CC BY
36
fundamental harmonic amplitudes is u0x|c5 n^°\/d x|^(/i^0)D0/l). At
dn^/dx^j « ZT1 (_£ is diffusion length) that ratio is of order of uqt j LD0A ■
Let us some estimates. At A = 10*2eV, d -- l(r6cm we have u0«107cm/s. At x = l(T12s . L = 10~4cm, kT « 2 A , cot = 0.5, E « E0, (E0 * 600 V/cm) the amplitudes of the fundamental and second harmonic become comparable (see Figs. 2(b) and 3(b), curves 1). At temperature kT>2A situation for SHG becomes more optimal.
Similar results are obtained with the non-uniformity due to a temperature gradient.
The work was supported by the Russian Foundation of Fundamental Investigations (Project No. 02—02—16238).
References
Balkarey Yu. I., Epshtein E. M. // Fiz. Tekhn. Polupr. 1972. V.6 (4). P. 762-763.
Bass F. G., Bulgakov A. A., Tetervov A. P. High frequency properties of semiconductors with superlattices. M.: Nauka, 1989. 288 p.
Epshtein E. M. // Fiz. Tekhn. Polupr. 1978. V.12 (1). P. 182-184.
Feise M. W., Citrin D. S. // Appl. Phys. Lett. 1999. V.75 (22). P. 3536-3538.
Ignatov A. A., Shashkin V. I. // Fiz. Tekhn. Polupr. 1984. V.18 (4). P. 721-724.
Pavlovich V. V., Epshtein E. M. // Fiz. Tekhn. Polupr. 1976. V.10 (10). P. 2001-2003.
Romanov Yu. A., Romanova Yu. Yu. // Fiz. Tekhn. Polupr. 2001. V.35 (2). P. 211-215.
Romanov Yu. A., Romanova Yu. Yu. // Fiz. Tverd.Tela. 2004. V.46 (1). P. 156-161.
В. К. ИГНАТЬЕВ (Волгоград)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКА
ВТОРОГО РОДА
Введение
Полвека, прошедшие со времени пионерской работы В.Л.Гинзбурга и Л.Д.Ландау [1], не снизили интерес к электродинамике сверхпроводников второго рода. Магнитный поток в них переносится вихрями Абрикосова [2], образующими как сравнительно регулярную структуру (решетку), обладающую ближним порядком, так и своеобразную вихревую жидкость, характеризующуюся дальним порядком, и даже «вихревую плазму» [3]. При этом уже в диапазоне радиочастот проявляются существенная пространственная дисперсия и наведенная анизотропия, наблюдаемые в диэлектриках лишь в оптическом диапазоне.
Характерной особенностью сверхпроводников второго рода, затрудняющей анализ электромагнитных процессов, является невозможность разделить заряды на связанные, свободные и намагниченности. В диэлектриках и магнетиках такое разделение проводится по характерному масштабу перемещений. Связанные заряды совершают колебания порядка межатомных расстояний, а без внешнего поля покоятся; токи намагничивания без внешних воздействий создаются движением связанных зарядов по замкнутым траекториям, свободные заряды под действием внешнего поля перемещаются на макроскопические расстояния, а без поля покоятся. Соответственно вводятся макроскопические (средние по объему) векторы поляризации, намагниченности и тока проводимости (транспортного) [4].
В диапазоне оптических частот из-за значительного тока смещения нельзя однозначно выделить замкнутые траектории связанных зарядов, а перемещение свободных зарядов сравнимо с перемещением связанных. Поэтому состояние среды характеризу-
ется линейным функционалом электрического поля - вектором обобщенной поляризации Р, производная которого равна усредненному полному микроскопическому току j = rv в среде, включающему как ток проводимости свободных зарядов, так и локальные токи намагниченности и поляризации связанных зарядов (но не ток смещения) [5]:
“^ = {j) = -pfffj(r + r')i/V,P(r,/)= fafi'ff(?(r,r-r',i-/')E(r',/')flfV. (1)
V --г
Здесь V - физически малый объем, содержащий достаточно много структурных единиц, в котором можно пренебречь изменением полей. В соотношении (1) среда полагается изотропной и неоднородной, но стационарной, поэтому обобщенная восприимчивость среды зависит от точки, но не от момента времени наблюдения.
Соответственно вводится обобщенная индукция D = Е + 4;гР. В рамках такого подхода электромагнитное поле в среде описывается тремя векторами Е, В и D, а уравнения Максвелла без сторонних токов и зарядов принимают симметричный вид [5]: div В = 0, div D = 0, с rot Е = — dB/dt, с rot В = dD/dt. (2)
Здесь Е и В — макроскопические, т. е. усредненные по физически малому объему микроскопические поля еиЬ, соответственно:
е(г) = (е(г)) = у рг + г')</V. В(г) = (ь(г)) = у /Дь(г + г')<* V (3)
Соотношение (1) является материальным уравнением среды. Зависимость полного
тока от переменного магнитного поля в нем учитывается с помощью третьего уравне-
/
ния (2) как в(г) = -с |/-о/Е(?'У^ + В(о). Постоянное магнитное поле В0 = В(0) обычно
вводится в обобщенную восприимчивость как параметр.
Граничные условия для векторов Е, В и Б получаются из уравнений (2) обычным образом [5]:
Е2% — Еи, В2п — В1п, Э2/1 — 01я, В2х — Ви — 4я/,/с, (4)
где ¡г — линейная плотность индуцированного в среде полного поверхностного тока, включая ток намагниченности и поляризации.
В сверхпроводнике второго рода в диапазоне радиочастот поляризацией можно пренебречь, разделить же токи намагниченности и проводимости невозможно даже на постоянном токе, т. к. они создаются движением общего конденсата куперовских нар. Поэтому описывать электромагнитные процессы в сверхпроводнике даже на низких частотах следует с помощью обобщенной индукции.
Материальное уравнение сверхпроводника
Уравнения Гинзбурга — Ландау [1] получены минимизацией свободной энергии, они и следующее из них уравнение абрикосовского вихря [2] описывают стационарное термодинамически равновесное состояние. Нестационарные процессы, сопровождающиеся диссипативным движением вихрей, целесообразно описывать методами формализма Лагранжа. Построим нерелятивистский лагранжиан сверхпроводящего конденсата, описываемого волновой функцией (параметром порядка) \у, исходя из известной функции Лагранжа классической заряженной частицы в магнитном поле Ь — ту1/2 + е\А/с — II [5].
По аналогии с построением свободной энергии сверхпроводника [1| представим оператор скорости V как — (гЬ/2т)У — (е/ст)А, добавим слагаемые, учитывающие квантовый характер сверхпроводящей компоненты [ 1; 6], и лагранжиан электромагнитного
поля [7]: , , * \ Ь2 » ег |-> | р
L = ——\w'Ч^j/ -у Vу 1А-----—;—/ГЫ +2е\т (р +
2 ст 4 т с^т (5)
/7м дш , дш
ц/~---------ш —-
2 { dt Y dt
4 , /1 , ,л I I г!A I ,
rot A
I I2 P\ I4 I
■a\u/\-----------I// +■—
1 1 21 1 8tt
1 dA ^
---------+ V<p
с dt
87Г
Здесь использовано выражение [4] для потенциальной энергии переменного заряда в заданном потенциале и учтено, что
е = - (1/с)ЭА/0/- Уф. (6)
Уравнение Лагранжа для непрерывной среды имеет вид [6]:
51 д 81 д 31 д ¿1 д 81 дР
од, дг Э(дс/;/Э/) дхд{дд1/дх) дуд(8с11/ду) дг д{дц>[д:) Э(3<7,/(5г)' ^
Здесь роль обобщенных координат выполняют полевые функции ¿7,(г, 0, для лагранжиана (5) это параметр порядка ц/ или ц/* и компоненты вектор-потенциала Ах, Ау, А7.
В правой части уравнения (7) записана производная диссипативной функции по соответствующей обобщенной скорости [8], поскольку сверхпроводящая компонента и электромагнитное поле не образуют замкнутой системы. Ее взаимодействие с кристаллической решеткой и нормальной компонентой приводит к диссипации энергии электромагнитного поля в коре движущихся вихрей. Удвоенное значение диссипативной функции описывает скорость уменьшения энергии в системе. Поскольку диссипация связана с нормальной компонентой, подчиняющейся закону Ома, можно положить Р~ |е|2ая/2, где ап — проводимость нормальной компоненты, пропорциональная концентрации неспаренных электронов.
Вычисляя соответствующие производные лагранжиана (5) и диссипативной функции, подставляя их в уравнения (7), после несложных векторных преобразований с учетом соотношения (6) получим
и, За
dt Am I с
8пег i ,2 . /2лей / „ , \ 4i 1 de
rot rot А =---— M A +------wv V -ц/\ц/)+—crile +-----------------------. (9)
cm cm с с dt
Здесь A - микроскопический (неусредненный) вектор-потенциал. Уравнение (8) можно рассматривать как уравнение Шредингера, выражение в фигурных скобках представляет собой гамильтониан системы.
В стационарном случае, когда производные по времени равны нулю, интегрирование уравнений (8), (9) [91 совместно с уравнением Максвелла div е = 87ie(|v|/|2 - |v0¡2), где
ц/а = yj-aj}5 = -JnJ2 — параметр порядка без поля, показывает, что параметр порядка и
потенциал вблизи границы сверхпроводника с вакуумом меняются на расстоянии порядка длины когерентности Это значит, что в глубине сверхпроводника электрическое поле отсутствует, и постоянное значение потенциала можно положить равным нулю. Тогда стационарные уравнения (8) и (9) совпадают соответственно с первым и вторым уравнениями Гинзбурга — Ландау [1].
Учитывая, что в силу уравнения Максвелла
4п . 4п I де ,
rot rot А =—],+ — ст„е + --—, (10)
с с с dt
уравнение (9) можно записать в виде
L И2 ^ + (П)
cm 2т
который справедлив и в нестационарном случае. Это естественно, поскольку оно совпадает с квантовым средним тока сверхпроводящей компоненты.
Пусть Ч'Ог, 0 = у (г, t)/\\i о = ¡Т] ехр(/0). Тогда уравнение (11) принимает вид
4 пЯ2 1 2е
i=Tdr|-V*-4 (12)
И
т
глубина проникновения. Мнимая часть уравнения (8) при этом с
учетом соотношения (12) принимает вид уравнения непрерывности сверхпроводящей компоненты
5М2 | ,.
——- =-----с1п1, ,
от еп%
а действительная часть соответственно
80 _ П 3/ 4т
V#- —А 2 \
, и сЬ /
а/,| 12 Д 2е
(13)
Если вне кора положить ¡Ч7] = 1, а радиус кора вихря в не слишком сильном поле считать пренебрежимо малым, то, взяв ротор от уравнения (12), с учетом формул (2) и (10) получаем [9]
, Ала Л2 дЬ Л2 д2Ь , \
Ъ+ Л~ rOtrOtЪ + —-;-----+-—;---г = Ф0^(г — Г, ) . (14)
с" 5( с' дг
Здесь г(. — координаты центра вихря, Ф0 = Ф01(, где \¡ — единичный вектор, направленный вдоль оси вихря, Ф0 = пЪс/е — квант магнитного потока.
В стационарном случае уравнение (14) совпадает с известным уравнением неподвижного абрикосовского вихря [9]. Для вихря, движущегося со скоростью V вдоль оси х, четвертое слагаемое в правой части уравнения (14) равно (к^/с2)д2Ъ/дх2 и описывает деформацию движущегося вихря, связанную с лоренцевым сжатием. При V << с им можно пренебречь и считать, что движущийся вихрь не деформирован. Третье слагаемое связано с током нормальной проводимости. Так как этот ток не взаимодействует со сверхпроводящей компонентой, оно не искажает и распределения сверхпроводящего тока, и параметра порядка относительно кора движущегося вихря.
Усредним уравнение (14) по объему V, содержащему много параллельных вихрей, выбрав его в виде цилиндра с основанием £, перпендикулярным оси вихрей, и образующей, параллельной осям вихрей:
о ,2 „ 4хЛ2а„ дВ Л2 д2В _
В+Л /-0/Г0/В +--------_ + _г__ = /7ф (15)
С' ОТ С~ 01
где п — концентрация вихрей. При усреднении принято, что формула (5), вытекающая из теории Гинзбурга — Ландау [1], применима при малых значениях параметра порядка. Тогда можно считать, что при сверхпроводящем переходе концентрация нормальной фазы меняется незначительно, и нормальная проводимость яя почти постоянна во всем объеме сверхпроводника.
Из уравнения (15) следует, что только в однородном постоянном поле можно считать В= пФ0. Это связано с тем, что при усреднении но формуле (3) граница основания 5 делит некоторые вихри на части, и при неоднородном распределении вихрей они не компенсируют друг друга.
Волновое уравнение (15) можно рассматривать как нелокальное материальное уравнение для смешанного состояния сверхпроводника второго рода. Вместо напряженности магнитного поля Н полевой функцией в нем является концентрация вихрей п. Для того чтобы по заданной концентрации вихрей найти магнитное поле в сверхпроводнике, т. е. решить уравнение (15), необходимо задать на границе значение поля и его нормальной производной.
Как следует из уравнений (4), первое граничное условие определяется плотностью полного поверхностного тока, который зависит от положения вихрей вблизи границы. Второе условие также связано с распределением вихрей в приграничной области. Таким образом, возникает задача дополнительных граничных условий (ДГУ), которые
накладываются на функцию я(г). Как и в случае спиновых волн [10], ДГУ, в отличие от электродинамических условий (4), определяются взаимодействием магнитных моментов, в данном случае вихрей, с границей [11]. ДГУ часто возникают в электродинамике нелокальных сред, разработаны эффективные методы их получения и анализа [12].
Динамика вихрей
Как видно из уравнения (15), магнитное поле в сверхпроводнике второго рода определяется динамикой вихрей. Движение вихрей определяет и электрическое поле. Поэтому анализ электродинамики такого сверхпроводника целесообразно проводить кинетическим методом [13].
Рассмотрим движущийся в сверхпроводнике одиночный вихрь. Продифференцируем по времени уравнение (12) с учетом уравнения (13):
%=£!^е + 2£1М.Гув-^А'1 + 7/. (16)
8( 4лА Ш2е д1 [ Ьс)
Здесь обозначено Í
ñ ГДН <1 1 1 1 та > 2 ^
4т 1 и ей )
-fW
Первое слагаемое в уравнении (16) совпадает с первым уравнением Лондонов [9] с той разницей, что электрическому полю пропорциональна частная производная плотности сверхпроводящего тока по времени. Второе и третье слагаемые — вклад движущихся вихрей, для неподвижного вихря они равны нулю. При V « с можно считать, что вихрь при движении не деформируется. Поэтому модуль и фаза параметра порядка, плотность сверхпроводящего тока и, следовательно, вектор-потенциал распределены относительно центра г/?) движущегося вихря так же, как и в неподвижном.
Обозначим р = г - г;.. Тогда о\ц/\2/д[ = V У|ур, где у(г,) = с!г/сЬ — скорость центра вихря, У0 = 1 х р/р2, А = I х рЛ(р)/р, У]\}/|2 = (¿]\1/р/ф)р/р, У/" = (df/dp)plp. Усредним уравнение (16) по физически малому объему, содержащему много вихрей, центры которых г( распределены в сверхпроводнике с плотностью п. Нетрудно видеть, что третье слагаемое в силу симметрии вихря при усреднении дает нуль. Тогда
5j,(r)\ с2 he2 Г Г / V / \ С d\if/\ í 1 2е Ï ,
—--Е +--—1 X «(r-c)(v(r-efe —;———--------------------------------------A d'р
9ьтг3~ о J J п~ Ип п tir
i ¿e ^
dt / 48п?}е v ' р2 dp \ р Tic
Здесь интегрирование в правой части ведется по всему сечению вихря.
Направим ось z вдоль оси вихрей, тогда вектор р в интегралах (18) будет иметь компоненты х и у, а вектор г - хп и у(). Так как область сверхпроводящих токов и магнитных полей в вихре имеет размер порядка X, функции nvx и nvy можно разложить в ряд Тейлора по х и у до квадратичных слагаемых.
Получившиеся интегралы удобно вычислять в цилиндрических координатах. Учитывая при интегрировании по частям, что поле вихря затухает на бесконечности быстрее экспоненты [9], а поток, охваченный вихрем, равен кванту Ф0, |у(0)| = 0, ¡\[/(0)| = 1, и используя стационарное уравнение (14), после векторных преобразований получаем
!í'ff-§+^E4®“x(m+/4("v)))- (is>
В уравнении (18) учтено, что полный микроскопический ток равен сумме токов сверхпроводящей и нормальной компонент, а последняя подчиняется закону Ома. Последнее слагаемое в формуле (18), зависящее от скорости вихрей, можно рассматривать как дополнительное поле, создаваемое движущимися вихрями: Ev = Ф0 х («V + + Х2А(т'))/с. Возьмем ротор от правой и левой частей этой формулы. Учитывая, что
постоянный вектор Ф0 перпендикулярен векторам V и grad п, получим после несложных векторных преобразований
rot Ev = Ф0{О + l2D(nv)/n)Vrt + rtV(v + 12Д(т)/п)}/с = ®0div(/rv + %гА(п\))/с.
Продифференцировав по времени уравнение (15) и взяв от него лаплассиан, ограничиваясь вторыми производными, с учетом уравнения непрерывности для вихрей
dn/dt — — div (от), (19)
получим ЭВ/dt— к2 А(дВ/St) = —Ф0 div (т). Соответственно
A(dB/dt) = д(АВ)/д/ = Ф05(Дn)/dt = - Ф0Д(аМот)) = ~Ф0 div(A(w)).
Таким образом, rot Ev = “(l/c) dB/dt, что совпадает с уравнением Максвелла и подтверждает применимость формул (15) и (18).
При движении однородной рещетки вихрей с постоянной во времени и пространстве скоростью в сверхпроводнике без внешних полей формула (18) переходит в известную формулу Е = Bxv/c [9], которую можно вывести из преобразования Лоренца [4 - 6]. Действительно, в системе, связанной с однородным во времени и пространстве потоком вихрей, все вихри покоятся, и электрическое поле отсутствует. Если же концентрация вихрей и их скорость являются функциями времени и координат, в любой инер-циальной системе отсчета часть вихрей будет двигаться с переменными скоростями, следовательно, будет присутствовать дополнительное электрическое поле.
При выводе формулы (18) предположений о характере движения вихрей, кроме нерелятивистских скоростей, не делалось, однако не учитывался эффект Холла. Поскольку уравнение непрерывности в форме ( 19) не применимо в области зарождения или исчезновения вихрей, граница сверхпроводника требует особого рассмотрения.
Ток нормальной проводимости в сверхпроводнике учтен в правой части уравнения (7) как обобщенная сила трения [8]. Можно найти эту силу в явном виде. Нетрудно показать, что магнитный момент М единицы длины вихря равен Ф0/(4т1). Поскольку сверхпроводящая компонента, создающая этот момент, не обменивается энергией с нормальной компонентой, поле Brt, создаваемое токами нормальной проводимости, можно считать внешним для этого момента. Если сверхпроводник однороден вдоль оси z, то поле Вл = Вп 1 и магнитный момент М направлены вдоль ь Воспользовавшись формулой для силы, действующей на магнитный диполь во внешнем поле [5], получим ff= grad (MBf() = Л/grad Вп = Mix rot Вя = Ф0 х j Je. (20)
Отметим, что сила, действующая на вихрь со стороны токов нормальной проводимости, направлена противоположно силе, действующей со стороны сверхпроводящих токов [9]. Это естественно, поскольку поле, формируемое сверхпроводящими токами, не является внешним по отношению к вихрю. Считая, что ток нормальной проводимости подчиняется закону Ома, получим выражения для силы трения, действующей на единицу ДЛИНЫ движущегося вихря, if — СТ)(Ф0 х ЕJe - —Г|V, где В0 и Е0 = В0 х у/с -магнитное и электрическое поля в центре вихря, соответственно Г1 = оппФ0В0/с2 -коэффициент электромагнитной вязкости. Он приближенно пропорционален среднему магнитному полю 5» fí{) [9].
Линейная восприимчивость
Пусть в сверхпроводнике, в котором внешним источником, например транспортным током, задано распределение вихрей я0(г), распространяется плоская гармоническая волна В(г, /) = 16mexp(/kr — /а/). Она создает в сверхпроводнике гармонические волны скоростей v(r, /) и концентраций /г,(г, г). При этом в уравнении (18) п(г, t) = я0(г) + п{(г, (), т. е. переменная составляющая концентрации вихрей порождает вторую гармонику электрического поля. При анализе линейной восприимчивости будем считать, что Вт « В0, где В0(г) — стационарное распределение магнитного поля в сверхпроводнике, соответствующее распределение вихрей л0(г), соответственно |П| (г, 01 << л0(г). Поэтому в уравнении (18) положим «(г, t) = я0(г).
Будем считать, что в стационарном состоянии вихри закреплены на центрах пин-нинга, а под воздействием волны колеблются около этих центров, не переходя в режим
течения потока. При этом внутри сверхпроводника вихри не зарождаются и не исчезают. Воспользуемся моделью коллективного пиннинга упругого вихря на распределенных дефектах [9]. Проводя усреднение (3) сначала по оси £, вдоль которой направлен орт 1, а потом по сечению 5, перпендикулярному этому орту, получим на первом этапе линейные вихри, ориентированные вдоль оси г, с равномерно распределенной силой пиннинга.
Положим, что сила пиннинга, действующая на единицу длины вихря, равна I = —аа + ¿(ири. Здесь и — смещение вихря от положения равновесия. Коэффициент нелинейности Ь учитывает, что при достаточно большом смещении вихрь отрывается от центра пиннинга. В линейном приближении будем считать |и| малым и положим 6 = 0. Учитывая известную формулу [9] для силы, действующей на единицу длины вихря со стороны сверхпроводящих токов обтекающих кор вихря, и формулу (20), запишем уравнение движения вихря в виде
= а, - у х Ф0/с.
Усредним это уравнение по сечению физически малого объема. Так как V = да/ди для средней скорости получим
V =-
ас
д2Р „ дЕ
~ТГ '~ы
хФ„
Подставляя это соотношение в формулу (18), получим
Л1
дг
4 лаЛг
-А (и„Р)
С" Т7 , ^
—СТ.. ““ 4nk dt
Е-
Фр”о
2лаЛс
Е-—Д(«„Е)
(21)
Если в неоднородной среде распространяется плоская гармоническая волна постоянной амплитуды E(r, t) — E0exp(/kr - Ш), то из формулы (1) следует, что волна обобщенной поляризации также будет плоской и гармонической, но, в общем случае, с
переменной в пространстве амплитудой: Р(г, г) = ¿(а/, k, r)E0 exp(ikr - hot), где
•э?
¿{со. k,r) = Jc/r /кр + icor)d''p -
0
Фурье-образ обобщенной восприимчивости (1), часто называемый комплексной восприимчивостью. Введенная таким образом восприимчивость позволяет определить
обобщенную проницаемость ¿{со,к,г)=1+4^(одк>г), которая связывает комплексные
амплитуды плоских гармонических волн электрического поля и обобщенной индукции
D(r) = £(®,k,r)E0.
Для плоских гармонических волн уравнение (21) принимает вид
ІЕ - ІЕ - — а(п0ІЕ)) =
V «о ) К со
4 лЛ2со2
E-у-
7І.
СО
E
-ДкЕ)'
Яг,
(22)
где обозначено Y -
фо”о гг
----гг. Для жестко закрепленных на центрах пиннинга вихреи
4лаЛ ,
(сверхпроводник третьего рода) при а -»оо получаем i'(ft),k.r) = io(OJ’r);
і ст..
со 4 лЛгсо2
1C
т. е. пространственной дисперсии нет. Обобщенная проводимость ст = -¡со/_ = сг, ^ ^
соответствует комплексной проводимости сверхпроводника в рамках двухжидкостной модели и описывает проникновение электромагнитного поля на глубину
t,.? » гДе
CO.. = -
е n,
+ сг со: ’
4 лЛга„ су п?
■ 10 с -
частота, на которой сравниваются
токи сверхпроводящей и нормальной компонент [9].
Будем искать решение уравнения (22) для случая малой концентрации сильно связанных вихрей при у << 1 методом последовательных приближений по малому параметру у: j((y,k,r) = i0(iw,r)+fi'i(iy,k,r), тогда iiE = ¿о--------|{woe_^2a(woe)), и для плос-
\ СО J
кой волны получаем
(' г \
i, (й>, к, г) = - — + —|— \(п0 + Л2 (к2 п0- 2/kVи0 - Апа)) _
^ со АяЛ~со' )
Для металлического сверхпроводника в радиочастотном диапазоне 1,2к2 << 1. Для сверхпроводников со значительной силой пиннинга характерны треугольные распределения концентрации вихрей [9]. Лапласиан такого распределения равен нулю всюду, кроме точки излома, и при усреднении можно положить Х2Лп0 « п{г Поэтому выражение для обобщенной проницаемости жесткого сверхпроводника имеет вид
—+ 1 (л0-2/Л2кУи0)_
С' ' ioj 1 Фо С-
12 2 Я (о 1 ) Л2а Л2со2
(23)
Из формулы (23) видно, что пространственная дисперсия проявляется в неоднородно намагниченных сверхпроводниках. При этом и действительная, и мнимая части обобщенной проницаемости зависят от угла между волновым вектором к и градиентом концентрации вихрей, т. е. направлением транспортного тока. Особенно сильно влияние пространственной дисперсии на зол ну, распространяющуюся в направлении градиента концентрации вихрей.
В сверхпроводящей пластине увеличением транспортного тока и его последующим уменьшением до нуля можно создать распределение вихрей, когда у поверхности концентрация равна нулю, а градиент ее максимален и определяется критическим током [9]. В этом случае в приграничной области даже при слабом пиннинге, т. е. большой
величине Ф: а, параметр у будет мал и применимо представление (23). Тогда при
а со
выполнении условия «ЛЧ > для волны, распространяющейся в глубь сверхпроводника, действительная часть обобщенной проницаемости положительна, а для обратной — отрицательна.
Строго решить задачу о распространении волны в направлении градиента, т. е. изменения параметров среды, достаточно сложно. В таких неоднородных средах возможны, например, продольные волны, для которых Е = к£|. Для плоской продольной волны
второе уравнение Максвелла (2) принимает вид с/п Э = сйг’(г(г)Е)= )+ екЕ = 0 , т. е.
кУгТ = -/ггт. При со << со^ из уравнения (23) следует, что для продольных волн
Фо
к = :у , что достижимо в приграничной области.
С1Л
Для противоположного случая большой концентрации слабо запиннингованных вихрей уравнение (22) можно решать методом последовательных приближений по малому
Ала?2
параметру У :
Ф(И7о
8 тст„ 16л2аЛ2 (¡ст„
£(fi>,k,r)=i-t----------г -г-п
со + Л~к~)
4 лЛ2
со"
(24)
В пределе свободных вихрей (а -> 0) получаем чисто мнимую восприимчивость, т. е. движение вихрей в сверхпроводящей фазе просто удваивает потери в нормальной фазе. Это вполне естественно, поскольку в идеальном сверхпроводнике второго рода потери возникают на сколь угодно низких частотах [9]. При со « со обобщенная
проницаемость (24) почти действительная и положительная. Если у = 0,1 и X — 10-5 см, то на частоте ю = 106 с“1 е ~ Ю20, коэффициент преломления порядка 1010, что соответствует волновому числу к = 105 см“1 ~ 1/Х.
Этот результат свидетельствует о приближенности формулы (24). При таких значениях волнового числа поле в физически малом объеме, по которому производилось усреднение, оказывается существенно неоднородным и может стать неприменимым исходное уравнение (21). Нелокальность связана с тем, что при значительной амплитуде колебаний слабо запиннингованных вихрей на их движение влияет поле на расстоянии от центра пиннинга существенно большем, чем X. Для анализа пространственной дисперсии в таком случае следует учитывать больше членов разложения при вычислении среднего поля и тока (18) и применять кинетический метод [13] с помощью функций распределения, рассматривая слабый пиннинг как малое возмущение лагранжиана (5).
Заключение
Уравнения динамики абрикосовских вихрей, полученные с помощью формализма Лагранжа, позволяют рассматривать электромагнитные процессы в сверхпроводниках второго рода в терминах обобщенной индукции. Несмотря на создаваемую транспортным током анизотропию, обобщенные проницаемости (23) и (24) являются скалярными, т. е. продольная и поперечная проницаемости равны. Следовательно, магнитная проницаемость сверхпроводника (дифференциальная, поскольку рассматриваются малые амплитуды) равна единице [5]. Это соответствует рассмотренной модели колебания вихрей возле центров пиннинга. При таком движении намагниченность не меняется.
Изменение намагниченности и, соответственно, тензорный характер обобщенной проницаемости проявятся в режиме течения потока. Анализ пространственной дисперсии при таком движении вихрей требует применения кинетических методов [13]. Однако уже полученные выражения для обобщенной восприимчивости показывают возможность нескольких типов волн - продольной, замедленной, пусть и не в такой степени, как следует из формулы (24). Возможность электрического управления дисперсионными характеристиками таких волн и анизотропией среды с помощью транспортного тока и внешнего подмагничивания, задающих нужное распределение вихрей, позволяет применять их в устройствах функциональной электроники подобно спиновым волнам [10].
Литература
1. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. Т. 20. С. 1064 (1950).
2. Абрикосов A.A. // ЖЭТФ. Т. 32. С. 1442 (1957).
3. Руткевич С.Б. // ФНТ. Т. 16. С. 288 (1990).
4. Галицкий В.М., Ермаченко В.М. // Макроскопическая электродинамика. М.: Высш. шк., 1988.
5. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. СПб.; Лань, 2003.
6. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика. М.: ИКИ, 2003.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматлит, 2001.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Физматлит, 2001.
9. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000.
10. Ахиезер А.И., Баръяхатар В Т., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: На-
ука, 1967.
И. Bean СР., Livingston J.D. // Phvs. Rev. Lett. V. 12. C. 14 (1964).
12. Ахмедиев H.H., Яцышен В.В. // ФТТ. Т. 18. С. 1679 (1976).
13. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория электромагнитных процессов. М.: Наука, 1980.
