НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС ФАНО В СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЕ МАГНОННЫЙ МИКРОВОЛНОВОД - РЕЗОНАТОР

Грачев А. А.; Бегинин Е. Н.; Мартышкин А. А.; Хутиева А. Б.; Фильченков И. О.; Садовников А. В.

Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2021. Т. 29, № 2 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(2)

Научная статья УДК 530.182

DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-2-254-271

Нелинейный резонанс Фано в связанной системе магнонный микроволновод - резонатор

А. А. ГрачевЕ. Н. Бегинин, А. А. Мартышкин, А. Б. Хутиева, И. О. Фильченков, А. В. Садовников

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Россия E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Поступила в редакцию 10.09.2020, принята к публикации 22.10.2020, опубликована 31.03.2021

Аннотация. Целью проводимых исследований является изучение характеристик резонанса Фано в связанной системе нелинейных магнонных микроволноводов и резонаторов в зависимости от геометрических параметров систем, величины связи между ними и интенсивности спиновых волн. Методы. В качестве объекта исследования рассмотрены линейные и нелинейные спин-волновые возбуждения в латеральных системах нерегулярных микроволноводов и резонаторов на основе пленок железоиттриевого граната. С помощью микромагнитного моделирования спин-волновых возбуждений и численного интегрирования системы уравнений связанных волн рассчитаны передаточные характеристики системы «микроволновод-резонатор» и параметры резонанса Фано с учетом кубической нелинейности магнитных сред. Результаты. На основе численного интегрирования системы уравнений связанных волн, учитывающих кубическую нелинейность магнитной среды, проведены теоретические исследования зависимостей передаточных и фазовых характеристик системы «микроволновод-резонатор» от интенсивности поверхностных спиновых волн. Исследованы особенности проявления конструктивной и деструктивной интерференции спиновых волн при резонансе Фано. Установлены зависимости характеристик параметров нелинейного резонанса Фано (коэффициента асимметричности, сдвигов резонансных частот) от интенсивности спин-волновых возбуждений. Обсуждение. Полученные результаты могут быть использованы для создания на основе латеральной системы магнитных волноводов спин-волновых демультиплексеров, делителей мощности и ответвителей СВЧ-сигнала, порогового элемента для нейроморфных сетей и т. д.

Ключевые слова: спиновые волны, магноника, магнитные структуры, Фано резонанс. Благодарности. Работа выполнена при поддержке РНФ, грант № 20-79-10191.

Для цитирования: Грачев А. А., Бегинин Е. Н., Мартышкин А. А., Хутиева А. Б., Фильченков И.О., Садовников А. В. Нелинейный резонанс Фано в связанной системе магнонный микроволновод - резонатор//Известия вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 2. С. 254-271. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-2-254-271

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

Article

DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-2-254-271

Nonlinear Fano resonance in a coupled system magnonic microwave-guide - resonator

A. A. GrachevE. N. Beginin, A. A. Martyshkin, A. B. Khutieva, I. O. Filchenkov, A. V. Sadovnikov

Saratov State University, Russia E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Received 10.09.2020, accepted 22.10.2020, published 31.03.2021

Abstract. The purpose of research is to study of characteristics of the Fano resonance in a coupled system of nonlinear microwave-guides and resonators depending on geometric parameters of the systems, magnitude of the coupling between them, and the intensity of spin waves. Methods. Linear and nonlinear spin-wave excitations in lateral systems of irregular microwave-guides and resonators based on films of yttrium iron garnet are considered. Using micromagnetic simulation of spin-wave excitations and numerical integration of the coupled wave equation system, the transfer characteristics of the «microwave-guide-resonator» system and the Fano resonance parameters are calculated taking into account the cubic nonlinearity of magnetic media. Results. Based on the numerical integration of the system of equations of coupled waves that take into account the cubic nonlinearity of the magnetic media, theoretical studies have been carried out of the dependences of the transfer and phase characteristics of the «microwave-guide-resonator» system on the intensity of surface spin waves. Features of the demonstration of constructive and destructive interference of spin waves at Fano resonance are studied. Dependences of characteristics of the parameters of the Fano nonlinear resonance (asymmetry coefficient, resonance frequency shifts) on the intensity of spin-wave excitations are established. Conclusion. Results can be used to create spin-wave demultiplexers, power dividers and microwave couplers based on the lateral system of magnetic waveguides as a threshold element for neuromorphic networks, etc.

Keywords: spin waves, magnonics, magnetic structures, Fano resonance.

Acknowledgements. This work was supported by Russian Science Foundation, grant No. 20-79-10191.

For citation: Grachev AA, Beginin EN, Martyshkin AA, Khutieva AB, Filchenkov IO, Sadovnikov AV. Nonlinear Fano resonance in a coupled system magnonic microwave-guide-resonator. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2021; 29(2):254-271. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-2-254-271

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

Введение

Резонансы Фано в общем случае проявляются во взаимодействии подсистем с непрерывным (континуум) и дискретным спектром энергетических состояний [1] и наблюдаются во многих системах различной физической природы: квантовых и наноразмерных [2], оптических и микроволновых [3-7], плазмонных [8,9], магнето-плазмонных [10], магнонных [11,12] и т. д. В настоящее время также интенсивно исследуются системы связанных Фано резонаторов [11], нелинейные эффекты [8,13], бистабильные и невзаимные свойства [14-16].

Резонансы Фано с асимметричными профилями по сравнению с традиционными резонанса-ми с симметричными лоренцевыми формами линий обладают уникальными характеристиками. В частности, они обладают высокой чувствительностью к изменению геометрических размеров взаимодействующих подсистем, материальных параметров среды, а также резким изменением спектральной дисперсии. Резонансы Фано могут быть использованы, например, для реализации эффективных полностью оптических (all-optical) переключателей [17], устройств с инверсией спинов [10], невзаимных элементов [15] или лазеров, которые могут генерировать короткие оптические импульсы [18,19].

Выявление механизмов управления и контроля асимметричного профиля резонанса Фа-но в конкретных физических системах является сложной задачей и требует как разработки соответствующих теорий для понимания основных физических механизмов, так и адекватных

методов расчета. Например, для ряда систем, в том числе квантовых, резонансы Фано анализируются на основе модели двух связанных механических осцилляторов [8,20], на основе метода матриц передачи [21], теории связанных мод [5, 17], нелинейных эффектов в рамках модели Фано-Андерсона [14].

Одним из перспективных подходов для генерации, передачи и обработки информационных сигналов является подход, основанный на использовании спиновых волн (СВ) в качестве носителей информации. По аналогии с электроникой, данная область исследований получила название «магноника» [22-25]. СВ с модулированными информационным сигналом характеристиками (амплитудой, фазой, частотой) могут распространяться в волноводах на основе различных пленок магнитоупорядоченных материалов. В настоящее время магнитным материалом с наименьшими потерями (наименьшей шириной линии ферромагнитного резонанса) является железоиттриевый гранат (ЖИГ). На основе ЖИГ реализуют тонкопленочные волноводы с малыми потерями на распространение и резонаторы СВ с высокой добротностью в СВЧ диапазоне радиоволн. Линейные и нелинейные спин-волновые возбуждения в волноводах и резонаторах исследовались в большом количестве работ [26-29], используются в устройствах обработки сигналов СВЧ-диапазона [30,31], элементах «магнонных сетей» [32], ответвителях [33], логических и мультифункциональных нелинейных элементах [34,35], нелинейных фазовращателях и фильтрах [36].

Потенциально спин-волновые возбуждения в силу их малого затухания в связанных системах волновод-резонатор, также могут демонстрировать резонансы Фано. Однако, в отличие от оптических систем, системы на основе магнитных материалов обладают следующей особенностью: зависимостью равновесного состояния магнитных моментов и, следовательно, внутренних статических магнитных полей от геометрических размеров и формы магнитных подсистем (волноводов и резонаторов), величины и направления внешнего магнитного поля, полей анизотропии и т. д. В частности, изменение расстояния между двумя связанными магнитными волноводами или резонаторами при неизменном внешнем магнитном поле, приводит к изменению статических внутренних магнитных полей, изменению частотных границ существования СВ, их групповых и фазовых скоростей, собственных частот резонаторов. Эта особенность существенно усложняет аналитические методы исследования резонанса Фано в таких системах. К настоящему времени линейные резонансы Фано в спин-волновых системах изучены достаточно фрагментарно в сравнительно небольшом количестве работ [37,38].

В настоящей работе методом микромагнитного моделирования проведено исследование характеристик резонанса Фано для линейного режима распространения спиновых волн в системе связанных магнитных микроволноводов и резонаторов с учетом неоднородных внутренних статических магнитных полей, параметров диссипации СВ, различных величин намагниченности насыщения. Нелинейный и линейный резонанс Фано также исследовался на основе численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, полученных в рамках теории связанных волн для магнитных сред с кубической нелинейностью. Исследованы зависимости характеристик резонансов Фано (коэффициента асимметричности, сдвигов резонансных частот) от интенсивности спин-волновых возбуждений и величины связи между волноведущими и резонансными спиновыми подсистемами.

1. Структура

Микромагнитное моделирование проводилось для структуры (рис. 1, а), выполненной на основе пленки ЖИГ толщиной 10 мкм и намагниченностью насыщения 4пМо = 1750 Гс. Структура состоит из двух идентичных планарных сужающихся микроволноводов с ширинами ■Ш1 = 2500 мкм и и!2 = 200 мкм. Между микроволноводами расположена система резонаторов шириной и!2 и длиной 500 мкм. Вся структура помещена во внешнее однородное магнитное поле, Но = 1200 Э, направленное вдоль оси г, обеспечивающее эффективное возбуждение поверхност-

CD

О

1180

1170

ï" 1160

1150.

Il ни ии nil

Е

Л Е

\ 0)

\ 0$

\ с

Е

о

N

R.

-0.6 -0.3 0 0.3 0.6 z-coordinate, mm

2.2 4.4 6.6 x-coordinate, mm

100

5.15

5.25 5.35

Frequency, GHz

5.45

5.55

Рис. 1. а - Схема рассматриваемой структуры; b - распределение внутреннего магнитного поля #int(z) в центре резонаторов Ri,..,5; с - пространственное распределение внутреннего магнитного поля в латеральной структуре; d - амплитудно-частотная характеристика структуры без резонаторов (зеленая сплошная кривая), структуры с а = 10-5 в резонаторе R3 (резонатор Фабри-Перо) (синяя штриховая кривая), структуры с а = 10-5 в резонаторах R2,3 (система спин-волновых резонаторов) (красная штрихпунктирная кривая)

Fig. 1. a - Scheme of considered structure; b - distribution of internal magnetic field Hint (z) in the center of the resonators ^i,..,5; c - spatial distribution of the internal magnetic field in the lateral structure; d - transmission characteristics of a structure without resonators (green solid curve), structure with а = 10-5 in the resonator R3 (Fabry-Perot resonator) (blue dashed curve), structure with а = 10-5 in the resonators ^2,3 (system of spin-wave resonators) (red dash-dotted curve)

ных спиновых волн (ПСВ). В микроволноводах располагаются антенны, служащие для генерации и регистрации СВ. Для уменьшения паразитных отражений СВ от границ микроволноводов введены слои (0 < х < 0.6 мм и 6.0 < х < 6.6 мм) с увеличивающимися в геометрической прогрессии параметрами диссипации а (ABL).

Качественно рассмотрим исследуемую структуру с точки зрения происходящих в ней волновых и резонансных процессов. Микроволноводы и расположенный между ними резонатор формируют резонатор Фабри-Перо (ФП) с частично отражающими стенками. Добротность ФП резонатора определяется, в частности, величиной зазоров д1 = 50 мкм. Остальные резонаторы спиновых волн (РСВ) через динамические магнитные поля связаны между собой резонатором ФП и микроволноводами. Коэффициент связи смежных резонаторов определяется, в первом приближении, размерами зазоров д\. Собственная добротность РСВ может существенно превосходить добротность ФП-резонатора и при определенных параметрах рассматриваемая система может демонстрировать Фано-подобные резонансы за счет связи распространяющихся мод СВ в микроволноводах (подсистемы с непрерывным или квазинепрерывным спектром) с колебательными модами спин-волновых возбуждений в РСВ (подсистемы с дискретным спектром) [1,2].

2. Микромагнитное моделирование

Для исследования в структуре волновых и резонансных спиновых возбуждений было проведено численное моделирование на основе решения уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта (ЛЛГ) [39]:

ÖM ^ а 9M

— = Y|Heff X M + _ [M X — ], (О

где M - вектор намагниченности, а=10-5 - параметр диссипации, Heff=H0+Hdemag+Hex+Ha -эффективное магнитное поле, H0 - внешнее магнитное поле, H^emag - поле размагничивания, Hex - обменное поле, Ha - поле анизотропии, у = 2.8 МГц/Э - гиромагнитное отношение для ЖИГ.

Рассмотрим результаты решения статической части задачи о распределении внутренних магнитных полей. На рис. 1, b показано распределение компонент внутренних статических магнитных полей Hmi вдоль оси, параллельной оси z и проходящей через геометрические центры резонаторов. Видно, что в крайних резонаторах ^1,5 внутреннее поле асимметрично и ниже, чем в резонаторах R2-4. Даже при одинаковых геометрических размерах всех резонаторов собственные частоты резонаторов, зависящие от внутренних магнитных полей, будут сильно различаться. Это приводит к уменьшению эффективности энергообмена в системе резонаторов, резонансные профили отдельных резонаторов могут не перекрываться, и резонансы Фано в этом случае отсутствуют. Такая особенность резонансных частот свойственна только магнонным системам на основе магнитных материалов. Для компенсации данной особенности и выравнивания внутренних статических полей в резонаторе ФП (R3) и боковых резонаторах РСВ (^2,4) в систему добавлены резонаторы R15 (см. рис. 1, с). При микромагнитном моделировании спиновых возбуждений исследовался случай возбуждения и связи только резонатора ФП (R3) и РСВ (R2) с малым параметром диссипации а = 10-5. Для подавления возбуждения СВ в резонаторах ^1,4,5 в них задавался большой параметр диссипации а = 1.

Перейдем к результатам решения динамической задачи о СВ в структурах. На рис. 1, d приведён расчёт передаточных характеристик СВ в структуре, содержащей микроволноводы S1}2, соединенные отрезком регулярного микроволновода шириной W2, то есть в отсутствие резонаторов. Видно, что в этом случае передаточная характеристика соответствует непрерывному спектру СВ, распространяющихся из одного микроволновода (51) в другой (S2). При замене отрезка

регулярного волновода резонатором ФП на передаточной характеристике на фоне непрерывного спектра СВ появляются резонансы с центральными частотами /п с симметричным профилем и спектр СВ становится квазинепрерывным (синяя штриховая кривая на рис. 1, d). Резонансные частоты /п ФП в этом случае определяются из условия:

-2— = 92, п = ^ (2)

где X - длина СВ на п-резонансной частоте, д2 - длина резонаторов вдоль направления распространения СВ.

Добавление в систему РСВ резонатора К2 (резонаторы Я1,4,5 не оказывают влияния на спектр СВ в системе из-за больших параметров диссипации) приводит к его связи с резонатором ФП, расталкиванию резонансных частот и формированию двухпиковых резонансных профилей (красная штрихпунктирная кривая на рис. 1, d). Наиболее явно это проявляется для низших резонансных частот. Например, резонансный профиль в окрестности частоты 5.2 ГГц (п = 1) имеет один минимум и два максимума: высокочастотный с симметричным профилем и низкочастотный с асимметричным профилем. Таким образом, в связанной системе ФП - РСВ наблюдается резонанс Фано. Низкочастотному максимуму соответствует конструктивная интерференция спиновых возбуждений в различных резонаторах, минимуму - деструктивная интерференция. С увеличением резонансной частоты /п происходит уменьшение величины связи резонатора ФП и РСВ, расталкивание резонансных частот уменьшается, изменяется степень асимметричности резонанса Фано и на частотах больших 5.4 ГГц, где резонаторы практически не взаимодействуют друг с другом, в системе наблюдаются только резонансы Фабри-Перо.

Рассмотрим влияние намагниченностей насыщения Мо в резонаторе ФП и РСВ на пространственные распределения динамической намагниченности, резонансные частоты и передаточные характеристики системы. На рис. 2, а показаны пространственные карты распределения ту-компоненты динамической намагниченности в случае, когда намагниченности насыщения резонаторов равны Мо=139 Гс на частоте /1=5.34 ГГц. Видно, что на длине резонаторов д2 приближенно укладывается три полуволны, то есть выполняется условие (2), и частота /1 приближенно соответствует моде колебаний с п = 3. На рис. 2, Ь показано аналогичное распределение намагниченности на частоте /1 при меньшей величине намагниченности в резонаторах ФП и РСВ - Мо = 132 Гс. Уменьшение намагниченности приводит к сдвигу начала спектра СВ в более низкочастотную область [28], возрастанию величины постоянной распространения к(/1) СВ, при этом на длине резонаторов д2 приближенно укладывается большее число полуволн.

т (arb.units)

220

Е

i

CD

-4—<

Л

220

0.5 1.0

x-coordinate, mm т (arb.units)

0.5

x-coordinate,

Рис. 2. Пространственные карты распределения ту -компоненты динамической намагниченности в случае величины намагниченности насыщения М0 = 139 Гс (a) и Мо = 132 Гс (b) в области резонаторов К2,з на фиксированной частоте f1 =5.34 ГГц

Fig. 2. Spatial maps of the my component distribution in the case of saturation magnetization M0 = 139 G (a) and M0 = = 132 G (b) in the region R2,3 at a fixed frequency f1 = 5.34 GHz

а

5.15

5.25

5.35 5.45

Frequency, GHz

5.55

D(f,kx{arb. un.)) min max

1500

Рис. 3. a - Амплитудно-частотные характеристики СВ в случае величины намагниченности насыщения М0 = 139 Гс (синяя сплошная кривая) и М0 = 132 Гс (красная штриховая кривая) в области резонаторов Д2,з. b - Пространственное двумерное распределение величины D(kx, f)

Fig. 3. a - Transmission characteristics of spin waves (SW) in the case of saturation magnetization M0 = 139 G (blue solid curve) and M0 = 132 G (red dashed curve) in the region of the resonators R2,3. b - Spatial two-dimensional distribution of the D(kx,f) quantity

На рис. 3, а приведены передаточные характеристики СВ в широком диапазоне частот при различной величине намагниченности резонаторов (синяя сплошная кривая - Мо = 139 Гс, красная пунктирная кривая - Мо = 132 Гс). Из сравнения характеристик видно, что уменьшение Мо приводит к смещению всех резонансов в сторону более низких частот. При этом характеристики резонанса Фано (степень асимметричности и глубина деструктивного минимума) существенно изменяются для колебательных мод резонаторов с п < 4. Эти изменения характеристик связаны с уменьшением величины связи резонаторов при уменьшении их намагниченности. Таким образом, асимметрией профилей и глубиной деструктивного минимума резонанса Фано можно эффективно управлять изменением намагниченности насыщения Мо, например, за счет нагрева резонаторов оптическим или тепловым излучением [42].

С помощью микромагнитного моделирования для намагничивания Мо = 139 Гс построен спектр / (к) спин-волновых возбуждений (рис. 3, Ь). Спектр получен путем преобразования Фурье от пространственной реализации ту (х) при заданной частоте / вдоль продольной оси системы микроволновод - ФП резонатор. Спектр представляет собой непрерывный спектр ши-ринных мод СВ (набор близко расположенных кривых, монотонно возрастающих с увеличением постоянной распространения), на который наложен дискретный спектр резонансных состояний спиновых возбуждений (последовательность горизонтальных линий на частотах /п вблизи начала непрерывного спектра СВ).

3. Численное интегрирование системы уравнений связанных волн

Микромагнитное моделирование является аналогом численного эксперимента, позволяет учесть, например, неоднородность внутренних магнитных полей, произвести расчет спин-волновых возбуждений в магнонных системах при различных параметрах и сравнить полученные данные с результатами натурного эксперимента. Однако микромагнитное моделирование плохо приспособлено к решению нелинейных задач и для получения результатов требует существенных временных затрат, напрямую зависящих от размеров расчетной сетки.

Для исследования характеристик нелинейного резонанса Фано в системе резонатор ФП-РСВ использовались методы теории связанных волн, обобщенные на среды с кубической нелинейностью. Было проведено исследование характеристик резонансов Фано для системы, подобной ранее изученной в рамках микромагнитного моделирования. Общая схема исследуемой системы с последовательностью сегментов регулярных волноводов и областью связи представлена на рис. 4, а. Подсистема 1 представляет собой волновод длиной Ь на основе пленки толщиной в которой сформированы две области длиной Ь2, Ь4 и глубиной в = й1 — й2. Эта подсистема эквивалентна регулярному волноводу СВ с включенным в него резонатором ФП. Добротность резонатора ФП определяется коэффициентами отражения СВ, зависящими от длины сегментов Ь2, ¿4, и соотношением толщин с12 и магнитных пленок.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Подсистема 2 представляет собой соединение двух сегментов волноводов с толщиной пленки йз и длинами ¿1 + ¿2 с одним сегментом толщиной и длиной Ь33. Эта подсистема эквивалента резонатору СВ. Его добротность определяется, в частности, соотношением толщин йз и магнитных пленок.

Связь между волновыми процессами в различных подсистемах возможна только в области резонаторов длиной Считаем, что в резонаторах ФП и РСВ магнитная среда обладает кубической нелинейностью, в остальных частях систем среда и волновые процессы линейны. Между резонаторами вводится связь, зависящая от степени перекрытия магнитных полей собственных мод резонаторов. Далее считаем, что коэффициент связи известен.

Материальные параметры магнитных пленок (намагниченность насыщения Мо = 139 Гс, параметры диссипации и т. д.) во всех частях подсистем считаем одинаковыми. Система связанных резонаторов помещена в однородное статическое магнитное поле величиной Но = 1200 Э, ориентированное вдоль оси г. Считаем, что в каждой подсистеме могут распространяться только СВ. При этом частота / и постоянная распространения к магнитостатических волн (МСВ) в регулярных волноводах толщиной с! в линейном случае связаны известным дисперсионным соотношением к, (I, Но, Мо) = 0 [40]. Проведем исследование характеристик линейного и нелинейного отклика системы в зависимости от геометрических параметров подсистем, величины связи между ними и интенсивности СВ. В системе выделим два сечения: входное сечение с координатой х = 0 и выходное сечение с координатой х = Ь. В плоскости входного сечения введем комплексные амплитуды волн, где т = 1, 2 - индекс, определяющий подсистему, п = 1, 2 -индекс для падающих (п = 1) и отраженных волн (п = 2). Подобным образом введем амплитуды волн фтп (Ь) в выходном сечении системы. Однако в этом случае индекс п = 1 соответствует прошедшим волнам, а п = 2 - падающим волнам. Считаем, что амплитуда ао падающей волны на входное сечение первой подсистемы при х = 0 известна. Амплитуды всех остальных падающих волн положим равными нулю. В рамках введенных обозначений граничные условия задачи для этого случая формулируются следующим образом:

( х = 0, фц (0) = ао, фц (0) = 0,

Ь = Ь, ф12 (Ь) = ф22 (0) = 0.

Фи О Фп О

Фи О Ф* о

Н„'

а

Т......7ц |.....ц...... L

d, d,

.11.

м

Фи L Ф, L

ФИ L % L

5.32 5.34 5.36 Frequency, GHz

5.32 5.34 Frequency, GHz

0.02 0.03 a„,arb.un.

0.05

Рис. 4. a - Система связанных нелинейных волноводов МСВ. b - Зависимость частотных коэффициентов прохождения t(f) вблизи низшей резонансной частоты f1 (d2 = 0.3 мкм, у = 0). c - Зависимость формы резонанса Фано от толщины пленки d2, мкм: 0.4 (кривая 1), 0.6 (2), 0.8 (5), 1 (4); п = 10 см-1. d - Нелинейный резонанс Фано в зависимости от амплитуды МСВ а0 на входе: 0.003 (кривая 1), 0.0082 (2), 0.0134 (5), 0.0187 (4), 0.0239 (5), 0.0291 (6). (п = 10 см-1, d2 = 0.6 мкм). A, B, C - характерные частоты нелинейного резонанса. e - Зависимости частотных коэффициентов передачи t от амплитуды МСВ для трех частотных точек (A - 5.351 ГГц, B - 5.329 ГГц, С - 5.326 ГГц)

Fig. 4. a - System of coupled nonlinear waveguides. b - Dependence of frequency transmission coefficients t(f) near lowest resonant frequency f1 (d2 = 0.3 |j,m, у = 0). c - Dependence of the Fano resonance shape on the film thickness d2, |J.m: 0.4 (curve 1), 0.6 (2), 0.8 (5), 1.0 (4); п = 10 cm-1. d - Nonlinear Fano resonance as a function of the MSW amplitude a0 at the input: 0.003 (curve 1), 0.0082 (2), 0.0134 (5), 0.0187 (4), 0.0239 (5), 0.0291 (6). (n = 10 cm-1, d2 = 0.6 |j,m). A, B, C are the characteristic frequencies of nonlinear resonance. e - Dependences of the frequency transfer coefficients t on the MSW amplitude for three frequency points (A - 5.351 GHz, B - 5.329 GHz, C - 5.326 GHz)

Остальные амплитуды волн в различных сечениях х ф12 (0) , ф22 (0) , фи (Ь), ф21 (Ь) необходимо найти. Будем рассматривать только прошедшие и отраженные волны в первой подсистеме и введем частотные коэффициенты прохождения ¿(/) = 20^1о (|ф11 (Ь)/ф11 (0) |) и отражения г(/) = 20 ^ю (|ф12 (0)/фц (0) |).

Для сокращения математических выкладок рассмотрим постановку задачи только для пространственной области ¿1 +¿2 < х < ¿1+¿2+Ьз, то есть для нелинейных участков связанных подсистем. Полные волновые поля в подсистеме с индексом т представим в виде суперпозиции волн, распространяющихся в противоположных направлениях с постоянными распространения к1 фт (х) = ат1 (х) егк1Х+ат2 (х) е-гк1Х, где ат1 (х), ат2 (х) - медленно меняющиеся комплексные амплитуды. Ранее, в приближении медленно меняющихся амплитуд на основе метода связанных волн для волноведущих систем с кубической нелинейностью, была получена соответствующая система дифференциальных уравнений первого порядка [41]. В выбранных обозначениях система уравнений для выбранного сегмента будет иметь вид:

'Л X 2 2Л

:фП = гк1ф11 + ¿ПФ21 + гуп ^|фп| + 21ф 121 ) Ф11,

йх

( 2 2^

^ф12 = — гк1 ф12 — Щф22 — гуп |ф121 + 21ф 111 ) ф12,

Л х 2 2Л

^ф21 = ^1ф21 + «Лф11 + гуп (^|ф211 + 2|ф221 ) ф21,

Л х 2 2Л

^ф22 = — гк1 ф22 — Щф12 — гуп ф221 + 2|ф211 ^ ф22,

где к1 - постоянная распространения СВ в отсутствии связи и нелинейности, п - коэффициент связи двух волн, распространяющихся в одном направлении в различных подсистемах, уп -коэффициент нелинейности. Аналогичную систему уравнений (4) можно записать и для остальных сегментов с учетом связи между подсистемами и нелинейных параметров среды. Например, для сегмента длиной ¿1 в отсутствии связи и нелинейности система (4) на интервале 0 < х < Ь1 имеет решения вида:

ф1 (х) = фце^1 ж + ф12е-гк1Х, ф2 (х) = ф21егкзх + ф22е-гкзХ, (5)

где к1,кз - постоянные распространения СВ в сегментах толщиной и йз, соответственно. Системы уравнений (4), записанные для каждого сегмента, необходимо дополнить граничными условиями на стыках соседних сегментов. В первом приближении будем считать, что граничные условия на стыках сегментов не зависят от нелинейных свойств среды и, для определенности, рассмотрим сечение х = £1. В первой подсистеме в этом сечении соединяются два волновода разной толщины и ^2 с постоянными распространения к1 и к2, соответственно. Во второй подсистеме волноводы имеют одинаковую толщину йз и постоянную распространения кз. Чтобы не решать сложную задачу дифракции СВ на волноводной неоднородности в виде ступеньки, заменим ее более простой задачей о распространении СВ в плоскослоистой магнитной среде с разными постоянными распространения к1 и к2. В этом случае на границе раздела слоев непрерывными будут волновые поля и их производные вдоль оси х:

ф1ш (Х)\х^Ь1 = фГт (Х)1Ь1< (1ф1т (X) (1фгт (х)

йх

х^Ь1 ^Х

(6)

Ь1^х1

х

где т = 1, 2 - индекс подсистем, ф1т, фгт- волновые поля слева и справа от границы раздела слоев (сегментов). Таким образом из (5,6) граничные условия для х = ¿1 в подсистемах запишутся в виде

ф11 + ф12 = ф11 + ф12,

гк1 (фгп — ф!^ = гк2 (ф11 — ф^ ,

7 (7)

ф21 = ф21,

I г

ф22 = ф22.

Записывая систему уравнений (4) для каждого сегмента, граничные условия (7) на границах сегментов и соответствующих сечениях (3), получаем замкнутую систему уравнений для расчета коэффициентов прохождения и отражения СВ.

В расчетах использовались следующие материальные параметры и геометрические размеры подсистем: внешнее магнитное поле Но = 1200 Э, ¿1 = = 0.5 см, ¿2 = = 0.0001 см, Ьз = 0.05 см, = 10 мкм, с!з = 0.3 мкм, остальные параметры вариативные. Вначале рассмотрим частотные характеристики системы в линейном случае (у = 0).

На рис. 4, Ь представлено семейство частотных коэффициентов прохождения ¿(/) волн от входного к выходному сечению первой подсистемы, построенных при различных величинах коэффициента связи и заданной толщине волноводов ^2 = (!з = 0.3 мкм. В отсутствии связи система уравнений (4) распадается на две независимые подсистемы. Во второй подсистеме волны не распространяются, в первой подсистеме происходит возбуждение мод колебаний резонатора ФП при выполнении условий (2).

Аналогичными резонансными частотами, в силу одинаковых геометрических размеров, обладает и резонатор во второй подсистеме. На рис. 4, c представлена только частотная область вблизи низшей (п = 1) резонансной частоты /1. В отсутствии связи между подсистемами резонансная кривая имеет симметричный вид в окрестности частоты /1. Наличие связи (п = 0) приводит к энергетическому обмену между подсистемами, расталкиванию резонансных частот подсистем, формированию в более низкочастотной области второго асимметричного резонанса, то есть резонанса Фано. Таким образом, полученные результаты подобны результатам, полученным в рамках микромагнитного моделирования. Результаты расчета зависимостей ¿(/) от параметра связи п, выполненные на основе метода связанных волн, согласуются и с результатами, полученными на основе анализа связанных линейных осцилляторов [20]. В частности, с увеличением п степень асимметрии низкочастотного резонанса уменьшается.

Рассмотрим нелинейный отклик системы при заданных параметрах п=10 см-1, ^2=0.6 мкм и коэффициенте нелинейности у = 1.7 ■ 10з см-1, типичном для касательно намагниченных полем Но = 1200 Э пленок ЖИГ толщиной в выбранной области частот. Ранее задача о нелинейном резонансе неоднократно рассматривалась для классической модели двух связанных осцилляторов с кубической нелинейностью под гармоническим внешним воздействием. Проведенные расчеты в рамках модели связанных волн выявили аналогичные закономерности, что косвенно свидетельствует об адекватности предложенной модели и методов расчета.

На рис. 4, d представлены зависимости ¿(/) от амплитуды СВ ао во входном сечении первой подсистемы. При ао < 0.008 зависимости ¿(/) практически аналогичны линейному случаю. С увеличением амплитуды форма резонансной кривой высокочастотного пика (в окрестности частоты 5.35) становится асимметричной. Резонансная частота смещается в более низкочастотную область, происходит укручение низкочастотной части кривой, и в дальнейшем (при увеличении ао) на этой части формируется область неустойчивости, то есть проявляются характерные особенности нелинейного резонанса в системах с кубической нелинейностью. Для второго низкочастотного

резонанса аналогичные закономерности проявляются на высокочастотной части кривой. Рассмотрим зависимости величины t(f) от амплитуды ао для трех частотных точек / = 5.351 ГГц (A), 5.329 ГГц (B), 5.326 (С) как показано на рис. 4, d.

Поведение t(f) в указанных частотных точках представляет интерес с точки зрения создания на основе резонанса Фано управляемых нелинейных элементов волноводных трактов (например, магнонных переключателей) СВЧ-диапазона радиоволн. В точке A (см. рис. 4, e, кривая А), то есть в окрестности центральной частоты высокочастотного резонанса для линейного случая, при увеличении амплитуды в 10 раз (с 0.005 до 0.05) величина прохождения t(f) уменьшается на 4 дБ. В точках B и С увеличение амплитуды в 5 раз (0.005 до 0.025) приводит к уменьшению прохождения на 11 дБ (см. рис. 4, e, кривые B, C). Причем ход кривой С имеет ясно выраженный пороговый характер: при а0 < 0.01, t(f) = const, при при а0 > 0.01 практически линейно убывает. Такие особенности резонанса Фано могут быть использованы для переключения режимов распространения МСВ и реализации, например, логических операций на основе элементов магноники и спинтроники.

Заключение

В настоящей работе с помощью численных исследований продемонстрировано явление резонанса Фано в латеральном массиве ферромагнитных резонаторов и волноводов. На основе численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, полученных в рамках теории связанных волн и учитывающих кубическую нелинейность магнитной среды, проведены теоретические исследования зависимостей передаточных характеристик системы «микроволновод-резонатор» от интенсивности поверхностных магнитостатических волн. Показаны особенности проявления конструктивной и деструктивной интерференции спиновых волн в условиях резонанса Фано. Установлены зависимости характеристик параметров нелинейного резонанса Фано (коэффициента асимметричности, сдвигов резонансных частот) от интенсивности спин-волновых возбуждений. Полученные результаты могут быть использованы для создания класса устройств обработки информации, таких как системы демультиплексирования с частотно-пространственной селективностью, управляемых одновременно магнитным полем и интенсивностью СВ.

Список литературы

1. Fano U. Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts // Phys. Rev. 1961. Vol. 124, no. 6. P. 1866-1878. DOI: 10.1103/PhysRev.124.1866.

2. Miroshnichenko A. E., Flach S., Kivshar Y.S. Fano resonances in nanoscale structures // Rev. Mod. Phys. 2010. Vol. 82, no. 3. P. 2257-2298. DOI: 10.1103/RevModPhys.82.2257.

3. Kamenetskii E., Sadreev A., Miroshnichenko A. E. Fano Resonances in Optics and Microwaves. Vol. 219 of Springer Series in Optical Sciences. Springer International Publishing, 2018. 582 p. DOI: 10.1007/978-3-319-99731-5.

4. Galli M., Portalupi S. L., Belotti M., Andreani L. C., O'Faolain L., Krauss T. F. Light scattering and Fano resonances in high-Q photonic crystal nanocavities // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 94, no. 7. P. 071101. DOI: 10.1063/1.3080683.

5. Zhou W. et al. Progress in 2D photonic crystal Fano resonance photonics // Prog. Quantum Electron. 2014. Vol. 38, no. 1. P. 1-74. DOI: 10.1016/j.pquantelec.2014.01.001.

6. Chibaa A., Fujiwara H., Hotta J., Takeuchi S., Sasaki K. Fano resonance in a multimode tapered fiber coupled with a microspherical cavity // Appl. Phys. Lett. 2005. Vol. 86, no. 26. P. 261106. DOI: 10.1063/1.1951049.

7. Fan S. Sharp asymmetric line shapes in side-coupled waveguide-cavity systems // Appl. Phys. Lett. 2002. Vol. 80, no. 6. P. 908-910. DOI: 10.1063/1.1448174.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

266

Butet J., Martin O. J.F. Fano resonances in the nonlinear optical response of coupled plasmonic nanostructures // Opt. Express. 2014. Vol. 22, no. 24. P. 29693-29707. DOI: 10.1364/OE.22.029693.

Ortuno R., Cortijo M., Martinez A. Fano resonances and electromagnetically induced transparency in silicon waveguides loaded with plasmonic nanoresonators // J. Opt. 2017. Vol. 19, no. 2. P. 025003. DOI: 10.1088/2040-8986/aa51e0.

Cardoso J. L., Pereyra P. Spin inversion devices operating at Fano anti-resonances // EPL. 2008. Vol. 83, no. 3. P. 38001. DOI: 10.1209/0295-5075/83/38001.

Djafari-Rouhani B., Al-Wahsh H., Akjouj A., Dobrzynski L. One-dimensional magnonic circuits with size-tunable band gaps and selective transmission // Journal of Physics: Conference Series. 2011. Vol. 303, no. 1. P. 012017. DOI: 10.1088/1742-6596/303/1/012017. Al-Wahsh H. Existence and collapse of Fano resonances as a function of pinning field in simple mono-mode magnetic circuits // Eur. Phys. J. B. 2010. Vol. 73, no. 4. P. 527-537. DOI: 10.1140/epjb/e2010-00032-7.

Kroner M., Govorov A. O., Remi S., Biedermann B., Seidl S., Badolato A., Petroff P. M., Zhang W., Barbour R., Gerardot B. D., Warburton R. J., Karrai K. The nonlinear Fano effect // Nature. 2008. Vol. 451, no. 7176. P. 311-314. DOI: 10.1038/nature06506.

Miroshnichenko A.E., Mingaleev S.F., Flach S., Kivshar Y.S. Nonlinear Fano resonance and bistable wave transmission // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71, no. 3. P. 036626. DOI: 10.1103/PhysRevE.71.036626.

Nazari F., Bender N., Ramezani H., Moravvej-Farshi M.K., Christodoulides D. N., Kottos T. Optical isolation via PT-symmetric nonlinear Fano resonances // Opt. Express. 2014. Vol. 22, no. 8. P. 9574-9584. DOI: 10.1364/OE.22.009574.

Yu Y, Chen Y, Hu H., Xue W., Yvind K., Mork J. Nonreciprocal transmission in a nonlinear photonic-crystal Fano structure with broken symmetry // Laser & Photonics Reviews. 2015. Vol. 9, no. 2. P. 241-247. DOI: 10.1002/lpor.201400207.

Yu Y., HeuckM., Hu H., Xue W., Peucheret C., Chen Y., Oxenl0we L.K., Yvind K., M0rk J.Fano resonance control in a photonic crystal structure and its application to ultrafast switching // Appl. Phys. Lett. 2014. Vol. 105, no. 6. P. 061117. DOI: 10.1063/1.4893451.

Yu Y, Xue W, Semenova E., Yvind K., Mork J. Demonstration of a self-pulsing photonic crystal Fano laser//Nature Photon. 2017. Vol. 11, no. 2. P. 81-84. DOI: 10.1038/nphoton.2016.248. Mork J., Chen Y, HeuckM. Photonic crystal Fano laser: Terahertz modulation and ultrashort pulse generation//Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 113, no. 16-17. P. 163901. DOI: 10.1103/PhysRevLett.113.163901.

Joe Y.S., Satanin A.M., Kim C. S. Classical analogy of Fano resonances // Phys. Scr. 2006. Vol. 74, no. 2. P. 259-266. DOI: 10.1088/0031-8949/74/2/020.

Dogkas L., Kamalakis T., Alexandropoulos D. Analytical model for active racetrack resonators with intracavity reflections and its application in Fano resonance tailoring // Appl. Opt. 2018. Vol. 57, no. 17. P. 4824-4831. DOI: 10.1364/AO.57.004824.

Sander D., Valenzuela S. O., Makarov D., Marrows C. H., Fullerton E. E., Fischer P., McCord J., Vavassori P., Mangin S., Pirro P., Hillebrands B., Kent A. D., Jungwirth T., Gutfleisch O., Kim C. G., Berger A. The 2017 magnetism roadmap // Journal of Physics D: Applied Physics. 2017. Vol. 50, no. 36. P. 363001. DOI: 10.1088/1361-6463/aa81a1.

Khitun A., Bao M., Wang K. L. Magnonic logic circuits // Journal of Physics D: Applied Physics. 2010. Vol. 43, no. 26. P. 264005. DOI: 10.1088/0022-3727/43/26/264005. Kruglyak V. V., Demokritov S. O., Grundler D. Magnonics // Journal of Physics D: Applied Physics. 2010. Vol. 43, no. 26. P. 264001. DOI: 10.1088/0022-3727/43/26/264001.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Никитов С. А., КалябинД. В., Лисенков И. В., Славин А. Н., Барабаненков Ю. Н., Осокин С. А., Садовников А. В., Бегинин Е.Н., Морозова М.А., Шараевский Ю.П., Филимонов Ю.А.,

Хивинцев Ю. В., Высоцкий С. Л., Сахаров В. К., Павлов Е. С. Магноника — новое направление спинтроники и спин-волновой электроники // УФН. 2015. Т. 185, № 10. С. 1099-1128. DOI: 10.3367/UFNr.0185.201510m.1099.

26. Kalinikos B. A., Slavin A. N. Theory of dipole-exchange spin wave spectrum for ferromagnetic films with mixed exchange boundary conditions // J. Phys. C Solid State Phys. 1986. Vol. 19, no. 35. P. 7013-7033. DOI: 10.1088/0022-3719/19/35/014.

27. Patton C. E. Magnetic excitations in solids // Physics Reports. 1984. Vol. 103, no. 5. P. 251-315. DOI: 10.1016/0370-1573(84)90023-1.

28. Stancil D. D., Prabhakar A. Spin Waves: Theory and Applications. Springer US, 2009. 348 p. DOI: 10.1007/978-0-387-77865-5.

29. De Wames R. E., Wolfram T. Dipole-exchange spin waves in ferromagnetic films // J. Appl. Phys. 1970. Vol. 41, no. 3. P. 987-993. DOI: 10.1063/1.1659049.

30. Harris V. G, Geiler A., Chen Y, Yoon S. D., Wu M., Yang A., Chen Z., He P., Parimi P. V., Zuo X., Patton C. E., Abe M., Acher O., Vittoria C. Recent advances in processing and applications of microwave ferrites // J. Magn. Magn. Mater. 2009. Vol. 321, no. 14. P. 2035-2047.

DOI: 10.1016/j.jmmm.2009.01.004.

31. Chrisey D. et al. Microwave magnetic film devices // Thin Films. 2001. Vol. 28. P. 319-374. DOI: 10.1016/S1079-4050(01)80023-5.

32. Beginin E. N., Sadovnikov A. V., Sharaevskaya A. Y., Stognij A. I., Nikitov S. A. Spin wave steering in three-dimensional magnonic networks // Appl. Phys. Lett. 2018. Vol. 112, no. 12. P. 122404. DOI: 10.1063/1.5023138.

33. Sadovnikov A. V., Beginin E. N., Sheshukova S. E., Romanenko D. V., Sharaevskii Y.P., Nikitov S. A. Directional multimode coupler for planar magnonics: Side-coupled magnetic stripes // Appl. Phys. Lett. 2015. Vol. 107, no. 20. P. 202405. DOI: 10.1063/1.4936207.

34. Rousseau O., Rana B., Anami R., Yamada M., Miura K., Ogawa S., Otani Y Realization of a micrometre-scale spin-wave interferometer// Sci. Rep. 2015. Vol. 5. P. 9873.

DOI: 10.1038/srep09873.

35. Ustinov A. B., Drozdovskii A. V., Kalinikos B. A. Multifunctional nonlinear magnonic devices for microwave signal processing // Appl. Phys. Lett. 2010. Vol. 96, no. 14. P. 142513.

DOI: 10.1063/1.3386540.

36. Scott M.M., Patton C.E., Kostylev M.P., Kalinikos B.A. Nonlinear damping of high-power magnetostatic waves in yttrium-iron-garnet films // J. Appl. Phys. 2004. Vol. 95, no. 11. P. 6294. DOI: 10.1063/1.1699503.

37. Kruglyak V.V. et al. Graded Magnonic Index and Spin Wave Fano Resonances in Magnetic Structures: Excite, Direct, Capture. Spin Wave Confinement: Propagating Waves, Second Edition, 2017. P. 11-46. DOI: 10.1201/9781315110820.

38. Высоцкий С. Л., Дудко Г. М., Никитов С. А., Новицкий Н. Н., Сахаров В. К., Стогний А. И., Хивинцев Ю. В., Филимонов Ю. А. Резонансные свойства магнитных периодических структур: резонансы Брэгга, Вуда, Фано // Материалы XX Международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника», 2016. C. 170-171.

39. Vansteenkiste A., Leliaert J., Dvornik M., Helsen M., Garcia-Sanchez F., Van Waeyenberge B. The design and verification of MuMax3 // AIP Advances. 2014. Vol. 4, no. 10. P. 107133. DOI: 10.1063/1.4899186.

40. Damon R. W., Eshbach J.R. Magnetostatic modes of a ferromagnet slab // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1961. Vol. 19, no. 3-4. P. 308-320. DOI: 10.1016/0022-3697(61)90041-5.

41. Radic S., George N., Agrawal G.P. Analysis of nonuniform nonlinear distributed feedback structures: generalized transfer matrix method // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1995. Vol. 31, no. 7. P. 1326-1336. DOI: 10.1109/3.391098.

42. Meloche E., Cottam M.G. Thermal properties of surface and bulk spin waves in uniaxial and nonuniaxial metamagnetic films // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70, no. 9. P. 094423.

DOI: 10.1103/PhysRevB.70.094423.

References

1. Fano U. Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts. Phys. Rev. 1961; 124(6):1866-1878. DOI: 10.1103/PhysRev.124.1866.

2. Miroshnichenko AE, Flach S, Kivshar YS. Fano resonances in nanoscale structures. Rev. Mod. Phys. 2010;82(3):2257-2298. DOI: 10.1103/RevModPhys.82.2257.

3. Kamenetskii E, Sadreev A, Miroshnichenko AE. Fano Resonances in Optics and Microwaves. Vol. 219 of Springer Series in Optical Sciences. Springer International Publishing; 2018. 582 p. DOI: 10.1007/978-3-319-99731-5.

4. Galli M, Portalupi SL, Belotti M, Andreani LC, O'Faolain L, Krauss TF. Light scattering and Fano resonances in high-Q photonic crystal nanocavities. Appl. Phys. Lett. 2009;94(7):071101. DOI: 10.1063/1.3080683.

5. Zhou W et al. Progress in 2D photonic crystal Fano resonance photonics. Prog. Quantum Electron. 2014;38(1):1-74. DOI: 10.1016/j.pquantelec.2014.01.001.

6. Chibaa A, Fujiwara H, Hotta J, Takeuchi S, Sasaki K. Fano resonance in a multimode tapered fiber coupled with a microspherical cavity. Appl. Phys. Lett. 2005;86(26):261106.

DOI: 10.1063/1.1951049.

7. Fan S. Sharp asymmetric line shapes in side-coupled waveguide-cavity systems. Appl. Phys. Lett. 2002;80(6):908-910. DOI: 10.1063/1.1448174.

8. Butet J, Martin OJF. Fano resonances in the nonlinear optical response of coupled plasmonic nanostructures. Opt. Express. 2014;22(24):29693-29707. DOI: 10.1364/OE.22.029693.

9. Ortuno R, Cortijo M, Martinez A. Fano resonances and electromagnetically induced transparency in silicon waveguides loaded with plasmonic nanoresonators. J. Opt. 2017;19(2):025003.

DOI: 10.1088/2040-8986/aa51e0.

10. Cardoso JL, Pereyra P. Spin inversion devices operating at Fano anti-resonances. EPL. 2008; 83(3):38001. DOI: 10.1209/0295-5075/83/38001.

11. Djafari-Rouhani B, Al-Wahsh H, Akjouj A, Dobrzynski L. One-dimensional magnonic circuits with size-tunable band gaps and selective transmission. Journal of Physics: Conference Series. 2011;303(1):012017. DOI: 10.1088/1742-6596/303/1/012017.

12. Al-Wahsh H. Existence and collapse of Fano resonances as a function of pinning field in simple mono-mode magnetic circuits. Eur. Phys. J. B. 2010;73(4):527-537. DOI: 10.1140/epjb/e2010-00032-7.

13. Kroner M, Govorov AO, Remi S, Biedermann B, Seidl S, Badolato A, Petroff PM, Zhang W, Barbour R, Gerardot BD, Warburton RJ, Karrai K. The nonlinear Fano effect. Nature. 2008; 451(7176):311-314. DOI: 10.1038/nature06506.

14. Miroshnichenko AE, Mingaleev SF, Flach S, Kivshar YS. Nonlinear Fano resonance and bistable wave transmission. Phys. Rev. E. 2005;71(3):036626. DOI: 10.1103/PhysRevE.71.036626.

15. Nazari F, Bender N, Ramezani H, Moravvej-Farshi MK, Christodoulides DN, Kottos T. Optical isolation via PT-symmetric nonlinear Fano resonances. Opt. Express. 2014;22(8):9574-9584. DOI: 10.1364/OE.22.009574.

16. Yu Y, Chen Y, Hu H, Xue W, Yvind K, Mork J. Nonreciprocal transmission in a nonlinear

photonic-crystal Fano structure with broken symmetry. Laser & Photonics Reviews. 2015;9(2): 241-247. DOI: 10.1002/lpor.201400207.

17. Yu Y, Heuck M, Hu H, Xue W, Peucheret C, Chen Y, Oxenl0we LK, Yvind K, M0rk J. Fano resonance control in a photonic crystal structure and its application to ultrafast switching. Appl. Phys. Lett. 2014;105(6):061117. DOI: 10.1063/1.4893451.

18. Yu Y, Xue W, Semenova Y, Yvind K, Mork J. Demonstration of a self-pulsing photonic crystal Fano laser. Nature Photon. 2017;11(2):81-84. DOI: 10.1038/nphoton.2016.248.

19. Mork J, Chen Y, Heuck M. Photonic crystal Fano laser:Terahertz modulation and ultrashort pulse generation. Phys. Rev. Lett. 2014;113(16-17):163901. DOI: 10.1103/PhysRevLett.113.163901.

20. Joe YS, Satanin AM, Kim CS. Classical analogy of Fano resonances. Phys. Scr. 2006;74(2): 259-266. DOI: 10.1088/0031-8949/74/2/020.

21. Dogkas L, Kamalakis T, Alexandropoulos D. Analytical model for active racetrack resonators with intracavity reflections and its application in Fano resonance tailoring. Appl. Opt. 2018;57(17): 4824-4831. DOI: 10.1364/AO.57.004824.

22. Sander D, Valenzuela SO, Makarov D, Marrows CH, Fullerton EE, Fischer P, McCord J, Vavassori P, Mangin S, Pirro P, Hillebrands B, Kent AD, Jungwirth T, Gutfleisch O, Kim CG, Berger A. The 2017 magnetism roadmap. Journal of Physics D: Applied Physics. 2017;50(36): 363001. DOI: 10.1088/1361-6463/aa81a1.

23. Khitun A, Bao M, Wang KL. Magnonic logic circuits. Journal of Physics D: Applied Physics. 2010;43(26):264005. DOI: 10.1088/0022-3727/43/26/264005.

24. Kruglyak VV, Demokritov SO, Grundler D. Magnonics. Journal of Physics D: Applied Physics. 2010;43(26):264001. DOI: 10.1088/0022-3727/43/26/264001.

25. Nikitov SA, Kalyabin DV, Lisenkov IV, Slavin AN, Barabanenkov YN, Osokin SA, Sadovnikov AV, Beginin EN, Morozova MA, Sharaevsky YP, Filimonov YA, Khivintsev YV, Vysotsky SL, Sakharov VK, Pavlov ES. Magnonics: A new research area in spintronics and spin wave electronics. Phys. Usp. 2015;58(10):1002-1028. DOI: 10.3367/UFNe.0185.201510m.1099.

26. Kalinikos BA, Slavin AN. Theory of dipole-exchange spin wave spectrum for ferromagnetic films with mixed exchange boundary conditions. J. Phys. C Solid State Phys. 1986;19(35): 7013-7033. DOI: 10.1088/0022-3719/19/35/014.

27. Patton CE. Magnetic excitations in solids. Physics Reports. 1984;103(5):251-315. DOI: 10.1016/0370-1573(84)90023-1.

28. Stancil DD, Prabhakar A. Spin Waves: Theory and Applications. Springer US; 2009. 348 p. DOI: 10.1007/978-0-387-77865-5.

29. De Wames RE, Wolfram T. Dipole-exchange spin waves in ferromagnetic films. J. Appl. Phys. 1970;41(3):987-993. DOI: 10.1063/1.1659049.

30. Harris VG, Geiler A, Chen Y, Yoon SD, Wu M, Yang A, Chen Z, He P, Parimi PV, Zuo X, Patton CE, Abe M, Acher O, Vittoria C. Recent advances in processing and applications of microwave ferrites. J. Magn. Magn. Mater. 2009;321(14):2035-2047.

DOI: 10.1016/j.jmmm.2009.01.004.

31. Chrisey D et al. Microwave magnetic film devices. Thin Films. 2001;28:319-374. DOI: 10.1016/S1079-4050(01)80023-5.

32. Beginin EN, Sadovnikov AV, Sharaevskaya AY, Stognij AI, Nikitov SA. Spin wave steering in three-dimensional magnonic networks. Appl. Phys. Lett. 2018;112(12):122404.

DOI: 10.1063/1.5023138.

33. Sadovnikov AV, Beginin EN, Sheshukova SE, Romanenko DV, Sharaevskii YP, Nikitov SA.

Directional multimode coupler for planar magnonics: Side-coupled magnetic stripes. Appl. Phys. Lett. 2015;107(2):202405. DOI: 10.1063/1.4936207.

34. Rousseau O, Rana B, Anami R, Yamada M, Miura K, Ogawa S, Otani Y. Realization of a micrometre-scale spin-wave interferometer. Sci. Rep. 2015;5:9873. DOI: 10.1038/srep09873.

35. Ustinov AB, Drozdovskii AV, Kalinikos BA. Multifunctional nonlinear magnonic devices for microwave signal processing. Appl. Phys. Lett. 2010;96(14):142513. DOI: 10.1063/1.3386540.

36. Scott MM, Patton CE, Kostylev MP, Kalinikos BA. Nonlinear damping of high-power magneto-static waves in yttrium-iron-garnet films. J. Appl. Phys. 2004;95(11):6294.

DOI: 10.1063/1.1699503.

37. Kruglyak VV et al. Graded Magnonic Index and Spin Wave Fano Resonances in Magnetic Structures: Excite, Direct, Capture. Spin Wave Confinement: Propagating Waves, Second Edition; 2017. P. 11-46. DOI: 10.1201/9781315110820.

38. Vysotsky SL, Dudko GM, Nikitov SA, Novitsky NN, Sakharov VK, Stognij AI, Khivintsev YV, Filimonov YA. Resonance properties of magnetic periodic structures: Bragg, Wood, Fano resonances. Materials of the XX International Symposium «Nanophysics and Nanoelectronics»; 2016. P. 170-171 (in Russian).

39. Vansteenkiste A, Leliaert J, Dvornik M, Helsen M, Garcia-Sanchez F, Van Waeyenberge B. The design and verification of MuMax3. AIP Advances. 2014;4(10):107133. DOI: 10.1063/1.4899186.

40. Damon RW, Eshbach JR. Magnetostatic modes of a ferromagnet slab. Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1961;19(3-4):308-320. DOI: 10.1016/0022-3697(61)90041-5.

41. Radic S, George N, Agrawal GP. Analysis of nonuniform nonlinear distributed feedback structures: generalized transfer matrix method. IEEE Journal of Quantum Electronics. 1995;31(7):1326-1336. DOI: 10.1109/3.391098.

42. Meloche E, Cottam MG. Thermal properties of surface and bulk spin waves in uniaxial and nonuniaxial metamagnetic films. Phys. Rev. B. 2004;70(9):094423.

DOI: 10.1103/PhysRevB.70.094423.

Грачев Андрей Андреевич - родился в Саратове (1994). Получил степень бакалавра (2015) по специальности «радиофизика» и степень магистра (2017) по специальности «прикладные математика и физика» на факультете нелинейных процессов Саратовского государственного университета. Является постоянным участником научных конференций. Работает младшим научным сотрудником в лаборатории «Магнитные метаматериалы» СГУ. Научные интересы: планарные структуры, метаматериалы, системы обработки и передачи информации, бриллюэновская спектроскопия, управляемые микро- и наноструктуры. Имеет 14 научных статей в реферируемых научных журналах.