейная задача управления

которая минимизируется при выборе управлений ф и Найден явный вид векторной составляющей £(г, х) Е М С К5 оптимального управления. Скалярная составляющая ф(г) Е [$, 7] С К оптимального управления является решением оптимизационной задачи. Для этой задачи доказана теорема существования оптимального управления с существенными ограничениями на рассматриваемый класс задач. Найдены достаточные условия, при выполнении которых функция ф(г) является оптимальным решением.

Вопрос о необходимости найденных достаточных условий в работе [1] не рассматривался. В настоящей статье устраняется этот пробел.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу

г Р

!(е,ф(•)) = С(е) + / д(т,ф(т))с1т ^ ш1п; е > 0, ф : [1о,р] ^ [¿,7]; (1)

Работа выполнена при поддержке гранта Фонда перспективных научных исследований Челябинского государственного университета (2017 г.).

х = А(г)х + фБ(ь)£ + п, х(г0) = х0 е г < р,

при наличии помехи п. Показателем качества является величина

ГР ГР

а + / (Ь(т) — ф(т)а(т))йт < е, тах (Ь(т) — ф(т)а(т))йт < е. (2)

Л0 <1<р]ь

Здесь числа Ь0 < Р, 0 < 5 < 7 и а > 0 заданы; функции а(Ь) > 0 и Ь(Ь) > 0 суммируемы на отрезке [Ь0, р]. Функция ф : [Ь0,р] ^ [5,7] ищется в классе измеримых функций.

Будем считать, что выполнены следующие предположения. Предположение 1. Функция д(Ь,ф) измерима по Ь Е \Ь0,р] при каждом ф Е [5,7]; непрерывна по ф при каждом Ь Е \Ь0,'р]; 0 < д(Ь,ф) < О(Ь) при всех Ь Е \Ь0,'р] и ф Е [5,7], где функция О(Ь) суммируема на отрезке \Ь0,р].

Предположение 2. Функция О : [0, ^ К является непрерывной, строго

возрастает и О(е) ^ при е ^

Теорема 1. [1, теорема 3]. Пусть дополнительно к предположениям 1 и 2 функция д(Ь, ф) при каждом Ь0 < Ь < р является выпуклой по ф. Тогда решение в задаче (1), (2) существует.

Отметим, что из непрерывности и из возрастания функции О следует её ограниченность снизу.

Теорема 2. [1, теорема 4]. Пусть е0 > 0 и измеримая функция ф0 : [Ь0,р] ^ [5,7] удовлетворяют неравенствам (2). Пусть существуют число X > 0 и неубывающая на отрезке [Ь0,р] функция 0(Ь), такие, что в(Ь0) = 0 и

Г Р

/ в(т)(Ь(т) — ф0(т)а(т))б,т = в(р)е0, (3)

Ло

X ОС (Ь(т) — фо(т)а(т))с1т + а — е^ =0, (4)

О(ео) — (X + в(р))ео < О(е) — (X + в(р))е при любом е > 0, (5)

д(Ь, фо(Ь)) — (X + в(1))фо(1)а(1) < д(Ь, ф) — (X + в(1))фа(1) (6)

для любого ф Е [5,7] и почти всех Ь Е [Ь0,р]. Тогда число е0 и функция ф0(Ь) являются решением задачи (1), (2).

Ниже будет показано, что при дополнительном предположении о выпуклости функций О и д достаточные условия (3)-(6) являются и необходимыми условиями оптимальности.

2. Необходимые условия оптимальности

Теорема 3. Заданы суммируемые на отрезке [t0,p] функции bj(t) > 0 и aj(t) > 0, j = 0,1,... ,k. Пусть дополнительно к предположениям 1 и 2 функция g(t, ф) при каждом t Е [t0,rp] является выпуклой по ф. Тогда в задаче

f (£,ф(•)) ^ min; е > 0, ф :[to,p] ^ [5,7];

ГР ГР

а + (b0(r) — ф(г)а0(г))йг < £; / (bj (r) — ф(r)aj (r))dr < £, j = 1, 2,...,k, (7)

J to Jt0

существует решение £0, ф0(Ь).

Доказательство. Отметим, что связи (7) являются совместными, а f (е,ф() > G(e) > G(0). Пусть V — нижняя грань значений f (е,ф() при ограничениях (7).

Тогда существуют последовательности ет > 0, фт : [t0,p] ^ [5, т], которые удовлетворяют (7) и lim f (ет,фт(^)) = V. Из неравенства G(em) < f (ет,фт(-)) и из

условия G(e) ^ при е ^ следует ограниченность сверху последовательности ет. Считаем, что ет ^ е0 (иначе перейдём к подпоследовательности). Рассмотрим при t0 < t < p последовательности функций

гр гр

gm(t) = I д(г,фт(г))^г, ^Н/ (bj (r) - фт(г)^ (r))dr, j = 1, 2, . . . , k. (8) Jt Jt

Каждая из последовательностей (8) удовлетворяет [1] условиям теоремы Арцела [3, с. 104]. Поэтому, переходя, если нужно, к подпоследовательностям, будем считать, что grn(t) ^ g0(t) и ^(t) ^ /0j)(t) при m ^ то равномерно на отрезке [t0,p]. Предельные функции являются абсолютно непрерывными на отрезке [t0, p], а их производные g0(t), /'^j)(t), j = 0,1,... , k, почти всюду на отрезке [t0,p] удовлетворяют включению [1]

(g0(t),/0j')(t),...,l^)(t)) е со Q(t), (9)

где

Q(t) = {(Q-i,Q0,.. . , Qk) е Rk+2 : q- = -q(t^), qj = фа,-(t) - bj(t), j = 0,1,... ,k, ф е [5,7]}.

Из включения (9), применяя теорему Каратеодори [4, теорема I.1.1] и лемму А. Ф. Филиппова об измеримом выборе [5], подобно тому, как это сделано в [1; 6], получим, что существует измеримая функция ф0 : [t0,p] ^ [5,7], такая, что

S0(t) < -g(t, фo(t)), l0j)(t) = ф0^)а,-(t) - bj(t), j = 0,1,..., k.

Интегрируя эти соотношения, получим, что е0 и ф0^) удовлетворяют неравенствам (7) и f (е0, ф0(^)) < V. Стало быть, е0 и ф0^) — решение рассматриваемой задачи. □

Теорема 4. Пусть дополнительно к предположениям 1 и 2 функция G является выпуклой, а функция g(t, ф) при каждом t е [t0,p] является строго выпуклой по ф на отрезке [5,7]. Тогда существует решение е0, ф0(t) задачи (1), (2), для которого найдутся число Л > 0 и неубывающая функция в : [t0,p] ^ R с e(t0) = 0, которые удовлетворяют условиям (3)-(6).

Доказательство. Используя лемму об измеримом выборе, построим измеримую функцию ф* : [t0,p] ^ [5,7], такую, что

g(t^*(t)) = min g(t, ф) для t е [t0,p]. (10)

¿<ф< Y

Если эта функция удовлетворяет неравенствам (2) при е = 0, то решением задачи (1), (2) являются е0 = 0 и ф0(^ = ф*^). В этом случае условия (3)-(6) выполнены при Л = 0 и e(t) = 0.

Пусть функция ф*^) при е = 0 не удовлетворяет (2). Возьмём последовательность разбиений

, , : t = t(i) < t(i) < < t(i) < t(i) = p Ui : t0 = t0 < t1 < . . . < tki < tki+1 = P,

у которых диаметры d(ui) сходятся к нулю. Рассмотрим оптимизационную задачу

f (е,ф(0) ^ min; е > 0, ф : [t0,p] ^ [5,7]; (11)

гр гр

а + / (b(r) — ф(г)а(г))^г < е; / (b(r) — ф(г)а(г))^г < е, j = 1, 2,...,ki. (12) Ла Л«

Покажем, что эта задача имеет решение ег, фг(Ь). Для этого возьмём в условиях теоремы 3 функции Ь0(Ь) = Ь(Ь), а0(Ь) = а(Ь); Ь3-(Ь) = Ь(Ь), а3-(Ь) = а(Ь) при 3 < Ь < р

и Ь3- (Ь) = а3- (Ь) = 0 при Ь0 < Ь < Тогда неравенства (12) примут вид (7).

Задача (11), (12) является задачей выпуклого программирования, связи в которой удовлетворяют условию Слейтера. По теореме Куна — Таккера [7, с. 90-91] существует набор множителей Лагранжа X(г) > 0, X(j"l > 0, ] = 1, 2,... ,кг, такой, что выполнены условия дополняющей нежёсткости

X(г) ( / (Ь(т) — фг(т)а(т))йт — еi + а) = 0,

По

(13)

X«! I (Ь(т) — фг (т)а(т))с1т — еЛ =0, ] = 1, 2,..., кг

Лг)

(14)

и условие минимума функции Лагранжа Ьг(ег,фг(•)) < Ьг(е,ф(•)) для любых е и ф(Ь), которые удовлетворяют (11). Здесь

Ьг(е, ф() = О(е)+ д(т,ф(т))йт + X{г) I (Ь(т) — ф(т)а(т))йт — е + а) +

¿Ьо Ьо

+ А^гМ / (Ь(т) — ф(т)а(т))йт — е

3 = 1 У^

С помощью функции

дг(Ь) =

X? + X« +

+

+ Чг-1,

X

(г)

^ <- < р,

,(г)

кг 1

< е

- кг 7

¿1г) < - < ¿г1,

г0 < г < г?,

(15)

запишем равенство

У X« / (Ь(т) — ф(т)а(т))йт — е) = 9г(т)(Ь(т) — ф(т)а(т))йт — ев(р).

3=1 3 \-Мг) ) Л>

Тогда функция Лагранжа примет вид

[• Р

Ьг(е, ф(•)) = О(е) — X1 + вг(р))е + (д(т, ф(т)) — X1 + вг(т))ф(т)а(т))(1т+

Ло

г)

Ь(т)йт + а) .

По

Минимизируя по е функцию Ьг(е,ф(•)), получим неравенство

О(ег) — X1 + вг(р))ег < О(е) — X1 + вг(р))е для любого е > 0.

(16)

Минимизируя функцию Ьг(е,ф(•)) по ф(^), получим для любых ф Е [5,7] и Ь Е [-о,р]

д(г, фг(г)) — (^ + вг(Ш(г)а(г) < д(г, ф) — (^ + ег(г))фа(1). (17)

Р

1

0

Р

Из неотрицательности множителей Лагранжа и из формулы (15) следует, что А(г) + ^¿(p) > 0 для всех номеров i > 1. Покажем, что начиная с некоторого номера io выполнены неравенства A(i) + ^¿(p) > 0.

Допустим противное. Тогда для бесконечного числа номеров i выполнено равенство A(i) + ^¿(p) = 0. Отсюда и из (15) следует, что для этих номеров A(i) + ^¿(t) = 0 при всех t G [t0,p]. Из неравенств (16) и (17) получим, что = 0 и ^¿(t) = 0*(i). Стало быть, функция 0*(t), определяемая равенством (10), при е = 0 удовлетворяет неравенствам (2). В рассматриваемом случае этого быть не может.

Итак, отбрасывая конечное число номеров i, считаем, что A(i) + ^¿(p) > 0 для всех i > 1 .

Если е и 0(t) удовлетворяют неравенствам (2), то они удовлетворяют неравенствам (13) и (14). Поэтому f (ei, ^¿(•)) < V0, где V0 — минимальное значение f (е, фО) в задаче (1), (2). Из этого неравенства получим, что G(ei) < V0. Рассуждая как при доказательстве теоремы 3 и переходя, если нужно, к подпоследовательности, можем считать, что lim ei = е0 > 0.

Покажем, что существует число B > 0, такое, что

AW < B, ^(p) < B для всех i > 1. (18)

По условию теоремы функция G : [0, ^ R является непрерывной и выпуклой. Поэтому [4, с. 61] существуют числа B0 > 0 и п > 0, такие, что

|G(e) — G(e0)| < B0|e — е0| для всех |е — е0| < 3п, е > 0. (19)

Поскольку lim е¿ = е0, то начиная с некоторого номера выполнено неравенство ^ — е0| < п. Возьмём е = е0 + 2п. Тогда из неравенств (16) и (19) получим, что

(A« + ад)(е — е¿) < Gfc) — G(е¿) < |G(е) — G(еo)| + №) — Gfo)| <

< Bo(|е — е01 + |е» — е0|) < 3B0n.

Поскольку е—е¿ > п, то из предыдущего неравенства получим, что A^ < 3B0.

Отсюда, учитывая, что A^ > 0 и ^¿(p) > 0, получим, что начиная с некоторого номера выполнены неравенства A^ < 3B0 и ^¿(p) < 3B0. Поэтому неравенства (18) выполнены при некотором B > 3B0.

Каждая из функций (15) не убывает и удовлетворяет равенству ^¿(to) = 0. Отсюда и из второго неравенства (18) получим, что 0 < ^¿(t) < B при всех t G [t0,p]. Далее полная вариация функции (15) равна ^¿(p) — ^¿(to) < B. Согласно второй теореме Хелли [3, с. 346] из последовательности функций (15) можно выделить подпоследовательность, которая сходится в каждой точке t G [t0,p] к некоторой функции 0(t). Предельная функция не убывает и удовлетворяет равенству 0(to) = 0.

Поскольку 0 < A^ < B, то из последовательности чисел A^ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Не вводя новых обозначений, считаем, что

lim ^¿(t) = 0(t) для всех t G [t0,p] и lim Aw = A > 0.

При каждом t G [t0, p] функция

F (t,0) = g(t,0) — (A + 0(t))<Mt)

является строго выпуклой по ф G [$, 7]. Поэтому её минимальное значение по ф G [$, 7] достигается в единственной точке ф0^). Применяя лемму об измеримом выборе, можно показать, что функция ф0(^ является измеримой.

Покажем, что

lim ф¿(t) = ф0(t) при t G [to,p].

¿^■те

Допустим противное. Тогда для некоторой точки t G [t0,p] можно построить подпоследовательность ф¿fc (t), сходящуюся к ф* = ф0(t). Переходя в неравенстве (17) к пределу по этой подпоследовательности, получим, что

g(t, ф*) — (A + 0(t)№*a(t) < g(t, ф) — (A + 0(t))Mt)

для любого ф G [$, 7]. Стало быть, ф* является точкой минимума функции F(^ф). Получили противоречие.

Подставим в неравенства (12) е = е¿ и ф^) = ф¿(t). Перейдём к пределу в первом неравенстве (12). Тогда, применяя теорему Лебега [3, с. 284], получим, что е0 и ф0^) удовлетворяют первому неравенству (12).

Пусть j < t < tj+p Тогда из второго неравенства (12) получим, что

rp гt ГР

е¿ > / (b(r) — ф¿(r)a(r))dr + / ф¿(r)a(r)dr — / b(r)dr.

] (

Имеем, что lim d(^) = 0. Поэтому, применяя теорему об абсолютной непрерывно-

¿^■те

сти интеграла Лебега [3, с. 282] и теорему Лебега, получим, что

(b(r) — фо^а^))^ < е0 для всех t0 < t < p.

't

Таким образом, е0 и ф0(¿) удовлетворяют неравенствам (2).

Перейдём в неравенстве (13), а также в неравенствах (16) и (17) к пределу. Получим, что е0 и ф0(£) удовлетворяют соотношениям (4)-(6). Просуммируем по ] равенства (14) и учтём вид функций (15). Будем иметь

г- р

/ ^г(г)(6(г) - фг(г)а(г))^г = еД(р).

Л0

Перейдём в этом равенстве к пределу. Получим, что е0, ф0(£) и функции удовлетворяют (3).

По теореме 2 найденные е0 и ф0(£) являются решением задачи (1), (2). □

p

Список литературы

1. Ухоботов, В. И. Линейная задача управления при наличии помехи с платой, зависящей от модуля линейной функции / В. И. Ухоботов// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2017. - Т. 23, № 1. - С. 251-261.

2. Красовский, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. — М. : Наука, 1974. — 456 с.

3. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1972. — 496 с.

4. Пшеничный, Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б. Н. Пшеничный. — М. : Наука, 1980. — 319 с.

5. Филиппов, А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А. Ф. Филиппов // Вестн. Моск. гос. ун-та. Математика, механика. — 1959. — Вып. 2. — С. 25-32.

6. Ухоботов, В. И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой интегральной платой / В. И. Ухоботов, Д. В. Гущин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 1. - С. 251-258.

7. Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. — М. : Наука, 1974. — 479 с.

Поступила в 'редакцию 06.03.2017 После переработки 23.03.2017

Сведения об авторах

Ухоботов Виктор Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 2. P. 80-87.

NECESSARY CONDITIONS OF OPTIMALITY IN LINEAR CONTROL PROBLEM UNDER INTERFERENCE WITH A PAYOFF DEPENDING ON THE MODULUS OF A LINEAR FUNCTION

V.I. Ukhobotov

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]

This paper considers a linear control problem under interference, in which the terminal part of the payoff depends on the module value of a linear function of the phase vector in a given time moment. Necessary conditions of optimality are found.

Keywords: control, interference, payoff.

References

1. Ukhobotov V.I. Lineynaya zadacha upravlenia pri nalichii pomekhi c platoy, zavisyashchey ot modulya lineynoy funktsii [A linear control problem under interference with a payoff depending on the modulus of a linear function]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN [Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences], 2017, vol. 23, no. 1, pp. 251-261. (In Russ.).

2. Krasovskiy N.N., Subbotin A.I. Pozitsionnye differentsial'nye igry [Positional differential games]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 456 p. (In Russ.).

3. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 496 p. (In Russ.).

4. Pshenichnyy B.N. Vypuklyy analiz i ekstremal'nye zadachi [Convex analysis and extremal problems]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 320 p. (In Russ.).

5. Filippov A.F. On certain questions in the theory of optimal control. SIAM J. Control Series A, 1962, vol. 1, no. 1, pp. 76-84.

6. Ukhobotov V.I., Gushchin D.V. Single-type differential games with convex integral payoff. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2011, vol. 275, suppl. 1, pp. 178-185.

7. Ioffe A.D., Tikhomirov V.M. Teoriya ekstremal'nykh zadach [Theory of extremal problems]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 479 p. (In Russ.).

Accepted article received 06.03.2017 Corrections received 23.03.2017