CC BY
61
УДК 330.356
НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ
И СБЕРЕЖЕНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИКЕ УКРАИНЫ
Р. М. НИЖЕГОРОДЦЕВ,
доктор экономических наук, заведующий лабораторией экономической динамики и управления инновациями E-mail: bell44@RambleR.Ru Институт проблем управления РАН
Н. П. ГОРИДЬКО,
старший преподаватель кафедры высшей математики и информационных технологий E-mail: hoRidko@mail.Ru Черкасский институт банковского дела Университета банковского дела Национального банка Украины
В статье построены нелинейные регрессионные модели потребления и сбережения для экономики Украины с учетом данных кризисного периода, которые позволяют более адекватно отобразить зависимость уровня потребления и сбережения от располагаемого дохода макроэкономической системы.
Ключевые слова: потребление, сбережение, регрессионная модель, нелинейная аппроксимация, макроэкономическое моделирование.
Моделирование конечного потребления и валового сбережения является необходимой предпосылкой изучения тенденций развития макроэкономической ситуации в стране. Для построения функций потребления и сбережения используются в основном линейные регрессионные модели. Но оказалось, что для экономики Украины с учетом кризисного периода адекватную модель валовых сбережений подобного рода построить не удается.
Отдельные теоретические аспекты исследования потребления и сбережения рассмотрены украинскими учеными С. Будаговськой, В. Гейцем,
Б. Кваснюком, С. Панчишиным, М. Савлуком, Т. Смовженко и др. [1-3]. Регрессионные методы для анализа современных макросистем России и Казахстана использованы в трудах российских ученых Р. Нижегородцева, О. Поляковой [4, с. 164-167; 5, с. 83-88; 6, с. 15-18; 7, с. 152-163], но и в них не предполагалась возможность применения нелинейных функций для моделирования уровня потребления и сбережения.
По традиционной кейнсианской теории потребление и сбережение являются функциями дохода или валового выпуска. Для данного исследования примем зависимость потребления и сбережения от совокупного располагаемого дохода макросистемы (ВВП за исключением налогов). При этом будем использовать следующие обозначения: Сп - уровень потребления текущего года; Бп - уровень сбережения текущего года; Уп - ВВП текущего года; Тп - объем прямых налогов, собранных в текущем году.
Динамические данные для расчетов соответствующих показателей, приведенные к сопоставимым ценам относительно стабильного 2001 г.,
приведены ниже в таблице. Статистической базой исследования является информация Государственного комитета статистики Украины и Национального банка Украины за 2000-2009 гг. [8-10].
Динамика показателей макросистемы Украины в ценах 2001 г.
Валовое сбережение, млрд грн. Конечные Налоги за
Год ВВП, млрд потребительские исключением субсидий на
грн. расходы, продукты,
млрд грн. млрд грн.
и У п £ п С п т п
2000 186,9 46,0 140,7 28,4
2001 204,2 52,2 156,3 23,7
2002 214,9 59,6 162,1 23,4
2003 232,7 65,5 177,6 23,9
2004 263,2 83,8 187,5 24,5
2005 270,7 69,5 207,2 32,4
2006 290,7 67,8 227,0 37,4
2007 313,8 77,1 243,2 37,4
2008 320,9 66,8 256,9 41,9
2009 272,3 45,2 230,5 59,5
Млн грн. 300 000
250 000
200 000
С
150 000
100 000
50 000
0
150 000 170 000 190 000
210 000 230 000 У - т
Рис. 1. Зависимость уровня потребления от совокупного располагаемого дохода, млн грн.
Млн грн, 90 000
80 000
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
150 000
170 000 190 000
250 000 270 000 290 000
210 000 230 000 У - т
Рис. 2. Зависимость уровня сбережения от совокупного располагаемого
дохода, млн грн.
Нелинейная факторная регрессия с одним членом
Для определения типа возможной нелинейной функции, которой возможно охарактеризовать изменение исследованных показателей, рассмотрим графики зависимости уровня конечного потребления и уровня сбережения от ВВП после исключения налогов (рис. 1, 2).
Исходя из формы линии тренда, выпуклой вверх (за счет значений кризисных годов), авторы пришли к выводу о возможности логарифмической зависимости С от (У - Т).
После определенных преобразований получена логарифмическая модель потребления:
С = 193,702 ■ 1п (У - Т) - 2 184,268. (1)
п ' х п п '
Для нее Я2 = 0,815; ^-критерий значимый, Р-значения с вероятностью 99,9 % свидетельствуют о должном уровне доверия к коэффициентам регрессии (форма 1). Таким образом, модель адекватна. Для уровня сбережения допустим существование степенной или логарифмической зависимости от (У - Т), поскольку функция выпукла вверх в точке, которая соответствует 2004 г., однако данные кризисных 2008 и 2009 гг. «оттягивают» эту кривую вниз.
Выполнив преобразования, авторы получили сначала степенную функцию сбережения:
5 = 2,235 х (У - Т) 0'832. (2)
п ' 4 п п 4 '
Для нее Я2 = 0,555; ^-критерий значимый. Таким образом, модель можно принять, но Р-значение для «-пересечения составляет 0,810, т. е. уровень доверия к свободному члену низкий (форма 2).
Из модели (2) авторы исключили свободный член, таким образом, окончательно имеем степенную аппроксимацию функции сбережений:
5 = (У - Т) 0'897. (3)
п п
Эконометрические характеристики модели без «-пересечения, приведенные в форме 3, позволяют признать ее адекватной: коэффициент детерминации равен 0,552; ^-критерий значимый, ¿-статистика превышает критический уровень, Р-значение для независимой переменной - 1,27 ■ 10-18 .
250 000 270 000 290 000
Форма 1
Эконометрические характеристики логарифмической функции потребления (1) для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика
Множественный R R-квадрат Нормированный R-квадрат Стандартная ошибка Наблюдения 0,902661 0,814798 0,791647 18,207 10
Дисперсионный анализ
и/ ББ МБ Значимость F
Регрессия Остаток Итого... 1 1,17Е + 04 8 2,65Е + 03 9 1^ + 04 1,17 Е + 04 3,31Е + 02 35,19599817 0,000349
Коэффициент Стандартная ошибка истатистика P-значение
«-пересечение у - Т П П -2 184,268 193,702 401,744 32,650 -5,43697 5,932622 0,000618198 0,00034871
Форма 2
Эконометрические характеристики степенной функции сбережения (2) для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика МНоЖествённыйЛ 0,74520768
R-квадрат 0,55533449
Нормированный R-квадрат 0,4997513
Стандартная ошибка 0,14674212
Наблюдения 10
Дисперсионн ый анализ
и/ ББ МБ Значимость F
Регрессия 1 0,21514 0,21514 9,991051295 0,013378
Остаток 8 0,172266 0,021533
Итого.. 9 0,387406
Стандартная Коэффициент ошибка истатистика P-значение
«-пересечение 0,80426972 3,237955 0,248388 0,81009139
У - Т П П 0,83179156 0,263153 3,160862 0,013377567
Форма 3
Эконометрические характеристики степенной функции сбережения (3) без свободного члена для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика
Множественный Я 0,74290322
Я-квадрат 0,55190519
Нормированный Я-квадрат 0,44079408
Стандартная ошибка 0,13888225 Наблюдения 10
Дисперсионный анализ
df ББ МБ Е Значимость F
1 0,213811 0,213811 11,08503518 0,010393
9 0,173595 0,019288
10 0,387406
Регрессия
Остаток
Итого...
Коэффициент Стандартная ошибка истатистика P-значение
«-пересечение У - Т пп 0,89714903 0,003569 251,3505 1,27087Е - 18
Логарифмическая функция для объема валового Ее эконометрические характеристики, приве-
сбережения после произведенных преобразований денные в форме 4, таковы: Я2 = 0,544; ^-критерий имеет вид: значимый, Р-значения для обоих регрессоров мень-
5п = 50,351 х 1п (Уп - Тп) - 556,104. (4) ше 0,05. Таким образом, модель (4) тоже адекватна,
и уровень доверия к ее параметрам достаточен.
Эконометрические характеристики логарифмической функции сбережения (4) для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика
Форма 4
Множественный Я Я-квадрат Нормированный Я-квадрат
Стандартная ошибка Наблюдения
0,73734769 0,54368162 0,48664182
9,094 10
Дисперсионный анализ
df
ББ
МБ
Значимость F
Регрессия Остаток Итого...
1 8 9
7,88Е + 02 6,62Е + 02 1,45E + 03
7,88Е + 02 82,707
9,531619119
0,01495
Коэффициент Стандартная ошибка истатистика P-значение
«-пересечение -556,104 У - Т 50,351 пп 20,067 16,309 -2,7712 3,087332 0,024251737 0,01494986
Нелинейная факторная регрессия высших степеней
Следующая идея состоит в том, что традиционные кейнсианские функции сбережения и потребления являются линейным приближением рядов Тейлора. Таким образом, если коэффициент детерминации линейных моделей оказался недостаточно большим, можно выполнить аппроксимацию высших степеней для этих же функций и, таким образом, определить предельные склонности к потреблению и сбережению, которые равны коэффициентам при линейных членах.
Так, квадратичная модель уровня потребления для периода 2000-2009 гг. будет такой: С = 3,512 + 0,849(У - Т) + 1,1 х 10-4 х (У - Т )2. (5)
Хотя регрессионные характеристики модели, представленные в форме 5, подтверждают ее адекватность (коэффициент детерминации составляет 0,820 и Р-критерий значимый), однако Р-значения для всех параметров слишком высокие - от 0,678 до 0,987 - и вызывают недоверие к параметрам модели.
Пользуясь методом включения-исключения переменных, получаем вполне адекватную и значи-
мую по всем характеристикам квадратичную модель уровня потребления:
Сп = 95,556 + 0,002(Уи - Т)2. (6)
Регрессионная статистика модели (форма 6) указывает на ее адекватность: R2 = 0,815; ^-критерий значимый, а также Р-значения для всех параметров меньше 1 х 10-3, т. е. параметры модели вызывают доверие.
Обращаем внимание на тот факт, что в модели уровня потребления (6) авторами получено значение автономного потребления, которое вызывает доверие. Таким образом, можем утверждать, что с 2000 по 2009 г. при располагаемом доходе, равном нулю, совокупное годовое потребление в экономике Украины составило бы 95,556 млрд грн. в ценах 2001 г. (и осуществлялось бы либо за счет предыдущих сбережений макросистемы либо за счет внешних поступлений).
Квадратичная модель уровня сбережения имеет
вид:
« = -63,745 + 0,934(У - Т) - 1,6 х 10-3 х (У - Т )2. (7) Характеристики модели приведены в форме 7: R2 = 0,560; Р-критерий незначимый, Р-значения для всех параметров также высоки - от 0,371 до 0,568 -и вызывают недоверие к параметрам модели.
Форма 5
Эконометрические характеристики квадратичной функции потребления (5) для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика Множественный R 0,905595
R-квадрат 0,820102
Нормированный R-квадрат 0,768703 Стандартная ошибка 19,18311
Наблюдения 10
Дисперсионный анализ
й/ ББ МБ Е Значимость F
Регрессия Остаток Итого...
2 11 742,97 5 871,487 15,9554911 0,0024694 7 2 575,941 367,9916 9 14 318,92
Коэффициент
Стандартная ошибка
^статистика
P-значение
«-пересечение У - Т п п (У - Т) 2 4 п п' 3,512362 0,848625 0,000106 213,7687 1,962833 0,004406 0,016431 0,432347 0,024091 0,98734932 0,678495761 0,981452172
7х
17
Форма 6
Эконометрические характеристики квадратичной функции потребления (6) без линейного члена для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика Множественный Я
Я-квадрат
Нормированный Я-квадрат Стандартная ошибка
Наблюдения
Дисперсионный анализ
df ББ МБ Е Значимость F
1 11 674,19 11 674,19 35,31309 0,000345
8 2 644,728 330,591
9 14 318,92
0,902939 0,815298 0,792211 18,18216 10
Регрессия Остаток Итого...
Стандартная
Коэффициент . ^статистика Р-значение ошибка
«-пересечение 95,5563 18,31352 5,217799 0,000805
(У - Т )2 0,002005 0,000337 5,942482 0,000345
Форма 7
Эконометрические характеристики квадратичной функции сбережения (7) для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика
Множественный Я Я-квадрат
Нормированный Я-квадрат Стандартная ошибка Наблюдения
Дисперсионный анализ
df ББ МБ Е Значимость F
~2 812,3084 406,1542 4,458434714 0,0564081
7 637,6856 91,09794
9 1 449,994
0,748475 0,560215 0,434562 9,544524 10
Регрессия
Остаток
Итого...
Коэффициент
Стандартная ошибка
^статистика
Р-значение
«-пересечение У - Т п п (У - Т ) 2 4 п п' -63,7449 0,933969 -0,00159 106,3603 0,976604 0,002192 -0,59933 0,956343 -0,72468 0,567835869 0,370752735 0,492151578
Поэтапное исключение параметров не привело к улучшению модели, поэтому авторами построена кубическая модель для уровня сбережения: 5 = 423,420 - 5,977(7 - Т ) +
П ' ' 4 П П
+ 0,03(7и - Т) 2 - 4,9 х 10-5 х (Гп- Г)3. (8)
Для этой модели Я2 = 0,592; Р-критерий значимый (форма 8), но Р-значения для всех рег-рессоров побуждают к исключению из модели отдельных параметров, в частности свободного и линейного членов, для которых Р-значения максимальны.
После исключения из модели (8) 5-пересечения и линейного фактора (7п - Тп) получается адекватная и значимая модель:
5 = 2,9 х 10-3(7 - Т) 2 - 6,9 х 10-6 х (7 - Т )3. (9)
п ' х п п ' к п п к '
Вывод об адекватности модели следует из рассчитанных в форме 9 характеристик: Я2 = 0,569; Р-критерий значимый, Р-значения меньше 3 х 103 .
Попытки дальнейшего повышения степеней (построение регрессионных моделей, включающих степени выше третьей) как для функции потребления, так и для функции сбережения значимых результатов не приносят, во всяком случае для 2000-2009 гг.
2.
Выводы
Поскольку построить адекватные линейные модели функций потребления и сбережения для экономики Украины 2000-2009 гг. (т. е. с учетом данных кризисного периода) не всегда удавалось, авторы построили адекватные и значимые по всем параметрам нелинейные аппроксимации первого порядка как для уровня потребления, так и для уровня сбережения:
— логарифмическую функцию для совокупного потребления:
С = 193,702 х 1п (7 - Т ) - 2 184,268,
П ' 4 П П'
для нее Я2 = 0,815;
— степенную функцию для уровня сбережения:
= (7п - Тп)0'897, для которой Я2 = 0,552;
— логарифмическую функцию для объема валовых сбережений:
5 = 50,351 х 1п (7 - Т ) - 556,104,
п ' 4 п П'
для нее Я2 = 0,544. Для повышения надежности нелинейных моделей выполнена аппроксимация высших степеней, которая привела к построению функций:
Форма 8
Эконометрические характеристики кубической функции сбережения (8) для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика Множественный Я 0,769693
Я-квадрат 0,592427
Нормированный Я-квадрат 0,388641 Стандартная ошибка 9,92453
Наблюдения 10
Дисперсионный анализ
df ББ МБ Е Значимость F
Регрессия Остаток Итого...
3 859,0162 286,3387 2,907101557 0,1232161
6 590,9778 98,4963
9 1 449,994
Коэффициент Стандартная ошибка истатистика Р-значение
5-пересечение 423,4195 716,0345 0,59134 0,575877944
7 - Т п п -5,97671 10,08667 -0,59253 0,575127738
(7 - Т )2 4 п п' 0,030431 0,046553 0,653676 0,537551297
(7 - Т ) у 77 1Г -4,9Е - 05 7,04Е - 05 -0,68863 0,516785258
Форма 9
Эконометрические характеристики кубической функции сбережения (9) без свободного и линейного членов для экономики Украины 2000-2009 гг.
Регрессионная статистика
Множественный R 0,75404
R-квадрат 0,568576
Нормированный 0,389648 R-квадрат
Стандартная ошибка 8,84281
Наблюдения 10
Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
Регрессия Остаток Итого...
2 824,4317 412,2159 5,271621 0,040129
8 625,5622 78,19528
10 1449,994
Коэффициент Стандартная ошибка t-статистика P-значение
5-пересечение (Y - T )2 v п п' (Y - T )3 v 77 1Г 0,002871 -6,9E - 06 0,000396 1,59E - 06 7,242255 -4,3589 8,87 E - 05 0,002416
— квадратичной для конечного потребления:
С = 95,556 + 0,002(У - Т )2,
п ' ' 4 п п' '
для которой Я2 = 0,815;
— кубической для совокупного сбережения:
« = 2,9 х 10-3 х (У - Т ) 2 -- 6,9 х 10-6 х (Уп - Т) 3, для нее Я2 = 0,569. Таким образом, в период кризиса для регрессионного факторного моделирования объемов потребления и сбережения удается построить адекватные и значимые нелинейные аппроксимации. Объясняющая способность и качество этих моделей часто оказываются выше, чем для соответствующих линейных приближений.
Список литературы
1. Аналогична екожяшя: макроекожяшка i мжроекономь ка: у 2 кн. / за ред. С. Панчишина i П. Островерха. Кн. 1: Вступ до аналгшчно! економп. Макроекономжа. К.: Знання, 2006.
2. Доходи та заощадження в перехщнш економщ Ук-ра1ни / за ред. С. Панчишина та М. Савлука. К: КНЕУ, 2009.
3. Нацюнальш заощадження та еконо]шчне зростання / за ред. Б. С. Кваснюка. К.: МП Леся, 2007.
4 . Нижегородцев Р.М., Полякова О. В. Регрессионная
оценка средних склонностей к потреблению и сбережению для экономики Республики Казахстан // Управление инновациями - 2010: м-лы междунар. науч.-практ. конф. 15-17 ноября 2010 г. / под ред. Р. М. Нижегородцева. М.: ЛЕНАНД, 2010.
5 . Полякова О. В. Оценка совокупного спроса и мо-
дель AD-A5 для современной экономики России / О. В. Полякова, Р. М. Нижегородцев // Известия Иркутской государственной экономической академии (Байкальский гос. ун-т экономики и права), 2010. № 5.
6 . Полякова О. В. Расчет предельных склонностей к пот-
реблению и к сбережению для современной экономики Республики Казахстан// Глобализация экономики и российские производственные предприятия: м-лы VIII междунар. науч.-практ. конф. Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2010.
7 . Полякова О. В. Регрессионное моделирование сово-
купного спроса в современной экономике Республики Казахстан // Вестник экономической интеграции. 2009. № 4.
8. Реальный сектор / Национальный банк Украины. URL: http://bank.gov.ua/5tati5t/MacRo/GDP_u. xl5.
9. Реальный сектор. Архив / Национальный банк Украины. URL: http://bank.gov.ua/5tati5t/MacRo/ARx_u.zip.
10. Сведенные национальные счета / Государственный комитет статистики Украины. URL: http://www.ukR5tat. gov.ua/opeRativ/opeRativ2005/vvp/znR/znR_u.htm.
