CC BY
44
нализ и синтез систем управления
УДК 681.518.22
НЕЛИНЕЙНЫЕ . . ДИФФЕРЕНЦИАТОРЫ
С.В. Гуляев, А.М. Шубладзе, С.И. Кузнецов, А.В. Кротов, В.Р. Ольшванг, В.А. Малахов
Предложен способ получения оценки производной гауссовского стационарного сигнала, близкой к оптимальной в среднеквадратическом смысле, когда спектральные плотности полезного сигнала и помехи известны с точностью до уровня. Рассмотрена его реализация с помощью специальным образом организованных нелинейных динамических систем. Дано сравнение с известными способами.
Ключевые слова: дифференцирование, адаптация, оптимальность, гауссовский шум.
ВВЕДЕНИЕ
Спектральная плотность полезного сигнала x(t)
Одна из задач, возникающих при синтезе современных высокоэффективных систем управления динамическими объектами, заключается в получении информации о фазовом состоянии этих объектов. Ее решение может быть достигнуто путем разработки устройств, позволяющих получать близкую к оптимальной информацию о производной выходного сигнала объекта как в отсутствии, так и при наличии помех.
При решении подобных задач под оптимальностью часто понимают минимум среднеквадратической ошибки дифференцирования. Достаточно полно такая задача решена в теории винеровс-кой фильтрации, когда полезный сигнал и помеха представляют собой гауссовские сигналы с известными дробно-рациональными спектральными плотностями. Оптимальное решение в этом случае представляет собой линейный оператор с дробно-рациональной передаточной функцией.
Согласно этой теории передаточная функция дифференциатора стремится к идеальному оператору дифференцирования, когда уровень спектральной плотности помехи стремится к нулю. В том случае, когда спектральная плотность помехи неограниченно возрастает, значительно превышая спектральную плотность полезного сигнала, модуль передаточной функции оптимального дифференциатора на всех частотах стремится к нулю.
Формально высказанное утверждение выглядит следующим образом. Пусть наблюдаемый сигнал имеет вид
г(0 = *(0 + ф(0, (1)
где *(?) — полезный стационарный гауссовский сигнал, ф(?) — стационарная гауссовская помеха, некоррелированная с сигналом *(?).
(m — p
Q
£ bj«2j + 1
/т «) = -j=i-
(2)
£ aj«2j + 1 j = і
где т < п, т — р > 0, т, р, п, Ъ. и а. — известные параметры, Q > 0 — неизвестный параметр. Спектральная плотность помехи ф(?)
2l
/ (R, «) = —
(З)
2l
£ cl« l + І
l = і
где й < п, е, й, й и е} — известные параметры, Я >0 — неизвестный параметр.
Как следует из работ [1, 2], в этом случае для спектров (2) и (3) передаточная функция оптимального в среднеквадратическом смысле дифференциатора
W°-«(im) = 2^
дада ~№t
Гe"mtdt Г(т)/(« ei№td«, (4)
J J V *( i«)
где q — порядок дифференцирования оптимального фильтра, функции у(/ю) и у*(/ю) находятся из уравнения
у(/ю)у*(/ю) = у(/ю)у(—/ю) =
= /» + /,(«) = /(«) или из уравнения [2],
V(i«) = JRF(Q/R, i«), V*(i«) = JRF(Q/R, — i«)
()
(6)
e
—да
26
CONTROL SCIENCES № 3 • 2010
13217325
где И — дробно-рациональная функция введенных в выражениях (2) и (3) параметров, а сама передаточная функция (4) с учетом выражений (5), (6) преобразуется к виду
= і = 0
£ к.(О/Я)(р/
(7)
£ к.(О/Я)(р) + (р)п
1 = 0
где р = /ю, q — порядок дифференцирования, п — порядок полинома в знаменателе спектральной
плотности (2) полезного сигнала, к . и к . — коэф-
"У 31
фициенты полиномов числителя и знаменателя. Из формулы (7) следует, что параметры полиномов в передаточной функции оптимального дифференциатора являются функциями отношения О/Я, поэтому каждому значению отношения О/Я в постановке (1)—(3) соответствует своя передаточная функция (7).
Из той же теории оптимальной фильтрации следует, что среднеквадратическая ошибка дифференцирования любого дифференциатора с передаточной функцией ^(р) при р = /ю определяется выражением
где
да
1 ||Жд(/ю) - W°д(m)ffz(Q, Я)аЬ, (8)
ст°Д =
да
2П | (кь^т, ь)
- !^од(/ю)|2/г(О, Я, ю))йю (9)
— среднеквадратическая ошибка дифференцирования q-й производной оптимального винеровско-го дифференциатора.
Таким образом, при линейном способе дифференцирования произвольным линейным дифференциатором среднеквадратическая ошибка может быть только больше ошибки (9) и настолько, насколько больше несовпадение спектральных плотностей их операторов. Далее на основе этого утверждения будет предложен способ синтеза нелинейного дифференциатора, оценивающего первую производную сигнала в постановке (1)—(3), эквивалентная передаточная функция которого при различных значениях отношения О/Я близка к передаточным функциям совокупности оптимальных при тех же значениях О/Я дифференциаторов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решается практически важная задача близкого к оптимальному в среднеквадратическом смысле дифференцирования гауссовского сигнала со спектральной плотностью полезного сигнала
О
да ь) =
(10)
наблюдаемого на фоне гауссовской аддитивной помехи со спектральной плотностью вида
/р(Я, ю) = Я. (11)
Выражения (10) и (11) представляют собой частный случай выражений (2)—(3), поэтому все сделанные во Введении утверждения остаются справедливы и для спектров (10), (11).
Требуется синтезировать нелинейное дифференцирующее устройство, эквивалентная линеаризованная передаточная функция которого при любом значении О/Я была бы близка к передаточной функции оптимального дифференциатора (7), рассчитанного для того же значения О/Я.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Воспользуемся приведенной в работе [2] связью между параметрами спектральных плотностей (10), (11) и передаточной функцией (7) оптимального в среднеквадратическом смысле дифференциатора. Эта передаточная функция в рассматриваемой задаче имеет вид
W0,Л(О/R, р) = [(О/Я)р(4л/Т7о/Я + 1 - Т2]/[(1 + + л + О/Я )(1 + V О/ Я + 1) х х (71 + О / я + р V1 + О/ ЯТ2 + р2)]. (12)
В рассматриваемом частном случае (10), (11) отсюда следует справедливость сделанных ранее утверждений, что порядок передаточной функции оптимального дифференциатора определяется порядком полинома в знаменателе спектральной плотности (10), а ее коэффициенты являются функцией отношения О/Я.
Приблизим передаточную функцию (12) близкой к ней передаточной функцией вида
+
Д(О/Я, Ь) = Мл/О/Я + 2 - л/2)]/[л/О/
Я + 2
+ 1 - 72 +/ю( V О / Я + 2 +1 - 4/2) - ю2], (13)
зависящей от отношения оценок уровня спектра
полезного сигнала О и уровня спектра помехи Я.
На рис. 1 изображена структурная схема нелинейного помехозащищенного дифференциатора,
где * (?) — оценка полезной низкочастотной составляющей дифференцируемого сигнала, ф (?) — оценка высокочастотной помехи, эквивалентная передаточная функция которого определяется выражением (13).
Оценка О уровня спектра сигнала производится с помощью линейного низкочастотного фильтра
^н.ф(Р) =
к
н.ф
( Тн.фР + 1 )
;, а оценка Я уровня спектра
2
да
известного [3] релейного дифференциатора с эквивалентной передаточной функцией
Жд.р(О/Я, /ю) =
где = 10 4, кр = 2/л/ЛЯ, к = 16, к = 0,01, и среднеквадратическая ошибка Стдл (О/Я) линейного
_3
дифференциатора, оптимального при О/Я = 10 , с передаточной функцией
0,628 /ю
/ ю кр
(Тф/Ь + 1)(кр + /ю(к + ккр) - ю )
Жд.л(О/Я, /Ь) =
3,16 + 7,6/ ю -
ю
Из приведенных зависимостей видно, что среднеквадратическая ошибка дифференцирования (16) нелинейного дифференциатора лишь незначительно больше среднеквадратической ошибки (17) оптимального при любых значениях О/Я
Рис. 1. Схема нелинейного помехозащищенного дифференциатора
помехи — линейным высокочастотным фильтром,
^В ф(р) = ---кв'фр—- . Оценки ° и Я удовлетво-
( Тн.фр + 1 )2 ряют уравнениям
7° (?) + О (?) = *2 (?), (14)
Т&Я (?) + Я (?) = ф2 (?), (15)
где Т — достаточно большая постоянная времени.
С помощью оценок (14), (15), передаточной функции (12) оптимального при любом О/Я > 0 дифференциатора и эквивалентной передаточной
функции Жн д(°/Я, /ю) (13) нелинейного дифференциатора определим в соответствии с формулами (8) и (9) при q = 1 среднеквадратические ошибки дифференцирования
°н.д = °0.Д(О/Я) + 2Л |!^н.д(О/Я, /ю) -
- ^°.д(/Ь)|2 -О-4 + Я| аЪ, (16)
V1 + ю
О
да
а°.д (О/Я) = 2- ||/ь|2-
2 _О_ _
4
да * + Ь
- ! ^о д(О/Я, /ю)|2 Г -°-4 + я! йю. (17)
V1 + ю )
На рис. 2—4 приведены зависимости (16) и (17), а также среднеквадратическая ошибка стДр (О/Я)
-да
2
а
Рис. 2. Оценки дисперсий при высоком уровне сигнала
Рис. 3. Оценки дисперсий при среднем уровне сигнала
28
СОЫТВОЬ БСІЕМСЕБ № 3 • 2010
Рис. 4. Оценки дисперсий при низком уровне сигнала
дифференциатора и существенно меньше среднеквадратических ошибок релейного и линейного дифференциаторов. Реализация нелинейного дифференциатора по приведенной на рис. 1 схеме сопоставима по сложности с реализацией релейных [3] и линейных дифференциаторов с постоянными коэффициентами [4].
ведены значения ошибки при малой и большой постоянной времени 7ф фильтра.
Представленные результаты естественным образом подтверждают сделанные теоретические выводы о том, что нелинейные дифференциаторы во всех рассмотренных случаях лучше малоинерционных линейных дифференциаторов и значительно лучше инерционных линейных и релейных дифференциаторов. Другими словами, предложенное нелинейное дифференцирующее устройство обладает высокими адаптивными возможностями при дифференцировании сигналов с изменяющимися в широких диапазонах параметрами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что методы теории оптимальной фильтрации дают возможность на базе функциональных степенных элементов, множителей и линейных динамических фильтров синтезировать помехозащищенные, обладающие большими адаптивными возможностями и просто реализуемые дифференцирующие устройства, близкие по среднеквадратическим ошибкам к подстраиваемым оптимальным дифференциаторам. Таким образом, рассмотренный способ дифференцирования по своим возможностям качественно превышает возможности других известных и широко применяемых на практике способов дифференцирования.
3. ПРИМЕР
ЛИТЕРАТУРА
Сравним качественные показатели результатов дифференцирования нелинейным, линейным и релейным дифференциаторами, полученные с помощью моделирования в системе «МаИаЪ».
Дифференцировался сигнал вида z(t) = Л ът2кИ( + + ф(0, где Л&т2кВ — дифференцируемый полезный сигнал, ф(0 — гауссовская экспоненциально коррелированная помеха. Было выполнено 16 экспериментов, половина из них — без помехи (дисперсия помехи а 2 = 0),
остальные — с помехой (а2 = 0,1). Во всех экспериментах частота полезного сигнала И = 0,0016 Гц.
Результаты приведены в таблице, где аН д, ар д и
а2 д — среднеквадратические ошибки дифференцирования соответственно нелинейным, релейным и линейным дифференциатором. Для последнего из них при-
Дисперсии ошибок
A 2 стф 2 °н.д д <n d 2 СТ( T=3 С)л,д 2 °( T=30 с)л.д
0,1 0 2,87-10-6 1,55^10—5 4,0^10-6 4,1-10-4
0,3 0 1,45-10-5 4,3^10—1 3,94-10—5 3,7-10-3
О,1 О,1 4 1 О ,3 8, 2,8^10—3 5,8^10—3 1,4-10-3
О,3 0,1 СО 1 О ,7 2, 4,93^10—2 9,4-10—3 4,6-10-3
1. Адаптивное в среднеквадратическом смысле дифференцирование // Управление большими системами / С.В. Гуляев,
A.М. Шубладзе, В.А. Малахов и др. — 2G1G. — № 3. — С. 75—88.
2. Теория систем с переменной структурой / С.В. Емельянов,
B.И. Уткин, В.А. Таран и др. — М.: Наука, 197G.
3. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1955.
4. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. — М.: Физматгиз, 1967.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.С. Манделем.
Гуляев Сергей Викторович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,
(495) 334-88-81, И svgul@inbox.ru,
Шубладзе Александр Михайлович — д-р техн. наук, зав. лабораторией, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,
®(495) 334-88-81, И shub@ipu.ru,
Кузнецов Сергей Иванович — ген. директор,
Государственный научно-исследовательский институт теплоэнергетического приборостроения, г. Москва,
®(495) 615-21-9G, www.niiteplopribor.ru,
Кротов Александр Васильевич — нач. управления,
ОАО «Газавтоматика», г. Москва,
®(499) 58G-41-22, И alex_k@gazauto.gazprom.ru,
Ольшванг Владимир Рафаилович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, (495) 334-88-81, Малахов Валерий Александрович — канд. физ.-мат. наук., ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, ®(495) 334-88-81.
2
