CC BY
100
Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. Т. 4. Вып. 1 • 2013 Специальный выпуск СИСТЕМА ПЛАНЕТА ЗЕМЛЯ
Special issue 'The Earth Planet System' Spezialausgabe 'System Planet Erde'
Почвы и грунты
Soils and Grounds / Bo den
УДК 551.324 + 624.131
Геворкян С.Г.
Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Геворкян Сергей Георгиевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, ОАО «Фундамент-проект» (Москва)
E-mail: Sergev99@yandex.ru
В настоящей статье на основании анализа и обобщения результатов экспериментальных и теоретических исследований А.Е. Шайдеггера, С.С. Григоряна и Н.Н. Маслова, а также наших собственных экспериментов, предложено эмпирическое соотношение, которое, в отличие от традиционного закона трения Кулона, описывает нелинейное изменение сопротивления грунтов сдвигу с ростом действующей на грунт нагрузки. Практическое значение предложенного нелинейного закона трения заключается в возможности решения с его помощью задач прогноза дальности выброса и скорости перемещения обвальных масс по склону в зоне аккумуляции. Актуальность такой задачи обусловлена нуждами гидротехнического и линейного строительства, горного дела, формирования крупных территориально-производственных комплексов, инженерной защиты промышленных и гражданских объектов, а также охраны природной среды.
Ключевые слова: крупномасштабные горные обвалы и оползни; сопротивление грунтов сдвигу; закон трения Кулона; нелинейный закон трения; мёрзлые грунты.
Горные обвалы, оползни и оползни-обвалы объемом в десятки и сотни миллионов кубических метров обычно перемещаются с большой скоростью в виде глыбово-щебнистых потоков и глыбово-блоковых массивов. Склоны захватываются на глубину до 100—150 м (иногда и больше), а потоки и массивы смещаются на аномально большие расстояния, измеряемые километрами [Болт и др 1978; Григорян и др. 1983; Шайдеггер 1981]. На это обстоятельство впервые обратил внимание А. Хейм, изучавший последствия катастрофического Эльмского обвала, произошедшего в Швейцарских Альпах 11 сентября 1881 г. [Heim 1932]. Каменная масса объемом в 10 млн.м3 обрушилась со склона горы Эльм, и, сопровождаемая сильной воздушной волной, прошла расстояние в 2 км со средней скоростью 20—42 м/сек, пересекла долину и поднялась по противоположному ее борту на высоту до 100 м над дном долины. Максимальный объем каменных глыб, перемещенных потоком на эту высоту, достигал 100—200 м3.
Еще более впечатляющим является грандиозный Уаскаранский обвал, вызванный катастрофическим Перуанским землетрясением 31 мая 1970 г. Огромная масса обломочного материала, объемом не менее 50 млн.м3, сорвалась с северной вершины горы Уаскаран и прошла расстояние 15 км до города Юнгай со скоростью ок. 320 км/час, преодолевая гребни высотой в 140 м [Болт Б.А. и др. 1978].
Описания других крупномасштабных обвалов и оползней можно найти как в уже цитированных нами выше работах [Болт Б.А. и др. 1978; Григорян С.С. и др. 1983], так и в других [Агаханянц 1989].
Обычно движение масс горных пород вниз по склону описывают в рамках кулоновского закона сухого трения [Аксенов 2008; Втюрина и др. 1999; Геворкян, Калантарова 1994, 1987, 1988; Гулакян и др. 1977; Емельянова 1977; Ройнишвили 1973; Шайдеггер 1981; и др.]:
где т — удельная сила трения (сопротивление сдвигу), О — нормальное напряжение, ф — угол внутреннего трения горной породы, f = Ьдф — коэффициент внутреннего трения (или просто — коэффициент трения), с — сцепление.
Введение
(1)
Electronic Scientific Edition Almanac Space and Time vol. 4, issue 1 Special issue 'The Earth Planet System'
Elektronische wissenschaftliche Auflage Almabtrieb 'Raum und Zeit' Band 4, Ausgabe 1 Spezialausgabe 'System Planet Erde
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
А. Хейм одним из первых отметил тот факт, что при сходе крупномасштабных оползней коэффициент кулоновского трения f прогрессивно снижается по мере возрастания объема оползневого тела [Heim 1932]. Этот эффект проявляется в том, что полученная обратным расчетом в рамках кулоновской теории трения величина коэффициента трения уменьшается от значения 0,8—0,6 для оползневых масс с объемами 103—105 м3 до значений 0,08—0,06 для гигантских оползней, объем которых превышает 1010 м3 [Остроумов 1986; Шайдеггер 1981]. Для объяснения механизма этого явления было предложено большое количество различных гипотез, обстоятельный анализ и аргументированная критика которых даны в работах А.В. Остроумова [Остроумов 1986], А.Е. Шайдеггера [Шайдеггер 1981] и Т. Эрисманна [Erismann 1979]. Этими исследователями было показано, что некоторые из ранее предложенных гипотез «изначально являются несостоятельными, а остальные носят частный характер и не способны объяснить универсальность проявления этого масштабного эффекта» [Остроумов 1986].
Впервые феноменологическую зависимость между коэффициентом трения и объемом оползня дал А.Е. Шайдеггер [Scheidegger 1973] в следующей форме:
lg f = a • lg V + b (2)
где f — коэффициент кулоновского трения;
V — объем оползня, измеренный в кубических метрах;
а и b — безразмерные коэффициенты, а = -0,15666, b = 0,62419.
Формула (2) применима лишь при значениях V > 4х104 м3. В случае небольших оползней можно воспользоваться вариантом этой формулы:
-0,1567
f = fo • V-М56' (3)
0
где ^ = tgaест ,
аест — угол естественного откоса оползневого материала.
В частности, при V = 1 м3 из (2) следует f = ^.
Напомним, что, по определению, угол естественного откоса — это «максимальный угол наклона откоса, сложенного горными породами, при котором они находятся в равновесии, т. е. не осыпаются, не оползают. Зависит от состава и состояния горных пород, слагающих откос, их водоносности, а для глинистых пород — и высоты откоса» [Геологический словарь 1978]. Величина угла естественного откоса определяется опытным путем [Бахарев и др. 2003]. Считается, что расчётным путём эту величину определить нельзя. Однако в настоящей статье далее будет показано, каким образом можно вычислить величину угла естественного откоса.
Дальнейшая модификация формулы А.Е. Шайдеггера была предложена в работе С.Г. Геворкяна и Ж.Х. Калантаровой [Геворкян, Калантарова 1994]. Здесь авторы воспользовались формулой А.В. Остроумова [Остроумов 1986], связывающей объем оползня (V) и его характерную толщину (Н):
Н = С ■ V1/3 (4)
где С — параметр формы; в среднем, для горных обвалов и оползней, С = 0,24 (по А.В. Остроумову). С учетом (4) из выражения (3) следует:
-0,47
f = 0,511 • fo • H^ (5)
Эмпирическая формула А.Е. Шайдеггера довольно хорошо подтверждается натурными данными. Однако недостаток ее состоит в том, что она применима лишь для описания движения гигантских катастрофических оползней. Кроме того,
А.Е. Шайдеггер не дал объяснения снижению силы трения с ростом объема оползня. Он ограничился замечанием: «Почему оно происходит, остается пока загадкой» [Шайдеггер 1981].
Но вскоре С.С. Григорян сорвал, наконец, покров загадочности с этого явления.
Новый закон трения С.С. Григоряна
С.С. Григорян дал объяснение снижению силы трения с ростом объема оползня, и предложил новый закон трения, который отличается от известного закона Кулона и имеет следующий вид [Григорян 1979]:
/а , /а < т* ;
т = “! . . . (6)
т , /а >т .
Здесь т — характеристика эффективной прочности на срез более слабого из трущихся материалов (рис. 1).
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Рис. 1. Диаграмма нового закона трения С.С. Г ригоряна
В основу этого закона положена идея, согласно которой величина эффективного касательного напряжения на поверхности трения ограничена прочностью трущихся материалов и не может беспредельно расти с ростом нагрузки на контакт, как это следовало бы из закона кулоновского трения. В результате, начиная с некоторых значений нагрузки на склон, или, что то же самое, с некоторого объема оползневой массы, сила сопротивления движению оползня стабилизируется, в то время, как движущая сила гравитационной природы, пропорциональная массе оползня, растет с увеличением этой массы. Таким образом, относительная (рассчитанная на единицу массы) сила сопротивления движению у крупных оползней оказывается тем меньше, чем больше их толщина и, соответственно, масса, а, следовательно, и объем, — что и находит свое отражение в описанном выше эффекте.
Предложенный С.С. Григоряном закон трения (6) можно использовать во всем диапазоне нагрузок, действующих на
*
грунт, однако его широкое практическое применение осложняется трудностями определения параметра т , играющего важнейшую роль при определении тех пороговых нагрузок, по достижении которых традиционный кулоновский закон трения оказывается неприемлемым. Обычно этот параметр приходится определять по аналогии, проводя обратные расчеты для уже сошедших оползней [Григорян и др. 1983].
Справедливость нового закона трения, предложенного С.С. Григоряном, подтверждается многочисленными экспериментальными данными (см. рис. 2—13), которые приводятся как в научных публикациях [Айроян 2006; Айроян, Егиа-зарян 2012; Айроян, Шахназарян 2009; Маслов 1977; Пекарская, Цытович 1957; Таслагян 2006; Шушерина, Цытович 1957], так и в справочной [Берч и др. 1949] и нормативной литературе [СНиП 2.02.03-85 1986]. Значительная часть этих данных была получена и обнародована задолго до того, как С.С. Григорян предложил свой закон трения. Однако во всех этих источниках авторы либо никак не комментировали очевидные проявления нелинейной зависимости сопротивления сдвигу т от нормального давления О, либо, не обращая внимания на ими же полученные экспериментальные свидетельства нелинейной связи т и О, утверждали, что эту зависимость «с достаточной для практики точностью можно считать линейной» [Месчян 1959].
Рис. 2. Результаты экспериментов Е.П. Шушериной и Н.А. Цы-товича (Материалы по лабораторным исследованиям мёрзлых грунтов. Сборник 3. М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 280—288)
Опыты К.А.Т аслагяна, 2006 (Ин-т геологии АН Армении)
Тяжёлая глина; W = 30,3 %
0,100 0,090 0,080 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,020 0,010 0,000
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
Рис. 3. Результаты экспериментов К.А. Таслагяна (Известия Нац. Академии наук Республики Армения. Науки о Земле. 2006. Т. 59. № 3. С. 45—48)
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Рис. 4. Результаты экспериментов С.Г. Айрояна (Известия Нац. Академии наук Республики Армения. Науки о Земле. 2006. Т. 59. № 3. С. 42-44)
Рис. 5. Результаты экспериментов С.Г. Айрояна и Г.Р. Шахна-заряна (Учёные записки Ереванского Гос. ун-та. Геология и география. 2009. № 3. С. 8—16)
Рис. 6. Результаты экспериментов С.Г. Айрояна и М.Т. Егиаза-ряна (Учёные записки Ереванского Гос. ун-та. Геология и география. 2012. № 2. С.3—9)
Рис. 7. Данные из Таблицы 7—1Х «Сопротивление сдвигу под высоким всесторонним давлением» (в кн.: Берч Фр., Шерер Дж., Спайсер Г. Сопротивление сдвигу горных пород и минералов. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1949. 304 с.)
Рис. 8. Данные из Таблицы 7—1Х «Сопротивление сдвигу под высоким всесторонним давлением» (в кн.: Берч Фр., Шерер Дж., Спайсер Г. Сопротивление сдвигу горных пород и минералов. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1949. 304 с.)
Рис. 9. Данные из Таблицы 7—1Х «Сопротивление сдвигу под высоким всесторонним давлением» (в кн.: Берч Фр., Шерер Дж., Спайсер Г. Сопротивление сдвигу горных пород и минералов. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1949. 304 с.).
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
1,00
0,90
0,80 :
0,70
0,60
0,50 :
0,40
0,30
0,20
0,10 :
0,00
0
Расчетные сопротивления сдвигу по боковой поверхности забивных свай и свай-оболочек. Данные таблицы 2 СНиП 2.02.03-85, стр.8.
0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
-•“Пески крупные и средней крупности —♦—Пески мелкие А Пески пылеватые
Рис. 10. Данные из Таблицы 7—1Х «Сопротивление сдвигу под высоким всесторонним давлением» (в кн.: Берч Фр., Шерер Дж., Спайсер Г. Сопротивление сдвигу горных пород и минералов. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1949. 304 с.).
Рис. 11. Расчетные сопротивления сдвигу по боковой поверх ности забивных свай и свай-оболочек. По данным таблицы «Пес ки различной крупности» (2 СНиП 2.02.03-85, с. 8).
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Расчетные сопротивления сдвигу по боковой поверхности забивных свай и свай-оболочек. Данные таблицы 2 СНиП 2.02.03-85, стр.8. Глинистые грунты при различных показателях текучести 1Ь (значения приводятся в легенде)
: t, кГ/см'
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
- -0,2 -»-0,3
0,4 0,5 0,6 А 0,7 -00,8
0,9 А 1
Рис. 12. Расчетные сопротивления сдвигу по боковой поверх- Рис. 13. Расчетные сопротивления сдвигу по боковой поверх-
ности забивных свай и свай-оболочек. По данным таблицы 2 ности забивных свай и свай-оболочек. По данным таблицы 2 «Глинистые грунты» (СНиП 2.02.03-85, с. 8). «Глинистые грунты» (СНиП 2.02.03-85, с. 8).
Среди множества публикаций, посвящённых экспериментальным исследованиям сопротивления грунтов сдвигу, выделяется работа Н.Н. Маслова [Маслов 1977]. В ходе лабораторных испытаний глинистых грунтов Н.Н. Маслов всё же обратил внимание на то, что при больших нагрузках сопротивление грунтов сдвигу меняется нелинейным образом. Это означает, что, начиная с некоторого порогового значения О = О*, по мере роста величины нагрузки на грунт (а) его сопротивление
сдвигу растет не пропорционально этой нагрузке, как следовало бы в соответствии с законом трения Кулона, а с существенным опозданием. Н.Н. Маслов отмечает, что заметное снижение интенсивности роста сопротивления сдвигу при относительно высоких для данного грунта нагрузках может являться следствием либо «раздавливания» этими нагрузками недостаточно прочных структур скелетов, либо ростом связности грунта под нагрузкой [Маслов 1977].
Как показывает анализ представленных в настоящей статье экспериментальных данных, предложенный С.С. Григоряном закон трения проявляет себя в одной из двух форм, которые соответственно можно условно назвать «жёсткой» и «мягкой» формами.
В случае прочных скальных пород закон Григоряна проявляет себя в «жёсткой» форме — здесь переход от «кулонов-ской» ветви диаграммы «а — т» к горизонтальной её ветви («полке») происходит резко, с изломом (рис. 1). Предложенные С.С. Григоряном соотношения (6) описывают именно «жёсткую» форму проявления закона трения. Для дисперсных же грунтов переход от «кулоновской» ветви диаграммы «а — т» к горизонтальной «полке» происходит плавно, «мягко».
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Степенной закон трения
Обобщив результаты теоретических и экспериментальных исследований А.Е. Шайдеггера, С.С. Григоряна и Н.Н.
Маслова, С.Г. Геворкян и Ж.Х. Калантарова предложили новое соотношение, описывающее нелинейное изменение
сопротивления грунтов сдвигу с ростом действующей нагрузки [Геворкян, Калантарова 2003; Геворкян и др. 2006]. Это соотношение, представляющее собой модификацию закона С.С. Григоряна применительно к дисперсным грунтам, имеет следующий вид:
х = А(а + а*)? + В (7)
или в иной форме:
х = Аа? (1 + а/ а*)? + В (8)
Здесь х — сопротивление грунта сдвигу (сила трения); а — действующая на грунт нормальная нагрузка; а* — пороговое значение нагрузки на грунт, при достижении которого на экспериментальной кривой зависимости х = ¥(а) появляется точка перегиба, т.е. при а > а* традиционный закон трения Кулона становится уже неприемлемым. Коэффициенты О, А, В в соотношениях (7), (8) — это постоянные величины, также определяемые из анализа кривых зависимости х = ¥(а).
В частности, для определения значений О, А, В, а* нами были использованы результаты испытаний глинистых грунтов, опубликованные в монографии Н.Н. Маслова [Маслов 1977, с. 58]. При этом показатель а, который, как оказалось, не зависит от влажности, показал значение, равное 0,53; значения же параметров А, В, а* при различной влажности (Ш) приводятся в таблице 1.
Таблица 1
Значения параметров А, В, а для глинистых грунтов при различной влажности W
W, % 14 17 20 22 26
о*, МПа 0,108 0,105 0,101 0,051 0,049
А, МПа1-а 0,580 0,377 0,232 0,132 0,058
В, МПа -0,058 -0,044 -0,027 -0,011 -0,007
В таблице 2 приводятся значения О, А, В, а* для крупнообломочных пород, полученные нами на основании обработки данных экспериментальных исследований С.С. Григоряна и его коллег [Григорян и др. 1986].
Таблица 2
Значения параметров А,В, а, а* для крупнообломочных материалов (по результатам экспериментов С.С. Григоряна)
Порода а о*, МПа A, МПа1-“ B, МПа
Щебень строительный, d = 5—60 мм 0,621 0,36 1,094 -0,521
Спилит (вулканическая порода), d = 5—60 мм 0,420 0,188 1,156 -0,564
Песчаник окварцованный, d = 20—40 мм 0,555 0,26 0,773 -0,308
Песчаник окварцованный, d = 40—55 мм 0,798 0,28 0,679 -0,187
При нагрузках, меньших пороговых, т.е. при а < а* выражение (8) можно разложить в ряд Тейлора, из которого, ограничившись первыми членами разложения, получим:
х = (Ааа?~х )а + (А • а? + В) (9)
Введя обозначения:
f = Ааа?~х , с = А •а?? + В ,
из (9) имеем:
х = а • tgф + с
Таким образом, при а < а* соотношение (8) (и, соответственно, соотношение (7)) сводится к традиционному закону трения Кулона. На графиках испытаний грунтов на сдвиг это выражается тем, что на участках а < а* кривые зависимости х = т(а) аппроксимируются отрезком прямой.
При а > а* график функции х = ¥(а), задаваемый соотношением (7) (или, что то же самое, (8)), с увеличением а*
уменьшает угол своего наклона к оси абсцисс. Физически это соответствует снижению сопротивляемости грунта сдвигу с ростом действующих нагрузок.
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Таблица 3
Расчетные (по формуле (7)) и экспериментальные (по Н.Н. Маслову) значения сопротивления сдвигу глинистых грунтов т, Мпа
о, МПа W=14% W = 17% W = 20% W = 22% W = 26%
Pасчет Опыт Pасчет Опыт Pасчет Опыт Pасчет Опыт Pасчет Опыт
0,1 0,195 0,145 0,118 0,1 0,072 0,058 0,037 0,038 0,15 0,019
0,2 0,253 0,225 0,157 0,15 0,096 0,091 0,052 0,063 0,021 0,031
0,3 0,303 0,295 0,189 0,2 0,116 0,125 0,065 0,075 0,027 0,038
0,5 0,388 0,4 0,245 0,275 0,15 0,169 0,085 0,1 0,036 0,05
1,0 0,555 0,613 0,353 0,388 0,217 0,233 0,124 0,144 0,053 0,058
1,5 0,688 0,7 0,44 0,4 0,271 0,244 0,155 0,15 0,067 0,058
В таблице 3 и на рис. 14 приводятся результаты расчетов сопротивления сдвигу (г) глинистых грунтов, полученные по формуле (7) и экспериментальные значения этой величины, полученные Н.Н. Масловым. Видно, что расчетные и экспериментальные данные находятся в хорошем согласии.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
W=14%^) -a-w=14%P) -Ж- W=17%(Р) hSSHw=17%P) W=20%^)
W=20%P) -0^=22%(Р) -•-W=22%P) НИ” W=26% (Р) -■-W=26%P)
Рис. 14. Результаты расчетов сопротивления сдвигу (т) глинистых грунтов, полученные по формуле (7) и экспериментальные значения этой величины, полученные Н.Н. Масловым (См.: Маслов
Н.Н. Механика грунтов в практике строительства. М., 1977. с. 58)
На рис. 15—18 представлены диаграммы, построенные по результатам расчетов сопротивления сдвигу (г) по формуле (7) и по данным экспериментов, выполненным Н.А. Цытовичем и Е.П. Шушериной (1957), исследовательской группой под руководством В.И. Аксёнова (2003), а также по результатам наших экспериментов, выполненных нами совместно с
В.И. Аксёновым на талых и мёрзлых грунтах (2011). Представленные данные подтверждают как справедливость предложенного С.С.Григоряном нелинейного закона трения, так и справедливость модификации этого закона в виде степенной зависимости (7).
Рис. 15 Приложение степенного закона (7) к результатам Рис. 16. Результаты экспериментов на мёрзлых грунтах ис-
экспериментов Е.П. Шушериной и Н.А. Цытовича (Материалы по следовательской группы под рук. В.И. Аксёнова (2003)
лабораторным исследованиям мёрзлых грунтов. Сборник 3. М.:
Изд-во АН СССР, 1957. С. 280—288)
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Трение песка по металлу (Аксёнов В.И., Геворкян С.Г., 2011)
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00 і і і і і І і і і і І і і і і І і і і і І і і і і І і і і і
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Сопротивление сдвигу тяжёлого суглинка при Т = - 4,0 оС Wtot = 50,8%, Ir = 6,23% , Dsal = 2,65 %, p = 1,62 г/см3
Рис. 17. Приложение степенного закона (7) к результатам Рис. 18. Результаты экспериментов на мёрзлых грунтах
экспериментов В.И. Аксёнова и С.Г. Геворкяна (2011) В.И. Аксёнова и С.Г. Геворкяна (2011)
О том, как отличается сопротивление грунтов сдвигу в талом и мёрзлом состоянии, и как оно зависит от температуры мёрзлых грунтов, можно судить по диаграммам на рис. 19, 21. На рис. 19 приводятся диаграммы, построенные по результатам опытов Н.К. Пекарской и Н.А. Цытовича с бескудниковской глиной [Пекарская, Цытович 1957], а на рис. 20 представлены диаграммы сопротивления сдвигу песка средней крупности, построенные по данным наших с В.И. Аксёновым экспериментов. Видно, что для грунтов в талом состоянии, — как для глин, так и для песков, — сопротивление сдвигу имеет наименьшее значение. Для грунтов же в мёрзлом состоянии сопротивление сдвигу растёт с понижением температуры
▲ Т= -3,0оС О Т= -0,5оС О Т= +20,0оС
Рис. 19. Зависимость сопротивления мёрзлых грунтов сдвигу от температуры. Данные экспериментов Н.К. Пекарской и Н.А. Цытовича с бескудниковской глиной (Материалы по лабораторным исследованиям мёрзлых грунтов. Сборник 3. М.: Изд-во АН СССР, 1957, с. 269)
Рис. 20. Зависимость сопротивления мёрзлого песка сдвигу от температуры. Результаты экспериментов на мёрзлых грунтах В.И. Аксёнова и С.Г. Геворкяна (2011)
Методика подготовки и проведения экспериментов
Для экспериментальных исследований сопротивления грунтов сдвигу нами был применён метод одноплоскостного среза [ГОСТ 12248-2010 2011]. При этом мы использовали сдвиговой прибор ВСВ-25 производства Угличского экспериментального ремонтно-механического завода (УЭРМЗ) (рис. 21).
Прибор ВСВ-25предназначен для определения сопротивления сдвигу глинистых и песчаных грунтов на образцах с площадью сечения образца 40 см2, при вертикальной нагрузке в диапазоне до 25 кгс/см2. С помощью этого прибора сопротивление грунта сдвигу определяют как предельное среднее касательное напряжение, при котором образец грунта срезается по фиксированной плоскости при заданном нормальном напряжении [Прибор сдвиговой ВСВ-25. Электронный ресурс б/даты размещения]. Вертикальная нагрузка на образец и сдвигающее усилие создается вращением рукояток вертикального и горизонтального редукторов.
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Рис. 21. Прибор сдвиговой ВСВ-25 производства Угличского экспериментального ремонтномеханического завода
В состав прибора ВСВ-25 входят:
— срезная коробка, состоящая из подвижной и неподвижной частей и включающая рабочее кольцо с внутренним диаметром 70 мм, высотой 35 мм, жестких сплошного и перфорированного штампов;
— механизм для вертикального нагружения образца;
— механизм создания касательной нагрузки;
— динамометров для измерения деформаций образца и прикладываемой нагрузки.
Прибор имеет малые габариты, и он удобен в употреблении.
Таблица 4
Характеристики сдвигового прибора ВСВ-25
Наименование характеристики Значение
Площадь поперечного сечения образца, см2 40
Вертикальная нагрузка, кгс/ см2 2,5—25,0
Точность измерения сдвигающего усилия, кгс 0,4
Масса, кг 35
Длина, мм 577
Ширина, мм 148
Высота, мм 448
Определение сопротивления сдвигу выполнялось нами для грунтов как в талом (пески), так и в мёрзлом (пески и суглинки) состоянии. Причём в мерзлом состоянии испытывались пески при нарушенном сложении, а суглинки — при естественном (ненарушенном)сложении.
Испытания талых песков проводились в соответствии с ГОСТ 12248-2010 по консолидировано-дренированной схеме [ГОСТ 12248-2010 2011]. Изготовленные образцы взвешивались, после чего подвергались предварительному уплотнению в уплотнителях.
В состав уплотнителя входят следующие основные узлы:
— цилиндрическая обойма, в которую помещается рабочее кольцо с образцом;
— жесткий перфорированный штамп;
— механизм для вертикального нагружения образца;
— ванна для водонасыщения образца;
— гидроизолирующие элементы;
— мессура для измерения вертикальных деформаций образца.
Для предварительного уплотнения рабочее кольцо с подготовленным образцом грунта устанавливался в обойме уплотнителя. Торцы образца при этом закрывались бумажным фильтром. Собранная обойма с образцом помещалась в
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
ванну уплотнителя на перфорированный вкладыш. После этого на образец накладывался перфорированный штамп и уплотнитель устанавливался под нагрузку. Согласно ГОСТ 12248-2010, предварительное уплотнение образца производилось при таких нормальных давлениях, при которых определялось сопротивление срезу. Давление прикладывалось на образцы грунта ступенями.
Если подготовленные таким образом образцы предполагалось испытать в талом состоянии, то после предварительного уплотнения они разгружались, помещались в срезную коробку прибора ВСВ-25 и подвергались испытанию.
Если же образцы готовились для испытаний в мёрзлом состоянии, то после предварительного уплотнения образцы быстро разгружались, и рабочие кольца с образцами переносились в морозильную камеру, где замораживались при температуре ниже предварительно экспериментально установленной температуры переохлаждения данного грунта. После замораживания образцы переносились в испытательную камеру, где в течение 24-х часов выдерживались при той отрицательной температуре, при которой предстояло проводить испытания.
Мёрзлые суглинки испытывались при естественном сложении. При этом образцы вырезались из монолита мёрзлого грунта в специально оборудованной морозильной камере. Подробно процедура вырезания образцов из мёрзлых монолитов была уже нами описана в наших предыдущих работах [Геворкян 2011, 2012].
Испытания проводились следующим образом.
Рабочее кольцо с мёрзлым грунтом помещалось в срезную коробку прибора ВСВ-25, а сверху на образец укладывался металлический перфорированный штамп. После этого производилась регулировка нагружающего механизма прибора ВСВ-25, устанавливался зазор 0,5—1 мм между подвижной и неподвижной частями срезной коробки и устанавливалась измерительная аппаратура для регистрации деформаций образца.
После передачи на образец грунта нормальной нагрузки приводился в рабочее состояние механизм создания касательной нагрузки.
Испытания проводились с постоянной скоростью и считались законченными, когда через 2 минуты после начала опыта общая деформация среза достигала 5 мм.
После окончания испытания образец разгружался, рабочее кольцо с образцом извлекалось из прибора и отбирались пробы для определения влажности из зоны среза образца.
Формула для вычисления угла естественного откоса
Согласно И. В. Попову [Попов 1937 с. 239, формулы (10), (11)]. связь между углом естественного откоса аест, углом внутреннего трения ф, сцеплением С, плотностью грунта р и предельной высотой откоса h (при которой грунт будет находиться в состоянии предельного равновесия) такова:
{
Sin
C
а
ест
V
\
V
2
J
или, в иной форме:
h =
Pgh
2 sin аест ■ COSV
2С sin аест ■ COSV
(10)
аест ~ V
(11)
V 2 у
Ранее нами было показано [Геворкян, Голубов 1985,1997; Геворкян и др. 1987], что предельная высота откоса h равна высоте формосохраняемости [Тябин 1951] hф0рм,
h = h
форм
h
С
сж
форм
Pg
(12)
где Осж — предел прочности грунта на сжатие, то из (11) и (12) имеем:
Ссж _ 2C Sin аест ■ COS V
Pg Pg • 2
Sin
а
V
V
2
j
Отсюда следует соотношение:
2C . .2
--------Sin аест • COSV = Sin
Гаест -
V
2
J
из которого получаем
Special issue 'The Earth Planet System' Spezialausgabe 'System Planet Erde
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
sin а
Из (13) окончательно имеем:
aecm = arCSln і
4C
\, а
\ cж
+ tgy
2
cos^ ■ 1 + f 4C ^ + tgy 2
а \ cж у
+
2C
а
2C
а
+ tgv
1+
4C
\а
V cж
+tgp
4C
+ tgv
■л] tg > + 1 2
+
f 4C ^ 2 4 C 2
1 + + tgp 1 + + tgy
а \ cж у а \ cж у
(13)
(14)
Выведенная выше формула (14) показывает, что угол естественного откоса является функцией плотности и прочностных характеристик грунта и не зависит от д , — то есть аест не зависит от гравитации. Это означает, что один и тот же грунт при прочих равных условиях будет иметь один и тот же угол естественного откоса на любой другой планете.
Зная величину угла внутреннего трения ф, сцепление С, плотность грунта р и предел прочности грунта на сжатие асж , мы можем по формуле (14) вычислить угол естественного откоса аест.
Заключение
Экспериментальные данные, представленные в настоящей статье, доказывают справедливость и применимость предложенного С.С.Григоряном нового — нелинейного — закона трения не только к скальным породам, но и ко всем горным породам вообще, и, в том числе, к дисперсным грунтам — как мёрзлым, так и талым.
Из сказанного естественным образом следует вывод, что этот закон применим вообще ко всем твёрдым телам, — то
есть предложенный С.С.Григоряном нелинейный закон трения имеет универсальный характер.
Нелинейный закон трения имеет две формы проявления — «жёсткую» и «мягкую»
В случае прочных скальных пород этот закон проявляется в «жёсткой» форме. Предложенные С.С. Григоряном соотно-
шения (6) описывают именно «жёсткую» форму проявления закона трения.
В «мягкой» форме нелинейный закон трения проявляется в случае дисперсных грунтов. «Мягкую» форму проявления нелинейного закона трения описывает степенная зависимость (7), представляющий собой модификацию закона Григоряна применительно к дисперсным грунтам.
Предложенная выше степенная зависимость (7) описывает эффект снижения сопротивления грунтов сдвигу при нагрузках выше пороговых значений, равных а*. При значениях действующих нагрузок ниже пороговых, этот закон сводится к традиционному кулоновскому закону трения. Он применим во всем диапазоне нагрузок как к талым, так и мёрзлым грунтам. Параметры, входящие в соотношения (7) и (8), без труда определяются из анализа кривых зависимости т = Ф (а), которые получают традиционным способом.
Практическое значение соотношений (7) и (8), а также данных, приводимых в таблицах 1 и 2, заключается в возможности решения с их помощью задачи прогноза дальности выброса и скорости перемещения обвальных масс по склону в зоне аккумуляции. Актуальность такой задачи обусловлена нуждами гидротехнического и линейного строительства, горного дела, формирования крупных территориально-производственных комплексов, инженерной защиты промышленных и гражданских объектов, а также охраны природной среды.
2
ЛИТЕРАТУРА
1. ГОСТ 12248-2010. Межгосударственный стандарт. Грунты. Методы лабораторного определения характе-
ристик прочности и деформируемости /Евразийский Совет по стандартизации, метрологии и сертификации (ЕАСC). М.: Стандартинформ, 2011. 78 с.
2. СНиП 2.02.03-85. Свайные фундаменты / Госстрой СССР. М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1986. 48 с.
3. Агаханянц О.Е. Сарез: Озеро на Памире. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 112 с
4. Айроян С.Г. Сопротивление сдвигу набухающих глин при изменяемости их плотности / / Известия Нац.
Академии наук Республики Армения. Науки о Земле. 2006. Т. 59. № 3. С. 42—44.
5. Айроян С.Г., Егиазарян М.Т. Закономерности сопротивления сдвигу просадочных грунтов при смачива-
нии в широких пределах изменяемости уплотняющих давлений / / Учёные записки Ереванского Гос. ун-та. Геология и география. 2012. № 2. С. 3 — 9.
6. Айроян С.Г., Шахназарян Г.Р. Исследования сопротивления сдвигу и ползучести оптимальных смесей / /
Учёные записки Ереванского Гос. ун-та. Геология и география. 2009. № 3. С. 8 — 16.
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
7. Аксенов В.И. Засоленные мерзлые грунты Арктического побережья как основание сооружений. М.: Все о
мире строительства, 2008. 340 с.
8. Бахарев И.И., Грачева Н.П., Кудрявцев С.А. Механика грунтов: Сборник лаб. работ. Хабаровск: ДВГУПС,
2003. 55 с.
9. Берч Фр., Шерер Дж., Спайсер Г. Справочник для геологов по физическим константам. (Пер. с англ.) М.:
Изд-во иностранной литературы, 1949. 304 с.
10. Болт Б.А., Хорн У.Л., Макдоналд Г.А., Скотт Р.Ф. Геологические стихии. М.: Мир, 1978, 440 с.
11. Втюрина Е.А., Геворкян С.Г., Познанин В.Л. Сущность криогенных сплывов и количественная оценка
критических условий их формирования / / Геоэкология. 1999. № 3. С. 555 - 561.
12. Геворкян С.Г. Значения критических коэффициентов интенсивности напряжений мёрзлых грунтов есте-
ственного сложения / / Пространство и Время. 2011. № 4. С. 157 — 162
13. Геворкян С.Г. Критические коэффициенты интенсивности напряжений мёрзлых грунтов естественного
сложения / / Труды Десятой Международной конференции по мерзлотоведению (Т1СОР): Ресурсы и риски регионов с вечной мерзлотой в меняющемся мире. Т. 3. Тюмень: Печатник, 2012. С. 113 - 116.
14. Геворкян С.Г., Голубов Б.Н. Геометрические формы вулканических структур / / Бюлл. МОИП. Отд. геол.
1985. Т. 60. Вып. 3. С. 30 — 35.
15. Геворкян С.Г., Голубов Б.Н., Калантарова Ж.Х. Геометрия подводных вулканов / / Бюлл. МОИП. Отд. ге-
ол. 1987. Т. 62. Вып. 3. С. 56 — 65.
16. Геворкян С.Г., Голубов Б.Н. К вопросу о геометрии склонов вулканических структур / / Бюлл. МОИП.
Отд. геол. 1997.Т. 72. Вып. 2. С. 25 — 31.
17. Геворкян С.Г., Калантарова Ж.Х. Гидравлический расчет отверстий малых мостов при пересечении селе-
вых русл / / Автомобильные дороги. 1987. № 11. С. 8 — 9.
18. Геворкян С.Г., Калантарова Ж.Х. О гидравлическом расчете отверстий селепропускных сооружений (на
примере малых мостов) // Проблемы изучения опасных геологических процессов. Сб. научн. статей. М.: ПНИИИС. 1988. С. 49 — 55.
19. Геворкян С.Г., Калантарова Ж.Х. Математическое моделирование процессов формирования и движения
селевых потоков. / / Геоэкология. 1994. № 6. С. 59 — 71.
20. Геворкян С.Г., Калантарова Ж.Х. Нелинейный закон трения для грунтов / / Техногенез и ноосфера. М.:
ИИЕТ, 2003. С. 11 — 14.
21. Геворкян С.Г., Калантарова Ж.Х., Голубов Б.Н. Нелинейный закон сопротивления грунтов сдвигу //
«Бюллетень МОИП. Отдел геологический», 2006. Т. 81. Вып. 2. С. 58 — 61.
22. Геологический словарь: В 2-т. / Под общ. ред. К.Н. Паффенгольца. Т. 2. М.: Недра, 1978. 456 с.
23. Григорян С.С. Новый закон трения и механизм крупномасштабных горных обвалов и оползней. / / До-
клады АН СССР. 1979. Т. 224. № 4. С. 848 — 849.
24. Григорян С.С., Гулакян К.А., Савинков А.В., Мелкумян М.В. Исследование прочности обломочных
скальных пород. / / Проблемы термомеханики грунтов. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 49 — 60.
25. Григорян С.С., Нилов Н.Н., Остроумов А.В., Федоренко В.С. Математическое моделирование горных об-
валов и оползней больших объемов.// Инженерная геология. 1983, № 6. С. 61—63
26. Гулакян К.А., Кюнтцель В.В., Постоев Г.П. Прогнозирование оползневых процессов. М.: Недра, 1977. 157 с.
27. Емельянова Е.П. Основные закономерности оползневых процессов. М.: Недра, 1977. 310 с.
28. Маслов Н. Н. Механика грунтов в практике строительства. М., 1977. 320 с.
29. Месчян С.Р. Исследования деформативных свойств связных грунтов при сдвиге / / Доклады Академии
наук Армянской ССР. 1959. Т. 28. № 5. С. 193 — 195.
30. Остроумов А.В. Механизмы трения в обвальных потоках. / / Проблемы термомеханики грунтов. М.: Изд-
во МГУ, 1986. С. 37—48.
31. Пекарская Н.К., Цытович Н.А. О роли трения и сцепления в общем сопротивлении мёрзлых грунтов
сдвигу при быстром возрастании нагрузки // Материалы по лабораторным исследованиям мёрзлых грунтов. Сборник 3. М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 255 — 273.
32. Попов И.В. Механика грунтов. М. — Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937. 272 с.
33. Прибор сдвиговой ВСВ-25 [Электронный ресурс] // ООО Угличский Экспериментальный Ремонтно-
Механический Завод (УЭРМЗ). Режим доступа: http://13329.ru.all.biz/pribor-sdvigovoj-vsv-25-g528610# !ргейуР^Ш.
34. Ройнишвили Н.М. Защита железнодорожного пути от горных обвалов и осыпей. М.: Транспорт, 1973. 304 с.
35. Таслагян К.А. Влияние динамического воздействия и динамических свойств глинистых грунтов на
устойчивость склона на примере Нубарашенского оползня // Известия Нац. Академии наук Республики Армения. Науки о Земле. 2006. Т. 59. № 3. С. 45—48.
36. Тябин Н.В. Основные уравнения реологии вязко-пластической среды / / Коллоидный журнал. 1951. Т. 13.
Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. Т. 4. Вып. 1 • 2013 Специальный выпуск СИСТЕМА ПЛАНЕТА ЗЕМЛЯ
Electronic Scientific Edition Almanac Space and Time vol. 4, issue 1 Special issue 'The Earth Planet System'
Elektronische wissenschaftliche Auflage Almabtrieb 'Raum und Zeit' Band 4, Ausgabe 1 Spezialausgabe 'System Planet Erde
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
№ 1. С. 55-63.
37. Шайдеггер А.Е. Физические аспекты природных катастроф. М.: Недра, 1981. 232 с.
38. Шушерина Е.П., Цытович Н.А. Некоторые опыты по изучению влияния промораживания и последую-
щего оттаивания на прочность глинистых грунтов / / Материалы по лабораторным исследованиям мёрзлых грунтов. Сборник 3. М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 280 — 288.
39. Erismann T.H. "Mechanisms of Large Landslides." Rock Mechanics 12 (1979): 15—46.
40. Heim A. "Bergsturz und Menchenleben." Vierteljahrssrift der Naturforschenden Gesellschaft in ZUrich 77.3 — 4
(1932): 218.
41. Scheidegger A.E. "On the Prediction of the Reach and Velocity of Catastrophic Landslides." Rock Mechanics 5
(1973): 231 — 246.
Цитирование по ГОСТ Р 7.0.11—2011:
Геворкян, С. Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов [Электронный ресурс] /
С.Г. Геворкян // Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. — 2013. — Т. 4. — Вып. 1: Система планета Земля. — Стационарный сетевой адрес: 2227-9490e-aprovr_e-ast4-1.2013.52.
NONLINEAR (DESCRIBED BY THE POWER FUNCTION) FRICTION LAW FOR THAWED AND FROZEN GROUNDS
Sergey G. Gevorkyan, Sc.D. (Physics and Mathematics), Senior Researcher, OJSC "Fundamentproect", Moscow, Russia
E-mail: sergev99@yandex.ru
In the present article on the basis of analysis and generalization of results of experimental and theoretical studies of A.E Scheidegger, S.S. Grigoryan and N.N. Maslov, and our own experiments we propose an empirical relation. Unlike traditional Coulomb friction law, this relations describes the nonlinear variation of shear strength of soils with the growth of acting on the ground of the load. Practical importance of the proposed nonlinear law of friction is the possibilities to solve with its help the problems of the forecast range release and speed of moving of landslide masses on a slope in the area of accumulation. The urgency of this task is caused by the needs of hydraulic and linear construction, mining, formation of large territorial-production complexes, engineering protection of industrial and civil objects, as well as environment protection.
The proposed nonlinear friction law describes the effect of reducing the shear strength of the frozen and thawed soils at loads above certain thresholds. When values of existing loads are below the threshold, this law limited to a traditional Coulomb law of friction. The question of the applicability of the new law of friction to the dispersed both frozen and melted soils we consider in this work.
For our researches of the frozen soils shear strength we used the method of the single-plane shearing. In our research we used the device VSV-25, which is designed for determination of shear strength of clay and sand soils with the sample section area of 40 cm2 with vertical load in the range of up to 25 kg/cm2. The tests were performed in accordance with the consolidated drained scheme. In accordance with the test procedure, samples of a ground were pre-compacted. Sample pre-compaction was done at such standard pressures at which shear strength was determined. The pressure was applied to soil samples in steps.
After pre-compaction, the samples were quickly unloaded, and the working rings with samples were placed into the freezing chamber where they were frozen at the temperature below the experimentally pre-set temperature of overcooling of this soil. After freezing, the samples were transferred to the test chamber where they were left for 24 hours at the same negative temperature at which the tests were to be performed. The test was carried out with constant speed and deemed completed when in 2 minutes after the beginning of the test the total shear deformation reached 5 mm.
We have proved the nonlinear friction law is applied for all solids, so this law has a universal character. This is the novelty of our findings.
Keywords: large-scale rock falls and landslides; resistance of soils shift; the Coulomb law of friction; nonlinear friction law; frozen soil.
References:
1. Agakhanyants O.E. Sarez: Lake in the Pamirs. Leningrad: Gidrometeoizdat Publisher, 1989. 112 p. (In Russian).
2. Aksenov V.I. Saline Frozen Soils of the Arctic Coast as the Foundation Structures. Moscow: Vse o mire stroitel'stva
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
Publisher, 2008. 340 p. (In Russian).
3. "Apparatus for Shearing Test VSV-25." Official Site of Uglich Experimental Repair and Mechanical Plant. LLC
'Uglich Experimental Repair and Mechanical Plant', n.d. Web. <http://13329.ru.all.biz/pribor-sdvigovoj-vsv-25-g528610#!prettyPhoto>. (In Russian).
4. Ayroyan S.G. "Shear Strength of the Swelling Clays in the Variability of their Density." Proceedings of the Na-
tional Academy of Sciences of the Republic of Armenia: Earth Sciences 59.3 (2006): 42 — 44. (In Russian).
5. Ayroyan S.G., Egiazaryan M.T. "Regularities of the Shear Subsiding Ground Wetting in a Wide Range of Vari-
ability of Sealing Pressure." Scientific Notes of Erevan State University: Geology and Geography 2 (2012): 3 — 9. (In Russian).
6. Ayroyan S.G., Shakhnazaryan G.R. "Study of Shear Strength and Creep Best Mixtures." Scientific Notes of Erevan
State University. Geology and Geography 3 (2009): 8 — 16. (In Russian).
7. Bakharev I.I., Gracheva N.P., Kudryavtsev S.A. Soil Mechanics: Collection of Laboratory Works. Khabarovsk:
DVGUPS Publisher, 2003. 55 p. (In Russian).
8. Birch Fr., Shairer J.F., Spicer H.C. Handbook of Physical Constants. Moscow: Izdatelstvo inostrannoy literatury
Publisher, 1949. 304 p. (In Russian).
9. Bolt B.A., Horn W.L., MacDonald G.A., Scott R.F. Geological Hazards. Moscow: Mir Publisher, 1978. 440 p. (In
Russian).
10. Emel'yanova E.P. The Main Regularities of Landslide Processes. Moscow: Nedra Publisher, 1977. 310 p. (In Russian).
11. Erismann T.H. "Mechanisms of Large Landslides." Rock Mechanics 12 (1979): 15—46.
12. Euro-Asian Council for Standardization, Metrology and Certification (EASC). GOST 12248-2010. Interstate
Standard. Soils. Laboratory Methods for Determining the Strength and Strain Characteristics. Moscow: Standartinform Publisher, 2011. 78 p. (In Russian).
13. Gevorkyan S.G. "Critical Stress Intensity Factors of Frozen Soils with Natural Structure." Trudy Desyatoy
Mezhdunarodnoy konferentsii po merzlotovedeniyu (TICOP) 'Resursy i riski regionov s vechnoy merzlotoy v menyayushchemsya mire' [Proceedings of the Tenth International Conference on Permafrost (TICOP) 'Resources and Risks of Permafrost Areas in a Changing World']. Tyumen': Pechatnik Publisher, 2012, vol. 3, pp. 113 — 116. (In Russian).
14. Gevorkyan S.G. "The Value of the Critical Stress Intensity Factor of Frozen Soils with Natural Structure." Pros-
transtvo i Vremya [Space and Time] 4 (2011): 157—162. (In Russian).
15. Gevorkyan S.G., Golubov B.N. "Geometrical Shapes of Volcanic Structures." Bulletin of Moscow Society of Natu-
ralists: Geological Section 60.3 (1985): 30 — 35. (In Russian).
16. Gevorkyan S.G., Golubov B.N. "To the Question About the Geometry of the Slopes of Volcanic Structures." Bul-
letin of Moscow Society of Naturalists: Geological Section 72.2 (1997): 25 — 31. (In Russian).
17. Gevorkyan S.G., Golubov B.N., Kalantarova Zh.Kh. "Geometry of the Submarine Volcanoes." Bulletin of Moscow
Society of Naturalists: Geological Section 62.3 (1987): 56 — 65. (In Russian).
18. Gevorkyan S.G., Kalantarova Zh.Kh. "Hydraulic Calculation of Apertures of the Small Bridges Crossing the
Debris Channels." Motor-Car Road 11 (1987): 8 — 9. (In Russian).
19. Gevorkyan S.G., Kalantarova Zh.Kh. "Mathematical Modelling of Debris Flows Formation and Movement
Processes." Geoecology 6 (1994): 59 — 71. (In Russian).
20. Gevorkyan S.G., Kalantarova Zh.Kh. "Nonlinear Friction Law for the Soils." Technogenesis and the Noosphere.
Moscow: IIET Publisher, 2003, pp. 11—14. (In Russian).
21. Gevorkyan S.G., Kalantarova Zh.Kh. "Of Hydraulic Calculations of Apertures of the Mudflow-permeable Con-
structions (By the Example of the Small Bridges)." Problems of Dangerous Geological Processes Study. Moscow: PNIIIS Publisher, 1988, pp. 49 — 55. (In Russian).
22. Gevorkyan S.G., Kalantarova Zh.Kh., Golubov B.N. "Nonlinear Law of the Resistance of Soils Shift." Bulletin of
Moscow Society of Naturalists: Geological Section 81.2 (2006): 58 — 61. (In Russian).
23. Grigoryan S.S. "The New Law of Friction and Mechanism of Large-scale Rock Falls and Landslides." Doklady
AN SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences] 224.4 (1979): 848 — 849. (In Russian).
24. Grigoryan S.S., Gulakyan K.A., Savinkov A.V., Melkumyan M.V. "Investigation of the Strength of Clastic
Rock." Problems of Thermomechanics of Soils. Moscow: MGU Publisher, 1986, pp. 49 — 60. (In Russian).
25. Grigoryan S.S., Nilov N.N., Ostroumov A.V., Fedorenko V.S. "Mathematical Modelling of Rock Falls and Large
Scale Landslides." Engineering Geology 6 (1983): 61 — 63. (In Russian).
26. Gulakyan K.A., Kyunttsel' V.V., Postoev G.P. Forecasting of Landslide Processes. Moscow: Nedra Publisher, 1977.
157 p. (In Russian).
27. Heim A. "Bergsturz und Menchenleben." Vierteljahrssrift der Naturforschenden Gesellschaft in ZUrich 77.3 — 4
(1932): 218.
28. Maslov N.N. Soil Mechanics in the Construction Practice. Moscow: Nedra Publisher, 1977. 320 p. (In Russian).
Геворкян С.Г. Нелинейный (степенной) закон трения для талых и мёрзлых грунтов
29. Meschyan S.R. "Research of Deformation Properties of Cohesive Soils in Shear." Doklady Akademii Nauk Armyan-
skoy SSR [Reports of Academy of Sciences of the Armenian SSR] 28.5 (1959): 193 — 195. (In Russian).
30. Ostroumov A.V. "Mechanisms of Friction in a Landslide Flows." Problems of Thermomechanics of Soils. Moscow:
MGU Publisher, 1986, pp. 37 — 48. (In Russian).
31. Paffengol'ts K.N. eds. Geological Dictionary. Moscow: Nedra Publisher, 1978. 456 p.
32. Pekarskaya N.K., Tsytovich N.A. "On the Role of Friction and Traction in the General Resistance of the Frozen
Soil Shift with the Rapid Increase of the Load." Materials of Laboratory Researches of Frozen Soils. Moscow:
AN SSSR Publisher, 1957, issue 3, pp. 255 — 273. (In Russian).
33. Popov I.V. Soil Mechanics. Moscow — Leningrad: ONTI NKTP Publisher, 1937. 272 p. (In Russian).
34. Roynishvili N.M. Protection of a Railway Track from the Mountain Landslides and Rockslides. Moscow: Transport
Publisher, 1973. 304 p. (In Russian).
35. Scheidegger A.E. "On the Prediction of the Reach and Velocity of Catastrophic Landslides." Rock Mechanics 5
(1973): 231 — 246.
36. Sheidegger A.E. The Physical Aspects of Natural Disasters. Moscow: Nedra Publisher, 1981. 232 p. (In Russian).
37. Shusherina E.P., Tsytovich N.A. "Some of the Experiments to Study the Influence of Freezing and Subsequent
Thawing on the Strength of Clay Soils." Materials of Laboratory Researches of Frozen Soils. Moscow: AN SSSR Publisher, 1957, issue 3. pp. 280 — 288. (In Russian).
38. Taslagyan K.A. "The Influence of Dynamic Influence and Dynamic Properties of Clay Soils on the Stability of
the Slope on the Example of the Nubarashen Landslide." Proceedings of the National Academy of Sciences of
the Republic of Armenia: Earth Sciences 59.3 (2006): 45 — 48. (In Russian).
39. The USSR State Committee on Construction. Construction Standards and Rules 2.02.03-85. Pile Foundations. Mos-
cow: TsITP Publisher, 1986. 48 p. (In Russian).
40. Tyabin N.V. "Basic Equations of the Rheology of Viscous-plastic Medium." Colloid Journal 13.1 (1951): 55 — 63.
(In Russian).
41. Vtyurina E.A., Gevorkyan S.G., Poznanin V.L. "The Essence of the Cryogenic Splyvs and Quantitative Assess-
ment of the Critical Conditions of Their Formation." Geoecology 3 (1999): 555 — 561. (In Russian).
Cite MLA 7:
Gevorkyan, S. G. "Nonlinear (Described by the Power Function) Friction Law for Thawed and Frozen Grounds." Elektron-noe nauchnoe izdanie Al'manakh Prostranstvo i Vremya, Spetsialny vypusk Sistema planeta Zemlya [Electronic Scientific Edition Almanac Space and Time. Special Issue 'The Earth Planet System'] 4.1 (2013). Web. <2227-9490e-aprovr_e-ast4-
1.2013.52>. (In Russian).
