CC BY
24
Фомина Е.А.
Аспирант, Воронежский государственный университет НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ СВОЙСТВАМИ
Аннотация
В статье рассмотрена математическая модель нелинейного осциллятора с гистерезисными свойствами. Получены качественные аспекты возникновения нерегулярных колебаний в нелинейной динамической системе.
Ключевые слова: нелинейный осциллятор, нелинейная динамическая система, диссипативность.
Fomina E.A.
Postgraduate student, Voronezh State University NONLINEAR OSCILLATOR WITH HYSTERESIS PROPERTIES
Abstract
The article describes a mathematical model of a nonlinear oscillator with hysteresis properties. We got the qualitative aspects of irregular oscillations in nonlinear dynamical system.
Keywords: nonlinear oscillator, nonlinear dynamical system, dissipative.
Хаотические процессы в детерминированных нелинейных системах - одна из фундаментальных проблем современного естествознания и основной объект внимания в нелинейной динамике. Область исследований здесь необычайно широка, поскольку охватывает анализ всех зависящих от времени явлений в различных системах, независимо от их природы. Так, например, в биологии и медицине большую роль играют физиологические ритмы, которые качественно меняются при переходе от нормы к патологии [1] или, например, предсказание погоды, которое также опирается на изучение турбулентности в атмосфере и попытке найти «порядок в хаосе».
Вопросам исследования возможных переходов от регулярных к хаотическим режимам движения детерминированных динамических систем на фазовых плоскостях с периодическим возбуждением посвящена обширная библиография (см., например, [2]-[8]). Исследования отдельных областей фазового пространства систем, в которых имеют место устойчивые и неустойчивые колебания системы проведены в [2], [3],[6]-[8] с применением различных приближенных аналитических и численных методов, а также их сочетаний.
Простейшей нелинейной системой, в которой можно наблюдать вынужденные хаотические колебания, является осциллятор Дуффинга. Большое количество исследований было проведено на примере этой нелинейной системы и написано большое количество научных статей. Периодические вынужденные колебания, описанные уравнением Дуффинга, предоставляют широкий спектр интересных явлений, которые характерны для поведения нелинейных динамических систем, такие как регулярное и хаотическое движение, сосуществующие аттракторы, регулярные и фрактальные границы областей притяжения, а также локальная и глобальная бифуркация.
Что касается нелинейных зависимостей гистерезисного типа, то они повсеместно возникают в различных разделах физики, механики, биологии и др. науках. Учет гистерезисных эффектов необходим во многих проблемах: гистерезис в задачах управления и биологии, ферромагнитный и диэлектрический гистерезис в физике, пластический гистерезис в механике и т.п. [9]-[16].
В хорошо известном нам уравнении Дуффинга нелинейным звеном выступает кубическая функция вида (1):
3
b • х + c • х (1)
В настоящей работе нелинейным элементом системы выбрано звено гистерезисного типа, с целью исследования поведения динамической системы с гистерезисными свойствами и анализа влияния управляющих параметров на развитие системы на длительных временах, а также последующими обобщением и систематизацией полученных результатов.
Нелинейный осциллятор с гистерезисными свойствами
Рассмотрим математическую модель нелинейного осциллятора с гистерезисным звеном, на который оказывается периодическое воздействие.
Динамика системы описывается дифференциальным уравнением (2) с начальными условиями (3):
х + b • х + P = A • cos(a • t)
: х.
Х(0) :
х (0) = х
0
1;
(2)
(3)
n
где
P = ’Zri •R[ai ,Pi ][ х0)]
i=1
вход которых поступает
а
х(Ь) х(Ь)
R[ai ,pi ][ х0)]
конечная система неидеальных реле,
a, Д
пороговые числа,
- набор неидеальных реле, на
ai >Pi A.
амплитуда
- решение рассматриваемой системы, вынуждающей силы, ^ - частота, b - константа.
Как уже отмечалось ранее, целью данной работы является определение качественных аспектов возникновения (отсутствия) нерегулярных движений в рассматриваемой системе c гистерезисной нелинейностью, аппроксимируемой явным гистерезисным звеном - конечной системой неидеальных реле; анализ поведения системы при изменении управляющих параметров: амплитуды вынуждающей силы, коэффициентов при гистерезисном звене, а также самой структуры гистерезисного звена; анализ влияния изменения начальных условий системы с целью определения устойчивости или неустойчивости нулевого решения системы (2)-(3), а также последующее обобщение и систематизация полученных результатов.
Оценка влияния изменений управляющих параметров на поведение системы
С помощью применения численных методов, и посредством построения Simulink-схемы пакета Matlab было найдено численное решение системы (2)-(3). Управляющими параметрами системы являются: амплитуда внешнего возбуждения, структура гистерезисного звена (пороговые значения), коэффициенты при реле. В зависимости от значений данных параметров траектория движения системы имела вид: (см. рис. 1.2 - 7.2).
Анализ поведения системы при изменении амплитуды вынуждающей силы
Первый этап исследований включал в себя тестирование поведения системы на наличие (отсутствие) нерегулярных колебаний при изменении амплитуды вынуждающей силы, A и получение соответствующих фазовых портретов системы. В результате многочисленных экспериментов, были получены промежутки на числовой оси, на которых система совершает нерегулярные
43
колебания, а также промежутки - где поведение системы можно описать следующим образом, траектория системы находится в некоторой ограниченной области, т.е. система диссипативна (рис. 2.1, рис. 1.1.).
Рис. 1.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=0.4
Рис.2.1. Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=1.3 Чувствительная зависимость системы от начальных условий
Вторым этапом в нашем исследовании было тестирование системы на ее зависимость к начальным условиям, так как, общеизвестно, что нелинейные динамические системы, в которых можно наблюдать хаотические колебания, чувствительно зависимы от начальных условий. По итогам численных экспериментов, мы получили, что наша система чувствительна к начальным условиям тогда, когда амплитуда вынуждающей силы достаточно велика. Причем, если начальные условия заданы в окрестности нуля, то система совершает нерегулярные колебания (рис.4.1, рис.4.2), а при начальных условиях, удаленных от нуля, система -диссипативна (рис.5.1, рис.5.2). Изменение начальных условий при малой амплитуде возбуждающей силы не влияет на динамику системы, система - диссипативна, нерегулярные колебания отсутствуют.
Рис.4.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Начальные условия: x(0)=0.1, x’(0)=-0.3. Амплитуда вынуждающей силы, А=1.3
44
Рис.5.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Начальные условия: x(0)=-5, x’(0)=7. Амплитуда вынуждающей силы, А=0.4 Анализ поведения системы при изменении коэффициентов при реле
Следующий этап - тестирование при изменении коэффициентов при реле. Проведенные исследования показали, что изменение значений коэффициентов при реле не влияет на возникновение в системе нерегулярных колебаний (рис.6.1, рис.6.2, рис.7.1, рис.7.2), траектория остается в ограниченной области, система диссипативна.
Рис.6.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-0.65; k2=-50;
Рис.7.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Коэф. при реле k=-0.3; Оценка потенциала системы
Потенциал рассматриваемой системы можно записать в виде (4):
x(t)
J Y (t )dx(t) 0
где
Y (t)
- выход континуальной системы неидеальных реле,
x(t)
решение ДУ (1).
k1=-0.65; k2=-50;
(4)
45
Заключительным этапом исследования была оценка потенциала системы при изменении значений управляющих параметров системы. По итогам тестирования было установлено, что при увеличении амплитуды вынуждающей силы и коэффициентов при реле значение потенциала растет, кол-во “ям” уменьшается (рис. 8.1, рис.8.2).
Рис.8.1. Потенциал системы ДУ (2)-(3) . Коэффициенты при реле: k=-15;k1=-1.7; k2=-41;
Рис.8.2. Потенциал системы ДУ (2)-(3) . Коэффициенты при реле: k=-15;k1=-0.2; k2=-41;
Заключение
Проведенные исследования показали, что наличие нерегулярных колебаний в системе или, наоборот, детерминированное (диссипативное) поведение системы, а также вопрос об устойчивости нулевого решения системы зависит от значений управляющих параметров. По итогам исследования были получены следующие результаты:
1. При малых значениях амплитуды вынуждающей силы на длительных временах (в диапазоне значений 0.01 - 0.5 ) система диссипативна (рис.1.1, рис. 1.2), с увеличением амплитуды (в диапозоне 0.6 - 1.3) в системе возникают нерегулярные колебания (рис.2.1, рис. 2.2), в диапозоне (1.7 - 5) система диссипативна(рис.3.1, рис.3.2).
2. Изменение начальных условий при малой возбуждающей силе не влияет на динамику системы, система - диссипативна, нерегулярные колебания отсутствуют. При большой амплитуде система чувствительна к начальным условиям: если начальные условия заданы в окрестности нуля, то система совершает нерегулярные колебания (рис.4.1, рис.4.2), а при начальных условиях, удаленных от нуля, система - диссипативна (рис.5.1, рис.5.2).
3. Изменение значений коэффициентов при реле не влияет на возникновение в системе нерегулярных колебаний (рис.6.1, рис.6.2, рис.7.1, рис.7.2).
4. При увеличении амплитуды вынуждающей силы и коэффициентов при реле значение потенциала растет, кол-во “ям” уменьшается (рис. 8.1, рис.8.2).
5. Нулевое решение системы ДУ (1)-(2) не устойчиво по Ляпунову, но устойчиво по Лагранжу - траектория остается в ограниченной области, система - диссипативна.
46
Рис. 1.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=0.4
Рис. 1.2.Решение системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=0.4
Рис.2.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=1.3
Рис.2.2.Решение системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=1.3
Рис.3.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=5
Рис.3.2.Решение системы ДУ (2) - (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=5
Рис.4.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) Рис.4.2.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Начальные условия: x(0)=0.1, x’(0)=-0.3; - (3). Начальные условия: x(0)=0.1, x’(0)=-0.3;
47
Рис.5.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Начальные условия: x(0)=-5, x’(0)=7;
Рис.5.2.Решение системы ДУ (2) - (3). Начальные условия: x(0)=-5, x’(0)=7;
Рис.6.1.Фазовый портрет системы ДУ (2)-(3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-
0.65; k2=-50;
Рис.6.2.Решение системы ДУ (2) - (3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-0.65; k2=-50;
Рис.7.1.Фазовый портрет системы ДУ (2) - (3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-0.65; k2=-
50;
Рис.7.2.Решение системы ДУ (2) - (3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-0.65; k2=-50;
Рис.8.1. Потенциал системы ДУ (2)-(3). Рис.8.2. Потенциал системы ДУ (2)-(3).
Коэфф. при реле: k=-15;k1=-1.7; k2=-41; Коэфф. при реле: k=-15;k1=-0.2; к2=-41;
Литература
1. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни: Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 248с.
2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. - М.: Наука, 1990. - 312с.
3. Гуляев В.И., Завражина Т.В., Завражина Н.М. Универсальные закономерности зарождения хаотических движений нелинейных механических систем. - К.: ВИПОЛ, 1999. - 135с.
4. Мун Ф. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990. - 312с.
48
5. Неймарк Ю.И.,Ланда ПС. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987. - 424с.
6. Ueda Y. Survey of Regular and Chaotic Phenomena in Forced Duffing Oscillator/ Y. Ueda. 1991. -30с.
7. Байге Х. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / Байге Х., Дистельхорст М., Дрождин С.Н.// Материалы семинаров научно образовательного центра «Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах». - Воронеж, 2003. - С.9 -22.
8. Никитина Н.В. Нелинейные системы со сложным и хаотическим поведением траекторий. - К.: Издательство Феникс, 2012. - 240с.
9. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. - М.: Издательство Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1983. - 272с.
10. Корректные периодические режимы в системах управления с монотонными гистерезисными нелинейностями/Семенов М.Е., Канищева О.И., Прохоров Д.М, Гулин А.Н.// Наукоемкие технологии. - 2010. - № 12. - С. 67-72.
11. Семенов М. Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах управления./Семенов М.Е.// Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 8. - С.95-98
12. Покровский А.В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями/ Покровский А.В., Семенов М.Е.// Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 2. - С. 31-37
13. Зоны устойчивости и периодические решения перевернутого маятника с гистерезисным управлением/ Матвеев М.Г., Семёнов М.Е., Шевлякова Д.В., Канищева О.И.// Мехатроника, автоматизация, управление. - 2012. - № 11. - С. 8-14.
14. Семенов М.Е. Оптимальное управление в задаче о выборе производственной и ценовой стратегии/ Семенов М.Е., Лебедев Г.Н., Матвеев М.Г.// Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 4. - С. 71.
15. Еременко Ю.И. Об условиях применения ПИД-нейрорегулятора для управления объектами, описываемыми апериодическим звеном второго порядка с запаздыванием / Еременко Ю.И., Полещенко Д.А., Глущенко А.И. // Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. - 2013. - №6. - С. 39-45.
16. Еременко Ю.И. Анализ методов реализации схемы нейросетевого управления с самонастройкой/ Еременко Ю.И., Полещенко Д.А., Глущенко А.И.// Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. - 2012. - №6. - С.50-55
Хентов В.Я.
Профессор, доктор химических наук, Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова РОЛЬ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ТЕМПЕРАТУРЫ ДЕБАЯ В ТРИБОЛОГИИ
Аннотация
Показано, что заряженные металлические поверхности оказывают влияние на коэффициент трения и химические процессы. Адгезионная составляющая трения, параметры поверхностных слоев металла тесно связаны с температурой Дебая металлического элемента.
Ключевые слова: адгезионная составляющая трения, параметры, характеризующие свойства поверхностных слоев контактирующих поверхностей, температура Дебая.
Khentov V.Ya
South-Russian State Polytechnic University named after M. Platov ROLE AND CHARGED SURFACES dEBYE TEMPERATURE IN TRIBOLOGY
Abstract
It is shown that the charged metal surfaces influence on friction coefficient and chemical processes. The adhesive component of friction, the surface parameters of the metal layers are closely related to the Debye temperature of the metal element.
Keywords: adhesion of the friction, parameters describing the properties of the surface layers of the contacting surfaces, chemical processes, the Debye temperature.
В процессе работы узла трения происходит заряжение поверхностных слоев контактирующих тел [1,2]. Это приводит к изменению микротвердости контактирующих поверхностей и коэффициента трения [3]. При потенциале нулевого заряда (ПНЗ) была зафиксирована экстремальная точка. С учетом этого было предложено организовать управление процессом трения посредством изменения потенциала поверхности [4]. Появление зарядов на поверхностности металла может ускорить протекание химической реакции. Так скорость взаимодействия частиц меди (диаметр частиц ~10 мкм) с лигандом салицилальанилином после предварительной трибоэлектризации увеличилась в 9 раз [5].
Физические свойства поверхностей узла трения играют важную роль в трибологии и связаны с температурой Дебая [6]. Важный вклад в коэффициент трения вносит адгезионная составляющая. На рис. 1 для ниобия, циркония, вольфрама и титана представлена зависимость адгезионной составляющей трения [7] скольжения от температуры Дебая металла.
250 350 450
Температура Дебая металла, К
Рис. 1. Зависимость адгезионной составляющей трения скольжения fa от температуры Дебая металла Металлы: 1 - Nb, 2 - Zr, 3 - W, 4 - Ti; Коэффициент корреляции 0,96 Прочность адгезионной связи определяется уравнением:
Т = Т0 + Ppr,
где pr - давление, которое может быть рассчитано как частное от деления нагрузки на суммарную площадь фрикционного контакта, т0 и в - параметры, характеризующие свойства поверхностных слоев контактирующих металлов.
49
