CC BY
17
УДК 519.865
И.Ф. Гималтдинов1
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОГО ПОТРЕБИТЕЛЯ В МОДЕЛИ РАМСЕЕВСКОГО ТИПА
В данной работе исследуется проблема агрегирования поведения разнородных домашних хозяйств в модели экономического роста рамсеевского типа. Разнородность хозяйств определяется уровнем заработной платы, начального капитала, коэффициентом межвременного предпочтения и коэффициентом отвращения к риску. Для этого случая получены необходимые и достаточные условия существования репрезентативного потребителя.
Ключевые слова: модель Рамсея, агрегирование домашних хозяйств.
1. Введение. Теория формирования благосостояния населения берет свое начало с работы Рамсея 1928 г. [1]. С тех пор были разработаны различные вариации модели Рамсея [1-4]. В них исследуется поведение репрезентативного домашнего хозяйства, а также зависимость этого поведения от различных экономических факторов. Однако поведение домашних хозяйств по отдельности не отвечает требованию рациональности, и потому описывать каждое домашнее хозяйство как отдельный экономический агент не представляется разумным. Причиной этого является наличие у каждого домашнего хозяйства множества факторов, являющихся случайными и имеющих не только экономический характер (в качестве примеров таких факторов могут быть увеличение заработной платы, задержки и дискретность выдачи заработной платы, непредвиденные обстоятельства — болезни, поломки бытовой техники). Нивелировать влияние случайных факторов можно на макроэкономическом уровне, когда в качестве экономического агента рассматривается группа домашних хозяйств. В связи с этим становится актуальной задача агрегирования поведения домашних хозяйств, а также задача нахождения условий существования репрезентативного потребителя. Под репрезентативным потребителем здесь понимается такое домашнее хозяйство, которое обладает потребительским поведением, эквивалентным сумме потребительских поведений всех домашних хозяйств.
Эволюция распределения богатства среди разнородных домашних хозяйств в моделях Рамсея, Со-лоу изучалась в [5, 6]. Однако в этих работах неоднородность домашних хозяйств заключалась только в различии заработной платы и величины начального капитала, в то время как предпочтения домашних хозяйств предполагались одинаковыми для всех домашних хозяйств. Попытка учесть данный
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: ilgiz.gimaltdinovQgmail.com
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 11-07-00162-а, 11-01-12084-офи-м-2011), программ ОМН РАН № 3, 16, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. (мероприятие 1.2.1, НК-15П).
фактор была предпринята в работе [7]. Индивидуальные предпочтения в ней задавались различным отношением домашних хозяйств к благам, предоставляемым обществом (например, к социальным выплатам). Величина коэффициента дисконтирования для всех домашних хозяйств была одинаковой. Такое предположение достаточно сильно сужает область применимости результатов [7] в силу того, что горизонт временного планирования, а следовательно, и коэффициент дисконтирования фактически и являются той характеристикой, которая отражает принадлежность домашнего хозяйства к той или иной социальной страте. Попытка учесть неоднородность домашних хозяйств по коэффициенту дисконтирования рассматривается в работах [8, 9]. В этих работах поведение потребителей описывается задачей оптимизации с дискретным временем, изучается зависимость стационарных равновесий от коэффициента дисконтирования и других параметров. В данной работе изучается модифицированная модель Рамсея, которая учитывает спрос на наличные деньги. Спрос на наличные средства возникает из-за ограничения ликвидности, которое говорит о том, что для обеспечения непрерывности своих потребительских расходов домашние хозяйства должны оставлять определенные средства в виде наличных денег.
2. Модифицированная модель Рамсея. Рассмотрим модифицированную модель Рамсея [4], описывающую поведение отдельного домашнего хозяйства. Домашнее хозяйство обладает активами двух типов — наличными деньгами М(£) и сбережениями -£?(£)• Доходы домашних хозяйств состоят из заработной платы и дивидендов по депозитам г £>!)(£). Величина г в обозначает процентную ставку по депозитам населения. Имеющиеся ликвидные средства домашнее хозяйство направляет на текущее потребление С{Ь) или вкладывает в депозиты. Для обеспечения непрерывности потребительских расходов С{Ь) домашнее хозяйство оставляет необходимый запас наличных денег: М(1) ^ 6С(1). Домашнее хозяйство максимизирует дисконтированную с коэффициентом А полезность будущего потребления. В качестве функции полезности потребления II(С) используется функция с постоянным коэффициентом отвращения к риску а:. II(С) = Са.
Таким образом, поведение домашних хозяйств описывается как решение задачи
-(-ОО
I С(г)ае
а"~м<И шах , С.М.1)
м(г) + £>(*) = ж(г), м(*),£>(*),с(г) ^ о, ж(о) = ж0.
(1)
Здесь ж интерпретируется как суммарное благосостояние домашнего хозяйства. Домашнее хозяйство характеризуется величиной начального капитала жо, заработной платы Б и коэффициентом дисконтирования А.
Для задачи (1) построен синтез оптимального управления при предположении, что =
= 5ехр(7^), где 7 — темп роста заработной платы [4]. В работе [4] показано, что задача (1) имеет решение тогда и только тогда, когда А > атах(г£>,у). Также в работе [4] показывается, что на оптимальной траектории ограничение ликвидности переходит в равенство М(£) = 6С{Ь). Это видно из приведенной в работе [4] теоремы.
Теорема 1. Пусть А > атах(гд,7). Тогда задача (1) имеет следующее решение.
1. Если А > (1 - а)/в + гп, то М(Д,ж) = х.
2. Если (1 — а)/в + г в > А > г в — 7(1 — а), то М( А, ж) = х при х ^ х\ и М( А, ж) = = х\ ехр(((Д — Го)/( 1 — а) + 7)т(х)) в противном случае. Здесь х\ — решение уравнения
1
гвв Г
^в! [РХ1 о
(1-р)
Бв
7$ + 1
а т(А, ж) —решение уравнения
г в - 7
Гв _ 7
х\-
а — 1
А - г в - (1 - а)/в
в (А - агв)
,-(гв-7)т + (1 + гд0)(1-а)
в (А - агв)
х\е
+ 7)г
(2)
(3)
3. Если А < г в - 7(1 - а), то М(Д, ж) = тт |ж,
Го- 7
Замечание. В работе [4] показывается, что уравнения (2), (3) имеют решения.
Асимптотическое поведение домашних хозяйств описывается следующим образом.
1. В случае гв + ( 1 ^ а)/0 < А домашние хозяйства не сберегают.
2. Домашние хозяйства, коэффициент дисконтирования которых удовлетворяет соотношению г в + (1 — а)/в > А > г в — 7(1 — а), при достаточно большом начальном капитале вкладывают некоторый излишек средств в депозиты с целью увеличения будущего потребления. Несмотря на это, они "проедают" свои сбережения, после чего больше не сберегают.
3. Домашние хозяйства, коэффициент дисконтирования которых удовлетворяет соотношению А < гв — 7(1 — а), вкладывают свои средства в депозиты с целью увеличения будущих доходов. При маленьком начальном капитале этому типу домашних хозяйств требуется какое-то время на накопление капитала, после чего они начинают сберегать. С течением времени доля заработной платы в доходах домашних хозяйств этой группы стремится к нулю, и все большая часть в доходах домашних хозяйств соответствует процентным выплатам по депозитам.
Таким образом, в зависимости от коэффициента дисконтирования поведение домашних хозяйств может быть устроено тремя различными способами. Первый тип домашних хозяйств никогда не вкладывается в депозиты. Такое поведение соответствует бедному слою. Второй тип домашних хозяйств рассматривает депозиты как временный источник дополнительных доходов, которой приводит к увеличению будущего потребления. Такое поведение соответствует поведению среднего слоя. Последняя группа рассматривает депозиты как долгосрочное вложение в активы, приносящее доход (богатый слой). Эти домашние хозяйства являются рантье: основным источником дохода у них являются дивиденды. Вообще говоря, в таком случае домашние хозяйства должны максимизировать не столько полезность потока потребления, сколько доходность портфеля активов, которыми они обладают. В связи с этим интерес к модели обусловливается описанием сберегательного поведения среднего слоя, и все дальнейшие выводы будут касаться прежде всего этой категории домашних хозяйств.
Исходя из экспоненциального роста заработной платы 5(2) = Б ехр^) и равенства в ограничении ликвидности на оптимальной траектории М(1) = 6С(1) следует, что задача (1) для домашних хозяйств, принадлежащих среднему слою, эквивалентна задаче
+ ОС
3 = [ М(г)ае-(А~а^ <Й шах,
° М (4)
X = Б + (гв - - (гв + 1/0)М(*),
ж(о) = ж0, ск м(г)ж(г).
Теорема 2. Для того чтобы пара (М*,ж*), допустимая для задачи (4), была ее решением, необходимо, чтобы существовали кусочно-дифференцируемая функция ф(1) и кусочно-непрерывная функция /х(2) ^ 0, такие, что управление М* доставляет максимум функции Гамильтона
Н(х, М, ф, г) = (Ма + ф(Б - (гв + 1 /в)М + (гв - ф) + ц(М - х)) е"(л"а7)*
при заданных х*, ф*, /х*, функция ф(1) является решением сопряженной системы ф = (А — «7)ф — —дН/дхехр((Д—0:7)2) и удовлетворяет условию трансверсальности ф(Т)х(Т) = 0, а функция /х(2) — условию дополняющей нежесткости ц(М — ж) = 0.
Доказательство. Задача (4) с помощью замены и = М/х, 0 ^ и ^ 1, сводится к канонической задаче оптимального управления. Применив к ней принцип максимума Понтрягина, можно доказать справедливость теоремы.
Утверждение 1. Синтез оптимального управления М(А,х) задачи (4) возрастает относительно переменных х и А при х > х\ и г в + (1 — а)/в > А > г в — 7(1 — а).
Доказательство. Рассмотрим, как устроены траектории в случае наличия у домашнего хозяйства сбережений. Этот случай соответствует области М < х. Условие максимума гамильтониана по управлению можно записать как дН/дМ = аМа~1 — ф(гв + 1/0) + /х = 0. Тогда М < х при ф > аха~1/(гв + 1/0) и /х = 0. Максимум гамильтониана достигается при М = = [ф(гв + 1/в)/а]1^а~1\ и оптимальная траектория меняется согласно закону
х = Б - (гв + 1/0) [ф(гв + 1 /0)/а]1/(а_1) + (гв - ф, ф = ф( А + (1 — а)7 — гв)-
Полученную нелинейную систему можно свести к линейной, если рассматривать ее не в терминах сопряженной переменной ф, а в терминах управления М. Для этого сделаем замену переменных М = [ф(г£> + 1/в)/а]1^а~1К Тогда траектория меняется согласно уравнениям
ж = Б + (гв - у)х - (гв + 1 /0)М,
М = ((гг,-Д)/(1-а)-7)М. 1 ^
Отсюда следует, что решение М(Д,ж) является при х > х\ траекторией системы (5), проходящей через точку (Ж1,Ж1) в момент времени 2 = т(Д,ж) > 0.
Покажем, что х(Ь) на отрезке [0, г(Д, ж)] убывает. Допустим противное: х(Ь) не убывает в некоторой точке 2 = { < т(х(0)). Это означает неотрицательность выражения 3+(гв—у)х(£) — (гв + 1-/6)М(£). Тогда в силу убывания М(Ь) (гв < А + (1 - а)у) йх/йЬ ^ 5 + (гп - 1)х(£) - (гп + 1 /0)М{1) при 2 ^ I Значит, х(1) возрастает при всех Однако х(ъ) > х\, а ж(т(ж(0))) = х\. Получили противоречие.
Следовательно, х(Ь) монотонно убывает на отрезке [0, т(ж)].
Покажем монотонность Ж1(Д). Для доказательства этого рассмотрим функцию
1 + 70 ■! \ Ж1 70 + 1/ о
Производная д//дх\ положительна, д//дА отрицательна. Тогда из теоремы о неявной функции дХ1/дА > 0.
Покажем монотонное возрастание М(Д,ж) по х. При х ^ х\ объем наличных денег равен х. При х > х\ рассмотрим производную М(Д,ж) по х:
йМ _ {{гв - Д)/(1 - а) -7)М (1х ~ Б + {гв - у)х - {гв + 1 /0)М'
Из приведенного выше анализа следует, что М(1) и х(1) убывают, следовательно, производная положительна и М(Д, ж) возрастает по х.
Покажем монотонное возрастание М(Д,ж) по Д. Пусть > А2. Допустим, что М(Д2,ж) >
> М(Д 1,ж). Из монотонности х\ следует, что ж^Дх) > х\{А2). Тогда решение задачи для обоих коэффициентов дисконтирования описывается системой (5). Выше было показано, что в этом случае траектории проходят через точку (х1,х\). Следовательно, верно неравенство М(Д^ж^Д^) = ж^Дх) >
> Ж1(Дг) = М(Д2, Ж1(Дг)). Тогда в силу непрерывности траекторий системы (5) траектории М(Д, ж), соответствующие разным значениям Д, пересекаются. Рассмотрим самую левую точку пересечения (ж, М). Мы можем сравнить касательные траекторий М(Д, ж), соответствующих различным Д:
йМ
йх
((гв-Д!)/(1-а)-7)М > ((гв — Д2)/(1 — а) ^ у) М _ йМ
Аг Я + (гв - 7)® - {гв + 1 /0)м Б + {гв - 7)ж - {гв + 1 /в)М Лх
> 0.
Д2
Однако если траектории пересекаются, то неравенство меняется на противоположное. Получили противоречие. Следовательно, при ж > ж^Дх) объем наличных денег при выше, чем при Д2.
Замечание. Функция М(Д, ж) монотонна на всей области определения ж > Ои Д > атах(гд,7). Доказательство этого факта выходит за рамки статьи.
Экономическая интерпретация доказанного утверждения такова: потребительские расходы домашних хозяйств увеличиваются с увеличением коэффициента дисконтирования. В моделях с эндогенными коэффициентами дисконтирования часто предполагается, что с ростом относительного состояния потребитель становится более терпеливым, т.е. уменьшается его коэффициент дисконтирования [10]. Принимая во внимание это предположение, получим, что в задаче (1) более богатые домашние хозяйства обладают большей нормой сбережения.
3. Агрегирование. При анализе поведения домашних хозяйств будем предполагать, что при решении вопроса, каким образом распределить имеющиеся средства, потребители используют метод скользящего планирования. Скользящее планирование предполагает, что в каждый момент времени экономический агент принимает решение о перераспределении своих средств, ориентируясь на текущую экономическую конъюнктуру. Когда информационные переменные, отражающие состояние рынка, меняются, экономический агент корректирует свое поведение, заново решая задачу (1). В этом
случае поведение домашнего хозяйства описывается начальным значением фазовой переменной, заработной платой, параметрами индивидуальных предпочтений (коэффициент отвращения к риску, коэффициент дисконтирования) и внешнеэкономическими параметрами.
Рассмотрим п домашних хозяйств с параметрами . . А^ (величина начального капитала, заработной платы и коэффициента дисконтирования соответственно), где г = 1 ,...,п. Остальные параметры модели отвечают за экономическую конъюнктуру, поэтому мы будем считать их одинаковыми для всех домашних хозяйств. Тогда распределение средств Л /,. каждого домашнего хозяйства описывается задачей (1). Задача агрегирования домашних хозяйств сводится к нахождению такого А
п п
(если оно существует), при котором домашнему хозяйству с параметрами X = ^ Х^, Б = ^б^Д
г= 1 г= 1
п
соответствует М V М^ наличных денег.
1=1
Решение задачи (1) линейно относительно в. Обозначим решение задачи (1) с единичной заработной платой как т(А,ж). Тогда решением задачи агрегирования является такое А, что
т
А, xisi / Si ) = m(Ai-,xi)si i= 1 ' i= 1 ' i= 1 ' i= 1
n
Jl1
где Xi = Xi/Si.
Задачу агрегирования можно обобщить на произвольное количество домашних хозяйств. Рассмотрим функцию распределения заработной платы домашних хозяйств в начальный момент времени по коэффициенту дисконтирования и начальному благосостоянию Sq(x,A), определенную на некотором множестве fi = [fix х Г2д]. Будем считать, что коэффициент дисконтирования домашнего хозяйства не меняется со временем. Функция распределения заработной платы S(x, A, t) меняется с течением времени из-за изменения у домашних хозяйств уровня благосостояния х. Из условия неразрывности потока для S(x(t),A,t) следует, что
S(x, A, t) dxdA п
является константой. Не ограничивая общности, можно считать эту константу равной 1. Тогда задачу существования репрезентативного потребителя можно сформулировать так: существует ли такое А, что
m^A, J S(x, A, t)x dxdA^j = J S(x, A, t)m(x, A) dxdA.
ft ft
Обозначим f S(x, A, t)x dxdA как X(t), a f S(x, A, t)m(x, A) dxdA как M(t). ft ft Функция S(x, A, t) однозначно задается по начальному распределению Sq(x, А). Зависимость функции распределения заработной платы S(x, A, t) от времени связана с изменением у домашних хозяйств благосостояния x(t). Скорость изменения благосостояния равна
/(ж, А) = 1 + (rD - 7)ж - (rD + 1/в)т(х, А).
Тогда должно выполняться уравнение неразрывности потока заработной платы:
dS( ж, A)/dt + d(S( ж, А)/(ж, А))/дх = 0. (6)
Утверждение 2. Рассмотрим п, п > 0, домашних хозяйств с одинаковыми параметрами ж, A, S. Тогда решением задачи агрегирования будет домашнее хозяйство с коэффициентом дисконтирования, равным А.
Доказательство. Имеем
п / п \ п , п
т| А,^жS / = т(Д,ж) = ^т(А,ж)S /
i= 1 ' i= 1 ' i= 1 ' i= 1
Утверждение 3. Рассмотрим произвольную функцию начального распределения заработной платы домашних хозяйств во(х, А). Тогда
Я(х, А,1)хёхёА, А
о
сходится при А ^ атах(гд,7) + 0. Кроме того, если выполнено условие
! Б(х, А, ¿)т(ж, А) (1х(1А > т ^ Б(х, А,1)хёх(1А, Д^, (7)
о о
то задача агрегирования имеет решение.
Доказательство. При Д ^ +оо объем наличных денег т(Х, А) становится равным X. Из неотрицательности и монотонности функции т(Х, Д) по А следует существование предела при Д ^ —> а тах(го, 7) + 0. Обозначим его как М. Тогда область значений т(Х, ■): (М, X). Это означает, что при выполнении условия (7) будет существовать решение задачи агрегирования.
Теорема 3. Пусть выполнено соотношение (7), коэффициент дисконтирования домашних хозяйств принадлежит интервалу г в — (1 — 0)7 < А < г в + (1 — а)/в и все домашние хозяйства имеют сбережения. Также потребуем, чтобы во(х,А) была гладкой функцией на О, и равной нулю на границе области д$1х, а зависимость коэффициента отвращения к риску от коэффициента дисконтирования а(А) была непрерывна. Тогда репрезентативное домашнее хозяйство с постоянным коэффициентом дисконтирования существует тогда и только тогда, когда коэффициенты дисконтирования и отвращения к риску домашних хозяйств удовлетворяют соотношению {гв — Д)/(1 — а(Д)) = /3. Здесь /3 — константа в интервале 1/0^/3^7.
Доказательство. Используя уравнение неразрывности потока (6), выпишем, как будет меняться со временем суммарное благосостояние и суммарный объем наличных денег:
/х^-йх<1А = — [ хд^ йхйА = [ Г—жйТ + [ Б ! йх )йА, Ы ] дх ] V ап, I )
О О Од ох
/дтп \ Б йх I (¿Д. дх )
(1М [ дБ , ,д [ 9(5/) , ,д
— т—- ахаА = — I т—-— ахаА = /
(И ] &Ь у дх J \ дп
О О Од Ох
Выше было показано (доказательство утверждения 1), что, когда домашние хозяйства имеют сбережения, для них выполнено
дт _ ((гд - А)/(1 - а)- 7 )т дх 1 + (г в — "у)х — (г в + 1 /в)т
Также по условию на границе дО,х функция Б(х, А, равна нулю. Тогда суммарное благосостояние и суммарный объем наличных денег равны
йХ
,, Б/ ёхёА = 1 +{г в- ч)Х - (г в + 1 /0)М, (9)
Од о
х
<Й .1 .1 1 + (г„ - т).т - (гв + 1 /в)т .1 .1 V 1 - а )
Пд Ох Од Ох
Выпишем задачу агрегирования: т(А, Х(1)) = М(1). Коэффициент дисконтирования Д не зависит от времени тогда и только тогда, когда М = Хдт(А,Х(Ь))/дх. Используя (8)—(10), получим, что необходимым и достаточным условием стационарности коэффициента дисконтирования для агрегированного домашнего хозяйства является условие
/ А'(1- а(А) ~ 7) ТО(А'Х) ёЫЛ = ( 1- а(А) ~7) М(1)' (И)
Достаточность условия (гв — Д)/(1 — а(Д)) = /3 для выполнения (11) очевидна. Для доказательства необходимости рассмотрим функцию
q(t) = f S(x, Д, t) I ———гтт--—-— I т(А, х) dxdA.
W J V ^ \ ) l-a(A) J
При выполнении (11) эта функция тождественно равна нулю. Продифференцируем g(t), используя схему, применявшуюся при дифференцировании M(t). Получим
f = /А'(г^Щ - ГГ^)) -7) т(А'ж)dxdA■
Повторяя процедуру, получим, что
,<•>(0 = /*(*, A,t) (-^^'„(д^д.
Сведем интеграл g^n\t) к повторным:
Пд 4 '
где F(A,t) = / S(x, Д, t)m(x, A) dx. Для справедливости (11) необходимо потребовать, чтобы все функции g(n)(t) = 0. Это условие эквивалентно
/^•"(r^-^Vtr^-7)"^1 (12)
Од Х '
где А = f F(A,t) dA. Рассмотрим непрерывную функцию
Пд
гд~А _ j
^ 1 гп-А
1—ск(Д) !
Из определения г следует ее положительность. Если г(А) постоянна на Пд, то (12) справедливо. Если г(А) строго монотонна на Пд, то определена А~1(г). Если дх/дА = 0 на некотором отрезке [Д1, Д2], то вместо Пд в интеграле (12) можно рассмотреть Г2д/[Д1; Д2]. Тогда условие выполнения (12) эквивалентно условию
J G(z,t)zndz = А.
Здесь С(у,г) = Р(А,1)/(дг/дА), г = {у : ЗА е Пд, з(Д) = у, дг/дА ф 0}. Из интегри-
{ Д:г( Д)=|/}
руемости (12) по Риману следует интегрируемость по Лебегу, следовательно, мы можем суммировать интеграл (12) по разбиениям области значений на интервалы. Это влечет за собой сходимость сумм в определенной выше функции £?(.г, I). Таким образом, определение функции £?(.г, I) корректно. Рассмотрим преобразование Лапласа функции £?(.г, I) при фиксированном времени. Для корректности определения преобразования Лапласа определим функцию (■?(£, I) вне множества Z нулем. Тогда преобразование Лапласа равно
L(p) = J G(z, t) exp(-pz) dz.
Производные преобразования Лапласа в нуле равны
сю
L(")(0) = J G(z, i)(^l)nzndz = j G(z, t)zndz = (^l)nA. 0 z
Тогда в окрестности нуля преобразование Лапласа
i=о 7"
Применяя теорему единственности преобразования Лапласа, получим, что G(z,t) = AS(z — 1). Это означает, что (11) справедливо только тогда, когда z(A) = 1 при всех коэффициентах дисконтирования. Нетрудно заметить, что данное условие эквивалентно условию из формулировки теоремы. Следовательно, необходимость доказана.
Таким образом, найдены необходимые и достаточные условия агрегируемости домашних хозяйств и существования репрезентативного потребителя с постоянным по времени коэффициентом дисконтирования. Выполнение условия гц — А = (1 — а(Д))/3 говорит о наличии связи между коэффициентом межвременного предпочтения Д и коэффициентом отвращения к риску а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving j j The Economic J. 38. N 152. 1928. P. 543-559.
2. Беленький В.З. Оптимизационные модели экономической динамики: понятийниый аппарат, одномерные модели. М.: Наука, 2007.
3. Гималтдинов И. Ф. Исследование спроса на потребительские кредиты и наличные деньги / / Математическое моделирование. 2012. 24. № 2. С. 84-98.
4. Рудева А. В., Шананин А. А. Синтез управления в модифицированной модели Рамсея с учетом ограничения ликвидности // Дифференц. уравн. 2009. 45. № 12. С. 1799-1803.
5. Stiglitz J. Distribution of income and wealth among individuals / / Econometrica. 1969. 37. N 3. P. 382-397.
6. С hatter j ее S. Transitional dynamics and the distribution of wealth in a neoclassical growth model // J. Public Economics. 1994. 54. P. 97-119.
7. Case Hi F., Ventura J. A representative consumer theory of distribution // The American Economic Review. 2000. 90. N 4. P. 909-926.
8. Becker R. On the long-run steady state in a simple dynamic model of equilibrium with heterogeneous householder // The Quarterly J. Economics. 1980. 95. N 2. P. 375-382.
9. Борисов К.Ю. Об эндогенном темпе экономического роста в модели с неоднородными потребителями // Экономико-математические исследования: Математические модели и информационные технологии. Вып. 3. СПб.: Наука, 2003. С. 5-17.
10. Epstein L. A simple dynamic general equilibrium model // J. Economic Theory. 1987. 41. P. 68-85.
Поступила в редакцию 12.09.2012
NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS OF REPRESENTATIVE HOUSEHOLDER EXISTING IN RAMSEY-TYPE MODEL
Gimaltdinov I. F.
In this paper the problem of aggregation of householders behavior in Ramsey-type model is investigated. Heterogeneity of householders lies in different income, original assets, discount rate and coefficient of risk aversion. Necessary and sufficient conditions of representative householder existing are found for this case.
Keywords: Ramsey model, aggregation of householders behavior.
