CC BY
12
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 1 (2021). С. 17-30.
УДК 517.968.4
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ В КОМПЛЕКСНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С.Н. АСХАБОВ
Аннотация. Изучаются различные классы нелинейных интегральных уравнений типа свертки, возникающих в теории следящих систем, моделях популяционной генетики и других. Методом монотонных (по Браудеру-Минти) операторов доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений рассматриваемых уравнений в комплексных пространствах Лебега LP(R) при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности. При этом, в зависимости от рассматриваемого класса уравнений, предполагается, что либо р £ (1, 2], либо р £ [2, те). Условия, накладываемые на нелинейности, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемые ими операторы суперпозиции действовали из пространства LP(R), 1 < р < го, в сопряженное с ним пространство Lq(R), q = р/(р — 1), и были монотонными. В случае пространства L2(R), комбинированием метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений, показано, что решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и приведены оценки скорости их сходимости. Доказательства существенно используют установленные в работе критерий положительности (по Бохнеру) линейного интегрального оператора свертки в комплексном пространстве Лебега LP(R) при 1 < р ^ 2 и коэрцитивность оператора, обратного к нелинейному оператору Немыцкого. Полученные результаты в рамках пространства ¿2(R) охватывают, в частности, линейные интегральные уравнения типа свертки.
Ключевые слова: нелинейные интегральные уравнения, оператор свертки, критерий положительности, монотонный оператор, коэрцитивный оператор.
Mathematics Subject Classification: 45G10, 47J05
1. Введение
Решение многих задач современной математики, физики, механики и биологии приводят к нелинейным интегральным уравнениям типа свертки (см. монографии [1], [2] и приведенную в них библиографию). Например, общий класс нелинейных сервомеханизмов (следящих систем) описывается рассматриваемым в данной работе нелинейным интегральным уравнением типа свертки вида [3]:
оо
и(х) + j h(x — t)F[t,u(t)] dt = f (x), (1.1)
— о
которое возникает также в теории электрических сетей (сигнальной трансмиссии через общую электрическую сеть), содержащих нелинейные элементы (нелинейный резистор) [4].
S.N. Askhabov, Nonlinear convolution type integral equations in complex spaces.
© Acxabob C.H. 2021.
Работа поддержана РФФИ (грант 18-41-200001) и публикуется в рамках выполнения государственного задания в соответствии с Дополнительным соглашением от 07.07.2020 № 075-03-2020-239/2 реестр № 248 КБК 01104730290059611 (проект «Нелинейные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения и краевые задачи»).
Поступила 29 ноября 2020 г.
При f (х) = 0 уравнение вида (1.1) описывает детермениетичеекие модели пространственного распространения эпидемии, а также используется как математическая модель некоторых инфекционных заболеваний или как уравнение роста некоторых видов популяции [5], [6].
Известно, что теория линейных интегральных уравнений типа свертки в настоящее время достаточно хорошо разработана и ее основные результаты приведены, например, в монографии [7]. Что касается теории нелинейных интегральных уравнений типа свертки, то она находится в стадии развития и отличается от соответствующей линейной теории не только по методам исследования, но и по характеру получаемых результатов (подробнее, см. [1], [2]).
В последние десятилетия при исследовании нелинейных уравнений с положительными операторами широко используется метод монотонных операторов. К сожалению, как отмечено в монографии [8, глава 8, п. 8.3] оба термина «положительный» и «монотонный» используются в функциональном анализе в нескольких различных смыслах. Так, в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина и других (см., например, [9]) развита глобальная теория положительных решений нелинейных уравнений с монотонными (по Красносельскому) операторами в банаховых пространствах с конусами, а в работах Г. Минти, Ф. Браудера, Р.И. Качуровекого, М.М. Вайнберга и других (см., например, [10], [11]) построена теория решений (произвольного знака) нелинейных уравнений с монотонными (по Браудеру-Минти) операторами в рефлексивных пространствах. К настоящему времени опубликовано значительно больше работ, посвященных исследованию нелинейных интегральных уравнений типа свертки с монотонными по Красносельскому операторами, чем с монотонными по Браудеру-Минти операторами.
В данной работе методом монотонных (по Браудеру-Минти) операторов доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений для трех различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки в комплексных пространствах Лебега ЬР(К). При р =2 показано, что решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и приведены оценки скорости их сходимости. Доказательства существенно используют установленный в работе критерий положительности (по Бохнеру) интегрального оператора свертки. Полученные результаты в рамках пространства Ь2 (К) охватывают, в частности, линейные интегральные уравнения типа свертки.
Следует отметить, что в работе [12] изучены различные классы нелинейных интегральных уравнений типа свертки в вещественных пространствах Лебега 2 ^-периодических функций Ьр(-ж, ж) при любых значениях р € (1, то). Исследование этих уравнений в случае комплексных пространств Лебега ЬР(К) вызывает дополнительные трудности, связанные, в частности, с тем, что, в отличие от пространств Ьр(-п,п), они не являются вложенными друг в друга в зависимости от значений р, а также нахождением условий положительности оператора свертки и условий монотонности и коэрцитивности оператора суперпозиции. Оказалось, что эти условия существенно отличаются от известных в случае вещественных пространств Ьр(-ж,ж). Эти отличия приводят к тому, что, в зависимости от рассматриваемого класса нелинейных интегральных уравнений типа свертки, в случае комплексных пространств Ьр (К) приходится предполагать, что либо р € (1, 2], либо р € [2, то).
2. Критерий положительности интегрального оператора свертки
в комплексных пространствах лебега
Как известно [13, глава 9], теория непрерывных положительно-определенных (по Бох-неру) функций в настоящее время достаточно разработана и может рассматриваться как
одно из исходных орудий построения гармонического анализа, играя, в частности, важную роль в теории локально-компактных групп, С понятием положительно-определенной функции тесно связано понятие положительного оператора, нашедшее многочисленные применения при исследовании как линейных, так и нелинейных интегральных и дискретных уравнений в банаховых пространствах [1], [14], [15], [16],
В монографии [1, § 10] доказано, что для положительности в вещественном пространстве Лебега ЬР(К), где 1 < р ^ 2, интегрального оператора свертки Ни = к * и необходимо и достаточно, чтобы косинус-преобразование Фурье кс(х) его ядра к € ^(К) П ¿р/[2(р_1)] (К) было неотрицательной функцией на положительной полуоси [0, то),
В данном пункте установлено, что интегральный оператор свертки Н является положительным в комплексном пространстве Лебега Ьр (К) тогда и только тогда, когда реальная часть преобразования Фурье его ядра является неотрицательной функцией на всей числовой оси К,
Итак, рассмотрим в комплексном пространстве Лебега ЬР(К), 1 < р < то, интегральный оператор свертки
те
(Ни)(х) = J к(х — Ь)и(Ь) вй = (к * и)(х),
—те
где ядро к € ^(К), Для и € £Р(К) и V € Ьд(К) q = р/(р — 1), введем обозначения:
1/Р те
||w||p = I J lu(x)\pdx\ и (u,v) = J и(х) ■ v(x) dx.
\—те / —те
Если р = q = 2, то (u,v) = (u,v) есть обычное скалярное произведение в гильбертовом пространстве L2(R).
Обозначим через и(х) преобразование Фурье функции и G L2(R) (приводимые ниже сведения из теории преобразования Фурье см., например, в [17, глава VIII]):
N
u(x)=1.i.m. í u(t)e—xtdt, (2.1)
N^те у/2 ■К J —N
где символ l.i.m. означает предел в среднем с показателем р = 2 (т.е. в среднем квадра-
N ^те
тпчном).
Известно, что и G L2(R), если и G L2(R) и для любых u,v G L2(R) справедливо обобщенное равенство Парееваля (u,v) = (u,v), т.е.
J и(х) • у(х) dx = J и(х) • ь(х) ¿х, (2.2)
—те —те
где черта сверху означает комплексное сопряжение. Кроме того, если ядро к € Ь1(К), а. и € Ь2(К), то для преобразования Фурье свертки справедливо равенство:
(к * и)(х) = к(х) • и(х), (2.3)
те
- —ixt,
где h(x) = ,_ h(t)e гх dt (поскольку h(x) G Li(R), то выражение (2.1) упрощается).
V 2 -к J
Лемма 2.1. Пусть 1 < р ^ 2 и ядро к € ^(К) П Ьд/2(К), где д = р/(р — 1). Для того, чтобы, оператор свертки Н (действующий непрерывно из ЬР(К) в Ьд(К)^ был положительным, т.е. выполнялось неравенство:
Ие (Ни, и) = Ие / I / к(х — г)и(г) <И I и(х)Ах ^ 0, У и € ЬР(К), (2.4)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
сю
Ие ВД = —^Ие / к(£)е-^ ^ 0, Ух € К. (2.5)
V 2 ж J
-с
Доказательство. Достаточность. Так как к € ЬЯ/2(К), то из неравенства Юнга (см., например, [1, теорема 4.4]) непосредственно вытекает оценка
\\Ни\\, ^ \\к\\дП\\и\\р, Уи € Ьр(К). (2.6)
Значит, оператор свертки Н действует непрерывно из ¿Р(К) в Ьд(К).
Докажем положительность оператора свертки Н. Для этого рассмотрим отдельно два случая: р = 2 и 1 < р < 2.
1). Пусть р = 2. Тогда д = 2 и, то условию леммы 2.1, к € ^(К), Значит, в силу неравенства (2.6), оператор свертки Н действует непрерывно из ¿2(К) в Ь2(К). Используя равенства (2.2) и (2.3), имеем
(Ни,и) = I \j к(х — Ь)и(Ь) /И \ и(х) ¿х = j (к * и)(х) ■ и(х) ¿х
-с -с
сю сю
(Н^м ■ ад = V^ с км ■ ад ■ Щ ¿х = —я с к*) ■ №)|2
Значит.
Ие (Ни, и) = v/2W Ие Н(х) ■ |и(ж) |2 йх. (2.7)
-с
Из равенства (2.7) следует, что Ие (Ни, и) ^ 0 для любо го и € Ь2(К), если Ие Н(х) ^ 0 для почти всех х € К. Так как, по теореме Римана-Лебега, Н(х) есть непрерывная на всей оси К функция, то уеловие, что Ие Н(х) ^ 0 для почти всех х € К равносильно условию, что Ие к(х) ^ 0 для всех х € К.
Таким образом, если к € ^(К) и Ие к(х) ^ 0 для всех х € К, то
Ие(Ни,и) ^ 0, У и € ¿2(К). (2.8)
2). Пусть теперь 1 < р < 2, к(х) € Ь1(К) П Ьд/2(К) и выполняется условие (2.5). Так как к(х) € Ь1(К), то па основании неравенства (2.8), имеем
Ие (Ни,и) ^ 0, У и(х) € Ь2(К) П ЬР(К). (2.9)
С другой стороны, в силу неравенства Гельдера и неравенства Юнга (2.6), для любого и € Ьр(К) имеем:
\(Ни,и)\ ^ \\Ни\\д\\и\\р ^ \МФ\\и\\2р, т.е. функционал (Ни, и) непрерывен в ЬР(К). Поскольку множество Ь2(К) П ЬР(К) всюду плотно в классе ЬР(К) и (Ни,и) есть непрерывный функционал, то неравенство Ие (Ни, и) ^ 0 , т.е. неравенство (2.9), выполняется для любого и € ЬР(К).
Необходимость. Докажем теперь, что условие (2,5) так же и необходимо для положительности оператора Н. Пусть неравенство (2,4) выполнено. Нужно доказать, что тогда Ие Н(х) ^ 0 для всех х € К, т.е. выполнено условие (2,5), Допустим противное, что условие (2,5) не выполняется, т.е. существует точка х0 € К такая, что Ие Ъ{х0) < 0, Поскольку, по теореме Римана- Лебега, Ие Н(х) есть непрерывная на в сей оси К функция, то найдется достаточно малая е-окреетноеть ие(х0) = {х : |ж — х01 < е}, е > 0 точки х0 такая, что будет выполняться неравенство
Ие Н(х) < 0, V х € и£(х0).
Выберем целую функцию и такую, что € ЬР(К), и(х) = 0 для х € ие(х0) а и(х) = 0, если х € ие(х0). Тогда, учитывая, что Vx € ие(х0) выполняются строгие неравенства Ие Н{х) < 0 и |м(ж)| > 0 п0 формуле (2.7) для так выбранной функции и(х) получим
те
Ие (Ни,и) = И = \ Ие вд Чвд|2 о,
-те и£(хо)
что противоречит неравенству (2,4), которое по предположению выполнено для любого и € 1Р(К). ' □
При исследовании нелинейных интегральных уравнений типа свертки вида (1.1) нам понадобится также следующая лемма, двойственная лемме 2,1,
Лемма 2.2. Пусть р ^ 2 и ядро к € ^(К) ПЬР/2(К). Для того, чтобы, оператор свертки Н (действующий непрерывно из Ья(К) в ЬР(К)) был положительным, необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие (2.5).
Доказательство леммы 2,2 проводится точно так же, как и доказательство леммы 2,1,
3. Теоремы существования и единственности решения в Ьр(К)
Приведем определения, обозначения и некоторые результаты из теории монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, используемые в данной статье.
Пусть X - комплексное банахово пространство и X* - сопряженное с ним пространство. Обозначим через (у, х) значение линейного непрерывного функционала у € X* на элементе х € X, а через || ■ || и || ■ ||* нормы в X и X*, соответственно. В частности, если X есть гильбертово пространство Н, то (у, х) совпадает со скалярным произведением (у ,х), где х,у € Н.
Определение 3.1. Пусть и,и € X - произвольные элементы. Оператор А : X ^ X* (т.е. действующий из X в X*) называется: монотонным, если Ие ( Аи — Аи,и — и) ^ 0; строго монотонным, если, Ие ( Аи — Аи, и — и) > 0 щи и = и; сильно монотонным, если Ие ( Аи — Аи,и — и) ^ т ■ ||и — и^2, т > 0; коэрцитивным, если
Ие ( Аи,и) 11т --—--= то;
||м||^те ||и||
липшиц-непрерывным, если ||Аи — Аи||* ^ М ■ ||и — и^, М > 0;
хемннепрерывным, если функция 8 ^ (А(и + 5 ■ и), т) непрерывна на [0,1] при любых фиксированных и,и,т € X;
демннепрерывным, если, из сильной сходимости, ип ^ и в X следует слабая, сходим,ость Аип-?- Аи в X *.
Если А - линейный оператор, то определение монотонного, строго монотонного и сильно монотонного оператора совпадает, соответственно, с определением положительного, строго положительного и сильно положительного (положительно определенного) оператора [10, §1].
Известно [11, Замечание 1.8, глава III], что для монотонных операторов понятия хемп-непрерывность и демпнепрерывность, являющиеся ослаблением обычного понятия непрерывности, совпадают.
Основной в теории монотонных операторов является следующая теорема Ф. Брауде-ра и Г. Минти [11, §2, глава III] (в случае комплексных пространств X она доказана в [10, § 18] и [18, Теорема 1.1, глава II]).
Теорема 3.1. Пусть X есть рефлексивное банахово пространство и оператор А : X ^ X * является хеминепрерывным, монотонным и коэрцитивным,. Тогда, уравнение Аи = £ имеет решение и* € X для, любого f € X*. Это решение единственно в X, если А - строго монотонный оператор.
Обозначим через С множество всех комплексных чисел, а через Ь+ (К) - множество всех неотрицательных функций из ЬР(К). Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции (часто называемый оператором Немыцкого [10]) (Ьи)(х) = Ь[х,и(х)].1 порожденный комплекенозначной функцией Ь(х, г) : К х С ^ С, удовлетворяющей известным условиям Каратеодори: она измерима по ж € К при каждом фиксиро ванном г € Си непрерывна по г почти для всех х € К.
Выпишем для удобства ссылок все ограничения на функцию Ь(х,г).; определяющую нелинейность исследуемых в этом пункте уравнений. Именно в зависимости от рассматриваемого класса нелинейных интегральных уравнений типа свертки, будем накладывать на нелинейность Ь(х, г) либо условия 3,1)—3,3), либо условия 3,4)—3,6), где всюду р € (1, то):
3.1) существуют с € £+(К) и ¿1 > 0 такие,что для почт и всех х € К и любо го х € С выполняется, неравенство:
^(х,г)1 ^ с(х) + ^ ■ 1г|р-1;
3.2) для, почти всех х € К и всех г1,г2 € С выполняется неравенство:
Ие {[^(х,г1) — Ь(х,ъ)]^(г1 — ъ)} > 0;
3.3) существуют И € £+(К) м ¿2 > 0 такие, что для почт и всех х € К и всех г € С выполняется неравенство:
Ие [Ь(х,г) ■г} ^ А2 ■ ^ — Б(х);
3.4) существуют д € Ь+ (К) м > 0 такие, что для почт и всех х € К и любо го х € С выполняется неравенство:
^(х,г)| ^ д(х) + йз ■ |г|1/(р-1);
3.5) для, почти всех х € К и всех х1,х2 € С выполняется неравенство:
Ие {[Ь(х, ¿1) — Ь(х, ¿2)] ■ — ¿2)} > 0;
3.6) существуют И € £+(К) м ¿4 > 0 такие, что для почт и всех х € К и всех г € С выполняется неравенство:
Ие [Ь(х,г) ■г} ^ й4 ■ ^^ — Б(х).
Заметим, что если выполнены условия 3,1)—3,3), то оператор Немыцкого Ь, порожденный функцией Ь(х, г), действует из Ьр(К) в Ья(К) и является непрерывным, монотонным и коэрцитивным оператором. Если же выполнены условия 3,4)—3,6), то оператор Ь действует
наоборот из Ьд (К) в Ьр(К) и является непрерывным, строго монотонным и коэрцитивным оператором (см., например, [1, §2]),
Простейшим примером функции Ь(х,г), удовлетворяющей условиям 3,1)-3,3), может служить Ь(х, г) = г - |^|р-2, где р ^ 2 есть любое число, В самом деле, выполнение условий 3,1) и 3,3) для такой функции очевидно, при этом = ||и||р-1, Ие (Ьи,и) = ||и||р.
Проверим выполнимость условия 3,2) при р > 2 (выполнение этого условия при р = 2 очевидно). Для любых г1 = х1 + гу1 и г2 = х2 + гу2.; имеем:
[Ь(х,г1) - Ь(х,г2)] ■ - ¿2] = Ыр - ЫР-2^1 - Ыр-2¿2^ + Ыр.
Так как
Ие(^1 = Ие^Ж) = Х1Х2 + ут ^ ^(ж? + ^2 + у2 + у%) = -1 (|12 +
то
Ие {[Ь(х,г1) - Ь(х,ъ)]^[г1 - ^ = к|р + Ыр - (2^2 + УтШГ2 + ЫР-2)
^ Ыр + Ыр - 2(к|2 + ы2)(к|р-2 + ыр-2) = 1(Ыр-2 -Ыр-2)(к12 -Ы2) ^ 0,
т.е. выполнено условие 3,2),
Рассмотрим сначала наиболее простое для исследования методом монотонных операторов уравнение, в которое нелинейный оператор суперпозиции и линейный оператор свертки входят как слагаемые.
Теорема 3.2. Пусть 1 < р ^ 2, ядро к € Ь1(К) П Ьд/2(К) и удовлетворяет условию (2.5). Если нелинейность Ь(х,г) удовлетворяет условиям 3.1)—3.3), то уравнение
сю
Ь[х,и(х)]+ к(х - г)и(г) сИ = f (х) (3.1)
имеет решение и* € Ьр(К) при любом, f € Ья(К). Это решение единственно, если вместо условия 3.2) выполнено условие 3.5). При этом,, если, условие 3.3) выполнено с Б(х) = 0, справедлива, оценка:
Ци*Цр ^ (^ и||,)1/(р-1)
Доказательство. Запишем уравнение (3.1) в операторном виде: Аи = /, где А = Ь + Н. Из условий 3.1)—3.3) вытекает, что оператор суперпозиции Ь, порожденный функцией Ь(х, г), действует из £р(К) в Ья(К) и является непрерывным, монотонным и коэрцитивным оператором, причем он является строго монотонным оператором, если выполнено условие 3.5). Из леммы 2.1 вытекает, что оператор свертки Н также действует из £р(К) в Ья(К) и является непрерывным и положительным (или, что то же самое, монотонным, в силу его линейности) оператором. Значит, оператор А действует непрерывно (а значит и хемине-прерывно) из рефлексивного пространства £р (К) в сопряженное с ним пространетво Ьд (К) и является монотонным и коэрцитивным оператором, причем он является строго монотонным оператором, если выполнено условие 3.5). Поэтому, в силу теоремы 3.1 (Браудера-Минти), уравнение Аи = /, а значит и уравнение (3.1), имеет решение и* € Ьр(К) и это решение единственно, если выполнено условие 3.5).
Осталось доказать оценку нормы решения. Пусть и* € ЬР (К) есть решение уравнения (3,1), т.е. Аи* = f. Используя сначала условие 3,3) при И(х) = 0, а затем положительность оператора свертки равенство Аи* = / и неравенство Гельдера, имеем
¿2 ■ ||и* ЦРр ^ Ие ( Ри*,и*) ^ Ие (Ри*,и*) + Ие (Ни*, и*) = = Ие (Аи*,и*) = Ие (¡,и*) ^ иЦ^Ци*Цр,
откуда непосредственно вытекает доказываемая оценка, □
Следует отметить, что оператор Немыцкого И является одним из немногих нелинейных операторов, для которых известны критерии их поведения. Так, например, условие 3,1) необходимо и достаточно для того, чтобы оператор И действовал из ЬР (К) в сопряженное с ним пространство Ьд(К) д = р/(р — 1), и был непрерывным, а условие 3,2) необходимо и достаточно для того, чтобы этот оператор был монотонным (ср. [10]), Благодаря этим критериям, при выполнении условий 3,1), 3,2) и 3,5), удается доказать существование, хеминепрерывноеть, строгую монотонность и, что особенно важно для доказательства следующих двух теорем, корцитивноеть обратного оператора И-1,
Приступим теперь к исследованию уравнения вида (1.1), относящемуся к известному классу нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, Следует отметить, что метод монотонных (по Браудеру-Минти) операторов применялся к нелинейным интегральным уравнениям вида (1.1) с общим ядром к(х, ¿), вместо разностного ядра к(х — ¿), во многих работах (см., например, [10], [19], [20]), однако в этих работах заведомо предполагается, что линейный интегральный оператор с ядром к(х, ¿) действует из пространства Лебега в сопряженное с ним пространство и является положительным, но не приводятся условия, при которых этот оператор обладает такими свойствами, В случае разностного ядра к(х — ¿) указанные условия представлены в следующей теореме.
Теорема 3.3. Пусть р ^ 2, ядро к € Ь1(К) П ЬР/2(К) и удовлетворяет условию (2.5). Если нелинейность И(х, г) удовлетворяет условиям 3.1), 3.3) и 3.5), то уравнение
те
и(х)+ к(х — [г ,и(г)](И = ¡(х) (3.2)
имеет единственное решение и* € ЬР(К) при любом, f € ЬР(К). При этом,, если, условия 3.1) и 3.3) выполняются с с(х) = 0 и Б(х) = 0, справедлива, оценка:
Ци*Цр ^ ^ ■ЦЩр.
Доказательство. Из условий 3.1), 3.3) и 3.5) вытекает, что оператор суперпозиции И отображает пространство £Р(К) на все пространство Ьд(К), непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен, В силу леммы 2.1 из [1], существует обратный оператор И-1, отображающий Ья(К) на ЬР(К), хеминепрерывный, строго монотонный и коэрцитивный, С учетом леммы 2,2 имеем, что оператор А = И-1 + Н действует из Ья(К) в ЬР(К), хеминепрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Значит, на основании теоремы 3,1 (Браудера-Минити), уравнение Аи = f имеет единственное решение и* € Ьд(К) при любом $ € ЬР(К). Но тогда и* = И-1 и* € ЬР(К) является решением уравнения и + НИи = /, т.е. данного уравнения (3,2) и оно единственно, в силу условия 3.5).
Осталось доказать оценку нормы решения. Пусть и* € ЬР(К) есть решение уравнения (3.2), т.е. и* + НИи* = f. Используя сначала условие 3.3) при И(х) = 0, а затем положительность оператора свертки равенство и* + НИи* = /, неравенство Гельдера и условие
3,1) при с(х) = 0, имеем
(12 • \\и*\\рр ^ Яе (и*,Ьи*) (и*, Ьи*) + Яе (НЬи*,Ьи*) = Яе (и* + НЬи*, Ьи*)
=Яе (и*) ^ ^ • \ДР • \\Ьи*\\д ^ ¿1 • \\f\p • \\и*Гр-1, откуда непосредственно вытекает доказываемая оценка, □
Следующая теорема отличается от теорем 3,2 и 3,3 как по характеру ограничений накладываемых на нелинейность Ь(х, г), так и по структуре доказательства.
Теорема 3.4. Пусть 1 < р ^ 2, ядро к € Ь^Ж) П Ьд/2(Ж) и удовлетворяет условию (2.5). Если нелинейность Ь(х, г) удовлетворяет условиям 3.4)-3.6), то уравнение
и(х) + Ь
х, к(х — ¿)и(£) М
= Кх) (3.3)
имеет единственное решение и* € Ьр(Ж) при, любом, f € ЬР(Ж). При этом,, если, условия 3-4-) и 3.6) выполняются с д(х) = 0 и Б(х) = 0, справедлива, оценка:
\\и% ^ + 1) •\\Д\Р.
Доказательство. Из условий 3.4)—3.6) вытекает, что оператор суперпозиции Ь отображает сопряженное пространство Ьд(Ж) на исходное проетранетво ЬР(Ж), в котором ищется решение уравнения (3.3), и является непрерывным, строго монотонным и коэрцитивным оператором. В силу леммы 2.1 из [1], существует обратный оператор Ь-1, отображающий Ьр(Ж) па Ьд(Ж), хеминепрерывный, строго монотонный и коэрцитивный. С учетом доказанной выше леммы 2.1 имеем, что оператор А = Ь-1 + Н действует из ЬР(Ж) в Ьд(Ж), хеминепрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Значит, на основании теоремы 3.1 (Браудера-Минити), уравнение Аи = Нf7 где Нf € Ьд(Ж), согласно лемме 2,1, имеет единственное решение V* € ЬР(Ж) при любом f € ЬР(Ж), Но тогда и* = / — V* является решением уравнения и + ЬНи = /, т.е. данного уравнения (3,3), и это решение единственно, в силу условия 3.5).
Осталось доказать оценку нормы решения. Пусть и* € ЬР(Ж) есть решение уравнения (3.3), т.е. и* + ЬНи* = f. Используя условие 3.4) при д(х) = 0, имеем
\\и* — П\р = \\ЬНи*\\р ^ 4 Л\Ни*Г~\ (3.4)
Далее, так как (и* + ЬНи*, Ни*) = (¡, Ни*), то в силу положительности оператора свертки Н
Яе ( ЬНи*, Ни*) ^ Яе (и* + ЬНи*,Ни*) = Яе (/,Ни*) ^ \\/\\р • \\Ни*\\д. (3.5) С другой стороны, используя условие 3.6) при И(х) = 0, имеем
Яе ( ЬНи*, Ни*) ^ • \\Ни*\\дд. (3.6)
Сравнивая неравенства (3.5) и (3.6), получаем оценку \\Ни*\\^-1 ^ /З-1 • \\f\p. Но тогда из неравенства (3.4) следует, что \\и* — ¡\\р ^ •й--1 • \\f\p. Поскольку \\и*\\р — \\f\p ^ \\и* — /\\р, то из последнего неравенства непосредственно вытекает доказываемая оценка. □
Заметим, что при р = 2 теоремы 3.2-3.4 охватывают, в частности, и случай линейных интегральных уравнений типа свертки. Кроме того, из полученных в теоремах 3.2-3.4 оценок для норм решений непосредственно вытекает, что при /(х) = 0 уравнения (3,1)-(3,3) имеют в ЬР(Ж) лишь тривиальное решение и*(х) = 0,
4. Приближенное решение уравнений в Ь2(К)
В предыдущем пункте доказаны теоремы 3,2-3,4 о существовании, единственности и оценках решений уравнений (3.1)—(3.3). Однако эти теоремы не содержат информации о том, как можно найти решения указанных уравнений, В данном пункте, комбинируя метод монотонных (по Браудеру-Минти) операторов и принцип сжимающих отображений (ср. [11, глава III, теорема 3,4]), доказывается, что решения нелинейных интегральных уравнений типа свертки (3.1)—(3.3) могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровекого типа в комплексных пространствах Ь2(К),
Теорема 4.1. Пусть ядро к € Ь1(К) и удовлетворяет условию (2.5). Если нелинейность И(х, г) удовлетворяет условиям:
4.1) существует число М > 0 такое, что для, почти всех х € К и всех г1, г2 € С выполняется неравенство:
\И(х, ¿1) — И(х, ^ м ■!¿1 — 221;
4.2) существует число т > 0 такое, что для, почти всех х € К и всех г1, х2 € С выполняется, неравенство:
Ие |[И(х, ¿1) — И(х, зг)] ■ (^ — > т ■\^ — ^Р,
то уравнение (3.1) имеет единственное решение и* € Ь2(К) при любом, f € Ь2(К). Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:
ип = ип-1 — р1 ■ (Иип-1 + Нип-1 — /), п € N (4,1)
причем, справедлива, оценка скорости их сходимости:
ап
К — иЪ < ■ ||Иио + Нщ — /||2, (4.2)
1 — а1
где р1 = т ■ (М + ЦкЦ^)-2, а1 = у/1 — т ■ р1; и0 € Ь2(К) - произвольная, функция.
Доказательство. Запишем уравнение (3.1) в операторном виде: Аи = /, где А = И + Н. Из условий 4.1)—4.2) вытекает, что оператор суперпозиции И, порожденный функцией И(х, г), действует из £2(К) в Ь2(К) и является липшиц-непрерывным и сильно монотонным оператором, причем Уи,и € Ь2(К) выполняются неравенства:
ЦАи — Аи || 2 ^ ( М + 11к11) ■ Ци — и^, Ие (Аи — Аи, и — и) ^ т ■ Ци — и!?,.
Поскольку сильная монотонность оператора влечет за собой его строгую монотонность и коэрцитивноеть, то по теореме 3.1 (Браудера-Минти) уравнение Аи = /, т.е. данное уравнение (3.1), имеет единственное решение и* € Ь2(К).
Осталось доказать, что это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле (4.1) с оценкой скорости их сходимости (4.2). Для этого заменим уравнение Аи = / на эквивалентное уравнение и = Фи, где Фи = и — р ■ (Аи — /) и р > 0 любое (пока) число. Очевидно, что оператор Ф действует из £2(К) в Ь2(К) и
ЦФи — Фи||2 =(и — и — р ■ (Аи — Аи),и — и — р ■ (Аи — Аи))
= Ци — г;||2 — 2р ■ Ие (Аи — Аи,и — и) + р2 ■ ЦАи — Аи||2
1 — 2р ■т + р2 ■ (М + ЦВД2) ■ Ци — уЩ.
Легко проверить, что выражение 1 — 2р ■ т + р2 ■ (М + ||к| 1)2 принимает наименьшее значение, равное 1 — т2 ■ (М + ЦкЦ^)-2, при р = р^ Выбрав указанное р, получаем
ЦФи — Фи || 2 ^ «1 ■ Ци — ьЦ2,
где а1 = у/1 — т ■ р1 € (0,1).
Следовательно, оператор Ф является сжимающим и поэтому формула (4,1) и оценка (4,2) непосредственно вытекают из принципа сжимающих отображений Банаха, □
Доказательство теорем, подобных теореме 4,1, для уравнений (3,2) и (3,3) вызывают дополнительные трудности, которые приводят к тому, что последовательные приближения и оценки скорости их сходимости содержат оператор F-1, обратный оператору F. А именно, справедливы следующие две теоремы.
Теорема 4.2. Пусть ядро h Е L1(R) и удовлетворяет условию (2.5). Если нелинейность F(х, z) удовлетворяет условиям 4-1) и 4-2), то уравнение (3.2) имеет единственное решение и* Е L2(R) при любом f Е L2(R). Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:
ип = F-1 ип, ип = un-i - ß2 • (F-1 vn-i + Hun-i - f), n Е N, (4,3)
где ß2 = m/[M • (m-1 + Hh^)]2, F-1 есть оператор, обратный, к F. При этом, справедлива, оценка скорости сходимости, последовательных приближений:
Нип -и* H2 ^ ß2 • • HF-1vo + Hua - fH2, (4.4)
m 1 - a2
где a2 = \A - m • ß2/M2, v0(x) Е L2(R) - произвольная функция.
F
из L2(R) в L2 (R) и является строго монотонным, хеминепрерывным, коэрцитивным и ограниченным оператором, т.е. удовлетворяет всем требованиям теоремы 1,9 [1]. Значит, существует обратный оператор F-1, действующий из L2(R) в L2(R), причем (ср. [11, глава III, следствие 2,3]) Уи,и Е L2(R) выполняются неравенства:
HF-1u -F-1u Н2 ^ - •Ни -v\\2, (4.5) m
Re ( F-1и - F-1и, и - и) ^ m •Hu - и H2. (4.6) Запишем данное уравнение (3.2) в операторном виде:
и + HFu = f. (4.7)
В силу теоремы 3.3 оно имеет единственное решение и* Е L2(R), Осталось доказать, что
и*
уравнением (4,7) рассмотрим вспомогательное уравнение
Фи = f, и Ф = F-1 + H. (4.8)
Очевидно, что если и Е L2(R) является решением уравнения (4.8), то и* = F-1 и* Е L2 (R) является решением уравнения (4.7). Поэтому достаточно доказать, что уравнение (4.8) имеет единственное решение и* Е L2(R), причем его можно найти по формуле (4.3) и справедлива оценка (4.4). Используя неравенство HHНи\\2 ^ HhК • HHu||2, являющееся следствием неравенства Юнга (2.6), лемму 2.1 и оценки (4.5) и (4.6), Уи,и Е L2(R) имеем
H H Фи - Фи 11 2 ^ (m-1 + H H h H H 1) 4 H и -и H H 2, (4.9)
m
Re (Фи - Фи ,и - и) ^ — • H Hu -и H2. (4.10)
Далее, заменяя уравнение (4.8) на эквивалентное уравнение
и = Фи, где Фи = и - ß • (Фи - f), ß > 0,
как и при доказательстве теоремы 4,1, используя оценки (4,9) и (4,10), получим ||Фи - Фv||2 =(и -v - j • (Фи - Фу),и - v - j • (Фи - Ф^
= ||и - VH2 - 2j • Re (Фи - Фу,и - v) + j2 • ||Фи - ФуЦ\ ^(1 - 2j • М + J2 • (т-1 + ||^|i)2) • Ци -VW2. Из условий 4,1) и 4,2) вытекает, что m ^ М. Так как -1/т ^ -т/М2, то
1 2 1 . „ m - + J2 • —
m m2
0 ^ 1 - 20 • + ¡j2 • — ^ 1 - 20 • М2 + J2 • (m-1 + Mi)2 < 1,
если
2 i 2 m m 1
j2 • (m-1 + цщ1)2 < 2j •—, т.е. j< 2— •
М2' " " ^ М2 (т-1 + \\к\\1)2' Поэтому, выбрав 0 = 02, получим
т
1 — 20 • м + 02 • (т-1 + \\к\Ь)2 = 1 — т • 02/М2. 0
\\Фи — Фг;\\2 ^ а2 • \\и — у\\2,
где а2 = а/1 — т02/М2 € (0,1),
Следовательно, на основании принципа сжимающих отображений, уравнение V = Ф^, а значит, и уравнение (4,8), имеет единственное решение ^*(х) € Ь2(Ж), причем последовательность
Уп = ФУп-1 = Уп-1 — 02 • (Ньп-1 + Ь-1 ьп-1 — /), т.е. последовательность (4,3), сходится к ^*(х) и
пп пп
\\^п — \\ 2 ^ —^ • \Ф 0 — ^0 \ \ 2 = 02 • \Но + Ь-1Ьа — П\2. (4.11)
1 — а2 1 — а2
Наконец, замечая, что V* = Ьи*, и используя неравенства (4,5), (4,6), для решения и* = Ь-1 V* € Ь2 (Ж) уравнения (3,2) получаем
\К — и* \\2 =\\Ь-\п — Ь-1 V* \2 ^ - • \\^ — ^\\2
т
^ 02 •-Т^ • \\Нь 0 + Ь-1Ь0 — П\2, т 1 — а2
т.е. справедливо неравенство (4,4), □
Теорема 4.3. Пусть ядро к € Ь1 (Ж) и удовлетворяет условию (2.5). Если нелинейность Ь(х, г) удовлетворяет условиям 4-1) и 4-2), то уравнение (3.3) имеет единственное решение и* € Ь2(Ж) при, любом, f € Ь2(Ж). Это решение можно найти м,етодом, последовательных приближений по формуле:
ип = ип-1 +02 • (Ь-1а — ип-1) — Нип-1), п € N (4.12)
где 02 = т/[М • (т-1 + \\к\1)]^ Ь-1 есть оператор, обратный к Ь. При этом, справедлива, оценка скорости сходимости последовательных приближений:
пп
\\ип — и*\\2 ^ 02 • \\Ь-1а — щ) — Нщ\\2, (4.13)
1 — ®2
где а2 = а/1 — т • 02/М2, и0 € Ь2(Ж) - произвольная функция.
Доказательство. Запишем уравнение (3,3) в операторном виде
и + РНи = (4.14)
В силу теоремы 3.4 оно имеет единственное решение и* Е Ь2(К). Осталось доказать, что
и*
$ — и = V. Тогда уравнение (4.14) примет вид РН— у) = у. Применив к обеим частям последнего уравнения оператор Р-1, существование которого установлено в доказательстве теоремы 4.2, приходим к уравнению
Фу = Н/, где Фу = Р-1у + Ну. (4.15)
т.е. к уравнению вида (4.8).
Далее, заменив уравнение (4.15) на эквивалентное
у = Ву, где Ву = у — ^ • (Фи — Н/), ^ > 0,
точно так же, как и при доказательстве теоремы 4.2, выбрав ^ = получим
| | Ви — Ву ||2 ^ «2 • |\и — у||2.
Следовательно, на основании принципа сжимающих отображений, уравнение у = Ву, а значит, и уравнение (4.5), имеет единственное решение у* = / — и* Е Ь2(К), причем последовательность
Уп = Уп-1 — ^2 • (ФЬп-1 — Н/) = Уп-1 — ^2 • (Р-1 Ьп-1 + НУп-1 — Н/) (4.16)
сходится к и* и
| | Уп — V* 11 2 ^ ^2 • —^ • | |Р-1ЗД + НУо — Н! || 2. (4.17)
1 — «2
Но тогда и* = / — у* Е Ь2(К) является (единственным) решением уравнения (4.14) и, в силу связи уп = / — ип, из (4.16) и (4.17) получаем
/ — ип = ! — ип-1 — ^2 • (Р-1(/ — ип-1) — Нип-1) , ап
| | ип — U*||2 ^ ^2 • —^ • |^-1(/ — ио) — Нио||2, 1 — «2
т.е. справедливы утверждения (4.12) и (4.13). □
В заключение отметим, что аналогичные результаты можно получить (см. введение) в случае вещественных пространств Ьр(—ж, ж) без ограничений на р Е (1, то), в отличие от теорем 3.2-3.4, а также для соответствующих нелинейных дискретных уравнений типа свертки как в вещественных, так и комплексных пространствах числовых последовательностей 1Р (см., соответственно, [21] и [22]). При этом важную роль играют условия положительности операторов свертки, приведенные в [16].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. С.Н. Асхабов. Нелинейные уравнения типа свертки. М.: Физматлит. 2009.
2. Н. Brunner. Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications. Cambridge: Cambr. Univ. Press. 2017.
3. V.E. Benes. A nonlinear integral equation from the theory of servo-mechanisms // Bell. System. Techn. J. 40:5, 1309-1321 (1961).
4. V.E. Benes. A nonlinear integral equation in the Marcinkiewicz space M2 //J- Math. Phvs. 44:1, 24-35 (1965).
5. O. Diekman. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biol. 6:2, 109-130 (1978).
6. O. Diekman, H.G. Kaper. On the bounded solutions of nonlinear convolutions equation // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 2:6, 721-737 (1978).
7. Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. Уравнения типа, свертки. М.: Наука. 1978.
8. В. Хатсон, Дж. Пим. Приложения функционального анализа, и теории операторов. М.: Мир. 1983.
9. М.А. Красносельский. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматлит. 1962.
10. М.М. Вайнберг. Вариационный мет,од и мет,од монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука. 1972.
11. X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978.
12. С.Н. Асхабов. Периодические решения уравнений типа свертки с монотонной нелинейностью II Уфимский матем. журнал. 8:1, 22-37 (2016).
13. Р. Эдварде. Ряды, Фурье в современном изложении. Том 1. М.: Мир, 1985.
14. A.M. Нахушев. Дробное исчисление и его применение М.: Физматлит. 2003.
15. D. Porter, D. Stirling. Integral equations. A practical treatment, from spectral theory to applications. Cambridge: Cambr. Univ. Press. 1990.
16. S.N. Askhabov. Positivity Conditions for Operators with Difference Kernels in Reflexive Spaces // Journal of Math. Sciences. 250:5, 717^727 (2020).
17. A.H. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа,. М.: Физматлит. 2004. 572 с.
18. Ю.А. Дубинский. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Современные проблемы математики. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. 9, 5-130 (1976).
19. Н. Brezis, F.E. Browder. Some new results about Hammerstein equations // Bull. Amer. Math. Soc. 80:3, 567-572. (1974).
20. H. Brezis, F.E. Browder. Nonlinear integral equations and system,s of Hammerstein type // Advances in Math. 18, 567-572 (1975).
21. С.Н. Асхабов, H.K. Карапетянц. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью ¡I Дифференц. уравнения. 25:10, 1777^1784 (1989).
22. S.N. Askhabov, N.K. Karapetian. Convolution Type Discrete Equations with Monotonous Nonlinearity in Complex Spaces //J. Integral Equat. Math. Phvs. 1:1, 44-66 (1992).
Султан Нажмудинович Асхабов, Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32, 364024, г. Грозный, Россия
Чеченский государственный педагогический университет,
пр. Исаева, 62,
364068, г. Грозный, Россия
E-mail: askhabov@yandex. ru
