Нелинейные параметрические колебания диафрагмы электродинамического громкоговорителя Текст научной статьи по специальности «Физика»

2004_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

МЕХАНИКА

УДК 539.3

И. А. Алдошина, О. С. Букашкина, П. Е. Товстик

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДИАФРАГМЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ГРОМКОГОВОРИТЕЛЯ

Исследуются нелинейные параметрические колебания диафрагм громкоговорителя (ГГ), обуславливающие появление в определенных частотных областях и при некотором «критическом» уровне возбуждающей силы субгармоник в излучаемом сигнале, которые субъективно воспринимаются как «призвук». Построены математические модели на основе нелинейных дифференциальных уравнений параметрических колебаний оболочек, рассчитаны частотные области и амплитуды параметрических колебаний диафрагм громкоговорителей.

1. Введение. Одной из причин нелинейных искажений, возникающих в процессе электромеханического преобразования в электродинамических громкоговорителях, являются параметрические колебания диафрагм, обусловленные явлением «потери динамической устойчивости» в них. Проявляется это в том, что в определенных частотных областях и пpи амплитудах возбуждающей силы выше некоторого «критического» значения (зависящего от конструктивных параметров ГГ) отчетливо прослушиваются «призвуки», а на осцилограммах наблюдаются колебания с частотами 2и/и (п = 1, 2,...).

Рассмотрим диффузор громкоговорителя, на который действует периодическая продольная нагрузка. При определенных соотношениях между возмущающей частотой и частотой собственных поперечных колебаний первоначальная форма диффузора становится динамически неустойчивой: возникают неосесимметричные поперечные колебания, амплитуда которых быстро возрастает до больших значений. Эти колебания уже не могут быть описаны в рамках линейной теории, амплитуды колебаний становятся величинами порядка толщины оболочки к. Следует отметить, что определение частотных границ динамической неустойчивости может быть выполенно и в рамках линейной теории, однако линейная теория не может дать ответ ни на вопрос об установлении колебаний, ни на вопрос о величине установивишихся амплитуд. Правильная трактовка всех этих вопросов возможна только на основе нелинейных дифференциальных уравнений.

Проблемам нелинейной теории параметрических колебаний оболочек вращения различной конфигурации (к числу которых относятся диафрагмы электродинамических

© И. А. Алдошина, О. С. Букашкина, П. Е. Товстик, 2004

ГГ) уделяется достаточное внимание в литературе [1—4]. Однако ввиду сложности проблем, возникающих при анализе нелинейных колебаний оболочечных конструкций, задача расчета и экспериментального анализа форм параметрических колебаний диафрагм и их зависимости от конструктивных параметров ГГ не решена в полном объеме.

В этой работе рассматривается ряд последовательно усложняющихся моделей. Самый простой подход состоит в применении независимых одномодовых приближений [5]. В результате для каждого числа волн в окружном направлении т задача сводится к известному уравнению Матье, которое позволяет определить области динамической неустойчивости для данной моды. Область неустойчивости для системы в целом получается объединением областей для разных т. Вторая модель учитывает взаимодействие неосесимметричных колебаний с т и 2т волнами в окружном наравлении [6]. Третья модель рассматривает взаимодействие неосесимметричных колебаний с различным числом волн в окружном направлении, соответствующим очень близким собственным частотам.

2. Математическая модель диафрагмы громкоговорителя. При аналитическом описании диафрагма громкоговорителя аппроксимируется тонкой конической оболочкой вращения (рис.1). Систему крепления крайних параллелей диафрагмы вг, г = 1, 2, моделируем сосредоточенными массами тг и жесткостями ег. Со стороны звуковой катушки на край в! диафрагмы действует сила Е(Ь) = Ео Бт иЬ.

На срединной поверхности диафрагмы, имеющей форму криволинейного усеченного конуса, вводится безразмерная система координат в, р (в! < в < в2, 0 < р < 2^), где Яв — расстояние до вершины конуса, р — угол в окружном направлении, К\ — радиус кривизны образующей, Я — радиус нижнего большего основания конуса, к которому будем относить все линейные размеры, а также проекции перемещения. В качестве граничных условий рассматриваем как жесткое закрепление обоих параллелей, так и жесткое и свободное закрепление на соотвествущих краях.

Для описания неосесимметричных деформаций оболочки используем систему уравнений оболочек вращения Донелла [7]

Рис. 1. Модель диафрагмы громкоговорителя.

БААю - АкФ - Ь(ю, Ф) + Я4 (7ЬлЪ + Ьъи) = 0,

(1)

Для диффеpенциальных опеpатоpов введены следующие обозначения:

ф" 1 д2Ф т" 1 д2т

1 , /ч/ 1 д2т ... д( )

(2)

М«>,ф) - В2 ~2ув [вдр)+ В2 д<р> • Здесь Ет(в, и ф(в, <р,Ь) —неизвестные нормальный прогиб и функция усилий,

Ек3

= Т77Гл-9Т> = stga, В = вв та,

12(1 — у2)

Е, у,^, к — модуль Юнга, коэффициент Пуассона, плотность и толщина оболочки, а — угол при вершине конуса, Ь — коэффициент сопротивления. Нелинейные слагаемые входят в систему (1) только через оператор Ь. При К\ данная система будет описывать движение конуса с прямолинейной образующей.

Известно [7], что наименьшие частоты неосесиммметричных колебаний тонкой конической оболочки значительно ниже, чем частоты осесимметричных колебаний. Следовательно существенный вклад в искажение звука будут вносить изгибные колебания на тех частотах, которые лежат ниже первой резонансной частоты осесимметричных колебаний. В связи с этим в пеpвой математической модели предполагается, что в осевом направлении диафрагма движется как твердое тело, а решение представляется в виде разложения по известным формам неосесимметричных колебаний с искомыми амплитудами.

Прогиб при параметрических колебаниях оболочки будем искать в виде:

) = уо(¿) вша+ут(Ь)тт(в) со® тр+У2т^)т2т(в) соб2тпр, (3)

где Ут(Ъ) и у2т(Р) —неизвестные амплитуды неосесимметpичных колебаний, функции тт(в) и т2т(в) опpеделяются ниже и описывают фоpмы пpогиба с т и 2т волнами в о^ужном напpавлении, уо — известная амплитуда осесимметричных колебаний, ш —частота возбуждения; уо связана с вынуждающей силой по формуле F0

у о = -. -, где М = то + т\ + То2 —масса системы, то —масса обо-

ЕV (с — Мш2)2 + Ь2ш2

лочки, с = С1 + С2 — суммарная жесткость опор, Ьо — коэффициент сопротивления при осевом движении. Через тт(в) обозначена форма неосесимметричных колебаний с т волнами в окружном направлении. При решении задачи широко используется метод

асимтотических оценок, основанный на предположениях о тонкостенности оболочки к

— < 1 и большом числе волн в окружном направлении. Для наименьшей частоты Е

то > 1 - ~ — — ~ — (4)

' Е т4 Е1 т2

Оценка отношения толщины оболочки к радиусу доказана в [7]. Последнее предположение о сравнительно небольшой искривленности образующей позволяет применить

используемый ниже метод. После отбрасывания асимптотически малых членов система (1) приобретает вид

4

т- ЕНВ2 ЕН ж„ _ , 2 + " 1 дг '

■т I —^гГ*--АТГФ + + 7Ьш-гот = О,

т2 Я\ т4Я2

^ 16т4 ЕНВ2 ж

+ . о^ Ф -

ЕН

(5)

В4

4т2Я1 16т4Я2

Ф" + N2 + 7Ни2т2т = 0.

Здесь N1 и N2 — нелинейные члены. Функция шт может быть найдена из уравнения (6) при выполнении граничных условий

(в3^)" -

Р™1^ д I 5 д

В (6) приняты следующие обозначения:

Н2

+

2

Чт Рт8

-щ

3

-ХтИ Шт =0.

(6)

т4 tg2a Я"2

: 4 8Ш4 а

12(1 - V2)Я2 ,

Рт

те, Хт

Е

m2tgа Рт ТГ": О 1 Чт Явш2а

Рт Ьё2а вт8 а '

(7)

где е — малый параметр тонкостенности оболочки. Функцию Ш2т находим из уравнения аналогичного (6). На рис. 2 показана форма прогиба криволинейной оболочки при т = 6 и т =12 для: а — жестко закрепленных краев и б — для жестко закрепленного внутреннего и свободного внешнего края.

1

т = 6

0,1

1,0 1,5

Рис. 2. Фоpмы пpогиба.

Наименьшая частота колебаний получается при большом числе то ~ 1/е волн в окружном направлении.

Применение метода Галеркина к системе уравнений (5) после отбрасывания асимптотически малых членов приводит к системе нелинейных уравнений

6

Ут + ~~ Ут + (^т - т?ш2уоа1 яп^) ут + = 0,

(8)

У2т + 2т У2т + - 4т2иГу0Я'б вт иЛ) у2т + М2 = 0,

■ш

ш

е

где 6 — безpазмеpный коэффициент сопpотивления, а а пpи г = 1, 6 — безразмерные коэффициенты, зависящие от форм колебаний (в) и и>2т(в) и числа т волн в о^ужном напpавлении.

Рассматривается коническая диафрагма с параметрами, указанными в таблице: радиусы оснований конуса В(в1) = 0.982ом, В(в2) = Я = 7.5ом, радиус кривизны образующей конуса К\ = —150 ом, угол при вершине конуса а = 45°, толщина диафрагмы Н = 0.03 ом, плотность диафрагмы 70 = 0.2 г/ом3, модуль Юнга Е = 1.16 • 109 Па, коэффициент Пуассона V = 0.3. Присоединенная масса воздуха зависит от числа т волн в окружном направлении [5] и учитывается приближенно путем введения эффективной плотности 7 = 70(1 + 2.6/т).

Ниже приведены в герцах значения частот собственных неосесимметричных колебаний ]т = шт/(2п) при т < 4 < 9, полученные при решении краевых задач.

Ri Гранин, усл. m = 4 5 6 7 8 9

Ri = 00 33 1332 1124 1108 1144 1212 1303

зс 935 858 903 973 1063 1170

R! = -150 33 1268 1068 1053 1089 1158 1250

зс 824 738 794 873 969 723

Здесь используются обозначения: З З — внутpенний и внешний ^ая диафpагмы за-кpеплены, З С — внутpенний затеплен, внешний свободен.

3. Области динамической неустойчивости. Для получения областей динамической неусттойчивости паpаметpических колебаний диафpагмы достаточно постpо-ить области динамической неустойчивости для pазличных линейных уpавнений пpи т = 4, 5,..., 9 и объединить их. Как известно из [1], [2], нелинейные члены не влияют на pаспpеделение областей паpаметpической неустойчивости.

6

У m + ~ У m + (< - т2у0ал sin Lût) ут = 0. (9)

ш

В связи с тем, что главному резонансу при параметрическом возбуждении соответствует частота возбуждения ш = 2шт, вдвое большая частоты собственных колебаний, будем рассматривать частотный диапазон 2000 < f = ш/(2п) < 2700 (Hz). На рис.3 в плоскости (Fo,f) представлены зоны параметрического резонанса для форм с m = 5, 7, 8 волнами в окружном направлении. Амплитуда и частота возмущающей

силы составляют пару параметров возбуждения и соответствуют точке на плоскости (Ео, /). Когда величина возмущающей силы мала, так что точка лежит ниже пределов области динамической неустойчивости, резонанса не будет, внутри области резонанс возможен по нескольким формам одновременно. Наименьшая частота параметрического резонанса достигается при то = 6.

4. Приближенное аналитическое решение для пеpвой модели. Для нахождения конечного значения амплитуды параметрических колебаний нужно сохранить нелинейный член. Итак, рассмотрим уравнение следующего вида:

ио1г5 .

Упг Н-- Ут

и

+ (и2т - т2уоа! эш иЬ) у

азЕ з

т \ „о Ут

7Я2'

0.

(10)

Для анализа и наглядного представления структуры решения можно получить приближенное выражение для амплитуды колебаний с помощью метода осреднения [8], в соответствии с которым приближенное решение уравнения (10) ищем в форме:

ут (Ь) = а(Ь)втг, г = т/2 + в(Ь), т = иЬ,

(11)

содержащей две неизвестные функции а(Ь) и в(Ь). Для их определения получаем приближенную безразмерную систему

с1а с1т

6

1

е0а

0,

(12)

где

и

V =

с =

ип

2

т2х0а1 2 '

ео = -

3 а2Е А^ВЫ2

Из (12) находим амплитуду ао установившихся параметрических колебаний и приближенное выражение для нижней границы С* параметрического возбуждения

ао =

1А-Г]2 + 2^Ас12г]4 - б2

4ео

~ 2'

Е* =

М(4,гК5 т2 е1

(13)

Левую и правую границы области г]~ < г] < г]+ параметрического возбуждения находим из уравнений 4 — г]2 ± 2^/4с/2гу4 — 52 = 0.

При внезапном возбуждении колебаний в области параметрической неустойчивости (/ < 2169 при т = 6) их амплитуда сначала возрастает, а затем начинает совершать затухающие колебания около стационарного значения. При этом максимальное значение амплитуды примерно на 20% больше стационарной величины. На рис. 4 показаны

0 0,1 я о 0,1 в

Рис. 4- Пpоцесс установления амплитуд паpаметpических колебаний.

а

графики а(Ь) для / = 2200 (рис. 4а) и для / = 2300 (рис.4Ь), где время Ь — в секундах. Следовательно, в момент возбуждения параметрических колебаний могут быть слышимы биения.

5. Амплитуда параметрических колебаний и взаимодействие форм с т и 2т волнами в окружном направлении. Точное значение амплитуды параметрических колебаний можно получить путем численного интегрирования системы (8). Ограничимся рассмотрением случая прямолинейного конуса с жестким закреплением краев, поскольку различие кривизн образующей и граничных условий влияет лишь на коэффициенты системы (8).

ут, мм т = 5 оо = 2250 Hz

1,5 f- o;w = 1123Hz

-0,5 -

Рис. 5. Зависимость ym от времени.

Рассмотрим область параметрической неустойчивости при m = 5. При параметрах возбуждения и = 2250 Гц, yo = 0.096 мм возникают параметрические колебания с амплитудой ym(t), представленные на рис.5. Верхний график соответсвует амплитуде колебаний с учетом лишь формы с m волнами в окружном направлении в функции прогиба:

Wm(s,v,t) = yo(t) sin a + Ут(t)wm(s)cosm^.

Нижний график изображает ту же амплитуду, но уже с учетом формы 2m с двумя волнами в окружном направлении:

Wm (s, ф, t) = yo (t) sin a + Ут (t)Wm (s) COS mф + У2т (t) W2m (s) COS 2mф.

В начальный момент наблюдаются биения, c течением времени режим колебаний амплитуды устанавливается к почти периодическому. Как показывает изучение спектра функции ym (t), основной является частота, равная половине возмущающей частоты и/2. Анализ спектра ym(t) для участка неустановившихся колебаний показывает, что наибольший вклад дают частоты и & 1123 Гц, и & 977 Гц и и & 3369 Гц. С ростом амплитуды возмущающей силы растет амплитуда колебаний, затем начинаются биения. Установлено, что промежуток времени, в течение которого наблюдаются биения, также зависит от амплитуды возмущающей силы.

На рис. 6 представлены зависимость амплитуды ym(t) от времени для разных m = 5, 6, 7, но при одних и тех же параметрах возмущения и = 2250 Гц, yo = 0.09 мм. Общая амплитуда будет результатом наложения этих режимов колебаний для разных m друг на друга.

6. Взаимодействие форм с m и m + 1 волнами в окружном направлении.

Механизм образования близких и кратных собственных частот заложен в нелинейных

0^, = 1413 Hz

m = 6

= 1108 Hz = 1683 Hz

j;m,MM m = 5 и; = 2250 Hz y0= 0,096мм ^ =1123 Hz 1,5

0

-0,5

1,5 0

-0,5

1,5 0

-0,5

t, s

.....-^шшттштмт

t, s

m = l

ujm = 1144 Hz u)2m = 2010 Hz

t, s

Рис. 6. Амплитуды для форм с различным значением числа т = 5, 6, 7.

связях между обобщенными координатами оболочек; именно он осуществляет интенсивный энергообмен в упругой системе и вовлекает в движение те изгибные формы оболочки, которые не возбуждаются непостредственно внешними силами.

При рассмотрении задачи о собственных колебаниях прямолинейной конической оболочки была получена зависимость собственных частот неосесимметричных колебаний от числа т волн в окружном направлении (см. табл.). Видно, что близкими явлияются и . Эта близость собственных частот является предпосылкой для энергообмена между отвечающими этим частотам формами [9].

Для исследования взаимного влияния мод, соответствующих близким значениям т, будем искать прогиб в виде

w (s,p,t)=wo(s,t) + ym(t)wm(s) cos mp + ym+1 (t)wm+1 (s)cos(m + 1)p,

Wm (s)2

w0(s,t) = x1tga-hx2tga(/i-hlns)-h-

4B 2

(m2y2m + (m +1)2y2m+l) .

(14)

Подсчитаем кинетическую и потенциальную энергию системы и составим уравнения Лагранжа.

Неизвестные функции перемещений и усилий аппроксимируются следующим образом:

Y(s,p,t) = Yo(s,t) + Ym(s,t) cos mp + Ym+1(s,t) cos(m + 1)p,

X(s, p, t) = Xm(s, t) sin mp + Xm+1 (s, t) sin(m + 1)p, (15)

Y = {w, u, Ti ,T2, Mi, M2 }, X = {v, S, H},

где u,v,w — проекции перемещения, T1 ,T2,S — усилия в срединной поверхности оболочки, M1 ,M2,H — изгибающие и крутящий моменты. Далее выражаем все усилия и моменты через функции перемещений, а последние являются функциями известных собственных функций wm (s), wm+1 (s) и искомых x1, x2, ym, ym+1 функций времени. Таким образом, функционалы энергии будут содержать в качестве неизвестных вышеназванные функции времени. Выписывая уравнения Лагранжа второго рода, получаем

систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем считать возмущения системы малыми, тогда

xi = eíi, yi = егц, i = 1, 2. (16)

Нулевое приближение первых двух уравнений системы таково:

ai Xi + a^X^ + a4Xi + 0,5x2 = —fo sin wt, a,2Xi + 0^X2 + 05X1 + agX2 = —fi sin wt.

Таким образом, получим Xi = Ai sin wt, при i = 1, 2. Подставляя эти выражения в последние два уравнения относительно обобщенных координат неосесимметричных колебаний, получим два уравнения вида

ym +(wi — в sin wt)ym + а1 ym + a2ymy2„í+1 = 0,

2 2 3 (I®)

ym+1 + (wm+i — в sin wt)ym+i + a3ymym+i + a4ym+i = 0.

Они рассматривались и анализировались в [9]. Приближенное периодическое решение ищется в области главного параметрического резонанса, где выполняются соотношения

22 2 w2 2 w2

Приближенное периодическое решение в резонансном случае ищется в виде:

w

Ут = a sin-01, 'ф1 = -+в1,

2w (20)

Уш+1 = bsmip2, Ф2 = -+в2-

При этом используем метод осреднения [8], который позволил получить систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно амплитуд a, b и фаз в i, 62 колебаний ym(t) и ym+i(t). Возможные стационарные режимы этих колебаний сводятся к трем вариантам: тривиальное решение a = b = 0 и нетривиальные решения a = 0, b = 0, a = 0, b = 0. Нетривиальные решения для амплитуд a и b совпадают с соответствующими значениями амплитуд колебаний оболочки в случае, если бы независимо возбуждались первая ym(t)cosmpwm(s) и вторая ym+i(t)cos(m + 1)ywm+i(s) изгибные формы. Если нелинейная связь отсутствует, то потеря устойчивости происходит по одной из форм.

При учете нелинейных связей координат ym и ym+i для определения областей неустойчивых режимов колебаний составляется и анализируется уравнения в вариациях для исходной системы (18). Расчеты, выполненные в [9] показывают, что области неустойчивости оболочки при колебаниях по одной из изгибных форм, характеризуемой координатой ym, существенно зависят от значений амплитуд стационарных колебаний оболочки по второй форме, характеризуемой координатой ym+i. Это явление — следствие взаимовлияния обеих изгибных форм при колебаниях оболочки. В результате близости частот эти формы могут одновременно возбуждаться, при этом встречное движение форм обусловливает появление дополнительных (нехарактерных для изолированного возбуждения каждой из них) областей неустойчивости.

7. Заключение. Таким образом, полученные результаты позволяют рассчитать для каждой конструкции диффузора области динамической неустойчивости, т. е. потенциальные области появления призвуков или так называемого диффузорного дребезжания, и оценить влияние конструктивных элементов диффузора на ширину и местоположение этих областей по шкале частот. Например, изменение величины подводимого напряжения приводит к сдвигу в сторону низких частот и сужению первой области динамической неустойчивости. Увеличение кривизны образующей от прямолинейного конуса R = ж до R = —80 приводит к сдвигу вышеуказанных областей также в сторону низких частот и, соответственно, к их сужению. Уменьшение габаритов громкоговорителя (внешнего, внутреннего радиуса и высоты) приводит к сдвигу областей динамической неустойчивости в сторону высоких частот. Уменьшение толщины оболочки в среднем в два раза приводит к сдвигу частотных областей в сторону низких частот примерно на 10%, соответствующему их расширению. Поскольку собственная частота пропорциональна л/Ё, то повышение жесткости диафрагмы является чрезвычайно эффективным средством для увода параметрических колебаний в высокочастотную область и их сужению.

Для близких собственных частот формы могут возбуждаться одновременно, что вызывает появление дополнительных областей неустойчивости. Для дальних собственных частот, например соответствующих формам с m и 2m волнами в окружном направлении, взаимодействие форм несущественно.

Рассмотрим теперь основные факторы влияющие на амплитуду параметрических колебаний. Как следует из формулы (13), амплитуда есть функция величины возбуждающей силы. Результаты экспериментальных исследований показывают, что амплитуда возрастает с увеличением напряжения, пока не начинаются срывы, характерные для режима биений. Наличие в системе линейного демпфирования приводит к тому, что параметрические колебания вообще могут не возникнуть, пока сила F не достигнет некоторого порогового значения. Уменьшение демпфирования в 2 раза приводит к почти полуторному возрастанию амплитуд.

Summary

I. A. Aldoshina, O. S. Bukashkina, P. E. Tovstik. Nonlinear parametric vibrations of electrody-namical loudspeaker diaphragm.

Nonlinear parametric vibrations of electrodynamical loudspeaker diaphragm having a form of a thin elastic shell of revolution close to a cone under the action of axial periodic load are considered. As experiments show parametric vibrations appear in the specific frequency regions and under the certain "critical" value of the driving force and they are subjectively audible as coloration of the sound. The character of parametric vibrations and the influence of constructive loudspeaker parameters on it are examined. Several mathematical models based on the system of nonlinear differential equations are constructed. Using the developed asymptotic method and software the frequency domains and amplitudes of the loudspeaker diaphragm parametric vibrations are determined. Interaction of non-axisymmetric and axisymmetric vibrations as well as the interaction of transverse forms with different number of waves in circumferential direction are investigated.

Литература

1. Болотин В. В. Динамическая устойчивость ynpyrax систем. Москва, 1956.

2. Вольмиp А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. Москва: Наука, 1972. 432 с.

3. Fung Y. C., Sechler E. E. Instability of thin elastic shells. Structural Mechanics. Pergamon Press. 1960.

4. Алдошина И. А. Определение областей динамической неустойчивости диафрагмы громкоговорителя. Акустич. журнал, 1971. Т. 17. С. 19-23.

5. Aldoshina I., Bukashkina O., Tovstik P. Theoretical and experimental analysis of nonlinear parametric vibrations of electrodynamical loudspeaker diaphragm. Preprint 4721, 104th AES Convention, Amsterdam, 1998.

6. Aldoshina I., Bukashkina O., Tovstik P. An advanced model of nonlinear parametric vibrations of electrodynamical loudspeaker diaphragm. Preprint, 4863, 106th AES Convention, Munich, 1999.

7. Гольденвейзеp А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. Москва: Наука, 1979, 384 c.

8. Боголюбов Н. Н., Митpопольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва, 1963. 410 с.

9. Кубенко В. Д., Ковальчук П. С., Кpаснопольская Т. С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрической оболочки. Киев: Наук. думка, 1984. 220 с.

Статья поступила в редакцию 2 декабря 2003 г.