Научная статья на тему 'Нелокальное улучшение управлений в полиномиальных по состоянию системах с терминальными ограничениями'

Нелокальное улучшение управлений в полиномиальных по состоянию системах с терминальными ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
85
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ / НЕЛОКАЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ / ТЕРМИНАЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ / OPTIMAL CONTROL PROBLEM / NONLOCAL IMPROVING / TERMINAL CONSTRAINTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Трунин Дмитрий Олегович

В статье предлагается процедура нелокального улучшения управлений в классе полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями на основе операции проектирования.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

IMPROVING CONTROL IN POLYNOMIAL ON A STATE SYSTEMS WITH TERMINAL CONSTRAINTS

In this article the non-local procedure for control improvement in polynomial on state problems with terminal constraints based on projective operation is proposed

Текст научной работы на тему «Нелокальное улучшение управлений в полиномиальных по состоянию системах с терминальными ограничениями»

УДК 517.977

Д.О. Трунин

НЕЛОКАЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ УПРАВЛЕНИЙ В ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПО СОСТОЯНИЮ СИСТЕМАХ С ТЕРМИНАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

В статье предлагается процедура нелокального улучшения управлений в классе полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями на основе операции проектирования.

Ключевые слова: задача оптимального управления, нелокальное улучшение, терминальные ограничения.

В работах [1, 2] в классе линейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления со свободным правым концом построены методы нелокального улучшения управлений, основанные на нестандартных формулах приращения функционала без остаточных членов разложений. Отсутствие операции варьирования управлений и возможность улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума, обусловливают повышенную эффективность построенных методов. В данной статье предлагается процедура нелокального улучшения допустимых управлений в классе полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями на основе операции проектирования. Нелокальность улучшения с выполнением всех терминальных ограничений обеспечивается за счет решения специальной краевой задачи, которая существенно проще краевой задачи принципа максимума.

1. Постановка задачи

Рассматривается полиномиальная по состоянию и линейная по управлению задача оптимального управления с одним терминальным ограничением

в которой х = ( х^), х2^),..., хп (г)) - вектор состояния, и = (и1(0, и2(?),..., ит (г)) - вектор управления, интервал Т фиксирован, х0 е Яп, с = (с1, с2,..., сп) - заданные векторы, с1 = 0, х11 е Я , матричная функция А(х, 0 и вектор-функция Ь(х, 0 являются полиномиальными по х степени I > 1 с коэффициентами, непрерывно зависящими от t на Яп X Т .

В качестве доступных управлений рассматривается множество кусочно-непрерывных функций со значениями в компактном множестве и с Ят

Для доступного управления и е V обозначим х(^ и), t е Т - решение задачи Коши (1) при и = и(0,

D.O. Trunin

NONLOCAL IMPROVING CONTROL IN POLYNOMIAL ON A STATE SYSTEMS

WITH TERMINAL CONSTRAINTS

In this article the non-local procedure for control improvement in polynomial on state problems with terminal constraints based on projective operation is proposed.

Keywords: optimal control problem, nonlocal improving, terminal constraints.

Введение

x = A( x, t )u + b( x, t), t gT = [t0, tj ], x(t0) = x0, u(t)g U, tgT = [t0, tj],

(1)

(2)

(3)

(4)

xj (tj) = xjj,

У ={ug PCm(T):u(t)gU, tg T}.

t g T.

Определим множество допустимых управлений

W ={u Gy : xj(tj, u) = xj1} .

Для задачи (1)-(4) функция Понтрягина с сопряженной переменной р е Яп имеет вид

Н (р, х, и, t) = Н0( р, х, t) + (Н1( р, х, t), и), где Н0(р,х,t) = (р, Ь(х,t)), Н1(р,х,t) = А(х,t)Тр .

Рассмотрим нормальный функционал Лагранжа

Ь(и,Л) = (с,х(^)) + Л(x1(t1) - х11), Ле Я.

Приращение функционала Лагранжа на паре доступных управлений (и0, V) в соответствии с [2] имеет вид

АуЬ(и0,Л) = {Н1(p(t,и0,v,Л),x(t, V),0, v(t) - иа(г)^йг , (5)

где р(г,и0,v,Л) - решение модифицированной сопряженной системы

р = -Нх- 2^Нх, ^-... - Нх, 4, г)х-, 1)х ’ (6)

Pl(tl) = -Л, (7)

р,- (^) = -с,, , = 2, п, (8)

где частные производные по х подсчитываются при значениях аргументов х = х(^ и0), и = и°(0 и г = х(^ V) - x(t, и0).

Для управления и0 е V образуем аналогично [1, 2] вектор-функцию

иа(р,х,t) = Ри (и°(0 + аН 1(р,х,t)), ре Яп, хе Яп, а> 0, где Ри - оператор проектирования на множество и в евклидовой норме.

Функция иа(р, х, t) непрерывна по совокупности (р, х) на Яп XЯп и кусочно-непрерывна по t е Т, причем имеет место оценка [1, 2]

1 2

(Н1(р,х,0, иа(р,х,0 -и°(0) > —иа(р,х,t) -и°(0 . (9)

\ 'а11 11

Регулярный принцип максимума для допустимого управления и0 = и) записывается в виде

и°(0 = иа(р(^и0,и0,Л),х(^и0),t), tе Т, а> 0. (10)

2. Процедура нелокального улучшения

Поставим задачу улучшения управления и0 еШ: найти управление V еШ со свойством

Ф^) <Ф(и0).

Процедура нелокального улучшения.

1. Для заданного а> 0 найдем решение (х(0, р(0), t еТ краевой задачи

х = А(х, t)иа(р, х, t) + Ь(х, t), t е Т ,

x(t0) = х0, хД^) = х1, (11)

р =- Нх - ^ Нх. 4 -...-!,(-((Нх, 4, ^.... 4, ■

р, (tl) = -с,, , = 2, п,

где частные производные по х подсчитываются при значениях аргументов х = х(^ и0), и = и°(0 и г = х^) - х^,и0).

2. Сформируем управление

v(t) = иа(p(t), x(t), t), t е Т .

Предположим, что решение (х(0, р^)), t е Т краевой задачи (11) (возможно, не единственное) существует на Т.

Понятно, что х^) = x(t, v) и v еШ .

Покажем свойство улучшения для выходных управлений.

Действительно, решение р(/), t е Т является решением системы дифференциальных уравнений (6)

при х = х^,и0), и = и°(0, г = х(^v)-х(^и0) и удовлетворяет краевому условию (8).

Обозначим

Л = -р1(0.

Тогда р^) = р^, и0, v,Л), t е Т.

Согласно формуле приращения (5) выходное управление v обеспечивает невозрастание функционала Лагранжа

L(v,Л) < Ь(и0,Л).

Следовательно, в силу допустимости управлений и0, v получаем

Ф(v) <Ф(и0).

Рассмотрим множество управлений на выходе процедуры улучшения

Ш1(и0) ={vе Ш : v(t) = иа(р^,и0,v,Л),x(t,v),0, tе Т} .

Множество Ш1 (и0) характеризуется поточечным соотношением в пространстве управлений

v(t) = иа(р(^и0,v,Л),x(t,v),t), tе Т .

Очевидным следствием этого соотношения является следующее утверждение.

Лемма. и0 еШ1(и0) тогда и только тогда, когда управление и0 еШ удовлетворяет регулярному принципу максимума (10).

Из леммы следует, что краевая задача улучшения (11) для управления и0 е Ш , удовлетворяющего регулярному принципу максимума, имеет хотя бы одно решение.

Отметим, что в силу оценки (9) выходное управление обеспечивает строгое улучшение целевого функционала, если управления и0 и v не совпадают.

Неединственность решения краевой задачи улучшения (11) дает возможность строгого улучшения управления и0 е Ш , удовлетворяющего принципу максимума в регулярном случае.

Выделим свойства краевой задачи (11), упрощающие ее по сравнению с краевой задачей принципа максимума.

1. В краевой задаче (11) уравнения для сопряженных переменных являются полиномиальными степени I -1 по х и линейными по р.

2. В краевой задаче (11) правые части для фазовых переменных являются непрерывными по совокупности аргументов (р, х) на Яп X Яп.

Предложенная процедура дает принципиальную возможность осуществления нелокального улучшения на множестве допустимых управлений в рассматриваемом классе задач. Трудоемкость построения улучшающего управления с выполнением всех терминальных ограничений определяется трудоемкостью решения непрерывной краевой задачи улучшения.

Подчеркнем нелокальность улучшения: отсутствует малый параметр, характеризующий близость улучшаемого и улучшающего управлений. Процедура имеет возможность улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума за счет неединственности решения краевой задачи улучшения. В случае, когда краевая задача улучшения не имеет решения, рассматриваемая процедура не действует и следует перейти к другим процедурам улучшения.

3. Вычислительные аспекты

Для решения краевой задачи (11) применяется метод возмущений, разработанный в [2].

Проиллюстрируем этот метод для квадратичной по состоянию задачи (1)-(4).

Соответствующая краевая задача улучшения имеет вид

х = А(х, t)иа(р, х, 0 + Ь(х,0, t е Т,

р = -Нх(р,х(^и0),и),0 -1 Нх(р,х(^и0),и0^),t)(х - х^,и0)),

х^0) = х0, хД^) = х , (12)

р, (Ч) = -с,, 1 = 2 п.

Введем в рассмотрение возмущенную краевую задачу с параметром £ G [0, 1] :

x = A(x,t)ua (p,x,t) + b(x,t), tg T ,

p = -Hx(p,x(t,u0),u0(t),t) -£Hx(p,x(t,u0),u0(t),t)(x-x(t,u0)),

x(t0) = x0, x1(t1) = x , (13)

pi (t1) = -ci, i = 2, n.

Отметим, что исходная краевая задача (12) получается при £ = 1. При £ = 0 задача называется невозмущенной.

Решение невозмущенной задачи сводится к решению одного алгебраического уравнения относительно неизвестного параметра a g R.

Действительно, для параметра a g R обозначим через p*(t, a), t G T решение задачи Коши

p = -Hx(p,x(t,u0),u0(t),t),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

pl(tl) = a , pi (t1) = -Ci, i = 2,n.

Пусть x*(t, a), t gT - решение фазовой системы

x = A(x, t)ua(p*(t, a), x, t) + b(x, t), t g T , x(t0) = x0.

Пара (x*(t, a), p (t, a)), t g T является решением невозмущенной краевой задачи тогда и только тогда, когда выполняется условие

x1(t1, a) = xj. (14)

Таким образом, невозмущенная краевая задача сводится к уравнению (14) относительно параметра

a g R.

Аналогично [2] для решения возмущенной краевой задачи (13) можно применить следующий итерационный процесс

xk+1 = A(xk+1, t)ua( pk+'(t), xk+1, t) + b( xk+1, t), t gT ,

x(t0) = x0, xl(tl) = xj, (16)

pk+1 = -Hx (pk+1, x(t, u0), u0 (t), t) - £ Hxx(pk (t), x(t, u0), u0 (t), t) (xk (t) - x(t, u0)),

pi (t1) = -Ci, г' = ^ n.

На каждой итерации процесса (16) решается задача, по трудоемкости аналогичная невозмущенной. В качестве начального приближения (x°(t), p°(t)), t g T выбирается решение невозмущенной задачи.

Итерационный процесс возмущений (16) продолжается до первого улучшения целевого функционала.

Ф(^ ) <Ф^0), uk (t) = ua(pk (t), xk (t), t), t G T .

Заключение

Предлагаемая процедура обеспечивает нелокальное улучшение допустимых управлений без процедуры варьирования по малому параметру с выполнением всех терминальных ограничений. Это свойство является существенным фактором повышения эффективности решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями.

Литература

1. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. - М.: Физматлит, 2000. - 160 с.

2. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2008. - 260 с.

Трунин Дмитрий Олегович, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: [email protected], тел. +7(3012)217733

Trunin Dmitry Olegovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, senior teacher of applied mathematics department of Buryat State University.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.