CC BY
38
УДК 624.073:539.3
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
© Г.М. Куликов, Ю.В. Кулешов
Kulikov G.M., Kuleshov Y.V. Non-linear vibrations of multi-layered plates. The article looks at free and forced non-linear vibrations of multi-layered rectangular plates made of transversely isotropic materials. The vibration damping is based on a linear hypothesis and the influence of elastic rods associated with plate edges is also included. A number of governing equations in terms of force function and the displacement function are solved by the Bubnov-Galerkin method. The ampli-tude-frequency equations are obtained by using the non-linear Timoshenko-type plate theory as well as the simplified nonlinear plate theory based on the well-known Berger hypothesis. Simple and convenient formulas for characteristics of free and forced vibrations of plates are deduced.
В работах [1, 2] исследованы нелинейные колебания многослойных пластин по уравнениям, полученным на основе гипотезы Бергера [3, 4]. Здесь изучаются свободные и вынужденные нелинейные колебания многослойных прямоугольных пластин на основе полных уравнений многослойных пластин типа Тимошенко [5].
Рассмотрим многослойную прямоугольную пластину, составленную из N трансверсально изотропных слоев. Уравнения вынужденных поперечных колебаний получим из уравнений главы III монографии [5], полагая, что кривизны и кручение координатных линий равны нулю, и добавляя инерционную и линейную демпфирующую силы:
AAF = -1 EhL(W ,W);
D
f 0h2 Л 1---------А
P
АД + ph -ddt
1 h2 ; 1-------А
P
X +
+ 2phs
(1)
(2)
X = L (W, F) + q(x, y )cos rot;
W =
X.
(3)
Здесь и далее используемые обозначения соответствуют [5], в частности,
Следуя [6], считаем, что кромки пластины связаны с упругими, неискривляющимися в плоскости пластины ребрами. Примем, что на единицу длины сторон Ь и а приходятся площади сечений ребер Fx и ^ . Обозначим к / ^ =ул;, к / ^ = уу . Выражение для прогиба шарнирно опертой пластины выберем в виде
. шжх . пжу W = f (t )sin----------sin------
a b
(4)
Подставляя (4) в (1) и решая полученное дифференциальное уравнение, находим силовую функцию в форме
F
Ehf 2
32
an ^2 2шжх (bm V 2my
--- I cos----------hi --- I cos------—
bm I a I an I b
(5)
где Рх, Ру - нормальные напряжения на площадках
контакта пластины с ребрами. Из условий равновесия узлов, в которых ребра скреплены с пластиной, получаем
»2 2 b m
(l + v y )
p v+ a2n2 (+Vy) ^2n2Ef2
X (1 +V x )(l + V y )-V 2
2
8b
2
(6)
д __5^ + d_
dx2 dy 2
L(W, F ) =
d2W d2F d2W d2F
dx2 cy2 cy2 dx2
- 2
d2W d2F dxdy dxdy
2 2 a n / ч
V + bm(1 + Vx) *2m'-Ef
P =__________________________
y (1 + V x )(l +V y )
2
8a
2
(7)
Выполним интегрирование уравнения (2) методом Бубнова - Г алеркина в два этапа. На первом этапе фиксируем момент времени Г и рассмотрим уравнение
+
2
2
Ц Х^йхйу = 0,
5
(8)
где интегрирование ведется по всей площади пластины S, а 'л и X выбираем в виде:
. тш . пну Л = Б1П------Б1П-----
а Ь
X = Б
( 9И2 ^
1--------д
р
ДДх + рИ—-
дґ2
(\ и V
1 —д
р
х +
+ 2рИє
дґ
И2 1 - — Д
Р
(9)
- Ь(Ж,Е)- д(х,у)собюґ .
Задавая функцию перемещений в форме
г \ . т„х . п„у
Х = Х0 (ґ >1П------зт——
а Ь
(10)
4_
аЬрИ2 5
Ы\ . тих . ппу , ,
х, у) біп-біп-ахау.
аЬ
(15)
При 8 = 0, П3 = 1, т = п = 1 из соотношений (13) и (14) получаем известные формулы для частоты и коэффициента к фундаментальной моды однородной пластины [6].
На втором этапе решения задачи представим прогиб в виде [7]:
д = с1 соб(юґ-у)= а1 собюґ + Ь1 біп юґ,
(16)
где с = Vа2 + Ь2 - максимальная безразмерная ам-
плитуда прогиба пластины и 1^ = ЬХ1 а! .
(17)
Проведем интегрирование по периоду колебаний 2„ / ю . В результате имеем
и учитывая (3), устанавливаем следующую зависимость между функциямиу(ґ) и х о (г):
/ (ґ )=[і + б(т2 +Х2п2 )]хо (ґ).
(11)
2„ / ю
I
0
| У(ґ)соБюґ4ґ = 0, |У(ґ)біпюґ4ґ = 0 . (18)
0
В качестве У (ґ) возьмем выражение
После интегрирования из формулы (8) с учетом (11) получаем уравнение Дуффинга относительно безразмерной функции <; = / / И :
+ 2є ті + ю02тп 1 + ^2 )д = ?0 с°5юґ , (12)
аґ аґ
где ю0 оти - собственные частотні линейных колебаний пластины при малых прогибах [5]:
(13)
„V [,+т а ] 1 + 96т2 ^1+ 0 ^1 с2И2ц3
120? (1--2 )а2Ь2
(1 --2 )а4 1 *6”' І1 *1' )
л311+а° т) 1 +96т2+ а2 1 Ц1 +- х )(і +- у )--2 ]
2т2
3 + —
4
( 4
-т2 / 2 ] п2 | 2 1 + -у 2
—+(1+- х)п ] т+[ п-+-ІГ-т + “4 )[(1 +-х)(1 +-у)--2 | ,
(14)
У (ґ ) = 4^ + 2Є ■аГ + ю0тп (1 + кд 2 )д- Ч0сОБюґ . (19)
а2 а
В результате интегрирования из (18) получаем
2,о и , 2 , 3ю0,тпка1с1 — _п
- а1ю + 2ЄЮЬ1 +ю0,тпа1 +----------^---------40 = 0
(20)
и 2 о 2 д 3ю0,тпкЬ1с1
— — 2еюа1 + ю 0 тпЬ +---------------------— 0.
После преобразований системы (20) с учетом формулы (17) приходим к следующим амплитудно-частотному и амплитудно-фазочастотному уравнениям:
3 )2 42
-ю° + ю 2,тп + Т ю0,тп^с12 I + 4є 2 ю2 =~Т (21)
у = аг^-
2єю
(22)
2,2 , 3 2 ,2 -ю +ю0,тп + ~ю0,тикс1
Из формулы (21) при є = 40 = 0 получаем амплитудно-частотное уравнение свободных колебаний пла-
(23)
2
д
х
2
ю
0.тп
с
к
X
3
+
X
где ц = ю / <&0 тп - безразмерная частота свободных колебаний.
Представим далее коэффициент к в виде произведения к = коднк1, где кодн - коэффициент однородной пластины, а к1 определяется так:
(
к1 =
„2 Л
2
т
)
1 + Х2 п т2
2 ) 2
)
(24)
Для однородной пластины 8 = 0, п3 = 1, к = 1 и из формулы (14) следует формула для кодн. Причем для пластины со свободно смещающимися шарнирно опертыми краями при V х = V у = да имеем:
кодн =
3(1 - - 2 ^ + ¡4 1
4
4
2 п
2
2
(25)
а для пластины с несмещающимися краями при - х = - у = 0 получаем
к = -
Л'пттн
3(1 --2 )| 1+а4 ^ |+б| 1+2-а2 ^+а4 п
2п
. (26)
На рис. 1 представлен общий вид скелетных кривых при различных значениях коэффициента к1. Из рисунка 1 видно, что при к > 1 нелинейный характер колебаний многослойной пластины выражен более сильно, чем у однородной, а при к < 1 менее сильно.
Были выполнены расчеты амплитуд по уравнению (23), а также по амплитудно-частотному уравнению, полученному интегрированием методом Бубнова -Галеркина уравнения Дуффинга из работы [1]. Расчеты показали, что при значениях параметров
т = п = 1, - = 0,25, 0 = 1,
9 = 0,01, 6 = 0,5, л3 = 1,25
(27)
/ \ . т„х . п„у
4(х,у)= с ™ ™
: 40 Б1П------Б1П-
а Ь
Вводя функцию (28) в формулу (15), находим
(28)
7о =-77 . (29)
рИ 2
Амплитудно-частотное уравнение (21) при е = 0 может быть приведено к кубическому уравнению:
с1 + Р1с1 + 41 = 0 с безразмерными коэффициентами
4(1 - ц2 ) 4с*
Р1 =— , 41 =--------,
1 3к 1 3к
(30)
(31)
где с* = 40 / ю0 тп - безразмерный параметр нагрузки. На рис. 2 приведены амплитудно-частотные кривые свободных и вынужденных недемпфированных колебаний пластины для данных (27) при с* .= 1,532.
Рис. 1. Общий вид скелетных кривых многослойных пластин
для пластины с несмещающимися краями относительная разность значений амплитуд свободных колебаний, найденных по точной и приближенной теориям, составляет 7,87 %.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания многослойной пластины. Пусть поперечная нагрузка распределена по поверхности пластины по следующему закону:
3
4
2
т
т
т
т
2
2
т
о
1
Рис. 2. Амплитудно-частотные кривые и резонансные точки многослойных пластин
Приближенные значения резонансных амплитуд и резонансных частот колебаний многослойной пластины при учете демпфирования определим как координаты точек пересечения амплитудно-частотной и скелетной кривых [2, 7]. Используя далее уравнения (21) и (23), получим
с1рез
М рез
i
2
3k N
1 +
3kq*
4є *
\
-1
q*
2є* c
(32)
(33)
деленные на основе зависимостей (32), (33) для следующих значений параметра демпфирования: А( є* = 0,3), В (є * = 0,2), С (є* = 0,15). Из рис. 2 видно, что расположение резонансных точек согласуется с классическими представлениями о влиянии демпфирования на резонансные амплитуды колебаний упругих систем [7].
Таким образом, разработанный метод исследования нелинейных свободных и вынужденных колебаний
многослойных пластин на основе уравнений уточненной теории пластин типа Тимошенко [5] позволил получить обозримые формулы для выполнения расчетов основных характеристик колебаний без использования приближенных уравнений на основе гипотезы Бергера.
ЛИТЕРАТУРА
Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Нелинейные колебания многослойных трансверсально изотропных пластин // Вестн. ТГТУ. 2000. Т. 6. № 2. С. 258-263.
Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Вынужденные нелинейные колебания многослойных пластин // Вестн. ТГТУ. 2002. Т. 8. № 3. С. 483-489.
Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Об упрощенном методе решения нелинейных задач теории упругих пластин и оболочек // Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1981. С. 94-121.
Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Приближенный анализ нелинейных трансверсально изотропных трехслойных пластин // Механика композитных материалов. 1980. № 2. С. 272-276.
Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.
Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
1рез
где в* =8/ю0мя - безразмерный параметр демпфирования. На рис. 2 показаны резонансные точки, опре-
Поступила в редакцию 15 апреля 2004 г.
