Нелинейный механизм формирования цунами в океане в приближении сжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551.466

НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕХАНИЗМ ФОРМИРОВАНИЯ ЦУНАМИ В ОКЕАНЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. Носов, С. В. Колесов

(.кафедра физики моря и вод суши) E-mail: nosov@phys.msu.ru

Излагаются результаты математического моделирования механизма образования цунами за счет нелинейной передачи энергии от «высокочастотных» упругих колебаний водного слоя, вызванных деформациями дна, к «низкочастотным» поверхностным гравитационным волнам. Проводится сравнительный анализ эффективности генерации цунами поршневым и нелинейным механизмами.

Введение

Волны цунами — самый известный эффект воздействия сейсмических движений дна на океан. Существующее ныне представление о генерации цунами землетрясением как о простом вытеснении воды в результате остаточных деформаций дна является по крайней мере неполным, хотя эффект вытеснения, вероятно, преобладает в большинстве случаев. В работах [1-3] нами было показано, что для адекватного описания процессов в океане над очагом подводного землетрясения, как правило, необходим учет сжимаемости воды. Свойство сжимаемости воды проявляется в том, что в результате землетрясения возникают не только гравитационные волны (цунами), но и упругие колебания водного слоя с инфразвуковыми частотами. В отличие от гравитационных волн упругие колебания не проникают на мелководье [4] и поэтому не могут прямо отразиться на амплитуде волны цунами на побережье. Но дополнительный вклад в амплитуду цунами упругие колебания все же могут обеспечить путем нелинейной передачи энергии от «высокочастотных» колебаний к «низкочастотным» гравитационным волнам. Такой механизм образования цунами впервые рассматривался в работе [5], которая вплоть до появления наших исследований [6, 7] оставалась единственной по данной тематике. Основной целью настоящей работы является сравнительный анализ эффективности действия поршневого и нелинейного механизмов генерации цунами.

Математическая модель

В основе математической модели нелинейного механизма формирования цунами лежит предположение о том, что водный слой участвует в двух движениях: медленном (среднем) и быстром (колебательном), т.е. скорость течения, давление и плотность предетавимы в виде сумм:

= Р={Р)+РР=(Р)+Р'. (1)

Подставим формулы (1) в систему уравнений Эйлера и выполним операцию осреднения по периоду «быст-

рых» колебаний 4Нтах/с, где Нтах — максимальная глубина бассейна, с — скорость звука в воде. Известно, что акустические моды с периодом большим, чем 4Ятах/с, не существуют, следовательно, среднее движение можно описывать как движение несжимаемой жидкости. Пренебрегая квадратичным по средней скорости членом ((V), У")^), приходим к линеаризованной системе уравнений для среднего движения:

ад У(р)

at

(р)

div((v)) = s

Ф = _((v' V)v') + 0.5< Vp'2)<r2

5+Ф, (2)

(3)

{р)-\ (4)

з = ^с ~{р) ~<Цу\р'\'). (5)

При получении формул (4), (5) использована связь р' = с2р'. От обычных линеаризованных уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости выражения (2), (3) отличаются наличием двух новых членов Ф и 5, которые могут быть интерпретированы как силовое поле и распределенный источник массы. Своим происхождением новые члены обязаны нелинейности исходной системы (уравнений Эйлера). Совместное действие силового поля и распределенного источника массы способно привести к образованию гравитационных волн.

Далее для простоты будем рассматривать плоскую задачу. Начало системы координат расположим на невозмущенной свободной поверхности воды, ось х направим горизонтально, ось г — вертикально вверх. Глубину океана Н будем считать постоянной. В рамках стандартных предположений линейной теории длинных волн система (2), (3) сводится к неоднородному волновому уравнению относительно смещения свободной поверхности £:

д2^ 1 д2^ дх2

gH8t2 ~gHQM>

Q(x, t) = / dz

-H

9Ф£+ fd2 ds dx J dx2 dt

где

И

горизонтальная и вертикальная

компоненты силового поля.

Для вычисления величин Ф и 5 требуется знание полей скорости лг' и динамического давления р', которые найдем, решив задачу о линейном отклике идеальной сжимаемой жидкости на малые деформации дна. Задачу будем решать в терминах потенциала скорости течения Р:

1 д2Р д2Р д2Р

с2 <%2 дх2 дг2

д2Р дг2 эр

эр

= -9ъ> г = 0'

дг

(Г)

(8)

(9)

где д — ускорение силы тяжести, и(х, ¿) — вертикальная скорость деформации дна. Искомые поля выражаются через потенциал следующим образом: V1 = grad Р, р' = .

Задача (7)-(9) решалась в безразмерных переменных (ж* = х/Н, = ¿с/Я) численно явным конечно-разностным методом [4]. Скорость деформации дна задавалась следующими модельными законами:

(ж, = Утахг](х/Ь)г]Ц/т) (поршневая подвижка), иоас(х, ¿) = утахф/ь) 8т(2тгт/тЩг) ■ (колебания дна),

■Щ-т)]

где г](а) = 0.5(Ш[20(а - 0.15)] - Ш[20(а - 0.85)]), г'тах — максимальное значение скорости деформации, 0(£) — функция Хевисайда, Ь — горизонтальная протяженность области деформации, г — продолжительность процесса деформации, N — число периодов колебаний (целое число). Вид функции г](а) показан на рис. 1. В результате поршневой подвижки образовывались остаточные смещения дна, колебания дна завершались без остаточных смещений.

Для расчета гравитационных волн, возникающих под действием нелинейного механизма, использовалось уравнение (6), записанное в безразмерных

т](а)

0.5

0.5

Рис. 1. Вид функции, определяющей пространственно-временной закон деформации дна

переменных (ж* = х/Н, I** = Ьу/д/Н, £* = £д/утах)

д2С д2^

= д*(х*,Г*).

(10)

дх*2 д1**2

Уравнение (10) аппроксимировалось явной конечно-разностной схемой. На границах расчетной области реализовывалоеь условие свободного прохода

д?

д?

<%** ^ дх*' ^^

Так как поля Фи«, определяющие функцию *, есть результат осреднения по промежутку времени Л/* =4, на выходе модели (7)-(9) имелся дискретный набор: (х*, пА1*), где п = 1,2,3,... При переходе к решению задачи (10)—(11) шаг по пространству Дж* оставался неизменным, а шаги по времени А/* и А/** приводились в соответствие следующим образом: в промежутке времени /** от 0 до 4л/дН/с действовала функция ж*, 4), в промежутке от 4у/дН/с до 8у/дН/с — (3*(ж*,8) и т.д.

Основная часть численных экспериментов проводилась при значениях безразмерных параметров, соответствующих Н = 4 км, Ь = 20, 40 и 80 км, 0.26 < г < 26 с. Шаг по вертикали составлял Аг = 20 м. Шаг по горизонтали выбирался таким образом, чтобы на длину источника Ь приходилось 100 узлов (Аж = 200, 400 и 800 м). Шаг по времени определялся условием Куранта Д£ < Аг/с. При расчетах использовался шаг Д£ = 0.009 с.

Результаты и их обсуждение

На рис. 2 представлен типичный временной ход функции С^*(х*), отражающей действие «нелинейного источника цунами». Наибольшие абсолютные значения ж*) достигаются не сразу, а по прошествии некоторого времени (в рассматриваемом примере при = 8), после чего интенсивность «нелинейного источника» монотонно уменьшается, что объясняется уходом упругих волн из области, где произошла деформация дна. Важно отметить,

Рис. 2. Характерный вид функции С}*(х*,Ь*). Кривые 1-6 соответствуют Ь* = 4, 8, 12, 16, 20, 24. Параметры источника: г = 8 с, Ь = 40 км, Н = 4 км

что время действия нелинейного источника заметно превосходит продолжительность подвижки дна.

На рис. 3 представлены типичные профили поверхностных волн, образованных «нелинейным источником». Действие этого источника приводит к «выталкиванию» воды из области очага, поэтому волны всегда начинаются с положительной фазы и заканчиваются отрицательной.

-0.8

Рис.3. Профили гравитационных волн, образованных «нелинейным источником». Кривые 1-8 рассчитаны для последовательных моментов времени с интервалом 100 с. Параметры источника: г = 8 с, Ь = 40 км, Н = 4 км

По профилям сформировавшихся волн рассчитывались амплитуда

Ам =

и энергия

тах(£*) — тт(£*)

V-

9

(12)

Т¥м = рНд ^ах

(13)

Результатом расчетов, выполнявшихся при различных продолжительностях поршневой подвижки т* и размерах источника Ь* (г* = тс/Я, Ь* = Ь/Н), стали безразмерные функции безразмерных аргументов А*(т*,Ь*) и Ш*(т*,Ь*).

Нелинейные эффекты, очевидно, могут обеспечить заметный вклад в волну цунами только при достаточно больших скоростях деформации дна, что эквивалентно малым продолжительностям подвижки. Поэтому в расчетах мы ограничились диапазоном г < 8Н/с. С точки зрения традиционных представлений такая подвижка может рассматриваться как мгновенная (г = 8Н/с -С Ь/у/дН)\ при мгновенной подвижке на поверхности воды формируется начальное возвышение, повторяющее форму остаточных деформаций дна. Эволюция этого возвышения и порождает волны цунами в их классическом понимании. Такой механизм генерации цунами будем называть линейным. Амплитуда цунами, сформированных линейным механизмом, может быть оценена

как амплитуда остаточных деформаций дна

1

Аь ~ Щ = Ъш^тСг, С\ = У г](а) йа и 0.7, (14)

о

а энергия — как потенциальная энергия начального возвышения

+оо

С2= / г]2(а)ёа и 0.65.

(15)

Используя формулы (12)—(15), получаем соотношения, позволяющие рассчитать относительную величину вкладов нелинейного и линейного механизмов в амплитуду и энергию волн цунами:

^ ' ....... (16)

Ам = А*(т*,1*)

Аь \дН2 ) С2т*2 '

(17)

ЕК = (тс2\2 2Ш*{т\Ц) Шь \дН2 ) С\С2т*лЬ*' где щ — амплитуда вертикальной деформации дна. Из формул (16) и (17) видно, что величины А^/А^ и И'/у/И'/, во многом определяются безразмерной комбинацией щс2д^гН^2.

На рис. 4 и 5 представлены зависимости величин Лд7'*Ц и И'/у/И'/, от продолжительности поршневой подвижки. Расчет выполнен для трех различных соотношений размера источника и глубины океана. Немонотонность кривых при т* > 1 связана с модовой структурой упругих колебаний водного слоя (минимальная нормальная частота соответствует т* = 4). При т* < 1 исследуемые зависимости ведут себя приблизительно как степенные функции т*-1 и Увеличение горизонтальных размеров

источника приводит к незначительному увеличению роли нелинейного механизма.

Воспользовавшись данными, представленными на рис. 4 и 5, легко сделать следующие оценки. При глубине океана 1.5 км, продолжительности и амплитуде подвижки 1 с и 1 м соответственно, вклад нелинейного механизма в амплитуду цунами будет на уровне 10%, а в энергию — на уровне 1%. Доля нелинейного механизма может и возрасти при увеличении амплитуды смещения дна или уменьшении продолжительности подвижки, но, скорее всего, при поршневой подвижке линейный механизм останется преобладающим.

Нелинейный механизм может обеспечить существенный вклад в амплитуду волны цунами при колебаниях дна с одной из нормальных частот V}. = с(1 + 2к)/4Н, к = 0,1,2,... (резонансная накачка энергии). С точки зрения линейной теории, колебания дна без остаточных смещений с частотами V > \[д[~Н не образуют гравитационных волн [8].

10

М.&L

А щ,с'

0.1

0.01

ч*

N

\

0.1

Т. Н/с

10

Рис. 4. Отношение амплитуд волн цунами, сформированных нелинейным (Ллг) и линейным (Аь) механизмами, в зависимости от продолжительности подвижки. Кривые 1-3 построены для Ь/Н = 20, 10 и 5

100 10 1

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001

и7/, W"

N

N4

Л у

У

0.1

1

г, Н/с

10

Рис. 5. Отношение энергий волн цунами, сформированных нелинейным (Шм) и линейным (И?ь) механизмами, в зависимости от продолжительности подвижки. Кривые 1-3 построены для Ь/Н = 20, 10 и 5

Для условий планеты Земля щ > у/д/Н, следовательно, при колебаниях дна с частотами ^, цунами может возникнуть только благодаря нелинейному механизму.

Расчеты, выполненные при U(x,t) = Uoac(x,t), показали следующее. Если участок дна размером L = 40 км при глубине II 1 км совершает N = 10 колебаний с частотой щ = с/АН и 0.094 Гц и амплитудой 0.3 м, то нелинейный механизм образует цунами амплитудой ~ 0.5 м. При аналогичных условиях, но большей частоте щ = 1с/\ И и 0.65 Гц, амплитуда цунами уже составит ~ 1.2 м. Если частота колебаний дна заметно отличается от нормальной, то эффективность нелинейного механизма значительно уменьшается. Так, например, при v = 0.55 Гц (v2 < v < 1/3) амплитуда цунами составит всего порядка 6 см.

В заключение отметим, что частоты сейсмических колебаний дна, как правило, лежат в диапазоне нескольких первых нормальных частот водного слоя i/fc, что создает благоприятные условия для реализации нелинейного механизма генерации цунами.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-05-64297).

Литература

1. Носов М.А. // Вулканология и сейсмология. 1998. №6. С. 116.

2. Носов М.А. // Изв. РАН, ФАО. 2000. 36, №5. С. 718.

3. Nosov М.А. // Phys. Chern. Earth (В). 1999. 24, N 5. P. 437.

4. Nosov M.A., Kolesov S. V. Submarine Landslides and Tsunamis. 2003. P. 129.

5. Новикова U.E., Островский H.A. // Океанология. 1982. 22, №5. С. 693.

6. Носов М.А., Скачко С.Н. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 2001. №1. С. 44 (Moscow University Phys. Bull. 2001. N 1. P. 48).

7. Nosov M.A., Kolesov S.V. Local tsunami warning and mitigation, proceedings. M., 2002. P. 107.

8. Носов М.А. И Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1992. 33, № 1. С. 109.

Поступила в редакцию 07.05.04