CC BY
35
НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ ИСКАЖЕНИЯ ОПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ОТКЛИКА В КОДИРУЮЩИХ СОПРЯЖЕНИЯХ ОПТИКО - ЭЛЕКТРОННЫХ
ДАТЧИКОВ
Ю.Л.Ратис, Г.И.Леонович, С.Е.Курушина, А.Ю.Мельников Самарский государственный аэрокосмический университет
СчЭ: а=а/=ао/2=50....500 мкм, ¿»6</=200....1000 мкм.
1. Введение
При проектировании оптико-электронной дат-чиковой аппаратуры, содержащей кодирующие сопряжения в составе подвижной кодирующей шкалы (КШ) и неподвижных считывающих элементов (СчЭ), в большинстве случаев возникает необходимость учета погрешностей преобразования, создаваемых нелинейностью функции отклика СчЭ, проявляющейся из-за дифракции света на отверстиях КШ [1-3]. Задача о дифракции света на прямоугольном и круглом отверстиях в общем виде решена в работах [1, 4, 5]. При постановке и решении практических задач наибольший интерес представляет описание функции отклика при дифракции света на отверстиях прямоугольной и квазипрямоугольной форм (сектор кольца, овал, двояковогнутый квазипрямоугольник и т. д.) с учетом погрешностей изготовления, перекоса и смещения КШ относительно СчЭ. В процессе учета и коррекции дифракционных поправок может ставиться дополнительная задача сокращения числа вычислительных операций.
"аССм'ОТрим влияние дифракции на оптическую функцию отклика, несущую информацию о перемещении ах (рис.1) на примере прохождения параллельного пучка света через прямоугольное (квазипрямоуголъное) отверстие КШ.
Параллельный световой поток Ф0 от осветителя падает на КШ 1. При линейном перемещении ах КШ происходит амплитудная модуляция светового потока, падающего на неподвижный считывающий элемент (СчЭ) 2. В зависимости от типа и габаритов датчика, предъявляемых к нему требований по разрешающей способности и отношению сигнал/шум, выбираются те или иные геометрические соотношения между окнами КШ и СчЭ. Примем характерные для кодирующих сопряжений (КС) двухотсчетных преобразователей с амплитудной интерполяцией функции отклика параметры КШ и
где а, Ь, аА ЬА -ширина и высота окон КШ и СчЭ соответственно, а0 - период КШ [1,2].
1
Рис. 1. Схема прохождения света через кодирующее сопряжение
На рис. 2.а показана картина распределения интенсивности света по поверхности СчЭ в пределах одного квадранта при отсутствии (пунктирная линия) и наличии дифракции. На рис. 2.6 линией 1 показан сигнал на выходе СчЭ при идеальных формах отверстий, отсутствии пгумов источника излучения и фотоприемника, и расстоянии от КШ до СчЭ 0. Так как в реальных КС с учетом торцевых биений в направляющих перемещения КШ Ф=5...500 мкм, то функция отклика - амплитуда сигнала на выходе СчЭ (рис.2,6, линия 2) - имеет ярко выраженные нелинейные участки в основаниях и вершинах "треугольников", вызванные дифракцией. Линией 3 показан график разности между значениями функций отклика при отсутствии и при наличии дифракционных явлений (нелинейность функции отклика). При аналого-цифровом преобра-
зовании нелинейность создает ограничения по количеству достоверных разрядов кода перемещения [2]:
п =log2(//m" Ятш
ЛЯ„
)-1
(1)
где Нтах limir, - максимальное и минимальное значения сигнала h{ax) на выходе СчЭ, a AH^faJ - максимальное значение нелинейности функции отклика.
vQ>i)
КО
^fyrtax
Hrin
\ \ < АН
\\ 2 \
\ 1 \ \
V
¿V2
б)
Рис. 2 Формирование сигнала на выходе СчЭ: а) распределение интенсивности света по поверхности СчЭ; б) расчетная функция отклика (1 - без учета дифракции; 2 - с учетом дифракции)
Наибольшая нелинейность регистрируемого сигнала проявляется при малых линейных перемещениях ах относительно вершин и оснований позиционных сигналов. В некоторых случаях нелинейность может превышать амплитуду сигнала. Тогда функция Охф) становится многозначной, а погрешность измерения становится сравнимой с самой измеряемой величиной, что приводит к метрологическому отказ)' датчика [6].
Характер возникновения нелинейности вследствие дифракции светового потока на достаточно широком прямоугольном отверстии, а также погрешности, возникающие из-за искажения формы отверстия, можно оценить, пользуясь математическим аппаратом, описанным в [5]. Целью настоящей работы является исследование влияния дифракции светового потока на КШ и СчЭ на амплитуд} регистрируемого сигнала Ь(х) с учетом инструментальных погрешностей и формирование рекомендаций по разработке способов учета и ком-
пенсации возникающих при этом нелинейных искажений.
2. Основной формализм
При конструировании сверхминиатюрных оптоэлектронных датчиков перемещений возникает задача расчета оптической функции отклика Ь(х). Поскольку реальные геометрические размеры окон датчиков соизмеримы с расстоянием от КЩ до СчЭ и не более, чем на 1-2 порядка превосходят длину волны падающего света, необходим корректный учет влияния дифракции на результаты измерения. В рассматриваемом случае мы имеем дело с дифракцией Френеля, несмотря на то, что падающую на КШ световую волну можно считать плоской; детально этот вопрос освещен в работе [5].
Используя обозначения работы (5] представим
комплексную амплитуду ир дифрагированной волны в точке р(х, у, наблюдения в следующем виде (см. рис.1):
kU
U = f-^-cxp (ikR)-dfn р 2wR V п
(2)
где R=J(X-x)2 +(Y-y)2 + (Z-z)2 , X, Y, Z -координаты точки наблюдения P, x, у, z - координаты точек волновой поверхности, a dfn - элемент проекции площади df на плоскость, перпендикулярную к направлению падающего луча. Для прямоугольного отверстия, имеющего ширину а и
, а а
длину о выполняются соотношения--й х < — :
2 2
Ь ^ ь
--< у < z = 0.
2 2
В случае нормального падения плоской электромагнитной волны на указанное прямоугольное отверстие
U = UQ • exp [ikz) = U0 = const (т.к. z=0) и выражение для амплитуда сильно упрощается:
kU % Up(X, У, 1) = J dx J dy X
2m -a
^ exp¡[k<J{X - x)2 + (Y - y)2 + Z2)
у1(Х - ху + (У - у)2 + Z2 (3)
Основная идея метода стационарной фазы состоит в том, чго интеграл (3) набирается, в основном, в окрестности нуля первой производной от показателя комплексной экспоненты. В окрестности этой точки квадратный корень в показателе экспоненты можно разложить в ряд Тейлора с точностью до квадратичных членов:
- х)2 + (у - у)2 + г1 *
I» . м, .л2 . (4)
~ 2 + 1 {Х - х)2 +{Y - У)2
2 Z
В этом приближении
f>->
к11
и IX, У, 1) * -• ехр №) х
р 2 лИ
\ 22
¡к(У - у)2 22 )
(5)
х I ах ехр| ■ ь/г
х | (¡у ехр
"И
Переходя к новой переменной интегрирования
* + (6)
= \ к
Чт1"'
учитывая, что сЬс = ' ш ■ пределы интегриро-
вания задаются неравенством
я! 12 J 12
используя для переменной у совершенно аналогичную подстановку, получаем окончательный результат:
ир(х, у, г) т • ехр ак2) х
' шим^м
..ИНЧЯН
(ШН
х,(7)
шн
где С(/) и 5(2) - стандартные интегралы Френеля |4|
7
.Я Л
С {г) =
о ^
г _
5(2) = ( з1п(-/2)Л.
(9)
Рассмотрим наклонное падение плоской волны на КШ. Амплитуда падающей волны является функцией координат:
V = Щх,у, г = 0) = ий ■ ехр{(* • г) (10)
и ее нельзя выносить из-под знака интеграла.
В этом случае выражение (5) модифицируется:
илх, У, 1) = ЬЬ..созО- ехр (кг) X 2 тЪ
х ^¿/.гехр
Уг
X ( ЛуеХ£
"А
/кх + ¡к
IX - Х):
¡куу + <к
11 (Г - у)-
(П)
22
где 0 - угол между направлением падающею луча и плоскостью ху, в которой лежит КШ.
Амплитуда (11) выражается через интегралы Френеля:
ир[Х, У, 2) = • соэ в х
ехр
кхХ + к^ + к2 -
яг/2 1Г
[кхг + куг)2
2 к
■11
\я2/2 к
С +
I я7. ¡2 к
V
+ 5| ¡Л-У-х^-7"
я/ 2 к
к \Ь .. ку2[\ }--—( +
)я2! 2 к
V
[Г ППй ^ ку11) + <1 Б! — У- + } - -!—/
(12)
, « я 2 / 2
{ ПГ\Ь „ к„7. / |
+ 5 I-V- - } +
\я'Л р2 к
Введем переменные
2 I к
Тогда интенсивность дифрагированного на прямоугольном отверстии света, равная квадрату модуля комплексной амплитуды, принимает вид:
!рх, у, /., = \:Рх, г,/( = о х
х }:;/.; т с К. ]* + [в У.) + як |) .
Для расчета дифракционной картины от квазипрямоугольного отверстия воспользуемся методами теории возмущений Перепишем выражение (11) для невозмущенной амплитуды Ур,, (случай дифракции
монохроматической световой волны на отверстии прямоугольной формы) в следующем виде:
U(X, y,Q)] - + у
<kJ(X - х)1 + (Y - у)1 +"7)
\х - *)2 + {Y - + z2
, (14)
Величина возмущения <ЯУр легко вычисляется
с помощью методов теории обобщенных функций.
Производная функции Хевисайда пропорциональна б - функции, Поэтому для правой границы отверстия КШ выполняется приближенное равенство:
+ Зиа(у) - ^ » - х) + - ^ - ¿¡па[у)
(17)
где ©(х - ступенчатая функция Хевисайда [7]. Возмущенная амплитуда отличается от невозмущенной амплитуды (14), за счет вклада участков волновой поверхности, не содержащиеся в исходном пря-
а ^ ^ а ь ь
моугольнике--< х < —;--< у < —. Уч-
2 2 2 2
тем вклад от этих участков волновой поверхности в
амплитуду дифрагированной волны. Для случая
реальной формы краев щели имеем:
» оо оО
ир(Х, V, 2) = <к\ (1У1]{Х, у,0)х
«яг-«
х е(| + Зпа(у) - + * ~ $Аа(у) I х
- + ¿вЬМ - + У - бнЬ[х)
exp ({kfc
X - хf + (Y - у? + Г )
у!(Х - х)2 + (У - у)2 + г2 (15)
Здесь форма правого края отверстия описывается уравнением х = ■у + 5иа{у ,
а с- ,
левого края- уравнением х - - — + 6м{у ,
ь * ,
верхнего- уравнением у = — + 8^а{у ,
а нижнего - уравнением у - - у + З.а(у)).
Очевидно, что разность между возмущенной и невозмущенной амплитудами имеет вид:
#Сгр(Х, Y, 2) =ир(Х, У, г)- ирй{Х, ¥, 2) =
♦ иС '
= ( с1х ( МНх, у,0)х
2Ш „ Л
х + ¿иа{у) - х^у + X - *
(Ь ^ (Ъ Л <16)
х ©I- + днЬ(х) - .V |© - + у - 3„Ь{х)\ -
ЧНКИКЬНН
ехр^Афг - .у)2 + (Y - у)2 + г-J{X - х)2 + (Y - у)2 + г2
Аналогичные соотношения выполняются на остальных границах отверстия в КШ Согласно определению 5 - функции
j Six) ■ f(x)dx = /(О
(18)
Ограничиваясь в разложении (17) линейными членами, получаем:
SUAX, Y, Z) = -¿-х 2я7
X ^\dy8valyv[^ry,^ х
а/2)2 + (Y - у)2 + z2)
гыг exp
J(X - ajl)2 + (Y - j}2 + z2 l(kJ(X + aj2? + (Y - у)2 + V)
~ь exp
J(X + a/2)2 + [Y - y)2 + z5
a'2 f b \ + j dxSBb[xV\ x, - ,0 k -a/2 \ 2 J
-a! 1
exp
{kJ[X - x)2 + (Y - b/2)2 ^(JT - x)2 + (Г - 6/2)2 + z2
{ x,- - ,0
■ail \ ^
exp
Jf) + [Y + b/2)2 +
11
(19)
J(X - x)2 + [Y + b/2)1 + 22
Для важного (с точки зрения синтеза КШ) частного случая дифракции монохроматического света на симметрично деформированной щели (Sa.(y) = -Sa.(y) = Sa(y ;Sa%t(x) = Sa,[x) = 0) вьфажение для возму щения амплитуды SU принимает пригодный для численных расчетов вид:
5U{X, Y, Z) = ¿ill Г uys^y) eXp (/* v) x 2m \
exp
{к 2 ♦«.
exp
Л
i\ - к — + kR ' 2
■ (20)
Я
где Ях = ^{Х ±а/ 2)2 + (Г - ><)2 + 71 .
Отметим, что полуденные соотношения обобщают результаты работы [9].
Исследование выражения (20) позволяет оценить влияние формы отверстия в КШ на линейность оптической функции отклика СчЭ.
3. Формирование функции отклика считывающего элемента
Оптическая функция отклика НХ^) определяется очевидным соотношением:
h(X„) = J (р{Х, Y) • lp(X, Y, Z)dsn,
(21)
где <р(Х, Y) - функция распределения чувствительности СчЭ по его поверхности, a cis„ - проекция элемента площади СчЭ ds на плоскость, нормальную к направлению падения светового луча (см. рис.1).
Для простоты рассмотрим нормальное падение света на КШ и ограничимся в расчетах случаем
IX е \Xd +
Исследуем одномерный предел для случая дифракции монохроматического света на сильно вытянутом прямоугольном отверстии (предельный переход b, bd ос ;
р (Г+) + С (Г)]2 + [з (ГJ + S (Г)]2 2 в интенсивности (13), то есть, дифракция на щели).
В этом приближении h[Xd) = Wd(Xd , где Wd - полная энергия светового потока, попадающего на СчЭ. есть функция его координаты Xj.
WAXd) «
' f £: :х,) + с (if 4 X j + s iX^}a
Xt-ajl
Введем безразмерные переменные:
и,
(22)
Шх-ё - F"
pZpZ 2
Тогда интенсивность света на поверхности СчЭ определяется выражением:
и,1
Ip[X, Z) = -f- X
X }c(£0+ S- ¿4) + C(£0- Д|)]2 + [s <£0+ с- Ц) + S (g0- 4+ Ac)]2} а функция отклика имеет вид:
(23)
WAX,) =
Un
x jc (¿„+ Ц) + С (|0- £+ Д£)]2 + [s(£0+ Д0 + S (¿v- Д£)]2}
Введем обозначения
«о =
U„
(24)
Wl
WAX,) =
WAX,) -
fV„
Безразмерная оптическая функция отклика запишется как:
Wd(Xd) = Г/ d£ х
i- г
X {c(ic,+ С; + С [£0- с;]2 +.
+ [s (£0f £) + S(£B- ?)]2}
(25)
Для подробного исследования аналитических свойств функции отклика воспользуемся четностью подынтегральной функции и введем вспомогательную функцию двух безразмерных поименных
У(4о 'П
v^or v) =j <14 *
- V
х {с(£0+ £) + С(#0- £)]2 +.
+ [si<f0+ а + s^,,- £)]2}
(26)
В рамках использованных допущений безразмерная оптическая функция отклика выражается через фун!шию V{40,
Wj{Xd) = „ 4.) - V'4v 4 )].
4
(27)
Интегрируя no частям выражение (26), получаем:
ф =4\Jg0, п) ~ ДПгб, п , (28)
В формуле (28) использованы обозначения:
Vd<4o, п) =2//{с(£0- 4) + с)]2
- [s(#0+ а 1- S(£e- 4)]2}
(29)
(31)
ДК(£0,77) = 21 ,
-rj
= [c(£0+ ф + C(£0- £)]2 X
X COS у (£0 + £)2 - COS у (£„- £)2
+ [s (£0+ £) + S (<f0- £)]2 x
Siny(^0+ £)2 - Siny(^0-
С формальной точки зрения задача выражения оптической функции отклика через специальные функции математической физики сводится к вычислению интеграла (30). В результате весьма громоздких, но несложных вычислений, мы приходим к следующему выражению для ДГ7(£0, г} :
АУ(£0Гг,) = — {вм Р) -- -р) - В2{а, Р) + В2(а,-р)}
В формуле (32) и далее использованы следующие обозначения:
« - 7«.'» f>- jh'
Я, (a, p) = j dt sin at[t -2 + 2p)
dt
(33)
(34)
B2{a, p) = j — sin at(t -2 + 2p
Функция Bx{a, P вьфажается через интегралы Френеля:
cos а{р- l)2
В,[а, Р) =
х [s(<f 0{1 + Р)) + sfe„(l - /?))] -
• (35)
_з!п[с(^„(1 + Р)) + с(^д(1 - /?))]
Ь о
Функция В2[а, р) представляет собой интеграл от комбинации элементарных функций и по трудоемкости вычислений эквивалентна любой специальной функции математической физики. Строго говоря, она не может быть сведена к конечной комбинации специальных функций. Однако, замена в (34) верхнего предела интегрирования на оо позволяет получить асимптотическую оценку В2[а, р для В2[а, р):
В2{а, Р) = В2{а, р) - АВ2(а, Р ,
где
£>,/?) = y[l/2-C2(£0(/?-l))-
- S2(t0(P- 1)) + + c(tc(p- l)) + s(z0(P- l))]
(36)
При замене В2[а, р) на В2(а, р можно пренебречь малым интегралом:
dt
АВ2(а, р) = f — sin at(t - 2
ч t
-2 + 2p . (37)
Малость интеграла (37) обусловлена тем, что он имеет порядок 1/8а, а параметр
а - у—~ » 1 численно велик (характерные
размеры установки делятся на длину волны падающего света).
Вместе с тем в прецизионных оптико -электронных датчиках снижение точности преобразования (25) часто ухудшает работу всей измерительной системы, вплоть до метрологических отказов [6]. Одним из источников погрешностей расчета оптической функции отклика в некоторых случаях является пренебрежение вкладом поправки АВ2(а, Р . При необходимости повышения точности расчетов функция Вг(а, /?) может быть вычислена с помощью квадратурных формул Симпсона или Гаусса. Однако, численный анализ быстрое с цил ли -рующих функций всегда вызывает определенные математические затруднения и большие затраты машинного времени. Быстрота и точность расчета функции отклика особенно важны для датчиков, осуществляющих автокоррекцию погрешностей преобразования в реальном времени. В связи с этим возникает ряд проблем, связанных с технологическим компромиссом быстрота - точность. Изложим один из наиболее эффективных подходов к решению этой проблемы, разработанный в работе [8].
Представим функцию В2[а, р) в следующем
виде:
В2[а, р) = А,(р, (¡) + Ас[р, ц , (38)
где [7]:
Л(/>/ Ф = J — sin ptlcos qt ,
л t
с dt 2 .
(P' Ф ~ I — cos P* sin qt ,
n t
p = Aa; q = 4a • (/? - 1).
(39)
(40)
(41)
Таким образом, решение задачи сводится к построению быстрого алгоритма расчета интегралов специального вида (39) и (40).
Разложим экспоненту от мнимого аргумента в
ряд по сферическим функциям Бесселя 3„СУ '■
ехр (/у/) = £ »"(2 п + 1) □„(>') Ря(/)» (42)
н = 0
где Р„(/ - полином Лежандра [7].
Учитывая, что cos {yt) = Re (exp [iyt) , представим интеграл (39) в виде быстро сходящегося ряда:
А,(Р, Q) = Z + 1) j2„U/^„!P . (43)
n=О
где
1 А
Pj.</>> = ( —sin pt Р:„(0 • (44) о '
Аналогично вычисляется интеграл (40): Ас(р, q) = £ (-1)"(4я + 3) ^(^„..(р), (45)
п=0
где
I ¿t
(Рш^Р) = f — cos Р2я+](Г). (46)
«г '
На практике сходимость рядов (43) и (45) наступает при п > q. Поскольку измерительная информация содержится в параметре q, то коэффициенты <Р г„{ р) и <p2n-\ip , определяемые формулами (44) и (46), вычисляются заранее. Для расчета сферических функций Бесселя используется быстрый алгоритм, предложенный в работе [8].
Конкретные расчеты показывают, что время вычисления интегралов (39), (40) сокращается более, чем на порядок, по сравнению со временем, затрачиваемым на их прямое вычисление на основе квадратурных формул типа Симпсона или Гаусса. Алго-ритм (44)-(46) может быть использован для схемотехнической автокоррекции нелинейности функции отклика для правильной прямоугольной формы отверстий КШ и СчЭ с точностью до 1...2% (точность приближения Кирхгофа |9J) в реальном времени.
Формулы (26) - (46) полностью решают задачу нахождения оптической функции отклика для случая, когда и отверстия в КШ и СчЭ имеют правильную прямоугольную форму.
4. Результаты расчетов
На основе изложенного выше математического формализма был создан пакет прикладных программ, позволяющий имитировать формирование функции отклика в оптико - электронных датчиках.
На рисунке 3 представлены результаты расчета фрагмента дифракционной картины от квадратного отверстия в КШ для нормально падающего монохроматического света. Хорошо заметны всплески интенсивности света у краев отверстия.
Глубина модуляции растет с увеличением расстояния d между КШ и СчЭ, а дифракция Френеля плавно переходит в хорошо исследованную дифракцию Фраунгофера.
На рис. 4 представлен результат расчета для случая, когда отклонение границы отверстия КШ от прямой линии задается функцией
6а(у) = -0.05 • {— - | ^ мкм и уменьшает эффективную площадь отверстия
а ~ Ь = ad= Ь^-- d - 50 мкм, Л = 0 5 мкм
Рис. 3. Дифракционная картина от пря.чоугольного отверстия
а = Ь =ad= bj = d = 50 мкм. Х- 0 5 мкм
Рис. 4. Дифракционная картина от квашпрямоугаиного отверстия
Из рисунка 4 видно, что малые возмущения формы прямоугольного отверстия, обычно связанные с технологическими погрешностями изготовления КШ, увеличивают амплитуд) всплесков интенсивности на краях Отсюда следует, что изменение формы отверстий в КШ малоперспективно в смысле линеаризации функции отктика
Гораздо более перспективным представляется направление, связанное с изменением формы СчЭ Дело в том, что возмущение прямолинейной формы краев СчЭ приводит к эффективному усреднению амплитуды регистрируемого оптического сигнала. Хорошо известно, что средние значения (по интервал) значений аргу мента.) от быстроосииллирующих функиий обладают смпественно более приемлемыми свойствами, по сравнению с исходными неосрсд-ненными функциями, с точки зрения возможности их аппроксимации плавными кривыми. На рис. 5 приведены результаты расчетов оптической функции отклика и ее кусочно - линейных аппроксиман-тов для случая квазипрямоугольной формы СчЭ. На рисунке 6 показаны зависимости разности между оптической функцией отклика, вычисленной в приближении Кирхгоффа, и ее линейным и кусочно - ли-
нейными аппроксим антами. Точность данной аппроксимации достаточно высока: абсолютная погрешность не превосходит 0.04.
№
а - Ь = ай = Ьа - с1 = 50 мкм; Л,= 50 мкм
1.0
<3.в 7
0,6 -
Рис 5. Сплошная кривая - функция отклика для прямоугольного отверстия в КШ
а а- В = аа = = 4- - 50 мкм; Л = 50 мкм
0.04 з
О.О'З
0;0 2:
О.0.1 ч
о. по -
-0,01
[ •V
У у ' /
Л
—
ю пл оапп лп оо ха по ^о по «п оп
Рис & Сплошная кривая - разность между оптической функцией отклика, вычисленной в приближении
Кирхгофа и ее линейной аппроксимацией
_ \г
IV/ - I - —-. Штриховая кривая -тоже для
в*
кусочно- линейной аппроксимации
СчЭ имеет форму искаженного квадрата. Отклонение границы СчЭ от прямой линии задается
функцией Аа4(У) = -0.2 • - |К| мкм и
уменьшает эффективную площадь чувствительной поверхности. Штриховая кривая соответствует кусочно - линейной аппроксимации
¡V/ = 0.93 • (I - 1.07 . + А[Ха ,
где
10 < < 50
А(Х,) = 2.5 • 10 4 • НХ4) = 0 Хл < 10; > 50
IV/ = 0.93 ■ (1 - 1.07 • / в,) + А(Х, ,
где
А[ХЛ = 2.5 • 10 • X,
10 < Х(1 < 50
А{Ха) = 0 Хл < 10; Хл > 50
Автокоррекция дифракционного вклада в нелинейность ^(Х^ возможна также на основе нелинейной аппроксимации кирхгофовской функции отклика:
IV/(X,) = 0.93 • (1 - 1.07 • -2-) +
О А
Л ^ Л-5
(47)
+
А,\Хй) = -0.0008 ■ (Х^ - 7)2 X, < 7 А] [ХЛ) = 0 (47.1)
6
= тгг
Лс1
А2(Х,) = о
Хл > 50
Хл < 50
(47.2)
10 £ ХА < 50
№ 4) = 2.5 • 10 • X 4 А3(^) = 0 Хл <10; Xл > 50
(47.3)
(X, - 2)2
Д4(^) = 0.008 • ехр А4(Х,) = О
(47.4)
> 10
[Д5(Х,) = 0.006-А",-0.286,
46.9*2^ <; 50 • (47-5)
[Л,(А,) = 0 Ха <46.9; X4 >50
Из рисунка 7 хорошо видно, что в этом случае погрешность аппроксимации удается понизить' на порядок по сравнению с линейными аппроксиманта-ми.
Абсолютная погрешность А№4(Ха) аппроксимации (47) составляет менее 0.005. Тот факт, что функция отклика практически монотонно убывает с ростом координаты перемещения КШ, приводит к возникновению проблемы контроля относительной погрешности измерения при малых значениях .
Рис. 8. демонстрирует рост относительной погрешности Ш^Х^ = А№а[Х/ Ш^Хл аппроксимации (47) на хвоста* функции отклика, где она может достигать 30% и более, что абсолютно неприемлемо с метрологической точки зрения. Поскольку проведение точных расчетов в реальном времени является весьма трудоемким, то для повышения точности и быстродействия системы необходимо исключить из анализа зоны высокой
погрешности. С этой целью в КС вводятся дополнительные СчЭ, и аппаратно реализуется алгоритм синтеза функции отклика на основе логического анализа сигнала и выделения ее главной линейной части для каждого из СчЭ. Этот прием позволяет решил ь задачу' автокоррекции нелинейности функции отклика в реальном времени.
¿ДО* а =Ъ = <г. = = = 50 мкм; А = 50
-0.00+ i'
-0.006
—о. оо а -4-1. II11»»I т | г ............ пп Н1 щ 1п щ ни и щ пи IIIII1| х„
о би 10.00 20.00 30.С$ 4-0.00 50.00 ¿0 00 11
Рис 7. Разность между вычисленной оптической функцией отклика и ее нелинейным аппроксимантом (47)
Щ 0.10
ОМ
-O.W
-0.2 О
-0,30
а,<= Ъ = = bd = d - 50 мкм; Я = 50
-0.<tö III III in Г I III II i 111 III HI l.l 11 II IIM irrrTT'TITTI 1'i' X,
o.io 10.00 20 00 30.00 40.00 60.CO 60 00 d
Puc. 8. Относительная погрешность аппроксимации
(47)
Следующим направлением, идеологически примыкающим к методам повышения точности измерения за счет различных процедур осреднения сигнала, является использование немонохроматических пучков света. На рис. 9 представлены результаты расчета дифракционной картины для двух значений длины волны монохроматического света, падающего на узкую щель. Наблюдается относительное смещение дифракционных картин и наложение минимумов одного распределения на максимумы другого распределения. Очевидно, что возможен подбор спектрального состава излучения в КС. обес-
печивающего существенное сглаживание суммарного сигнала.
/да
/0 a = ad = d = 50 мкм; b = bd = <»
I IUI '■ щгщгЛ ffiH'i fi 1111||| i II п II1 nil IM'I |»H"7T IT>I n Mini Y
-ao -60. — <4C -10 0 20 dO «о Л
Рис. 9. Интенсивность дифрагированной световой волны
Сплошная кривая >.=0.5 мкм, штриховая кривая Я=0.9мкм.
В простейшем случае равномерного частотного фильтра подобное сглаживание приводит к суммарной картине, представленной на рис. 10.
/да
/_ а - ad = d - 50 мкм; b = bd = <х>
0.40 -
Û.CO -ГТГП I ' 1 I Г I I г I I I I I I I I I I I I м I | | I X
О.ОС 1С.00 20.00 30.00 ЛООО
Рис. 10. Интенсивность дифрагированного света.
Штриховая кривая A=ft 5 мкм
Сплошная кривая - то же самое для белого света. Усреднение производится по диапазону длин волн 0.4<л<0.9 мкм.
Исследования функции отклика показывают, что при этом точность аппроксимантов повышается, а сами аппроксиманты упрощаются. Этот факт проиллюстрирован на рис. 11, где представлен расчет для длины волны >.=0.5 мкм (сплошная кривая) и
для белого света (штриховая кривая; усреднение произведено по диапазону длин волн 0.4<Х.<0.9 мкм).
Дй^ а - ¿-50 = оо
-о»!
Рис. 11. Разность между оптической функцией отклика, вычисленной в приближении Кирхгофа и ее линейной аппроксимацией
На рис. 12. представлена функция распределения величины погрешности нелинейной аппроксимации (47). Из рисунка видно, что основная доля погрешностей приходится на диапазон -0.004 < < 0.004. Условно нормированная огибающая гистограммы 12, описывающей распределение погрешности аппроксимации (47), имеет гауссовский вид:
л лиг» плл ( (Д^- 0.004)2
/(ДЖ) = 0.44 • ехр -
0.00006
/W)
-Ö.ÖA
---- j
■к*:-р.з • д a=b = ai=bi = 1 \ Я^ 0.5 мкм;
0.21' \
W-/ х ' 1
t .. * х и ^ л -.1 |Mi 1 1 1 1 1 11 1 ri IOIQT * V 1" lr" 'Ä'-' "
-<Ш
6М
Ж
Рис 11 Гистограмма распределения погрешностей нелинейной аппроксимации (47) кирхгофовской функции отклика
Для повышения точности расчетов необходимо учесть асимметрию и эксцесс ненормированной функции распределения /{АЯ7 . Гистограмма построена для случая прямоугольного отверстия в КШ. СчЭ имеет форму искаженного квадрата с параметрами = Ьа = <1 = 50 мкм, причем
Aad(Y) = -0.2 • (-у- - |7| . Длина световой волны Х=0.5 мкм.
5. Заключение
Резюмируем вышесказанное следующим образом:
Выведены аналитические выражения для интенсивности ИХ, Y, Z светового потока и функции отклика h(Xd) в приближении Кирхгофа,
Получены удобные для расчета асимптотические оценки функции h(Xd), учитывающие влияния дифракции и инструментальных погрешностей.
Разработан формализм для решения задачи минимизации нелинейности оптической функции отклика.
Проведен численный анализ влияния дифракционных и инструментальных погрешностей на работу оптикоэлектронных датчиков перемещений.
Показано, что вариации формы отверстий в КШ ведут к росту нелинейности функции отклика, а вариации формы СчЭ могут привести к заметному снижению нелинейных искажений.
Продемонстрирована возможность линеаризации функции отклика за счет использования немонохроматических световых пучков с управляемым спектральным составом.
Исследовано распределение погрешностей нелинейной аппроксимации кирхгофовской функции отклика.
Предложен способ автокоррекции нелинейных искажений.
Представляется целесообразным продолжить данное исследование и обобщить результаты для случая сложной взаимодействующей системы КШ -СчЭ с целью решения задачи синтеза оптикоэлектронных датчиков перемещений с минимальной нелинейностью оптической функции отклика.
6. Литература
1. Фотоэлектрические преобразователи информации / под редакцией Л.Н.Преснухина, М., Машиностроение, 1974, 375 с.
2. Домрачев В.Г., Мейко Б.С., Цифровые преобразо-
ватели угла: принципы построения, теория, точность, методы контроля. ML, Энергоатомиздат, 1984, 328 с.
3. Аш Ж. и др. Датчики измерительных систем (в двух книгах), кн. 1 (2), перевод с франц., М., Мир, 1982, 480 с. (424 с).
4. Ландсберг Г.С., Оптика, М., Наука, 1976, 928 с.
5. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М., Теория поля, М., Наука, 1973, 504 с.
6. Конюхов Н.Е., Леонович Г.И. Устройства допус-кового контроля в цифровых преобразователях перемещений для диагностики неявных параметрических отказов// Измерительная техника.-1990-№9-С. 11-13.
7. Абрамовиц М., Стиган И., Справочник по специальным функциям, Москва, Наука, 1979,832 с.
8. Ratis Yu.L., de Cordoba P.F., Computer Physics Communications 76(1993) 381.
9. Ратис Ю.Л., Леонович Г.И. Дифракция светового потока на чувствительных элементах волоконно-
оптических и оптико-электронных датчиков механических перемещений// Компьютерная оптика.- 1996.-Х916.-С.74-77.
