НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЕТ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ЭКСПЕРТ: expert:

теория и практика 2023. № 4 (23) theory and practice

Научная статья УДК 624.131

ГРНТИ: 67 Строительство и архитектура

ВАК: 2.1.1 Строительные конструкции, здания и сооружения, 2.1.5 Строительные материалы и изделия, 2.1.9. Строительная механика Б01 10.51608/26867818_2023_4_47

НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЕТ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

© Авторы, 2023 БОСАКОВ Сергей Викторович

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Математические методы в строительстве»

Белорусский национальный технический университет (Беларусь, Минск)

КОЗУНОВА Оксана Васильевна

кандидат технических наук, доцент, докторант, заведующий кафедрой «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» ФСН филиала БНТУ

Белорусский национальный технический университет (Беларусь, Минск)

Аннотация. В предлагаемой работе получила дальнейшее развитие теория нелинейных расчетов фундаментных конструкций на произвольном упругом основании. Круглая железобетонная плита под дымовую трубу ТЭЦ лежит на упругом полупространстве и сплошным образом, без трения и скольжения, контактирует с ним. Выполнены упругий и нелинейный расчеты этой конструкции под действием неосесимметричной вертикальной нагрузки при условии нахождения части плиты в одной плоскости.

Нелинейный расчет круглой плиты на упругом основании выполнялся итерационным путем метода Б.Н. Жемочкина в декартовой системе координат с использованием смешанного метода строительной механики. Причем, к традиционным уравнениям смешанного метода добавляются уравнения нахождения точек окружности нагружения плиты в одной плоскости от неизвестных внешних сил, распределенных по этой окружности. На первой итерации плита рассчитывается как линейно-упругая, однородная и изотропная, на последующих - как линейно-упругая, неоднородная и анизотропная на каждом участке Жемочкина. Прогибы плиты с защемленной в центре каждого участка нормалью в основной системе смешанного метода от действия вертикальной силы определяются методом Ритца при представлении прогибов в виде степенного полинома в выражении, которое удовлетворяет не только граничным условиям защемленной плиты по перемещениям, но и бигармоническому уравнению.

По полученным в результате упругого расчета перемещениям центров участков плиты методом конечных разностей определялись кривизны, а по ним - цилиндрические жесткости для каждого из направлений Х и У и крутильная жесткость. Для каждого участка на всех последующих итерациях используется зависимость "жесткость - кривизна", аппроксимированная нелинейной функцией, характер зависимости которой графически свидетельствует о нелинейно-упругой работе анизотропной плиты и ее деформировании с учетом трещинообразования и раскрытия трещин.

Приводятся численные примеры упругого и нелинейного расчетов железобетонной трубы ТЭЦ на упругом полупространстве. Алгоритмы приводимых выше решений реализованы при помощи компьютерной программы WolframMathematica 11.3.

Ключевые слова: упругое основание; железобетонная круглая плита; зависимость «жесткость-кривизна»; анизотропная плита: метод Жемочкина; нелинейный расчет; метод Ритца; прогибы плиты; метод конечных разностей; смешанный метод строительной механики; строительные конструкции

Для цитирования: Нелинейный расчет круглой плиты на упругом основании / С.В. Босаков, О.В. Козунова // Эксперт: теория и практика. 2023. № 4 (23). С. 47-51. ^ 10.51608/26867818_2023_4_47

Технические науки. Строительство и архитектура

Original article

NON-LINEAR CALCULATION OF ROUND PLATE ON ELASTIC BASE

© The Author(s) 2023 BOSAKOV Sergey Viktorovich

Doctor of Technical Sciences, Professor

Belarusian National Technical University (Belarus, Minsk)

KOZUNOVA Oksana Vasilyevna

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department

Belarusian National Technical University (Belarus, Minsk)

Abstract. In the proposed work, the theory of nonlinear calculations of foundation structures on an arbitrary elastic base is further developed. The round reinforced concrete slab for the chimney of the thermal power plant lies on an elastic half-space and continuously, without friction or sliding, contacts it. The elastic and nonlinear calculations of this structure are performed under the action of a non-symmetrical vertical load, provided that part of the plate is in the same plane. The nonlinear calculation of the round plate on an elastic base was carried out iteratively by the B.N. Zhemochkin method in the Cartesian coordinate system using a mixed method of structural mechanics. Note here that equations for finding points of a plate loading circle in one plane from unknown external forces distributed over said circle are added to the traditional equations of the mixed method. At the first iteration, the plate is calculated as linear-elastic, homogeneous and isotropic, at the next iteration, it is calculated as linear-elastic, heterogeneous and anisotropic at each section of Zhemochkin. Deflections of a plate with a normal trapped in the center of each section in the main system of the mixed method from the effect of vertical force are determined by the Ritz method when representing deflections in the form of a power polynomial in an expression that satisfies not only the boundary conditions of the trapped plate by movements, but also the biharmonic equation.

Curvatures and cylindrical stiffnesses for each of directions X and Y, and torsional stiffness were determined from the movements of the centers of the plate sections obtained as a result of elastic calculation by the method of finite differences. For each section in all subsequent iterations, a stiffness-curvature relationship is used, approximated by a nonlinear function, the nature of which graphically indicates the nonlinear elastic work of the anisotropic plate and its deformation, taking into account crack formation and crack opening.

Numerical examples of elastic and nonlinear calculations of reinforced concrete pipes for thermal power plants on elastic half-space are given. The algorithms of the above solutions are implemented using the Wolfram Mathematica 11.3 computer program.

Keywords: elastic base; reinforced concrete round slab; stiffness-curvature relationship; anisotropic slab; Zhemochkin method; nonlinear calculation; Ritz method; plate deflections; finite difference method; mixed method of structural mechanics; building structures

For citation: Non-linear calculation of round plate on elastic base / S.V. Bosakov, O.V. Kozunova // Expert: theory and practice. 2023. № 4 (23). Рр. .47-51. (InRuss.). doi 10.51608/26867818_2023_4_47

Нелинейный расчет осесимметрично нагруженной круглой железобетонной плиты на упругом полупространстве детально рассмотрен в книге [1], где приводятся многочисленные результаты для перемещений и усилий. Для неосесимметрично нагруженной круглой плиты известны расчеты только в упругой стадии работы материала плиты [2], так как при нелинейном расчете неизвестно направление действия главных моментов и осей ортотропии в железобетонной плите при образовании трещин. Ниже нелинейный расчет неосесимметрично нагруженной круглой плиты на произвольном упругом выполняется итерационным путем, где на каждой итерации применяется способ

Б.Н. Жемочкина [3] для нахождения контактных напряжений между плитой и упругим основанием.

В работе принимается, что упругое основание линейно упруго, плиты - нелинейно упруго и для нее задана зависимость «Жесткость - кривизна» [4]. На контакте между плитой и основанием учитываются только нормальные напряжения. Также примем, что внешняя нагрузка и точки плиты на окружности ее нагружения лежат в одной плоскости [5]. Такая расчетная модель соответствует работе фундамента дымовой трубы ТЭЦ.

Надо отметить, что расчет выполняется в декартовых координатах, так как авторам не удалось найти выражение для энергии деформаций изгиба и

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

expert: theory and practice

кручения ортотропных плит в полярных координатах.

Рассмотрим круглую плиту на упругом основании. Разобьем ее ортогональной сеткой на прямоугольные и треугольные участки Б. Н. Жемочкина (рис. 1). В центре каждого участка поставим жесткую вертикальную связь, через которую осуществляется контакт плиты с упругим основанием. Считаем, что в пределах каждого участка распределение контактных напряжений равномерное. Полученную многократно статически неопределимую систему рассчитываем смешанным методом строительной механики [6], приняв за

единичной силы, приложенной в точке к упругого основания. При итерациях эта величина не меняется и определяется для каждой модели упругого основания индивидуально по формулам,

приведенным в монографии [6]; у. ^ - вертикальное

перемещение (прогиб) точки / круглой плиты с защемленной в центре нормалью от единичной

вертикальной силы, приложенной в точке к этой плиты. При упругом расчете этот прогиб определяется по формуле, полученной методом Ритца [7].

неизвестные усилия X^ в разрезанных связях Б.Н. y = 1 \ ¿ +

Уи, =

Жемочкина, линейное Щ и угловые (х, (у

перемещения введенного защемления в центре круглой плиты.

У

59 60

Рисунок 1. Принятая разбивка плиты на участки Б. Н. Жемочкина

(пунктиром показана окружность нагружения плиты силами, вызывающими нахождение точек окружности в одной плоскости)

К этим уравнениям смешанного метода добавляются уравнения нахождения точек окружности нагружения плиты в одной плоскости от

неизвестных внешних сил У^, распределенных по

этой окружности и имеющих равнодействующие силу я и момент м. Структура матрицы коэффициентов при неизвестных приведена на рисунке 2.

Так как в уравнениях метода сил способа Б. Н. Жемочкина коэффициенты при неизвестных усилиях в разрезанных связях определяются по формуле [3]

Ък = Ъ + -У/к, (1)

Где Fi ^ -перемещение

точки

г

поверхности упругого основания от единичной силы, равномерно распределенной по участку I и

4pD I b

( x2 + yt 2 ) % ( %2 + yt 2 ) xt yt ( %2 + et2 ) y

2 (1-

b (3-

b (3 -

(2)

где — цилиндрическая жесткость плиты и

коэффициент Пуассона материала плиты. Цилиндрическая жесткость принимается при упругом расчете одинаковой по осям о х и оу.

А',

А'60 »0 <Р> <Ру К

Y„ Я <Я.

S3

75 78

Стандартные уравнения спо Б.Н. Жемочкина соба Прогибы плиты с защемлением от распределенных по окружности сил 0

0 0

Уравнения нахождения точек окружности нагружения плиты в олной плоскости Н'о + Зху + Эух 0

0 0

Рисунок 2. Структура системы разрешающих уравнений

На последующих итерациях для каждого участка i определялись цилиндрические жесткости

D'X и D'y и крутильная жесткость D'^ [8]

Di = vJ DID,

Ф

(3)

При определении цилиндрических жесткостей использовалась зависимость «Жесткость - кривизна» [4], которая для принятого в данной работе примера имеет вид, показанный на рисунке 3.

Кривизны определялись по найденным методом конечных разностей в результате упругого расчета перемещениям центров участков плиты [8]

д2Ж д2Ж . (4)

CX

dx2

Хх

dy2

Технические науки. Строительство и архитектура

400000

200000

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 м

Рисунок 3. Зависимость «Жесткость - кривизна» для круглой железобетонной плиты

Таким образом, определялись цилиндрические жесткости каждого участка Б.Н. Жемочкина для использования на последующей итерации. Далее по методу Ритца прогибы анизотропной неоднородной круглой плиты представимы в следующем виде

W ( х, y ) =

Г х2

y

2 Л

А,С

х

~Л,1 '

У ö, (5)

где

A — неизвестные

Л' ,k

Ъ U1è

коэффициенты,

зависящие от размеров и жесткости плиты, внешней нагрузки.

Определяем функционал полной энергии плиты и действующей на нее нагрузки [9]

ф=2 5

d'W, dx2

-yt

„ d'W d'W ( d'W - 2vD'X-2--2- + D\ I -2,

Sx 2 Sy2 y l Sy2

-4D„

SxSy

AS,

(6)

b2 ,l A,o + A,b+(k = 1,...,12)

где . - площадь участка Б.Н. Жемочкина с

номером г.

Для каждого из 12 положений неизвестных внешних сил, приложенных по окружности (к = 1, ...,12), решалась система линейных алгебраических уравнений, полученная

дифференцированием функционал полной энергии плиты по неизвестным коэффициентам А

i ,k

дФ

дАо,о

дФ

A

дФ

дАп,

= 0;

= 0;

= 0;

(7)

и определялись эти коэффициенты (5), что позволяло найти прогибы неоднородной анизотропной плиты при каждом из этих положений неизвестных внешних сил, приложенных по окружности. Далее решалась система уравнений (см. рисунок 2) и определялись усилия в связях Б.Н. Жемочкина и внешние силы, распределенные по окружности плиты и вызывающие нахождение точек этой окружности в одной плоскости. Потом этот

итерационный процесс повторялся. Определялись перемещения центров участков Б.Н. Жемочкина, по ним кривизны и жесткости каждого участка. Методом Ритца определялись прогибы плиты с защемленной нормалью и т.д.

Пример. Для круглой железобетонной плиты диаметром 2Ь = 18м, толщиной И = 1.5м из бетона В25 (С25 30) внешняя нагрузка с равнодействующими Я = 3827т и М = 5747тм распределена по окружности диаметром 2а = 11.2м. Плита лежит на упругом полупространстве с упругими постоянными £0=ЗШОда / м2; п0 =.33. Плита разбивалась на 60 участков Б.Н. Жемочкина.

На рисунке 4 приводятся изолинии равных перемещений для упругого расчета и нелинейного после второй итерации. Можно заметить, что они почти одинаковы.

Рисунок 4. Изолиний равных вертикальных перемещений (м) для упругого расчета (слева) и нелинейного расчета после второй итерации (справа)

На рисунке 5 показаны усилия в 12 точках плиты, вызывающие вертикальные перемещения этих точек плиты, лежащие в одной плоскости. При итерациях почти не меняются.

500

400

100

0 -

66 68 70 72 74

Рисунок 5. Вертикальные силы (т), приложенные к 12 точкам плиты, вызывающие перемещения этих точек, лежащие в одной плоскости

Эпюры изгибающих моментов М в плите по

оси 0Х для упругого расчета и после второй итерации приведены на рисунке 6.

300

200

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

expert: theory and practice

MX

V - 7 , V

Y \

\ \

V

Рисунок 6. Изгибающие моменты (тм) вдоль оси 0Х для упругого расчета (красный цвет) и нелинейного (голубой цвет) после второй итерации

Выводы

1. Предложена методика нелинейного расчета круглой железобетонной плиты на упругом произвольном основании при неосесимметричной вертикальной нагрузке при условии нахождения части плиты в одной плоскости. Расчет основан на способе Б.Н. Жемочкина, где на каждой итерации по зависимости «Жесткость - кривизна» уточняются жесткостные характеристики для каждого участка Б.Н. Жемочкина. Выбор модели упругого основания определяет вид функции влияния в соотношении

(1) и ее величину, количественно влияет на результат упругого и нелинейного расчетов, что предполагает дальнейшее исследование.

2. В работе показано, что при итерациях незначительно меняются величины внешней нагрузки, вызывающие нахождение части плиты в

одной плоскости. Также почти не меняются вертикальные перемещения плиты.

Библиографический список

1. Соломин В.И., Шматков С.Б. Методы расчета м оптимальное проектирование железобетонных фундаментных конструкций. - М., Стройиздат, 1986. 208 с.

2. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. - М., Стройиздат,1984. 679 с.

3. Жемочкин Б.Н., Синицын А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. - М., Госстройиздат, 1962. 239 с.

4. Козунова О.В. Нелинейный расчет железобетонной балки на упругом основании с помощью зависимости «жесткость-кривизна» // Строительная механика и расчет сооружений. №1(300). 2022. С. 37-46.

5. Босаков С.В., Котов Ю.Н. Контактная задача для пластинки при условии ограничений на ее некоторые перемещения // Механика. Исследования и инновация. 2021. Вып. 14. С. 17-23.

6. Босаков С.В. Статические расчеты плит на упругом основании. - Мн.: БНТУ, 2002. 128 с.

7. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М., Высшая школа, 1990. 400 с.

8. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Ч.1. - Киев: Изд-во АН УССР, 1949. 136 с.

9. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. 416 с.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации.

Статья поступила в редакцию 25.08.2023; одобрена после рецензирования 27.10.2023; принята к публикации 27.10.2023.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication.

The article was submitted 25.08.2023; approved after reviewing 27.10.2023; accepted for publication 27.10.2023.