Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-эластичной трубке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.517+539

Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-эластичной трубке

Н. А. Кудряшов, Д. И. Синельщиков, И. Л. Чернявский

Московский инженерно-физический институт 115409, Россия, Москва, Каширское шоссе, 31 kudryashov@mephi.ru

Получено 30 ноября 2007 г.

Рассмотрена квази-одномерная модель течения жидкости в вязко-эластичной трубке. Предложена замкнутая система нелинейных уравнений для описания возмущений давления и радиуса при течении жидкости в вязкоэластичной трубке. Для анализа системы использованы техника метода многих масштабов и метод возмущений. Математическая модель исследовалась при больших числах Рейнольдса. В уравнении движения стенки трубки учтена кубическая поправка к закону Гука. Построены семейства нелинейных эволюционныхуравнений для описания возмущений основных характеристик течения. Найдены точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений.

Ключевые слова: вязко-эластичная трубка, нелинейные эволюционные уравнения, метод многих масштабов, точные решения

N. A. Kudryashov, D. I. Sinelshchikov, I. L. Chernyavsky

Nonlinear evolution equations for description of perturbations

in a viscoelastic tube

A quasi-one-dimensional model of flow of a liquid in a viscoelastic tube is considered. A closed system of the nonlinear equations for the description of perturbations of pressure and radius is propose at flow of a liquid in a is viscoelastic tube. For the analysis of system technique of the multiscale method and the perturbation theory is used. The mathematical model was investigated in case of the large Reynolds numbers. In the equation of movement of a wall of a tube the cubic correction to Hooke’s law is considered. Families of the nonlinear evolutionary equations for the description of perturbations of the basic characteristics of flow are obtained. Exact solutions of some nonlinear evolution equations are found.

Keywords: viscoelastic tube, nonlinear evolution equations, multiscale method, exact solutions

Mathematical Subject Classifications: 74D10, 35Q35, 34A05

1. Введение

Изучение нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают некоторые особенности сосудов кровеносной системы и понимание волновых процессов в них может способствовать прогнозированию развития некоторых заболеваний [1—4].

Известно, что сосуды кровеносной системы выполняют проводящую и демпфирующую функцию [1, 5]. Проводящая функция отвечает за транспорт крови, обогащенной кислородом, а демпфирующая функция приводит к сглаживанию импульсов давления. Заболевания сердечно-сосудистой системы приводят к нарушению как первой, так и второй функций. Нарушением демпфирующей функции является артериосклероз, когда импульсы давления плохо сглаживаются из-за структурных изменений стенок сосудов, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и дополнительным разрушениям сосудов. Поэтому представляет интерес построение и анализ модели, учитывающей механические свойства стенок сосуда.

При построении и анализе моделей гемодинамики возникает ряд трудностей. Первая особенность связана с необходимостью учета нелинейных эффектов, возникающих при течении крови. С точки зрения реологии, кровь — это суспензия частиц в водном растворе [1,6]. Другая сложность состоит в том, что необходимо учитывать многослойную структуру стенки сосуда и ее нелинейные вязкоупругие свойства. Третья трудность связана с тем, что в литературе представлено недостаточно данных по физическим параметрам, характеризующим модели гемодинамики, например вязкость стенки артерии и коэффициент нелинейной упругости.

Целью данной работы является анализ математической модели течения жидкости в вязкоэластичной трубке и вывод нелинейных эволюционных уравнений для описания пульсовых волн в вязко-эластичных трубках с учетом квадратичной и кубической поправки к закону Гука в уравнении состояния. Применение метода многих масштабов позволяет разделить и классифицировать влияние механических свойств системы на эволюцию пульсовых волн. При выводе нелинейных эволюционных уравнений учитывается малость некоторых параметров, входящих в уравнения движения стенки трубки, по сравнению с характерными длинами волн.

В данной работе рассматривается течение при больших числах Рейнольдса.

2. Система уравнений для описания волн в вязко-эластичных трубках

Экспериментальные исследования показывают, что, если скорость сдвига достаточно велика, кровь ведет себя как ньютоновская жидкость [1]. Поэтому большинство исследователей при моделировании течения крови используют уравнение Навье—Стокса [2,3,5,7—10]. В качестве дополнительного упрощения предполагается, что течение крови происходит в цилиндрической трубке.

В данной работе рассматривается квази-одномерная модель движения жидкости в трубке, которая содержит в себе все основные физические характеристики системы кровь—стенка сосуда. Существенным моментом этой модели является так называемое «гидравлическое приближение» [9,11 ], при котором предполагается, что осевая компонента скорости течения жидкости много больше, чем радиальная, а на границе выполнено условие равенства нулю компонент скорости. Данное приближение позволяет усреднить уравнения Навье—Стокса и уравнения непрерывности по поперечному сечению сосуда [9,11 ].

Система уравнений для описания течения жидкости в вязко-эластичной трубке состоит из уравнения непрерывности и осевой компоненты двумерного уравнения Навье—Стокса:

д(ут) д(ит)

с)т ^ с)т 7

(2.1)

ди | ди, . ди . 1 дР

dt дг дх Р дх 0

д2и, , 1 д_ ( ди

дх2 r dr I дг

где V = у(т,х,£) — радиальная, и = и(т,х,£) — осевая компоненты скорости течения; щ — коэффициент кинематической вязкости, р — плотность жидкости, Р = Р(х, £) — давление жидкости.

Предположим, что профиль осевой компоненты скорости по радиусу имеет вид обобщенного течения Гагена—Пуазейля [4]:

/ ,\ s + 2

и (г, X, t) = —g—

L-'i

иа(х, t), иа(х, t) = I u,(r, x, t)r d r. R

Здесь s — показатель крутизны профиля, R = R(x,t) — радиус трубки. Усредняя уравнения сохранения массы и импульса жидкости (2.1) по поперечному сечению трубки, аналогично [9] приходим к одномерным уравнениям

«»

dUa I диа 1 дР _ д2иа , > иа /о q\

-м+и‘Ть +рв^а( ' 1

Здесь ua = ua(x,t) — средняя по сечению осевая компонента скорости, S = S(x,t) — пло-

щадь поперечного сечения трубки. Далее индекс у скорости опускаем, полагая ua = u. Поскольку S(x, t) = nR(x, t)2, то уравнение (2.2) преобразуется к виду

Rt + uRx + 1/2 Rux =0. (2.4)

Учитывая малые возмущения радиуса трубки n(x, t)

R(x,t) = Ro + n(x,t), Ro = const, ||n|| << Ro,

из (2.4) получаем уравнение

nt + 1/2 Roux + 1/2 Wx + Щх = 0. (2.5)

Далее уравнения (2.3), (2.5) вместе с уравнением движения стенки трубки используются для описания течения жидкости в вязко-эластичной трубке.

3. Зависимость, связывающая давление в сосуде с его радиусом

Стенка кровеносного сосуда имеет сложную структуру и состоит из различных типов тканей с различными механическими характеристиками, одновременно сочетая в себе упругие свойства твердых тел с вязкими свойствами жидкостей. Причем строение различных слоев в стенке значительно меняется в зависимости от калибра и функции артерии. При построении математической модели будем учитывать наиболее существенные физические особенности системы. Важным фактором для демпфирования высокочастотных колебаний в потоке крови является вязкоэластичность стенки [5]. Также представляет интерес учет нелинейной упругости стенки артерии.

Необходимость учета этих свойств стенки отмечалась в работах [1,12—14]. Будем предполагать, что стенка трубки однородна, изотропна, несжимаема и состоит из вязко-эластичного материала. Деформация трубки характеризуется изменением ее радиуса, который зависит от координаты и времени; деформации стенки предполагаются малыми по сравнению с радиусом трубки, а характерные длины волн много больше равновесного радиуса. Уравнение, связывающее давление с радиусом трубки, можно представить в виде [15]:

о о и 1 и и I I кЬо , К3Ьо 2 , К4^0 3

Р - Ре = РиЛ0 Г)и - кпо'Г/хх - ХПо Шхх + 1-1 ш + -7Т- Г], н-5“ V н----Г ч ■

Е0 Ео2 Ео3 (3.1)

кз = К1Е0 — 2к, К4 = К2Е2 — 2к1 Ео + 3к

Здесь р,ш — объемная плотность стенки трубки, Н0 — толщина невозмущенной стенки, к — коэффициент, характеризующий продольные напряжения стенки, х — коэффициент вязкости материала трубки (аналогичный динамической вязкости жидкости), ^ — коэффициент пропорциональности силы сопротивления среды при движении стенки трубки, к — коэффициент линейной упругости, характеризующий растяжение элемента трубки, к1 — коэффициент нелинейной упругости (квадратичная добавка к закону Гука), к2 — коэффициент при кубической добавке к закону Гука.

Ниже ограничимся анализом нелинейных волн в длинноволновом приближении и при больших числах Рейнольдса, которое справедливо для крупных и средних артерий [7,16].

В этом случае для описания квази-одномерного течения жидкости в аксиально-симметричной вязко-эластичной трубке из (2.3), (2.5) и (3.1) имеем замкнутую систему уравнений

/// I //// ,' I / \г — О

Пі + 1/2 Яопх + 1/2 щх + ипх = 0

1

PJ

Р = ргш Ио Щ кИо Пхх Х^о Шхх + +

жко , К2Но 2 , К4Ио 3

+ Ж" + ^" + V-” +Р"

(3.2)

Введем безразмерные переменные

,1 ,/ , / / Яо /

і = , X = їх , и = Со и , Г] = — Г] , ^ ^

Р = Ро Р' + Ро, Ро = Ре-

Здесь I — характерная длина волн давления,

кИ,0 ЕН0 (3 4)

С° = \1^ = \12Л(1-^) <3'41

— скорость Моенса—Кортевега, Е — модуль Юнга стенки артерии, а — коэффициент Пуассона.

Система уравнений (3.2) в безразмерных переменных (штрихи опущены) имеет вид:

Щ + их + | щх + щх = 0,

1 1 1 о п (3.5)

щ + иих + ^ Рх = 0, ' 7

Р = 1Пи — вПхх + — 5 Пхх + ап + а г? + а2 п3

рс0 п кНоКо Р-тЫКо С0

ХЛоКо Со ^Ко Со К1 ЬоКо /о с\

0 =------------, А = —а 1 = ——-----------------а, (о.о)

2Ро I 2Ро I 4Ро

к2 ЛоК0 К1 ЬоКо . 3

"2 - ~Щ + 4а-

Система уравнений (3.5) далее используется для вывода нелинейных эволюционных уравнений, описывающих распространение возмущений в вязко-эластичной трубке.

4. Нелинейные эволюционные уравнения с учетом квадратичной поправки к закону Гука

Остановимся на выводе семейства нелинейных эволюционных уравнений, учитывая малость параметров, входящих в уравнение состояния, по сравнению с характерными длинами волн. При этом будем предполагать, что в уравнении (3.5) коэффициент а2 = 0.

В системе уравнений (3.5) имеются малые параметры е ^ 1 (е1 = ао/Ко, е2 = Ко/1), где ао — характерная амплитуда возмущений радиуса. Все коэффициенты (3.6), характеризующие механические свойства стенки трубки, кроме коэффициента а, также являются малыми. Значение этих параметров зависит от калибра артерии. Для исследования системы (3.5) воспользуемся асимптотическими методами. Большинство нелинейных эволюционных уравнений можно получить, используя технику метода многих масштабов и метод возмущений, которые позволяют выделить характерные длины и времена волновых процессов и учесть влияние коэффициентов (3.6) при анализе возмущений.

Поскольку скорость пульсовых волн велика, по сравнению со скоростью течения жидкости, удобно перейти к переменным «медленного времени», выделив направление распространения волны. В качестве параметра е выберем наименьший из е1 и е2. Будем искать решение системы уравнений (3.5), используя переменные:

£ = ет(х — г), т = ет+1 г, т> 0, (4.1)

9 _т д д _т+1 _9_ -пг 9

дх~ь д£’ т~ь дт ь д

Подставляя (4.1) в (3.5) и сокращая на ет в первых двух уравнениях, приходим к системе уравнений

£Цг ~ Щ + Щ + | г)Щ + иЩ = 0,

еиТ - щ + ищ + ^ Р5 = 0, (4 2)

Р = е2т+2^Птт — е2т+127Пг5 + е2т(7 — в) + ет+1\Пт —

— ет\щ — е3т+15пт^ + е3т5п^ + ап + а1 п2.

Представим решение системы (4.2) в виде разложения по малому параметру е:

2 3

и = еи1 + е и2 + е и3 + . . . ,

п = ещ + е2П2 + е3пз + ■■■, (4.3)

Р = еР1 + е2Р2 + е3Рз + ...

Подставляя (4.3) в (4.2) и приравнивая коэффициенты при є, получаем уравнения —VI £ + иі £ = 0) ~иі £ + ^-Рі£ = 0) Р\ = а щ.

Откуда находим

пі((,т) = т(£,т) + ф(т), Рі(£,т) = ащ(£,т), (4.4)

где ф(т) — произвольная функция. Нас интересуют только те решения, которые при £ ^ обращаются в ноль, поэтому полагаем ф(т) = 0.

Подставляя (4.3) в (4.2) и приравнивая коэффициенты при є2, получаем уравнения

Літ ~ Щі + + иіЛч = °>

и 1т — и2£ + иіиц + ^ -Р25 = 0,

Р2 = аП2 + аі п2 + є2т-1(7 - в) Пт + є3т-15- єт-1\ці^.

Откуда с учетом соотношений (4.4) находим

5 , а1 \_______, „2т-1 (1 — в „ \ , „3т-1 / 5

Шг + (Д + ^ шт( + ^ ^г ^ '"■«) ' <4'51

Рассмотрим специальные случаи значений параметров, входящих в уравнение (4.5). Далее,

если малость коэффициентов ^ ^^ специально не оговаривается, то полагаем их порядка

единицы (0(1)).

1. При т = 1 основное уравнение (4.5) переходит в уравнение Бюргерса

тт + (| + тг) тпч = ^ пт- (4.6)

Воспользовавшись соотношениями (3.6), можно выразить безразмерные коэффициенты уравнения (4.6) через физические параметры модели. Коэффициент при второй производной в уравнении (4.6) имеет вид

Л Ко

2а 4р1е0

Л.

Таким образом, затухание волны, описываемой уравнением (4.6), пропорционально коэффициенту сопротивления среды при движении стенки сосуда.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5), с учетом (4.1), (4.3) и (4.4), выражается через решения уравнения Бюргерса следующим образом:

П(£,т) - еП1(£,т)■. и(£,т) — еи1(£,т) — еп1(£,т), Р (£,т) — еР1(£,т) = еащ(£,т), £ = е(х — г), т = е2г.

Уравнение Бюргерса (4.6) в настоящее время хорошо изучено. Преобразованием Коула— Хопфа [17,18] уравнение (4.6) приводится к линейному уравнению теплопроводности

_ \d\nZ 7 _ А 7

и — о ) ZJt — о Ат.т-

а дх 2 а

Решая многочисленные задачи для линейного уравнения теплопроводности по формуле Коула—Хопфа, получаем решения уравнения Бюргерса.

2. При т = I, ^ = О (г) из (4.5) получаем уравнение Кортевега де Вриза 2 а

5 ,аЛ_ ,7 — Р

тг + + -а) тта + <4-7)

Используя (3.4) и (3.6), коэффициент при дисперсионном члене можно представить в виде

2а 4 V I

2

Л-0 Ргш 2 \ @хх

)_в

Таким образом, значение коэффициента дисперсии определяется отношением плотностей стенки и жидкости и отношением продольного напряжения стенки к ее модулю упругости.

Условие ^ = О (г) на безразмерный коэффициент в уравнении (4.5) означает случай, когда силами сопротивления среды можно пренебречь и основным фактором при распространении пульсовых волн являются упругие свойства стенки сосуда.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5) определяется из следующих соотношений:

П(£,т) — еП1(£,т),

и(£,т) — еи1(£,т) — ещ(£,т),

Р (£,т) — еР1(£,т) = е а щ(£,т),

£ = е1/2(х — г), т = е3/2г.

Уравнение (4.7) было получено в 1895 Кортевегом и де Вризом для описания длинных волн на воде [19] и относится к классу точно решаемых уравнений. Свойства уравнения Кортевега—де Вриза хорошо изучены. Решение задачи Коши для него находится методом обратной задачи рассеяния [20,21 ].

3. Длят = тр- = О (г), 7 ^ = 0(ь2/3) уравнение (4.5) переходит в уравнение четвертого

3 2^х 2а

порядка

тт + (| + е + ^ Чцт = 0 <4-8)

Используя (3.4) и (3.6), получим, что коэффициент при четвертой производной имеет вид

8 ЬоЕо

2а 4р13с0

X■

Таким образом, затухание амплитуды волны, описываемой уравнением (4.8), пропорционально коэффициенту вязкости материала трубки.

Условия ^ = О (г), ^ а ^ = 0(е2/3) реализуются, когда определяющую роль играют вязкие свойства стенки сосуда, а эффекты, связанные с сопротивлением среды и упругими свойствами стенки трубки, пренебрежимо малы.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5) выражается формулами

П(£,т) — еП1(£,т),

и(£,т) — еи1(£,т) — ещ(£,т),

Р (£,т) — еР1(£,т) = е а щ(£,т),

£ = е1/3(х — г), т = е4/3г.

Уравнение (4.8) было получено и проанализировано в работе [15]. Оно не является точно решаемым, но с помощью метода простейших уравнений [22] для него можно найти некоторый набор частных решений.

4. В случае т = 1/2, ^ = 0(е1/2) получаем уравнение Бюргерса—Кортевега—де Вриза

Ът + (§ + (4.9)

Условие ^ = 0(е1/2) соответствует тому, что в качестве основных факторов при распространении пульсовых волн выделяются упругие свойства стенки сосуда и сопротивление среды, при доминировании упругих сил.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5) выражается через решения уравнения Бюргерса—Кортевега—де Вриза в виде

П(£,т) — еП1(£,т),

и(£,т) — еи1(£,т) — ещ(£,т),

Р (£,т) — еР1(£,т) = е а щ(£,т),

£ = е1/2(х — г), т = е3/2г.

Уравнение (4.9) также хорошо изучено. Оно является обобщением уравнения Кортевега де Вриза и возникает при учете диссипативных процессов. Уравнение (4.9) не относится к

классу точно решаемых уравнений, но для него также известен некоторый набор частных

решений [21,23].

5. При т = 1/3, ^ = О (г), ^ ^ = 0(е1/3) имеем уравнение четвертого порядка в виде

VIг + (| + + 72а + = °' (4-10)

Здесь в качестве основных факторов при распространении возмущений выделяются упругие и вязкие свойства стенки сосуда.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5) выражается формулами

П(£,т) — еП1(£,т),

и(£,т) — еи1(£,т) — ещ(£,т),

Р (£,т) — е3Р1(£,т) = е а щ(£,т),

£ = е1/3(х — г), т = е4/3г.

6. Длят = 1/3, ^ = 0(е2/3), 7 ^ = 0(е2/3) основное уравнение (4.5) переходит в уравне-

ние четвертого порядка

Ът + (§ + <4Л 1)

Здесь в качестве основных факторов при распространении пульсовых волн выделяются вязкие свойства стенки сосуда и сопротивление среды.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5) определяется из соотношений

П(£,т) — еП1(£,т),

и(£,т) — еи1(£,т) — ещ(£,т),

Р (£,т) — еР1(£,т) = е а щ(£,т),

£ = е1/3(х — г), т = е4/3г.

7. В случает. = 1/3, ^ = 0(ь2/3), ^ ^ = 0(е1/3) получаем уравнение четвертого порядка,

являющееся обобщением уравнения Курамото—Сивашинского:

Ът + (| + = °- <4Л2>

При выводе (4.12) учитываются все основные факторы, влияющие на распространение возмущений в стенке сосуда.

Приближенное решение исходной системы уравнений (3.5) выражается через решения уравнения (4.12) следующим образом:

П(£,т) — еП1(£,т),

и(£,т) — еи1(£,т) — ещ(£,т),

Р (£,т) — еР1(£,т) = е а щ(£,т),

£ = е1/3(х — г), т = е4/3г.

Уравнение (4.12) не является точно решаемым, но для него известны решения в виде периодических и уединенных волн [23—25]. Уравнения (4.11), (4.10) являются частными случаями уравнения (4.12) и обладают аналогичными свойствами.

5. Нелинейные эволюционные уравнения с учетом кубической поправки к закону Гука

Рассмотрим нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений, возникающих в артериях среднего и крупного калибра, с учетом кубической поправки к закону Гука в уравнении движения стенки (а1 = 0, а2 = 0 в (3.1)).

Для получения семейства нелинейных эволюционных уравнений используем систему уравнений

Ш + их + 11]их + щх = 0, щ + иих + ^Рх = о,

Р = — вПхх + — 5 Пхх + ап + а1 п2 + а2 п3 ■

Переходя в (5.1) к переменным «медленного времени», выделяя направления распространения волны

£ = єт(х - г), т = єт+2 г, т > 0, (5.2)

9 _т 9 д _т+2 9 _т 9

дх~ь д$’ дт ь д£

и сокращая на єт в первых двух уравнениях, приходим к системе уравнений

2 1

£ Ят ~ Щ + Щ + 2 + иЩ =

2 1

є и,т - щ + ищ + ^ Р5 = О, (5 3)

Р = є2(т+2)^Птт - є2т+221пп + є2т(7 - в) ш + єт+2\Пт -

- єтХ щ - є3т+25 Цт& + є3т5 пщ + ап + аі п2 + а2 п3.

Решение системы (5.3) будем искать в виде

23

и = єи1 + є и2 + є и3 + . . . ,

п = єпі + є2п2 + є3пз + ■ ■■, (5.4)

Р = єРі + є2Р2 + є3Рз + ■ ■■

Учитывая соотношения (5.4), в первом приближении получаем

—VI5 + иі 5 = 0) ~иі £ + ^-Рі£ = 0) Р\ = а щ.

Интегрируя один раз по £, находим

иі(£,т )= пі(£,т) Рі(£,т )= апі(£,т). (5.5)

Подставляя (5.4) в (5.3), во втором приближении получаем уравнения

~Ч2і + «2 ї + + ЩГ/ц = 0,

—П2£ + ЩЩ£ + ^ Р‘Ц = 0)

Р2 = ап2 + аі п2.

Откуда при 5а + 4а1 ~ 0 с учетом (5.5) имеем соотношения

М£, т) = г?2(С, т) - \ц\{£, т), б)

Р2(£,т) = ащ(£,т) + аіп2(£,т )■

В выражениях (5.5) и (5.6) произвольная функция от т не учитывается, так как интересуемся решениями, которые при £ ^ обращаются в ноль.

Учитывая соотношения (5.4) из системы (5.3), в третьем приближении находим

VIТ - 'Щ£ + УЩ + 7, :тиц + 7,Г) 1«2£ + и1’Щ + и2:Г1Ч = °>

иІТ ~ и3£ + + щиц + ^ Р'3(, = 0, ^ ^

Р3 = а п3 + 2аі піп2 + а2 пі + є2т-2(у - в) + є3т-2$піт - єт-2\пц■

Подставляя соотношения (5.5) и (5.6) в (5.7), приходим к уравнению

Щт + (§ “ Т) r?ir?1«+t_2m 2 m^)+t_3m 2 -t_m 2 • (5'8)

Рассмотрим специальные случаи значений параметров уравнения (5.8).

1. В случае m = 2 уравнение (5.8) переходит в модифицированное уравнение Бюргерса

f 3а2 1^ 2 _ X /р п-,

Vir +[-2^~y) Wit 2а (5'9)

Порядок полюса решения уравнения (5.9) равен 3/2, и, следовательно, уравнение не имеет свойства Пенлеве. В переменных бегущей волны ni(x,t) = y(z), z = x — C0t уравнение (5.9) (после интегрирования по z) имеет вид:

byi ~ VVz ~ СоУ = °’ K = ^~l8’ V=2^- (5Л0)

Постоянную интегрирования полагаем равной нулю. Решение уравнения (5.10) имеет вид

У (z) = ±

\

3Co

•2Co{z+'ivC\)

е v + К

2. При т = 1, ^ = 0(е2) получаем модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза:

. (3а2 1Л 2 ,7 — в _п /с , п

тг + [-2^-^) тпц + Л1Ж 0- (5.11)

Уравнение (5.11) имеет солитонные решения. Задача Коши для него решается методом обратной задачи рассеяния [21,26].

3. Для т = |, = 0(е5/3), 1' ^ = О {г1) основное уравнение переходит в уравнение

четвертого порядка

/3а2 1^ 2 ,5 п /г 1П\

^ +{2^-ц) 'М1< + 2а т«« = °- (5Л2)

Уравнение (5.12) в переменных бегущей волны п1(х,г) = у(г), г = х — С0г после интегрирования по г принимает вид

|м/3 + 1'у222 - СоУ = 0, к = ^ _ „ = А. (5.13)

Постоянную интегрирования полагаем равной нулю. Проверим уравнение на свойство Пенлеве [21]. Полагая у = а®/{г — го)р, получаем р = 3/2, ао = ±^(Щ^-)1/2. Так как р

2 2к

не целое, то уравнение (5.12) не является точно решаемым. Однако (5.12) имеет некоторый набор частных решений, которые могут быть получены с помощью метода простейших уравнений [22,27].

і

Произведя в уравнении (5.13) замену у (г) = у(г)2, получим:

-С0у3 + |г;4 + гпкгк, + = 0. (5.14)

Будем искать решение уравнения (5.14) в виде:

у(г) = а0 + а1 и (г) + а2 и(г)2 + а3 и(г)3, (5.15)

где функция и (г) удовлетворяет уравнению Риккати

= - иі2 + Аи + В. (5.16)

Подставляя (5.16) и (5.15) в уравнение (5.14) находим коэффициенты:

а\ а1 л _ 6ао _ 9а0

0-2 — о ) °'3 — _ 9 ) А —----г—, П —--------—,

3ао 27а% аі а\

105 Со аі

к =

а1

6

V =

52 а0 (-63 а0 + а(а4 - 126 а2а0 - 7938 а0)

2 Со а®

1053 а3 (-63 а0 + аі) (а4 - 126 аіа0 - 7938 а0)

63 63

Точное решение уравнения (5.12) имеет вид:

> 3/2

1 аі

Ш>т) =

3 л/Зоо \£-Сот + С1 Здесь С1 — произвольная постоянная.

4. В случае т = 1, 7^ = (Хь1) из (5.8) получаем модифицированное уравнение Бюргерса— Кортевега де Вриза

Щт + ^ + 12^ГЩ^ = (5Л7)

Уравнение (5.17) является обобщением модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза (5.11) на случай учета диссипации. Оно не является точно решаемым, но имеет частные решения [27].

5. При т = А = 0(ь4/3), 7 ^ = 0(е1) уравнение (5.8) переходит в уравнение четвер-

3 2^х 2а

того порядка

( ^а2 _ ^ Г12 п -I- — Г) — А

(5.18)

6. Для т = |, А = 0(е5/3), 7 ^ = 0(е2/3) уравнение (5.8) принимает вид

3 2^х 2а

Піт +

(5.19)

7. В случае т = |, = 0(ь4/3), 1' ^ = 0(ь2/3) из уравнения (5.8) получаем уравнение

четвертого порядка в виде

/ 3а2 1^ 2 ,7- в ,5 _ X

Г]1т + {'2^~^) ^ + ^ ^ т«-

(5.20)

Для поиска точных решений уравнения (5.20) воспользуемся методом простейших уравнений [22,27]. Переходя к переменным бегущей волны щ(х,1) = у (г), г = х — С01 и интегрируя один раз по г, получим

13

-Соу + 2КУ + ^Ух + 0у22 + и у222 = 0,

Зо2_15 |) = _А р = 1/ = А

' 2а 8 ’ 2а’ 2а ’ 2а'

Постоянную интегрирования полагаем равной нулю. Уравнение (5.21) можно привести к виду [21, 27]

в

/Хд/Д II у/ /ли

(5.21)

(5.22)

Произведя в (5.22) замену у (г) = и(г)2, получим

3 , К 4, 1 2 в 2 і в 2 ,3 3 3 ,1 2 П

-Со г) + у V + 2 V гк - V гк + V гкх + ^ гк - ^ V гк гкх + ^ V гкхх = 0.

Решение уравнения (5.23) будем искать в виде

у(г) = а0 + аі и (г) + а2 и(г)2 + а3 и(г)3, где функция и (г) удовлетворяет уравнению

их = -и2 + В.

Общее решение уравнения (5.25) представляется формулой

иі(г) = л/ВЬЪ.{у/В(г + Сі)}. Подставляя (5.24), (5.25) в уравнение (5.23), находим коэффициенты

\ V. () 5 315 . . 55

11

0 = ±Л-т-, В = а,3 = а,2 = ір_

8к

88к

„ 1323 „ 567\/55 ^

а,і = ~ ; 00 = ±--—і Ьо = ±-

88к 968к

121

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

2

315 \ 315\/2 Г1 0 д

а-1 = ~ттг~р а-о = ± , , С0 = ±2у2,

1Ьк' 32к'

(5.28)

, 15\/7Т 0 1 315 _ 945л/71

0 = ±—~, В = —, аз = —г, а2 = +--------1~,

71 3 8к! 2 568К

71

945

ах — . * о-о —

568к

315л/7Г

40328к

105л/7Г 5041 ’

(5.29)

, 45\/374 0 1 315 _ 2835^374

0 = ±—, В = тг^7, аз = —г, а2 = Т-----------------------;—1

474 8к' 2992к'

а1

374

4725

2992к:

у, ао = ±

374 7875л/374

1119008к

(5.30)

Используя формулу (5.26) и учитывая соотношения (5.24), (5.27), получаем точное решение уравнения (5.22):

у(г) =

( 63 у/55 V 968к

±9-21 th

11

-(г + С\)

+5 th

'4^М(г + С1)1+25Ш3^

(г + С1)

(5.31)

| п ^ ^ п График зависимости решения (5.31) от г и параметра V при С1 = 1 изображен на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость решения (5.31) уравнения (5.20) от переменной бегущей волны

Рис. 2. Зависимость решения (5.32) уравнения (5.20) от переменной бегущей волны

Рис. 3. Зависимость решения (5.33) уравнения (5.20) от переменной бегущей волны

Аналогично с помощью формул (5.28) и (5.26) приходим к семейству решений уравнения (5.22):

у(г) =

/ 315 у/2 I 32к

1

2\ 2

(5.32)

Решение (5.32) является уединенной волной. Зависимость решения (5.32) от г при С1 = 1 иллюстрируется на рис. 2.

Из рис. 1, рис. 2 видно, что с ростом вязкости стенки сосуда амплитуда волны убывает. Подставляя (5.29), (5.30) в формулу (5.24) и учитывая соотношение (5.26), получаем два семейства решений уравнения (5.22):

У(г) =

( 315у/71 \ 40328k

71

-(г + С\)

+3«12{^ + С1)} + Ш3 |^(,г + С'1)

У(г) =

( 315л/374 I 1119008/4,'

374

-{г + С\)

+9 Л2 | + С\)| + 1Ь3 | ^

(г + С1)

(5.33)

(5.34)

Решения (5.33), (5.34) представляют собой волновой фронт. График зависимости решения (5.33) уравнения (5.20) от г и параметра V при С1 = 1 иллюстрируется на рис. 3. Из рис. 3 видно, что с ростом коэффициента вязкости стенки сосуда профиль волны сглаживается и ее амплитуда убывает.

2

6. Заключение

В данной работе изучалось распространение возмущений в вязко-эластичной трубке. Рассмотрено приближение невязкой, несжимаемой жидкости. С помощью метода многих масштабов и теории возмущений получен набор эволюционных уравнений для описания распространения волн давления (4.6)—(4.12), (5.9)—(5.20).

Предложенная модель позволяет проанализировать различные случаи значений малости физических параметров, входящих в математическую модель, и получить отвечающие им различные типы нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волн.

В момент времени £ порядка е-4/3 распространение нелинейных волн, в зависимости от физических свойств стенки трубки, подчиняется одному из уравнений (4.8), (4.10)—(4.12). На этом этапе характерно расплывание (демпфирование) волны. Главным фактором при этом становятся вязкие свойства стенки. Наиболее общим уравнением, сочетающим в себе характерные свойства стенки сосуда, является обобщенное уравнение (4.12). На втором этапе (£ ^ е 3/2) распространение пульсовых волн подчиняется либо уравнению Кортевега—де Вриза, либо уравнению Бюргерса—Кортевега—де Вриза. В случае когда силами сопротивления среды можно пренебречь, нелинейные волны распространяются без искажения формы (уравнение Кортевега—де Вриза). Определяющим фактором здесь являются чисто упругие свойства стенки сосуда. Если принять во внимание диссипативные процессы, то распространение возмущений описывается уравнением Бюргерса—Кортевега—де Вриза. Основными факторами при этом являются упругие свойства стенки и сопротивление среды при движении стенки. На третьем этапе (£ ~ е-2) распространение возмущений происходит в соответствии с уравнением Бюргерса. Основным фактором на этом этапе является сопротивление среды при движении стенки.

В случае учета кубической поправки к закону Гука на начальном этапе (характерное время £ порядка е-5/3) распространение нелинейных волн описывается одним из уравнений (5.12),

(5.18)—(5.20). На этом этапе характерно расплывание (демпфирование) волны. Определяющим фактором при этом являются вязкие свойства стенки. На втором этапе (t ~ е-3) распространение пульсовых волн подчиняется либо модифицированному уравнению Кортевега де Вриза, либо модифицированному уравнению Бюргерса—Кортевега де Вриза. Здесь в основном проявляются упругие свойства стенки и сопротивление среды при ее движении. На третьем этапе (t ~ е-4) распространение возмущений описывается модифицированным уравнением Бюргерса. Основное влияние на этом этапе оказывает сопротивление среды при движении стенки.

Список литературы

[1] Fung Y.C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y. etc: Springer, 1993.

[2] DemirayH. On some nonlinear waves in fluid-filled viscoelastic tubes: weakly dispersive case. Communs. Nonlinear Sci. and Numer. Simulation. 2005, v. 10, No. 4, pp. 425—440.

[3] Cascaval R.C. Variable coefficient KdV equations and waves in elastic tubes. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Evolution Equations. 2003, v. 234, 12 pp.

[4] Quarteroni A., Tuveri M., Veneziani A. Computational vascular fluid dynamics: problems, models and methods. Comp.Vis.Science. 2000, v. 2, No. 4, pp. 163—197.

[5] Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983.

[6] Антонов В.Ф., Черныш А.М., Пасечник В.И., Вознесенский С.А., Козлова Е.К Биофизика. М.: Гуманитарный изд. центр ВЛАДОС, 2006.

[7] Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One dimensional models for blood flow in arteries, J. Eng. Math. 2003, v. 47, No. 3-4, pp. 251-276.

[8] Canic S., Mikeli A. Effective equations modeling the flow of a viscous incompressible fluid through a long elastic tube arising in the study of blood flow through small arteries, SIAM J. Appl. Dynam. Systems. 2003, v. 2, No. 3, pp. 431-463.

[9] Ottesen J.T. Valveless pumping in a fluid-filled closed elastic tube-system: one-dimensional theory with experimental validation, J. Math. Biol. 2003, v. 46, No. 4, pp. 309-332.

[10] Payne S.J. Analysis of the effects of gravity and wall thickness in a model of blood flow through axisym-metric vessels, J.Medical and Biological Engineering and Computing. 2004, v. 42, pp. 799-806.

[11] Demiray H. Nonlinear waves in a viscous fluid contained in a viscoelastic tube, ZAMP , 2001, v. 52, pp. 899-911.

[12] Регирер С.А. Некоторые вопросы гидродинамики кровообращения Гидродинамика кровообращения. М.: Мир, 1971, c. 242-258.

[13] Miekisz S. Non-linear theory of viscous flow in elastic tubes, Phys. Med. Biol. 1961,v. 6, No. 1, pp. 103— 109.

[14] Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Элементарная модель сосуда со стенкой, чувствительной к механическим стимулам, Биофизика. 2002, т. 47, №5, c. 908-913.

[15] Кудряшов Н.А, Чернявский И.Л. Нелинейные волны при течении жидкости в вязко-эластичной трубке, Изв. РАН. МЖГ, 2006, №1, c. 54-67.

[16] Pontrelli G. A multiscale approach for modelling wave propagation in an arterial segment, Comput.

Methods in Biomech. and Biomed. Eng. 2004, v. 7, №2, pp. 79-89.

[17] Hopf E. The partial differential equation ut + uux = uxx, Communs. Pure Appl. Math. 1951, v 3, №3,

pp. 201-230.

[18] Cole J.D. On a quasi-linear parabolic equation occuring in aerodynamics, Quart. Appl. Math. 1950, v. 9, №3, pp. 225-236.

[19] Korteweg D.J., De Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on new tupe of long wawes, Phill. Mag. 1895, v. 39, pp. 422-443.

[20] Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 1967, V. 19, No. 19, pp. 1095-1097.

[21] Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: ИКИ, 2004.

[22] Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations, Chaos, Solitons and Fractals. 2005, v. 24, No 5, pp. 1217-1231.

[23] Kudryashov N. A.. Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics, Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1988, v. 52, No. 3, pp. 361-365.

[24] Kudryashov N. A.. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation, Physics Letters A. 1990, v. 147(5-6), pp. 287-291.

[25] Kudryashov N.A., Zargaryan E.D. Solitary waves in active-dissipative dispersive media, J. Phys. A. Math. and Gen. 1996, v. 29, pp. 8067-8077.

[26] АбловицМ., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

[27] Kudryashov N.A., Demina M.V. Polygons of differential equations for finding exact solution, Chaos, Solitons and Fractals. 2007, v. 33, No. 5, pp. 1480-1496.