Нелинейные эффекты при обработке длинных ступенчатых валов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 109-111

УДК 534.1;621.9

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОБРАБОТКЕ ДЛИННЫХ СТУПЕНЧАТЫХ ВАЛОВ

© 2011 г. А.В. Грезина, В.Н. Комаров

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]. ш

Поступила в редакцию 16.05.2011

В качестве объекта исследования рассмотрен закрепленный в центрах длинный ступенчатый вал, при обработке которого на токарном станке при определенных режимах резания наблюдаются нелинейные эффекты (мягкий и жесткий режимы возбуждения автоколебаний). Для исследования этих эффектов и выявления причин их возникновения построена математическая модель упругой системы вала с замыканием на динамику процесса резания, которая описывается с помощью динамических характеристик резания, полученных экспериментально. С помощью метода энергетического баланса получены выражения для амплитуд автоколебаний и условия, определяющие возможность возникновения мягкого и жесткого режимов возбуждения автоколебаний.

Ключевые слова: математическая модель, упругость, динамические характеристики резания, автоколебания, мягкий и жесткий режимы возбуждения, устойчивость.

Известно, что при обработке длинных валов на токарных станках на наиболее производительных режимах резания возникают вибрации, приводящие к снижению качества и точности обрабатываемой поверхности, повышенному уровню шума на рабочем месте. Из трех видов колебаний — вынужденных, типа параметрического резонанса и автоколебаний — основная роль в возбуждении вибраций при резании металлов принадлежит автоколебаниям. Способы борьбы с вынужденными колебаниями хорошо известны. Значительно труднее бороться с автоколебаниями, которые могут возникнуть совершенно внезапно при отсутствии внешних периодических сил. Ус -пех в решении проблемы гашения автоколебаний при резании металлов и создании новых, более виброустойчивых конструкций металлорежущих станков в значительной степени зависит от понимания природы и характера возникновения автоколебаний и физической сущности динамики процесса резания, степени разработки методик построения автоколебательных моделей, адекватных в своем описании поведению реальной конструкции станка, и наличия эффективных методов расчета этих моделей на устойчивость и автоколебания.

Ранее экспериментально был обнаружен жесткий режим возбуждения автоколебаний при точении ступенчатого вала [1]. Методика экспериментальных исследований жесткого характера возбуждений основывалась на известных положениях теории нелинейных колебаний.

Жесткий режим возбуждения автоколебаний, в отличие от мягкого, характеризуется двумя особенностями: принципиально различным поведением нелинейной динамической системы в зависимости от начальных условий и неоднозначностью бифуркационных значений параметров, при которых происходит возбуждение и гашение автоколебаний.

Следует заметить, что жесткий режим возбуждения автоколебаний приводил к резкому снижению качества обрабатываемой поверхности, а иногда — к поломке инструмента.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что анализ характера возбуждения автоколебаний в реальных механических системах имеет важное значение для правильной постановки задачи их исследования. В случае мягкого режима возбуждения автоколебаний для исследования поведения нелинейной системы, согласно известной теореме Ляпунова, можно использовать линеаризованные уравнения. В этом случае вопрос об устойчивости сводится к анализу корней соответствующего характеристического уравнения. При жестком режиме возбуждения автоколебаний исследования устойчивости, вообще говоря, недостаточно и требуется рассмотрение задачи в нелинейной постановке.

Для исследования нелинейных явлений строится математическая модель замкнутой динамической системы вала, описывающая взаимосвязь колебаний упругой системы вала с динамикой процесса резания. При написании математи-

ческои модели упругой системы вала предполагается, что материал вала обладает свойством однородности и изотропности и для него справедлива гипотеза плоских сечений. Математическая модель упругой системы вала представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, описывающими на концах вала условия закрепления его в центрах и условия непрерывности и гладкости упругой линии, равенство перерезывающих сил и изгибающих моментов в точках сопряжения ступеней вала. Динамика процесса резания описывается с помощью динамических характеристик резания. Известно, что динамическая характеристика процесса резания металлов в общем случае является нелинейной функцией относительного смещения и относительной скорости резца и детали в зоне резания, а также технологических параметров резания, таких как геометрия инструмента, глубина, подача, скорость резания и др. [2, 3].

Наибольшее число видов обработки на металлорежущих станках происходит по следу, т. е. в условиях, когда изменение толщины срезаемого слоя зависит не только от характера колебаний в данный момент, но и от следа, оставленного резцом при колебаниях на предыдущем обороте детали. Возбуждение автоколебаний в таких условиях происходит при одновременном образовании и срезании волны.

Для упрощения задачи используется проекционный метод Бубнова — Г алеркина. В качестве координатной функции берется первая собственная форма поперечных колебаний вала, так как из практики обработки длинных валов известно [1, 4], что возбуждение автоколебаний обычно происходит на частотах, близких к низшей собственной частоте свободных поперечных колебаний вала.

В результате получается модальное уравнение вида

аq(t) + Рд(/) + уд(0 = -AFУ (х0),

где

AF = ау (Хо)(q(t) - щЦ - т)) + 3(Хо)(д(0 -

- - т))3 + а5У5 (хо)(q(t) - - т))5 +

+ РУ (ХоМ ^) +РзУ 3( ХоМ) +Р5У 5( Хо)(& )

приращение динамической силы резания,

5 ^+1

а = Хр^-+1 |У 2( х)ёх + т1У 2(о) + т2У 2(/),

,=о 1.

*I

5 1,+1

у = XI(У (Х))2аХ + СУ 2(о) + с2У2 (1),

,=о I

ч

5 +1

Р = ХЕТгмк I(У"(х))2с1х + ку2(о) + к2У2(1)

сумма энергетических произведении по кинетической, потенциальной энергиям и работе диссипативных сил; mA , т2 , ег , c2 , hj , h2 — массы, жесткости и коэффициенты рассеивания энергии в центрах слева и справа; V(x) — низшая собственная форма поперечных колебаний вала, х0 — координата точки приложения резца.

Поиск амплитуд автоколебаний осуществляется с помощью метода энергетического баланса, в основу которого положено условие равенства рассеиваемой и поступающей в систему энергии. Для применения этого метода выполним ряд преобразований: q(t) = a sin rat, q(t -т) = q(t) x x cos ют- q(t )sin ют/ю.

Такое преобразование возможно при достаточно большом времени t, когда изображающая точка на фазовой плоскости находится вблизи предельного цикла.

Найдем мощность всех сил за период колебаний T:

1 | а (К + п ) = — Р^оЖ | q2 (,)Л —

1 о 1 о

1 Т

- Т1 (Хо)q

Щ = AF-р,У( ХоШ).

Корни получаемого в результате интегрирования биквадратного уравнения представляют собой аналитические выражения для амплитуд автоколебаний при жестком режиме:

l

■yj- 2c3(c2 - -^i

/c2 4 c3cl)

l V

-2c3(c2 +УІc2 - 4c3^)

i =0

где

cl = п(Рю + P^V 2( x0) + alV 2( x0)^ sin ют),

3

c2 = — nV 4( x0)( a3(l -ц cos ют)2 ц sin ют +

+ a3^3(sin ют)3 +Рзю3),

c3 = 5 a5V 6( x0)(l - ц cos ют)4 цп sin ют +

s

+ 5a5V6(x0)^rcsin5 ют +—a5V6(x0) x s4

x (l - цcos ют)2 цзпsin3 ют + 5P5Vб(x0)пю5.

s

Как показывают проведенные исследования, жесткий режим возбуждения автоколебаний и его характеристики в большой степени зависят от конструктивных параметров обрабатываемого вала, внутреннего трения, от технологических параметров резания, времени полного оборота детали и периода свободных колебаний вала.

a3,4 —

2

c

3

2

c

3

Список литературы

1. Городецкий Ю.И. Создание математических моделей сложных автоколебательных систем в станкостроении // Автоматизация проектирования. М.: Машиностроение, 1986. Вып. 1. С. 203-220.

2. Тобиас Х.. Теория нелинейной регенерации вибраций . ТАОИМ «КиТМ», 1974.

3. Городецкий Ю.И., Буданков А.С., Комаров В.Н. Об одной системе экспериментального исследования динамики процесса резания металлов // Пробл. машиностр. и надежности машин. 2оо8. №1. С. 8о—86.

4. Городецкий Ю.И., Грезина А.В. Исследование устойчивости точения длинных валов с различными технологическими приспособлениями // Изв. вузов. Машиностроение. 1998. № 7—9. С. 7—11.

NONLINEAR EFFECTS IN THE PROCESSING OF LONG STEPPED SHAFTS

A. V Grezina, V.N. Komarov

A long stepped shaft fixed at the centers is considered. When processing it at a lathe, nonlinear effects (soft and rigid modes of self-oscillations) can be observed. To investigate these effects and the reasons of their occurrence, a mathematical model is constructed. It considers elastic properties of a shaft and the dynamic characteristics of cutting obtained experimentally, By means of a power balance method, expressions for amplitudes of self-oscillations and conditions, occurrence of soft and rigid modes of excitation of self-oscillations are derived.

Keywords: mathematical model, elasticity, dynamic characteristics of cutting, self-oscillation, soft and rigid modes of excitation, stability.