CC BY
28
Нелинейный анализ внутреннего резонансного взаимодействия неосесимметричных волн на поверхности струи, движущейся относительно среды, в коллинеарном электростатическом поле
А.И. Г ригорьев, Н.А. Петрушов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000, Россия, e-mail: sris@,univar. ac. ru
Изучена возможность реализации вырожденного внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия неосесимметричных капиллярных волн на поверхности струи, движущейся относительно среды коллинеарно внешнему однородному электростатическому полю. Показано, что для осесимметричных волн с азимутальным числом, равным единице и двойке, реализуется несколько различных резонансных ситуаций.
УДК 532.5:537.1:621.319.7
ВВЕДЕНИЕ
Ещё Рэлей в XIX веке [1] показал, что цилиндрическая струя неустойчива по отношению к длинным осесимметричным капиллярным волнам на её поверхности с волновыми числами, удовлетворяющими соотношению kR<1, где R - радиус струи. Более короткие волны могут беспрепятственно распространяться по струе [2]. Неосесимметричные волны на незаряженной поверхности струи всегда устойчивы. Появление на струе электрического заряда приводит к возникновению неустойчивости и неосесимметричных волн, а также к расширению спектра неустойчивых осесимметричных волн в область более коротких длин волн [3-4]. Если струю жидкости поместить в продольное электростатическое поле, то, как показано в [5-8], оно увеличит устойчивость осесимметричных капиллярных волн на поверхности струи за счет смещения правой границы области устойчивости в сторону более длинных волн. Наличие движения струи относительно несжимаемой диэлектрической среды приводит к дестабилизации как осесимметричных и изгибных, так и изгибно-деформационных волн на поверхности струи [9-11].
Явления стабилизации осесимметричных капиллярных волн продольным электростатическим полем и дестабилизации относительным движением в материальной внешней среде представляют значительный интерес из-за незавершенности физической трактовки многочисленных режимов электродиспергирования жидкости, наблюдаемых экспериментально.
Упомянутые исследования линейны по безразмерной амплитуде волн. Тем не менее математический аппарат для проведения нелинейных исследований уже разработан [3, 6, 12]. По аналогии с [12] и проведём исследование внутреннего резонансного взаимодействия неосесиммметричных волн на поверхности струи, движущейся относительно среды, в коллинеарном электростатическом поле.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть струя идеальной несжимаемой жидкости плотностью р1 и диэлектрической проницаемостью £jn движется с постоянной скоростью U0 относительно идеальной несжимаемой диэлектрический среды плотностью р2 и диэлектрической проницаемостью £ex. Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела сред - а.
Задачу будем решать в цилиндрической системе координат, начало отсчёта которой связано с осью струи. Возмущенная колебаниями поверхность жидкости отклоняется от равновесной поверхности r = R на величину
r = R + £(ф, z, t).
Решение станем искать в безразмерных переменных, в которых R = а = р1 = 1. Обозначения физических величин оставим прежние. Для решения задачи воспользуемся асимптотическим методом многих временных масштабов [3, 11].
Математическая формулировка задачи имеет вид
d,Uex + (Uex, V)Ue
1 ; d,U,n + (Un, vfJm = ~VP,n;
P
© Григорьев А.И., Петрушов Н.А., Электронная обработка материалов, 2012, 48(5), 86-92.
86
divUex = 0; divUin = 0; divEex = 0; divEin = 0.
r ^ °: Um ^ 0; Em ^ 0;
r : Uex ^-U0; E ^ E0;
dF
r = R + 5: — = 0; F = r - R - 5(ф, z,t);
dt
s .
U = U = U • E =-inp • E = E •
Unex U nin Un ; Enex p Enm ; EXm EXex ;
Sex
S,-,
Pex + Pin + PE - Pa = 0; PE = -^ El - 2E2 + ^Et - 2E
72
S
lE
ex 772
2
P = divn.
8n L ex nex J 8n L m
Здесь П - вектор нормали к поверхности; индексом «ex» отмечены величины, относящиеся к внешней среде, а индексом «in» - к струе.
Для дальнейшего перейдём к гидродинамическим и электростатическим потенциалам на основе соотношений:
Eex = - ( VФex ); Ein =-{V®in У; Uex = V^ Uin = Vy.
Гидродинамические и электростатические потенциалы, давления и возмущения поверхности струи представим в виде разложений по малой безразмерной амплитуде капиллярных волн £:
ф = ф(0) + s ф(1) + s2 ф( 2) + о( S3); у = £^(1) + S2 V 2) +о( S3);
&ex = ФУ + SФх + S2 ^e2) + 0(S3 ); Фщ = ф(? + Sф(1 + S2 ф(? + 0(Р3 );
„3
Pex = Pex]+ S PI1 + S2 Pjx2> +o( S3) ; Pin = p!0>+ S PP + S2 p-П21 + 0( S3 );
5 (ф, z, t )= S i;, (ф,) + S2 5 2 (ф, z,T0 ) + 0( s3 ).
Дифференцирование по времени будем проводить по правилу
д д
д
д
— =----+ S--+ S
дt дт0 дТ дТ2
'2
(1)
(2)
Подставив разложения (1)-(2) в решаемую задачу, разобьём её по порядкам малости и найдём решения получившихся задач.
Задача нулевого порядка имеет решения
ф( 01 = U z;
Ф
(0)
= - E0z;
ф(°)=.
in
-E0 z.
ex
Отыскание решений первого порядка малости не представляет трудности и может быть проведено по схеме, подробно описанной в [3]. Оно ищется в виде разложений по бегущим цилиндрическим волнам:
то то
^(1)^ zt ) = JZ “ m (t) exp (шф) exp (ikz) dk;
0 m=0
to ^
у(1) (Г, t) = J X 1 (t) Tm (kr) exp (1тф) exp (ikz)dk;
0 m=0
TO TO
ф(1) (Г, t) = -Uz + J X Gm2 (t) Km (kr) exp (Мф) exp (ikz) dk;
0 m=0 to to
Ф1п (r, t) = -E0z + J X °m3) (t) Jm (kr) exp (imф) exp (ikz) dk;
0 m=0
87
Фех (r, *) = _E0z + J X Gm (*) Km (kr) eXP (/даФ) eXP (ikz) dt;
0 m=0
где i - мнимая единица; k - волновое число; m - азимутальный параметр; Im ( kr) и Km (kr) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно [13]; am (*) и GlmЧ*) - зависящие от времени неизвестные амплитудные функции первого порядка малости.
Дисперсионное уравнение задачи получится в виде
и будет иметь решения
«_« 2pkU°gm (k) +
gm ( k ) ( pk2Uo2
Pgm ( k )_hm ( k ) 1 _ p gm ( k ) ^ К ( k )
+
+
hm (k)
1 (8ex _ Sin) kE0 /т 7,2 „„2
Л
4n (8ingm (k) 8exhm (k))
(l _ k2 _ m2)
= 0;
J
hm ( k )
k Km (k ) .
Km (k) ;
gm ( k )
kl'm( k)
Im ( k )
«1 = kU0Ym (k) + 4k2U02Ym2 (k) + 4«0 (k);
«2 = kU0Ym (k)_\lk2U02Ym2 (k) + 4«0 (mk); Ym (k)
Pgm(k) ,
Pgm ( k )_ hm ( k )’
«0 (m, k)
= +
V
gm ( k ) hm ( k )
hm ( k )_ Pgm ( k )
pk2U02 t 1 (8ex _ 8in ) k E0
■ +
hm (k) 4n ( 8ingm (k)_ 8exhm (k))
■(1 _ k2 _ m2)
где «- циклическая частота; p = p„„/p;„ .
Во втором порядке малости перегруппируем слагаемые в уравнениях: потенциалы и функцию ^ перенесем влево, а всё остальное - вправо. В итоге получим неоднородную систему уравнений, в которой сгруппируем неоднородность по степеням экспонент:
exp(_2i«T0), exp(_2i«T0 + iMф), exp(2i«2T0), exp(2i«2T0 + iMф),
exp[/T0(« _«) + Мф], exp[iT0(«2 _ «)]. Решения для потенциалов и функции ^ будем искать в виде
у(2) = (A1 exp(_2i«T0 + iMф) + A2 exp(_2i«T0) + A3 exp(2i«2T0 + iMф) + A4 exp(2i«2T0) + +A5 exp[iT0(«2 _ «) + iMф] + A6 exp[iT0(« _ «)]) exp(iLz) IM (Lr); ф(2) = (B1 exp(_2i«T0 + iMф) + B2 exp(_2i«T0) + B3 exp(2i«T0 + iMф) + B4 exp(2i«2T0) + +B5 exp[iT0 («2 _ «) + iMф] + B6 exp[iT0 (« _ «)]) exp(iLz) KM (Lr);
Ф^2-* = (C1 exp(_2i«T0 + iM ф) + C2 exp(_2i«T0) + C3 exp(2i«2T) + iM ф) + C4 exp(2i«2T)) + +C5 exp[iT0 («2 _«1) + iMф] + C6 exp[iT0 («2 _ «1 )]) exp(iLz) IM (Lr);
Ф ex'2 = (D1 exp(_2i«1T0 + iM ф) + D2 exp(_2i«T0) + D3 exp(2i«2T0 + iM ф) + D4 exp(2iffi2T0) + +D5 exp[/T0(«2 _«1) + iMф] + D6 exp[/T0(«2 _«1)])exp(z'Lz) KM(Lr);
^(2) = («1 exp(_2i«T0 + iM ф) + a 2 exp(_2i«[T0) + аз exp(2i«2T) + iM ф) + a 4 exp(2i«2T)) + +a5 exp[iT0 («2 _ «1) + iMф] + a6 exp[iT0 («2 _ « )]) exp(iLz);
L = 2k; M = 2m.
88
Подставим решения нулевого и первого порядка в левые части уравнений полученной неоднородной системы и сгруппируем результат по экспонентам с различными показателями. Разбивая для каждого Aj, где j = 1; 2;...6, полученную систему на отдельные системы при экспонентах с различными показателями степени, получаем шесть уравнений (по числу экспонент разных видов и неизвестных коэффициентов Aj, Bj и т.д.):
M=AjMj;
где M и Mj - матрицы. Решать получившиеся уравнения будем методом Крамера:
A = Det (M) (3)
j De, (и!)'
Здесь Det (Mx) - определитель матрицы M, в которой первый столбец заменен на стоящий справа
столбец функции неоднородности. Решения для коэффициентов B1, C1, D1 и а1 находятся аналогично. Коэффициент А1 соответствует экспоненте exp(-21щТ0 | +iMф), аналогично:
А2 ^ exp(-2i01T0);
А3 ^ exp(2io2T0 + iMф);
А4 ^ exp(2io2T0);,
А5 ^ exp[-iT0(o -02) + iMф];
А6 ^ exP[-iT0(o1 -02)].
Определитель M1 после упрощения примет вид
Det(M1) = H1 ■ J1 = H1 ■ [0 (M,L)- 2ю1 (m,к)][2o (m,к) + o2 (M,L)]; где a\ (0, L), C02 (0, L) - частоты волн второго порядка малости, <0 (m, к) - частота волны первого порядка малости.
Выпишем с точностью до нерезонансных сомножителей определители матриц, стоящих в уравнениях слева:
Det (m2 ) = H2 ■J2 = H2 ■ [° (0,L)- 2Щ ( m,к)][2оц (m,к) + (02 (0, L)];
Det(M3) = H3 ■ J3 = H3 ■ [02 (M,L)-2o2 (m,к)][2o2 (m,к) + o(M,L)];
Det (M4 )= H 4 ■ J4 = H 4 ■ [02 (0, L)-2o2 (m, к )][2o2 (m, к ) + o( 0, L)];
Det(M5)= H5 ■ J5 = H5 ■ [01 (M,L)-П(m,к)][П(m,к) + o2 (M,L)];
Det(M6 )= H6 ■ J6 = H6 ■ [0 (0,L)-П(m,к)][^(m,к) + o (0,L)];
^( m, к ) = o( m, к )-02 (m, к). (4)
Полученные определители стоят в знаменателях выражений типа (3). Если какой-либо из определителей обратится в ноль, соответствующая амплитуда колебаний будет стремиться к бесконечности. В теории колебаний это интерпретируется как резонансное взаимодействие волн.
Проанализируем с точки зрения наличия возможных резонансов знаменатель в (3), соответствующий резонансному взаимодействию волны частотой с индексом «один» с произвольной симметрией с удвоенным волновым числом. Как показывают расчеты, для неосесимметричных мод резонансных ситуаций при разумных значениях напряженности полей и скоростей движения среды (фиксируемых в экспериментах) нет ни для каких волновых чисел.
Для второго определителя Det(M2) для изгибной моды (m = 1) резонансная ситуация для к = 1 имеет место при больших скоростях (U > 35) и слабых полях (E < 2,5), как это видно из рис. 1,а. С увеличением волнового числа граница резонанса смещается в область меньших значений скорости и больших напряженностей полей, как это можно видеть из рис. 1,6. При к = 1,25 резонансная кривая принимает вид, проиллюстрированный рис. 1,в. Для изгибно-деформационной волны с m = 2 при значениях напряженностей полей и скоростей движения струи, принятых при расчетах на рис. 1, резонансов не наблюдается.
89
а
б
Рис. 1. Зависимость поверхности J от безразмерных скорости U и напряженности внешнего коллинеарного струе поля E, рассчитанная при m = 1, р = 0,001, ет = 50, 8ex = 1: к = 1 (a); 1,15 (б); 1,25 (в).
а
б
в г
Рис. 2. Зависимость поверхности J6 от безразмерных скорости U и напряженности внешнего коллинеарного струе поля E, рассчитанная при m = 1, р = 0,001, ет = 50, 8ex = 1: к = 0,01 (а); к = 0,1 (б); 0,5 (в); 1 (г).
90
а б
Рис. 3. Зависимость поверхности J1 от безразмерных волнового числа k и диэлектрической проницаемости струи Em, рассчитанная при U = 5, E = 1, р = 0,001, eex = 1: m = 1 (а); 2 (б).
Третья резонансная ситуация определяется Det(M3) и аналогична первой.
Для исследования четвертой резонансной ситуации, когда волна с частотой с индексом «два» с произвольной симметрией резонансно взаимодействует с осесимметричной модой с удвоенным волновым числом, нужно проанализировать Det(M4) (см. (4)). В качественном отношении ситуация складывается такая же, как в уже проанализированном случае для второй резонансной ситуации Det(M2).
При исследовании пятого определителя Det(M5) резонансных ситуаций не обнаружено ни при каких значениях волнового числа как для изгибных, так и для изгибно-деформационных волн при значениях напряженностей полей и скоростей движения струи, принятых при расчетах на рис. 1.
Шестая резонансная ситуация определяется Det(M6) и соответствует взаимодействию осесимметричной волны частотой с индексом «1» и удвоенным волновым числом k с волной частотой О (m, k) — СО2 (m, k) . Для изгибных волн (m = 1) со значением волнового числа k = 0,01 резонанс будет реализовываться при напряженности поля, примерно равной 2, и при любых скоростях, находящихся в диапазоне, установленном при расчете рис. 1. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2,а. При увеличении волнового числа до k = 0,1 резонансная кривая смещается в область малой напряженности поля, как показано на рис. 2,б. При дальнейшем увеличении волнового числа до k = 0,5 и далее до k = 1 (рис. 2,в,г) кривая резонанса смещается в область больших скоростей. Резонанс между изгибно-деформационными волнами с m = 2 и осесимметричными качественно будет реализовываться так же, как для изгибных волн с m = 1.
На рис. 3 представлена зависимость условий реализации резонанса от волнового числа и диэлектрической проницаемости струи для неосесимметричных волн с m = 1 (рис. 3,а) и m = 2 (рис. 3,б), рассчитанных при фиксированных значениях напряженности поля и скорости движения струи в первой резонансной ситуации. Несложно видеть, что резонансы присутствуют для определённых длин волн и что положение резонанса слабо зависит от диэлектрической проницаемости струи.
Таким образом, внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие неосесимметричных волн при разумных значениях волновых чисел реализуется при достижимых в эксперименте напряженностях электростатического поля и скоростях спонтанного движения струи. Резонансное взаимодействие с участием изгибных волн реализуется при k ~ 1, а с участием изгибно-деформационных волн - при k ~ 3.
Работа выполнена при поддержке грантов: Рособрнауки № 09-08-00148.
ЛИТЕРАТУРА
№ РНП 2.1.1/12895 и РФФИ
1. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). On the Instability of Jets. Proc. London Math. Soc. 1878. 10, 4-13.
2. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т.2. М.: Гостехиздат, 1955. 475 c.
3. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. Спонтанный капиллярный распад заряженных струй. Ярославль: изд. ЯрГУ, 2007. 340 с.
91
4. Kim O.V., Dunn P.F. Control Production by In-flight Electrospraying. Langmuir. 2010, 26, 15807-15813.
5. Глонти Г.А. К теории устойчивости жидких струй в электрическом поле. ЖЭТФ. 1958, 34(5), 1328-1330.
6. Шутов А.А. Формирование и устойчивость заряженной струи в сильном электрическом поле. Изв. РАН. МЖГ. 2006, (6), 52-67.
7. Ширяева СО. О капиллярной устойчивости цилиндрической струи диэлектрической жидкости в продольном электростатическом поле. ЖТФ. 2010, 80(2), 47-51.
8. Ширяева С.О. Об устойчивости объёмно-заряженной струи диэлектрической жидкости, ускоренно движущейся в коллинеарном струе электрическом поле. Изв. РАН. МЖГ. 2010, (3), 57-68.
9. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). On the Instability of Cylindrical Fluid Surfaces. Phil. Mag. 1892, 34(5), 177-180.
10. Grigor’ev A.I., Shiryaeva S.O., Petrushov N.A., Volkova M.V. Instability of the Lateral Surface of Strongly Charged Jets in a Collinear Flow of Material Environment. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2010, 46(3), 218-222
11. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Петрушов Н.А. Об устойчивости капиллярных волн на поверхности заряженной струи, движущейся относительно среды. ЖТФ. 2011, 81(2), 16-22.
12. Grigor’ev A.I., Voronina N.V., Shiryaeva S.O. Degenerated Internal Nonlinear Resonance Interaction of the Waves on the Surface of an Uncharged Dielectric Jet in a Longitudinal Electrostatic Field. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2011, 47(3), 235-241.
13. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.
Summary
Поступила 22.12.11
A possibility was studied to realize an internal nonlinear resonance interaction of nonaxisymmetrical waves on a surface of a jet which is moving in a medium collinear to a longitudinal electric field. For axisymmetrical waves with the azimuthal number equal to one and two several resonance situation were realized.
92
